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人教版 九年级数学讲义 二次函数的应用(含解析)

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第7讲二次函数的应用知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数在实际问题以及几何图形中的应用，重点掌握常见的几类二次函数题型的分析过程和处理方法。

本节课的部分内容属于中考常考知识点，同时也是中考难点之一，需要同学们灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题。

知识梳理讲解用时：20分钟二次函数的应用题型（1）利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后再通过配方的方式确定其最大值；实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值以及动态几何中的最值的讨论；求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围；而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多。

课堂精讲精练【例题1】如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 （不写定义域）。

【答案】S=﹣2x 2+10x【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，设平行于墙的一边为（10﹣2x ）米，则垂直于墙的一边为x 米，根据题意得：S=x （10﹣2x ）=﹣2x 2+10x 。

讲解用时：2分钟解题思路：根据题意分别表示出每条边的长度，然后根据矩形面积公式列出S 与x 的二次函数解析式即可。

教学建议：根据题意列出S 与x 的二次函数解析式即可。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：浦东新区一模 年份：2018【练习1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的直角坐标系．则该抛物线的函数表达式为 。

【答案】y=121-x 2+8 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，由题意可得，点C 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣6，5），设此抛物线的解析式为y=ax 2+8，5=a×（﹣6）2+8，解得a=121-， ∴此抛物线的解析式为y=121-x 2+8. 讲解用时：3分钟解题思路：根据题意可以得到抛物线的顶点C 的坐标和所经过的点B 的坐标，然后设出顶点式，即可求得该抛物线的解析式。

教学建议：利用二次函数的顶点式解答。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：城阳区一模 年份：2018【例题2】烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=﹣25t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）。

A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，∴h=﹣25t 2+20t+1，∴h=﹣25（t ﹣4）2+41， ∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸，故选：B ．讲解用时：3分钟解题思路：将一般式化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：古冶区一模 年份：2017【练习2】烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）间的关系是h=﹣2t 2+20t+1，若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为 s 。

【答案】5【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，∴h=﹣2t 2+20t+1=﹣2（t ﹣5）2+51，∴当t=5时，礼炮升到最高点。

讲解用时：3分钟解题思路：将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：梁子湖区期末年份：2017秋【例题3】如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m 时，水面的宽为m。

【答案】67【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，∴点（6，﹣4）在函数图象上，∴﹣4=a×62，得a=，∴y=，当y=﹣7时，﹣7=，得，，∴当水面下降3m时，水面的宽为：m。

讲解用时：3分钟解题思路：根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽。

教学建议：建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：秦淮区期末年份：2017秋【练习3】如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，则拱门的最大高度（）。

A．100米B．150米C．200米D．300米【答案】C【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系），此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∴抛物线经过点B（50，150），可得150=a（50﹣100）（50+100），解得a=﹣，∴y=﹣（x﹣100）（x+100），即抛物线的解析式为y=﹣x2+200，顶点坐标是（0，200），∴拱门的最大高度为200米，故选：C．讲解用时：8分钟解题思路：因为拱门是抛物线形，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y 轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题。

教学建议：建立适当的坐标系，由待定系数法求出函数解析式，即可得出结果。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：古冶区期末年份：2016秋【例题4】已知如图，用长为18m的篱笆（3AB+BC），围成矩形花圃，一面利用墙（墙足够长），则围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为m2。

【答案】27【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，设AB=x，则BC=18﹣3x，则围成的矩形花圃ABCD的面积为：S=x（18﹣3x）=﹣3x2+18x=﹣3（x2﹣6x）=﹣3（x﹣3）2+27，即围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为27m2．讲解用时：5分钟解题思路：首先表示出矩形的长与宽，进而利用二次函数最值求法得出答案。

教学建议：表示出矩形的长与宽，利用矩形面积公式求出函数解析式。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：建昌县二模年份：2017【练习4】如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）与它一边长a（m）的函数关系式是，面积S的最大值是。

【答案】S=﹣a2+10a，25【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，当矩形的一边长为am时，另一边的长度为（10﹣a）m，则矩形的面积S=a（10﹣a）=﹣a2+10a=﹣（a﹣5）2+25，∴当a=5时，矩形的面积取得最大值，最大值为25m2。

讲解用时：3分钟解题思路：由一边长为am知另一边的长度为（10﹣a）m，再根据矩形的面积公式得出函数解析式，将其配方成顶点式可得面积最大值。

教学建议：二次函数的最值问题归根结底考查配方法。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：顺义区期末年份：2017秋【例题5】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x ﹣k）2+h，已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）。

