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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

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新东方在线 www.koolearn.com 新东方在线——新东方教育科技集团旗下网络教育品牌 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 极限2lim()()xxxxaxb ( ) (A)1. (B)e. (C)abe. (D)bae. 【答案】C 【考点】重要极限公式

【详解】本题涉及到的主要知识点：

本题主要涉及求1∞型极限和重要公式1lim1xxex. 在本题中，

222lnlimlnlimlimxxxxxxxaxbxaxbxxxeexaxb











23322

2lim1limxxxxxaxbxabxxxaxbabxaxbxabeee





(2) 设函数(,)zzxy,由方程(,)0yzFxx确定，其中F为可微函数，且20F，则

zzxyxy

 ( )

(A)x. (B)z. (C)x. (D)z. 【答案】B 【考点】隐函数的微分 【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有： 1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。 2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，求的相应的隐函数的全微分。 对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。 在本题中， 新东方在线 www.koolearn.com 新东方在线——新东方教育科技集团旗下网络教育品牌 1222

12

221xz

yzyz

FFFFFzxxxxxFFFx









,

11

2211yz

FFFzxyFFFx







,

1212222

yFzFyFFzzzxyzxyFFF





(3) 设,mn是正整数，则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性 ( ) (A) 仅与m的取值有关. (B) 仅与n的取值有关. ()fx(C) 与,mn的取值都有关. (D) 与,mn的取值都无关.

【答案】D 【考点】反常积分 【详解】本题涉及到的主要知识点：

反常积分敛散性判别法则：设f(x)在（a，b）非负，[,](,)ab，()fx在[,]可积，

又设xa（或xb）是()fx的瑕点，且0lim()()pxaxafxl（或0lim()()pxabxfxl），则当1p且0l时瑕积分()bafxdx收敛。 在本题中， 2221

11

2100

2

ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx,

对于2120ln1mnxdxx，瑕点为0x 设1n ，11210[ln(1)]1lim0,01mnxnxxnx故收敛。 设120[ln(1)]1,1,2,limmxxnmx存在，2120ln1mnxdxx不是反常积分 设12210[ln(1)]1,2,limmmxxnmxx存在，2011m，故2120ln1mnxdxx收敛。 新东方在线 www.koolearn.com 新东方在线——新东方教育科技集团旗下网络教育品牌 对于，2112ln1mnxdxx，瑕点为1x，当m为正整数时，1211[ln(1)]lim(1)0mxnxxx，

其中01，故2112ln1mnxdxx收敛 故选(D)。 (4) 2211limnnnijnninj ( )

(A) 1200111xdxdyxy. (B) 100111xdxdyxy. (C) 1100111dxdyxy. (D) 11200111dxdyxy. 【答案】D 【考点】定积分的概念 【详解】本题涉及到的主要知识点： 利用定积分的定义求某些n项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）。 特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：

1011lim()()nniiffxdxnn



其中多几项或少几项并不影响结果。 在本题中，

222

11112limlim11nnnnnnijijnnninjijnnnn















22

11111lim11nnnijinjnn









11

200

111dxdyxy

(5) 设A为mn型矩阵，B为nm型矩阵，E为m阶单位矩阵，若ABE，则 ( ) (A) 秩rAm,秩rBm. (B) 秩rAm,秩rBn.

(C) 秩rAn,秩rBm. (D) 秩rAn,秩rBn. 【答案】A 【考点】矩阵的秩 【详解】本题涉及到的主要知识点： 新东方在线 www.koolearn.com 新东方在线——新东方教育科技集团旗下网络教育品牌 矩阵的秩的定义，若一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩。记做r（A）。若r（A）=r，则A中有r阶子式不为0，而r+1阶子式必全为0. 矩阵秩的重要公式：

1）()()TrArA

2）()(),0rkArAk 3）()()()rABrArB 4）()min((),())rABrArB 5）若A可逆，则()(),()()rABrBrBArB 6）若0AB，A是mn矩阵，则()()rArBn 7）若,AB则()()rArB 在本题中， 由于ABE，故()()rABrEm.又由于()(),()()rABrArABrB，故

(),()mrAmrB ①

由于A为mn矩阵，B为nm矩阵，故 (),()rAmrBm ②

由①、②可得(),()rAmrBm，故选A. (6) 设A为4阶实对称矩阵，且2AAO，若A的秩为3，则A相似于 ( )

(A) 1110. (B) 1110.

