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圆的基本性质 知识点整理

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-精品- 3.1 圆（1） 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周， 所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做 ，线段OP叫做 。 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有： d＜r 点P在圆 ； d r 点P在圆上； d＞r 点P在圆 ；

如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC为O的直径.

（1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧.

如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？

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3.1圆（2） -精品-

（1）经过一个．．已知点能作 个圆； （2）经过两个已知点A,B 能作 个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？ （3）不在同一条直线上的三个点 一个圆

经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 ； 三角形的外心是 的交点。

锐角三角形的外心在 ； 直角三角形的外心在 ； 钝角三角形的外心在 。

作图：已知△ABC，用直尺和圆规作出△ABC的外接圆

3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形 ； 对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。 -精品-

1、如图，射线OP经过怎样的旋转，得到射线OQ？ 3、如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段BA，并求直线BA与直线AB所成的锐角的度数。

2、如图,以点O为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。 -精品-

3.3垂径定理（1） 圆是 图形，它的对称轴是 。 如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB

∴

（文字描述）垂径定理： 。 如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做 。 记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式为 。

运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目 1、⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则⊙O的半径为( ) (A)4cm. (B)5cm. (C)8cm. (D)10cm.

2、已知⊙O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长

3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB -精品-

为16，求截面圆圆心O到水面的距离OC -精品-

3.3垂径定理（2） （文字描述）垂径定理的逆定理1： 。 （符号描述）∵CD是直径，AP=BP ∴

（文字描述）垂径定理的逆定理2： 。 （符号描述）∵CD是直径，AC＝BC ∴

如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做 。 弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是 。 垂径定理综合运用 1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.

2、已知:如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N, AM＝BM,AB∥CD.求证:DN＝CN. -精品-

3、如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝3cm, DE＝7cm.求AB的长.

4、已知O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm.求AB与CD之间的距离. -精品-

3.4圆心角（1） 顶点在圆心的角叫做 。 圆心角定理： 在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 在 中，相等的圆心角所对两条弦的 相等 符号语言 在⊙O中：∵∠AOB=∠COD ∴ (弦相等) (弧相等) (弦心距相等)

我们把n°的圆心角所对的弧叫做 的弧 练一练： 1、下列命题中，不正确的是（ ） A、圆是轴对称图形 B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 D、圆是中心对称图形

2、如图，AB，CD是O的直径，若∠AOC=70°，则AC的度数是 ，BD的度数是 ，AD的度数是 。 3、已知：如图，∠1＝∠2. 求证：AC＝BD. -精品-

4、如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°. 求BC，AD的度数. -精品- 3.4圆心角（2） 圆心角定理的逆定理： 在 中，如果两个 、 、 、 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 。 1、如图，等边三角形ABC内接于O，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD，CD， ① 判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。 四边形BDCO是 ，证明如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB= = =120° ∴∠BOD= 又∵ ∴△BOD是 三角形 同理，△COD是 ∴ 记四边形BDCO是 ② 若O的半径为r，求等边三角形ABC的边长

2、已知，如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，求证：AD=DE=EB. -精品-

3、 下列说法正确的是 ① 圆心角相等，所对的弦相等； ② 等弧所对的弦相等 ③ 弦相等，所对的圆心角相等 ④ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 -精品- 3.5圆周角（1） 顶点在 ，角的两边都和圆 的角叫做圆周角 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的 度数的一半。

已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是 °。 一条50°的弧所对的圆心角是 °，圆周角是 °。 一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是 °，它所对的圆周角是 °。

一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是 °， 圆周角是 °。 推论：半圆（或 ）所对的圆周角是 。

如图所示，∠C=90°，则∠AOB= ，AB是⊙O的 。 推论：90°的圆周角所对的弦是 。

练习：如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数。

变式1：已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC，BC交圆 -精品-

O于点D，AC交圆O于点E，求证：BD=CD 变式2：如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130° 100

(2)C

O

BA -精品-

3.5圆周角（2） 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等， 的圆周角所对的弧也相等。

基本图形：如图所示：∵BC=BC ∴∠ =∠

练一练： 1.如图,ABC内接于圆,ABAC,BC的度数为60. 求B,C的度数.

2.已知：如图,AB是O的直径,弦AB与半径OD平行.求证：.CDBD 综合练习： 已知半径为5的O中，弦52AB，弦5AC，则BAC∠的度数是（ ） A．15 B．210 C．105或15 D．210或30

如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A BC=30°过圆心O作 OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB= °． O B

D C

A -精品-

已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD

＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中

正确结论的序号是 。 •

E

DCB

AO

20 题图 -精品- 3.6圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在 ，那么这个四边形叫做 ，这个圆叫做 。

性质：圆内接四边形的对角 。 圆内接四边形的外角等于它的 。

练一练：已知圆内接四边形有一个内角是50°,则它的对角的度数为 °.

如图,AB是半圆O的直径,∠BAC＝40°,则∠D= . 已知圆内接四边形ABCD中,∠A :∠B:∠C＝2:3:7.求∠D的大小.