A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定【答案】C【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，（1）∴球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，∴抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2=a （0﹣6）2+2.6，解得：a=﹣601， 故y 与x 的关系式为：y=﹣601（x ﹣6）2+2.6， 当x=9时，y=﹣601（x ﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 当y=0时，﹣601（x ﹣6）2+2.6=0，解得：x 1=6+2＞18，x 2=6﹣2（舍去） 故会出界，故选：C ．讲解用时：8分钟解题思路：利用球与O 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，可得k=6，h=2.6，由于球从O 点正上方2m 的A 处发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=﹣601（x ﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，﹣601（x ﹣6）2+2.6=0，分别得出即可。

教学建议：注意从已知题意中建立二次函数模型，提炼出相关的坐标信息，从而求解相关问题。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：沂水县一模 年份：2018 【练习5】如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高 2.2m ，与篮圈中心的水平距离为8m ，当球出手后水平距离为4m 时达到最大高度4m ，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m ，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）。

A ．比开始高0.8mB ．比开始高0.4mC ．比开始低0.8mD ．比开始低0.4m【答案】A【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，由题意可得，运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样， ∴运动员出手的位置距地面的高度为3m ，∴3﹣2.2=0.8，∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题教学建议：利用二次函数图象的对称性解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：江北区模拟年份：2017 【例题6】“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条。

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部编数学九年级上册专题11二次函数的实际应用—喷水问题(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题11二次函数的实际应用—喷水问题(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m16【答案】A【完整解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-34．∴y=-34（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-34（0-1）2+3=-34+3=94，∴水管应长94 m．故答案为：A【分析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，可设顶点式为y=a（x-1）2+3，将（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0时的y值即可.2．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（ ）A．﹣118B．118C．﹣116D．116【答案】C【完整解答】解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，解得：a＝﹣116，故答案为：C.【分析】如图以GH 所在直线为x 轴，GH 的垂直平分线所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B 为抛物线顶点，共线的三点B 、D 、H 所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B 及Q 的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.3．（2分）（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB ：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ） A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势【答案】C【完整解答】解：A.∵山坡AB ：OB=1：2，∴斜坡可以用正比例函数y=12 x 刻画，不符合题意；B.当y=1.875时，即− 12x 2+4x=1.875，解得：x 1=0.5，x 2=7.5，∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；C.解方程组 212142y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得， 1100x y =⎧⎨=⎩ ， 22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m ，符合题意；D.∵y=− 12 x 2+4x=- 12（x-4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；故答案为：C ．【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。

人教版九年级数学下册第7课时 二次函数的应用课件

人教版九年级数学下册第7课时 二次函数的应用课件


典例解析
例3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足 关系式y=a(x-6)2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球 场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
命题点2 利用二次函数解决抛掷物体的轨迹问题
典例解析
例3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的 A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满 足关系式y=a(x-6)2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m， 球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
命题点1 利用二次函数解建筑物中的抛物线形问题
典例解析
例１.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为 18m．一位同学站在门内离门脚B点1m远的D处，垂直地面立 起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根 据这些条件，请你求出该大门的高h．
典例解析
例１.如图，已知一抛物线
解法一：
例2. 如图，一座拱桥的轮廓 是抛物线形，拱高6m,跨度20m，相邻 两支柱间的距离均为5m． （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中 的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略 不计）？请说明你的理由．
解： （3）设DN是隔离带的宽，NG是三 辆车的宽度和，则点G的坐标是（7， 0）． 过点G作GH垂直AB交抛物线于H，
人教版九年级上册数学课件：二次函数的应用

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a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教初中数学九上22二次函数二次函数的应用最值问题市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

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最
值
？问题的定义域都受现 实条件的制约，做完
练习后及时让学生总
1。定义域为一切实数，顶点处取最值。
结出了取最值的点的 位置往往在顶点和两
2。有取值范畴的在端点和顶点处取最值。
个端点之间选择，为
学习新课做好知识铺
垫。
（二）解说新课
新课分为在： 1.创设情境中发现问题 2.在解决问题中找出办法 3.在巩固与应用中提高技能
三、教学办法与手段的选择
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决 问题的办法，故而本节课以“启发探究式”为根 本开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究 为主，必要时加以小组合作讨论，充足调动学生 学习主动性和主动性，突出学生的主体地位，达 成“不仅使学生学会，并且使学生会学”的目的。 为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适宜 地辅以电脑多媒体技术。
㈠地位与作用
而最值问题又是生活中运用二次函数知识解 决最常见、最有实际应用价值的问题之一， 它生活背景丰富，学生比较感爱好，面积问 题学生易于理解和接受，故而在这儿作专项 讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目 的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题， 学会用建模的思想去解决其它和函数有关应 用问题，此部分内容既是学习一次函数及其 应用后的巩固与延伸，又为高中乃至后来学 习更多函数打下坚实的理论和思想办法基础。
结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我拟 定本节课的教学目的以下：
1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质， 理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质 求解最值问题。
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二、教学目的、重点、难点的拟定
2. 过程与办法：通过观察图象，理解顶点的 特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次 函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析 解决问题的能力，并体会普通与特殊的关系， 培养数形结合思想，函数思想。