(C) 1110. (D) 1110. 【答案】D 【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）A与对角矩阵相似的充分条件：①A有n个不同的特征值；②A是实对称矩阵 新东方在线 www.koolearn.com 新东方在线——新东方教育科技集团旗下网络教育品牌 （ii）A与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵A的每一个in重特征值i，其线性无关的

特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数in，即秩()iirEAnn. 在本题中， 设为A的特征值，由于20AA，所以20，即(1)0，这样A的特征值

为-1或0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A，()()3rAr，因此，1110，即1110A







.

(7) 设随机变量X的分布函数0,01(),0121,1xxFxxex，则1PX= ( ) (A) 0. (B) 12. (C) 112e. (D) 11e. 【答案】C 【考点】随机变量分布函数的概念及其性质 【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i）设X是一个随机变量，x是任意实数，函数()FxPXx，x 称为X的分布函数. （ii）设()Fx是随机变量X的分布函数，则对任意两个实数ab，有

(0)PXaFa.

在本题中， 1111111110122PXPXPXFFee

(8) 设1()fx为标准正态分布的概率密度，2()fx为1,3上均匀分布的概率密度，若 12

()0(),(0,0)()0afxxfxabbfxx





为概率密度，则,ab应满足 ( ) (A) 234ab. (B)324ab. (C)1ab. (D)2ab. 【答案】A 【考点】常见随机变量的分布；二维连续型随机变量的概率密度

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2010考研数学二真题(有答案解析)

2010考研数学二真题(有答案解析)


r ( A)
r()
3,因此,
1
,即 A
1
1
.
1
0
0
二、填空题
(9)【答案】 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 3 22 2 0 ,因式分解得
2 2 2 22 1 0 ,
解得特征根为 2, i ,所以通解为 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
显然 lim f (x) 1 11 2 ,所以 x 1为连续点.
x1
2
2
而 lim f (x) lim x(x 1)
x1
x1 (x 1)(x 1)
1
1 x2
,所以 x 1 为无穷间断点,故答案选择
B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因 y1 y2 是 y P x y 0 的解,故 y1 y2 P x y1 y2 0,所以
3
明：存在 (0, 1) , (1 ,1) ,使得 f ( ) f ()= 2 2.
2
2
(22)(本题满分 11 分)
11 a
设
A
0
1
，b
1
,已知线性方程组
Ax
b
存在两个不同的解．
1
( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
(23)(本题满分 11 分)
(4)【答案】 (D).
【解析】 x 0 与 x 1都是瑕点.应分成
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
0
nx
dx 2 0
nx
dx 1 2
【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析

【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。

【合集打印】2010-2019年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学一)真题【 40页 】