综合练习：已知，如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC 分析：要证明DB=DC，只需证明∠ =∠ 证明：

3.7正多边形 我们把 、 的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个 。

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初中数学知识点最全总结（精选）

初中数学知识点最全总结（精选）

初中数学知识点最全总结(精选)初中数学知识点最全总结(精选)小伙伴们处在中考复习阶段,我们好好梳理知识点是非常重要的一个环节。

数学知识点是很重要的,下面小编给大家整理了关于初中数学知识点最全总结的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!初中数学知识点最全总结1圆的基本性质1.半圆或直径所对的圆周角是直角。

2.任意一个三角形一定有一个外接圆。

3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

6.同圆或等圆的半径相等。

7.过三个点一定可以作一个圆。

8.长度相等的两条弧是等弧。

9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

7.垂直于半径的直线是圆的切线。

8.圆的切线垂直于过切点的半径。

2平行线的两条判定定理(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。

(2)垂直于同一条直线的两直线平行。

(3)平行线的定义。

3投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

24、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

初三中考数学常用知识点整理

初三中考数学常用知识点整理

初三中考数学常用知识点整理求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。

每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，也是要记、要背、要讲练的。

下面是小编给大家整理的一些中考数学常用的知识点，希望对大家有所帮助。

中考数学常用知识点1.解直角三角形1.1.锐角三角函数锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。

如果∠a是Rt△ABC的一个锐角，则有1.2.锐角三角函数的计算1.3.解直角三角形在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。

2.直线与圆的位置关系2.1.直线与圆的位置关系当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

直线与圆的位置关系有以下定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线性质：经过切点的半径垂直于圆的切线。

2.2.切线长定理从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。

切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。

2.3.三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。

3.三视图与表面展开图3.1.投影物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。

光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。

可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。

3.2.简单几何体的三视图物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。

主视图、左视图和俯视图合称三视图。

产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。

九年级中考常用数学知识点圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

北师大版六年级第一单元圆的知识点、考点整理(黄海成)(word文档物超所值)

北师大版六年级第一单元圆的知识点、考点整理(黄海成)(word文档物超所值)

3、下列图形中，对称轴最多的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形4、下列图形中，对称轴最少的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形六、考点6：圆的周长、圆周率、直径（半径）的概念和关系。

1、圆（）的长度就是圆的周长。

圆的周长总是直径的（）倍，圆的周长除以直径的商（圆的周长与直径的比值）是一个（）,我们把它叫做（）,用字母（）表示,π是一个（），为了计算简便，通常取近似值（）。

判断：1、圆的周长是它直径的3.14 倍。

（）2、圆的周长是它半径的6.28倍。

（）3、两个圆的周长不同，是因为它们的（）。

A、圆心的位置不同B、圆周率不同C、半径不同七、考点7：圆的周长公式及其应用。

（一）、告诉直径，求周长。

1、一个直径是10米的圆形花坛，它的周长是（）米。

2、一种压路机的前轮直径是1.6米，每分钟转10圈，压路机每分钟前进多少米？（二）、告诉半径，求周长。

1、一种钟表时针长5厘米，走一昼夜走了（）。

2、一个挂钟的时针长3厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（）A、18.84cmB、37.68cmC、75.36cm3、汽车车轮的半径是0.3米，它滚动1圈前进多少米？滚动1000圈前进多少米？（三）、告诉周长，求直径。

1、一根长25.12分米的绳子正好绕一树干10圈，这个树干的直径是（）分米。

2、用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是15.7dm，这个圆的直径是（）。

3、一根长12.56米的绳子正好绕一树干10周，树干横截面的直径是多少？（四）、告诉周长，求半径。

1、用圆规画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。

A、8cmB、4cmC、2cm2、用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。

A、6cmB、3cmC、4cm3、某景点有一棵古树，周长35分米的绳子绕它一圈，还剩下3.6分米，你能计算出这棵古树横截面的半径吗？八、考点8：圆的面积公式及其应用。

（一）、告诉半径，求面积。

初三数学全部知识点初三数学必学知识汇总

初三数学全部知识点初三数学必学知识汇总

初三数学全部知识点初三数学必学知识汇总数学是一门广泛应用于各个领域的学科，也是许多学生最困难的学科之一、在初三数学课程中，学生将学习各种数学概念，这些知识点不仅为高中数学课程打下了坚实的基础，而且为未来的职业发展提供了重要的技能和思维方式，今天我们就一起来看看初三数学全部知识点。

1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

2有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：θ=L/2πr某360°=180°L/πr=L/r弧度即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

3有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内?a href=// target=_blank>性病M饨釉苍残氖侨?切胃鞅叽怪逼椒窒叩慕坏悖?饺?切稳?龆サ憔嗬胂嗟?②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷LR：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长④两相切圆的连心线过切点连心线：两个圆心相连的直线⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

4如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段直线也可垂直平分公共弦。

5弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

6圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

7圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

8周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。