⎪ + 1 的图象． ⎛
向右平移 π 个单位 y = -2sin ⎛ 2 x - ⎫
⎪
向 y = -2sin ⎛ 2x - ⎫⎪ + 1
上平移1个单位 点的纵坐标伸长到原来的2倍 y = 于
x 轴作对称变换 = 点的横坐标缩短为原来的一半 y = 12 振幅变换→ 相对 换 周期 换变 → 变 → 振幅变换→ 周期 换 相对 换变 →
变 → ⎛ 向左平移 π
解：把 y = sin x 的图象沿着 x 轴向右平移 个单位，得到的解析式是 y = sin x - ⎪ ；再使它的图象上各点的纵坐标保持不
变，横坐标缩小到原来的 倍，得到的解析式为 y = sin 2 x - ⎪ ．故所求函数解析式为 y = sin 2 x - ⎪ ． 1 π ⎫ 1 n x >( 0 f ( x ) = A sin ⎢ x + ⎪ + ϕ ⎥ ，因 f ( x ) = A sin x + + ϕ ⎪ 与 y = sin x 是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论.
ωπ 42 ⎭ 2b sin x + ⎪ (a ，b ∈ Z ) ，当 x ∈ ⎢0， ⎥ 时， f ( x ) 的最大值为 2 2 - 1 ． π ⎫ 4 ⎭
三角函数的图象变换
三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可 以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用．
一、正向变换
例 1 由函数 y = sin x 的图象经过怎样的变换，得到函数 y = -2sin 2x -
⎝
π ⎫
6 ⎭
分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一 种解法请同学们参照评注自行探究）．
解： y = sin x
各 2sin x
关 -2sin x
各 -2sin 2 x
π
⎝ 6 ⎭
π ⎝
6 ⎭
评注：由函数 y = sin x 的图象得到函数 y = A s in(ω x + ϕ) 的图象的变换主要有两条途径：
① y = sin x
② y = sin x
−−−− y = A s in x −−−− y = A s in( x + ϕ ) −−−− y = A s in(ω x + ϕ) ；
−−−− y = A s in x −−−− y = A s in(ω x ) −−−− y = A s in(ω x + ϕ)
“相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于 x 的变化顺序：途径①中由 x 到 x + ϕ ，变化了 ϕ ，应平移 ϕ 个单位；
途径②中由 ω x 到 ω x + ϕ （即 ω x + ⎝
ϕ ⎫ ω ⎪⎭
），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律 .本题还涉及到了对称变换，
先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下．
二、逆向变换
例 2 已知函数 y = f ( x ) ，将 f ( x ) 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿着 x 轴
1
个单位，这样得到的是 y =
sin x 的图象，求已知函数 y = f ( x ) 的解析式． 2
2
分析：对函数 y = 1 2
sin x 的图象作相反的变换，寻求应有的结论．
1 π 1 ⎛ π ⎫ 2
2
2
⎝
2 ⎭
1 ⎛ ⎛
π ⎫ 2 2
⎝
2 ⎭
2
⎝
2 ⎭
评 注 ： 本 题 也 可 以 设 所 求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为 f ( x )= A s i ω ( +
ϕ )A
， ω > ， 通 过 “ 正 向 变 换 ” 得 到
⎡ω ⎛ π ⎫ ⎤ ⎛ ω ⎫ 1 ⎣ 2 ⎝ ⎦
⎝ 2 ⎭ 2
三、综合应用
例 3 已知函数 f ( x ) = a +
⎛ ⎡ π ⎤ ⎝ ⎣ 2 ⎦
x ∈ ⎢0， ⎥ ，得 x +⎡
π ⎤ ∈ ⎢ ， ⎥ ，
⎪∈⎢ ，⎥ ，
π ⎫ ⎡ 2 ⎤ ⎛
a = -1，
b = 2 ，∴ f ( x ) = -1 + 2 2 sin x + ⎪ ．
2b ·
y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 = sin 2 x + 2cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin 2 x + ⎪ + 1 ．
y = sin x + ⎪ 的图象； 4 ⎭
⎝ y = 2 sin 2 x + ⎪ 的图象；
y = 2 sin 2 x + ⎪ + 1 的图象． 的图象变换得到 ω 个单位，即 y = sin(ω x ) → y = sin(ωx + ϕ) 是左（右）平移 （1）求 f ( x ) 的解析式；
（2）由 f ( x ) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y = g ( x ) 的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．
解：（1）由
∴ sin x + ⎝
⎣ 2 ⎦
1 4 ⎭ ⎣
2 ⎦ π ⎡ π 3π ⎤ 4 ⎣ 4 4 ⎦
∴当 b < 0 时， a + 2
= a + b = 2 2 -1，与 a ，b ∈ Z 矛盾，舍去；当 b ≥ 0 时，由 a + 2b = 2 2 - 1 ， a ，b ∈ Z ，得 2
⎛ π ⎫ ⎝
4 ⎭
（2）能．先将 f ( x ) 的图象向右平移
π 4
个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数 g ( x ) = 2 2 sin x 的图象．
图象变换问题
三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为 y = A s in(ω x + ϕ) ( A > 0，ω > 0) 的形
式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先 平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“ x ”而言．
例 6 已知函数
而得到？
y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 ， x ∈ R ．该函数的图象可由 y = sin x ， x ∈ R 的图象经过怎样的变换
解：
⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭
y = sin x 依次作如下变换：
将函数
（1）把函数 y = sin x 的图象向左平移 π 4
，得到函数
⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭
（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 ⎛ 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y = sin 2 x + π ⎫ ⎪ 的图象；
（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的
2 倍（横坐标不变），得到函数 ⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭
（4）把得到的函数图象向上平移1 个单位长度，得到函数
⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭
综上得到函数 y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 的图象． 点评：由
y = sin x y = A s in(ω x + ϕ) 的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即
y = sin x → y = sin( x + ϕ) → y = sin(ω x + ϕ) → y = A s in(ω x + ϕ) ．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移
时不是 ϕ 个单位，而是 ϕ ϕ
ω 个单位长度．
