1.5 行列式性质 按行(列)展开

行列式的定义化零降阶法行列式的性
质范德蒙行列式克莱姆法则
行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
矩阵的运算矩阵的转置可逆矩阵分块矩阵初等变换伴随矩阵矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵秩的计算及性质施密特正交法向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
线性方程组解的情况的判别（非）齐次线性方程组的通解线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
相似的定义及性质
对角化特征值的性质特征向量的性质特征值和特征向量的求法实对称矩阵的相似对角化矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
二次型的形式合同化二次型为标准形的方法判别二次型的正定性二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。

7 15 6 6 2. 5 38
记 交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记 第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子 可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解 从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22

线 性 代 数
(第二版)
第四节 行列式按行（列）展开
上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或 下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内 容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法. 现看三阶行列式 a11 a12 a13
D a21 a31 a22 a32
a22 a32 a23 a33
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
中
a22 a32
a23 a33
是 a11 的余子式，其代数余子式为
11
A11 1
a22 a32
a23 a33
=
a22 a32
a23 a33
类似 a12 的代数余子式为
A12 1
1 2
D as1 an1
按 ri 展开
ri rs
(a
k 1
ask ) Aik aik Aik ask Aik D ask Aik
把 D 移项得 同理可证
a
k 1
n
k 1
k 1
k 1
sk
Aik 0 ，即
as1 Ai1 as 2 Ai 2
a1 j A1s a2 j A2s
asn Ain 0,
anj Ans 0,
(i s)
(j s)
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 ,
(iபைடு நூலகம் k )
( j k)
同理可证 性质： 对行而言
a1 j A1k a2 j A2k anj Ank 0 ,

a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行