1959年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin(B) x cos(C) x 2sin(D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log22log3≠>-<-aaxxaa20.（本小题满分12分）设复数.sin2cos3θθ⋅+=iz求函数⎪⎭⎫⎝⎛<<-=2argπθθzy的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111DCBAABCD-，点E在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC与底面ABCD所成的角为.,45aAB=Ⅰ.求截面EAC的面积；Ⅱ.求异面直线11BA与AC之间的距离；Ⅲ.求三棱锥EACB-1的体积.22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.kL为了便于检修，请计算1L、2L、3L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()xfy=的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤nnyn时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于① ② ③()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ， 由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ； 当10<<a 时得所求的解是{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形， 所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ， 因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ， 又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线.因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1， 所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ， 所以D B 1⊥AC ， 所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L 由此得(),20003mm L =(),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下 轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）3125250020001600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下 轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ； 所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ； 当10<<b 时，n x n ,∞→也趋向于无穷大. 综上，当1>b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ；当10<<b 时，()x f y =的定义域为[)+∞,0. Ⅲ. 证法一：首先证明当1>b ，11-<<b bx 时，恒有()x x f >成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<<b bx 时,恒有()x x f >. 其次，当1<b ,仿上述证明,可知当1>x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<<b bx 时,恒有()x x f >成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有 ()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ， 即有()x x f >成立.其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段； （ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段； 当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x 由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg ()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅰ卷）1.已知集合，，则( ).{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = A. B. C. D.{1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-2.若，则( ).1i 1zz =+-z =A. B. C. D.1i--1i-+1i-1i+3.已知向量，，若，则( ).(0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- x =A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=A. B. C.D.3m-3m -3m 3m5.，则圆锥的体积为( ).A. B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ).22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩A. B. C. D.(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞7.当时，曲线与的交点个数为( ).[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.3B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2.1X =20.01S =，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z 服从()21.8,0.1N ()2,N X S 正态分布，则）()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈A. B. C. D.(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><10.设函数，则( ).2()(1)(4)f x x x =--A.是的极小值点B.当时，3x =()f x 01x <<()2()f x f x <C.当时， D.当时，12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).(2,0)F (0)x a a =<A.2a =-B.点在C上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，()00,x y 0042y x ≤+12.设双曲线的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F C 于A ，B 两点，若，，则C 的离心率为_________.113F A =||10AB =13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.e xy x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，ABC △sin C B =.222a b c +-=（1）求B ；（2）若的面积为，求c .ABC △3+16.已知和为椭圆上两点.(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.ABP △17.如图，四棱锥中，底面，，，.P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面PBC ；AD PB ⊥//AD（2）若，且二面角，求AD .AD DC ⊥A CP D --18.已知函数.3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若，且，求a 的最小值；0b =()0f x '≥（2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.()2f x >-12x <<19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和1a 2a 42m a +i a 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，()j a i j <1a ，…，是——可分数列.2a 42m a +(,)i j （1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j （2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足—42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j —可分数列的概率为，证明.m P 18m P >答案1.A解析：，选A.{1,0}A B =- 2.C 解析：3.D解析：，，，，，选D.4(2,4)b a x -=-(4)b b a ⊥-(4)0b b a ∴-=4(4)0x x ∴+-=2x ∴=4.A解析：，，cos cos sin sin sin sin 2cos cos mαβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，选A.cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=，选B.1π93V =⋅⋅=6.B解析：在R 上↗，，，选B.()f x 0e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>，，，(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>，，，(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>，，，(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>，，，(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：，，，()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+，A 错.(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，B 对.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，，C 对.2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，D 错，所以选BC.