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真题汇总一2010-20192019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）(I )当X ----+ 0时，若x -ta n x 与x k是同阶无穷小，则k =((A )l .(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x )= {XIXI 'X 冬O ＇则X = 0是f (x)的（）x l n x, x > 0,(A )可导点，极值点(B )不可导点，极值点(C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）C B)Ic-1尸—1 ""'u ; (C )�(i-2:;)·(D )�(u !., 一式）．(4)设函数Q(x ,y )=今．如果对上半平面(y > O )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y )d x + Q (x,y )d y = 0, 那么函数P(X ,y )可取为（）(A )y -子 1 x 2(B)—-—1 1 (C)—-—.1(D)x-—. yy(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A 2+ A = 2E , 且IA I =4, 则二次型x T A x 的规范形为（）00u(A )I 二n=ln(A ) Y i + y ; + y ; ·(B) Y i + y ; -y ; ·(C) Y i -y ; -Yi·(D)-Yi -y ; -y ; ·(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i l x + a i2y + a i3z = d;(i = l , 2 , 3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则（(A )r (A) =2, r (A ) = 3.(B)r (A) =2, r (A ) = 2.(C)r(A) = 1,r (A ) = 2.(D)r(A) = 1,r (A ) = 1.(7)设A,B为随机事件，则P(A)= P (B )的充分必要条件是（）(A ) P (A U B ) = P (A ) + P (B ) .(B ) P (AB ) = P (A) P (B) .(C) p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B ).(8)设随机变豐X 与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿），则P l I X -Y I < 1 f ()(A)与µ无关，而与矿有关.(B)与µ有关，而与矿无关(C)与µ,矿都有关(D)µ,矿都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x ) + x y, 则一—-. -+ . 一1加1加COS X彻co s y 切(10)微分方程2yy'-r 2-2 = 0满足条件y(O )= 1的特解y =(11)幕级数2(-1)"几=O(2n ) ! x"在(0,+oo)内的和函数S(x)=(12)设凶设为曲面x 2+ y 2+ 4z 2 = 4(z�0)的上侧，则ff J 4 -x 2-4z 2d x d y =(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1'a 2线性无关，且a 3= -a 1 + 2a 2 , 则线性方程组Ax =0的通解为(14)设随机变掀X的概率密度为八x)= (f'O <x < 2'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的0, 其他，数学期望，则Pj F(X) > E(X) -1 l—,•三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O )= 0的特解(I )求y(x);(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．(16)(本题满分10分）设a ,b为实数，函数z = 2 + a x 2 + by 2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l = -3i -4j 的方向导数最大，最大值为10.(I )求a,b ;(II)求曲面z = 2 + ax 2+ by 2 (z ;;,: 0)的面积．(17)(本题满分10分）求曲线y = e 一允sin x (x�0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分）1设a ,.=Lx "Jl了五x (n = 0, 1 , 2,…）． (I)证明数列｛叮单调递减，且a ,.=—一－n -1 n + 2a 几一2(n = 2, 3,-·· );(II ) .a求hm n .n----+oo a几一1(19)(本题满分10分）设0是由锥面忒+(y-z)2 = (l -z)2(0�z�1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心坐标(20)(本题满分11分）设向量组a (1 2 1 ＝ ）平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a , 3尸为R 3的一个基，/J =(l,1,l)T 在这个基下的坐标为(b,c, 1)飞(I )求a,b,c;(II )证明生立3/J 为R 3的一个基，并求生立3/J 到叮生立3的过渡矩阵．(21)(本题满分11分）已知矩阵A=厂。

2010考研试题及评分标准

2010考研试题及评分标准

1
（6）设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 + A = O 。若 A 的秩为 3，则 A 相似于
1 1 (B) −1 0 −1 −1 (D) −1 0 x < 0, 0, 1 （7）设随机变量 X 的分布函数 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 则 P{ X = 1} = 2 −x x ≥1 1 − e , 1 −1 −1 −e (D) 1 − e 2 （ 8） 设 f1 ( x ) 为标准正态分布的概率密度， f 2 ( x) 为 [ −1,3] 上均匀分布的概率密度，若
2
x2
1
……3 分
x f ′( x ) f ( x)
(−∞, −1)
−
↘
−1
0 极小
(−1, 0) +
↗
0 0 极大
(0,1)
−
↘
1 0 极小
(1, +∞)
+
↗
……6 分 因此， f ( x ) 的单调增加区间为 ( −1, 0) 及 (1, +∞ ) ，单调减少区间为 ( −∞, −1) 及 (0,1) ；
2 取 D = {( x, y ) | x + 2
（16）解： f ( x ) 的定义域为 ( −∞, +∞ ) ，由于 f ( x ) = x 2
x2
2 4 4
……8 分 ……10 分
∫
1
x2
1
e −t dt − ∫ te − t dt ，
2 2
x2
1
所以 f ( x ) 的驻点为 x = 0, ±1 列表讨论如下：
f ′( x) = 2 x ∫ e −t dt + 2 x 3e − x − 2 x3e − x = 2 x ∫ e −t dt ，