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>10.ACD解析：A 对，因为；()3(1)(3)f x x x '=--B 错，因为当时且，所以；01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <C 对，因为，，2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，时，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，x a =a -2OF =所以有，那么曲线的方程为.242a a -⋅=⇒=-(4x +=B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >最大值一定大于1；D 对，因为.()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12.32解析：由知，即，而，所以，即||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =，代回去解得，所以.6c =4a =32e =13.ln 2解析：14.12解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、18-32-54-76-得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，16-32-54-78-（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，14-32-58-76-18-32-56-74-，，，16-32-58-74-（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；12-38-54-76-14-38-52-76-，，，；，，，；，，，；18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-，，，；，，，38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B =（2）c =解析：（1）已知，根据余弦定理，222a b c +-=222cos 2a b c C ab+-=可得.cos C ==因为，所以.(0,π)C ∈π4C =又因为，即，解得.sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =因为，所以.(0,π)B ∈π3B =（2）由（1）知，，则.π3B=π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=已知的面积为，ABC △31sin 2ABCS ab C =△则，.1πsin 324ab =132ab =+2(3ab =+又由正弦定理，可得.sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b Cc A B==则，，同理.π5πsin sin412c a =5πsin12πsin 4c a=πsin 3πsin 4c b =所以2225ππsin sin 421232(3π1sin42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将、代入椭圆，则(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩.c=12ce a ∴===（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =此时不满足条件.1933922ABP S =⨯⨯=≠△②当L 的斜率存在时，设，令、，3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y ，消y 可得223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）面，平面，PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥又，，平面PABAD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂面，平面，AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥，B ，C ，D 四点共面，A //AD BC∴又平面，平面PBCBC ⊂ PBC AD ⊄平面PBC .//AD ∴（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz-令，则，，，，AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C 设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设，，1x =1y t =10z =)1,0n t =设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =不妨设，则，，2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- 二面角A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===.t ∴=AD ∴=18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立0b =()ln2x f x ax x =+-11()02f x a x x '=++≥-02x ∀<<而，11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--当且仅当时取“=”，1x =故只需，即a 的最小值为-2.202a a +≥⇒≥-（2）方法一：，(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-关于中心对称.()f x ∴(1,)a 方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a 回去关于中心对称.()f x ⇒(1,)a （3）当且仅当，()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-对恒成立3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令，必有（必要性）2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-当时，对，23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对恒成立，符合条件，(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-综上.23b ≥-19.（1），，(1,2)(1,6)(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)其余，，按连续4个为一组即可k a 1542k m ≤≤+（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 易知：1，2，…，是可分的42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤因为可分为，…，与(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---，…，(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++此时共种211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++再证：1，2，…，是可分的42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤易知与是可分的1~4k 42~42r m ++只需考虑，，，…，，，41k +43k +44k +41r -4r 42r +记，只需证：1，3，5，…，，，可分*N p r k =-∈41p -4p 42p +去掉2与1~42p +41p +观察：时，1，3，4，6无法做到；1p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，143p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，184p =，，，满足(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)故，可划分为：2p ∀≥，，，(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++，…，，，共p 组(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++事实上，就是，，且把2换成(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-，，…，不可行(0,1)(1,2)(1,)m m -综上，可行的与至少组(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++故，得证！()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－第（15）题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的．1．sin600︒的值是 A ．21 B ．12- C ．23 D ．32-【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒3sin 602=-︒=-．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】3a =或10a =-<（舍去）．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B += B ．12120A A B B -=C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ，【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即sin cos ,tan 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0tan 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C 【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ．3122i ± B ．3122i -± C ．3122i ±+ D ．3122i ±- 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得3122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么 A ．02S S S '=+ B ．0S S S '= C ．02S S S '=+ D ．S S S '=220【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0,,S SS r r r πππ''===，又02r r r '=+，则02S SS πππ'=+，02S S S '=+．10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种 【答案】B【解析】共有22224212A C C =种不同的分配方法．11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确． 【难度】较难．12．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 A．4±B．2± C．2± D ．34± 【答案】A【解析】不妨设焦点1(3,0)F -，由题设可知点P 的横坐标为3，代人椭圆方程得点P的纵坐标±由中点坐标公式得点M的纵坐标是±13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A． B． C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 A ．251- B ．2252- C ．215- D ．2252+ 【答案】C【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =．15．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项的和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的值为A ．3±B ．32± C ．2± D ． 26±【答案】D【解析】由于1lim 1n x a S q→∞=-，所以11213a a =，解得162a =±．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故2200163OP x y =+=．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r r r r T C x-+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1A C BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题①()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都．填上．） 【答案】①③．注：多填、漏填的错填均给0分． 【解析】()4sin(2)4cos[(2)]4cos(2)3236f x x x x ππππ=+=-+=-，①正确；()y f x =的最小正周期为π，②错误；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）设a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-． 【解】本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．将原不等式化为222222()()2()a b x b a b x a b bx b -+≥-+-+， 移项，整理后得22()()0a b x x --≤，∵a b ≠即2()0a b ->，∴20x x -≤，即(1)0x x -≤． 解此不等式，得解集{}01x|x ≤≤．21．（本小题满分11分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2coscos,cos cos 2sinsin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=． 由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得3cos sin 22B B =，所以3cos 2sin cos 2222B B B =． 因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以3sin 24B =，从而213cos 1sin 224B B =-=， 所以31339sin 248B =⨯=．22．（本小题满分12分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，17,3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． 【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -． 由17,3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ①2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.Ap x =⎧⎨=⎩所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=． 综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ． 设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ． 依题意有3A x ME DA AN ====，2222A y DM AM DA ==-=，由于AMN ∆为锐角三角形，故有224N x ME EN ME AN AE =+=+-=6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,23AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=． （Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱1B B 和侧面11A ACC 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角． 因为1111,AA AC AA AC ⊥=， 所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ． 又D 是AC 的中点，2,23BC AC ==， 所以11,3DE AD A D ===，11tan 3A DA ED DE∠==． 故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）作BF AC ⊥，F 为垂足，由面11A ACC ⊥面ABC ，知BF ⊥面11A ACC ．∵1//B B 面11A ACC ，∴ BF 的长是1B B 和面11A ACC 的距离． 在Rt ABC ∆中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求．24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识． 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>， 得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=， 当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）． 将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>． 因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号． 由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18．所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,100b b b b =++⋅⋅⋅+=．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项1lg(1)n n a b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分． （Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得111,10(101)10100.2b b d =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11,2.b d =⎧⎨=⎩ ∴21n b n =-．（Ⅱ）由21n b n =-，知1111lg(11)lg(1)lg(1)log [(11)(1)(1)]321321n a S n n =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+--，11lg 2n b +=． 因此要比较n S 与11lg 2n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-与12+n 的大 小．取1n =有11+>，取2n =有1(11)(1)3++>由此推测11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+>-． ① 若①式成立，则由对数函数性质可判定：11lg 2n n S b +>． 下面用数学归纳法证明①式．（i ）当1n =时已验证①式成立．（ii ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)321k ++⋅⋅⋅+>- 那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))2)3212(1)121k k k k ++⋅⋅⋅++>+=+-+-+．∵2222484831[(22)]0212121k k k k k k k k +++++-==>+++，∴(22)21k k +>=+因而111(11)(1)(1)(1)32121k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得：11lg 2n n S b +>．。

(A)y2＝8(x+1) (B)y2＝-8(x+1) (C)y2＝8(x-1) (D)y2＝-8(x-1)
(3)函数 y=cos4x-sin4x 的最小正周期是：( )
(A)π/2 (B)π
(C)2π
(D)4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有：( )
(12)
的值等于：( )
(A)0
(B)1 (C)2
(D)3
(13)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是：( )
(A)增函数且最小值为－5
(B)增函数且最大值为－5
(C)减函数且最小值为－5
(D)减函数且最大值为－5
() (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (15)设全集为 R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于
二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题 3 分，满分 15 分．
(16)
4
(17) {x|－2<x<1}
14
(18)
3
10
(19) 1+
5
(A)12 对 (B)24 对 (C)36 对 (D)48 对
(5)函数 y＝sin[2x＋(5π/2)]的图象的一条对称轴方程是：( )
(A)x＝－π/2 (B)x＝－π/4
(C)x＝π/8
(D)x＝5π/4
(6)如果三棱锥 S—ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,
且顶点 S 在底面的射影 O 在△ABC 内,那么 O 是△ABC 的：( )