浅谈初中数学教学中的变式教学

浅谈初中数学教学中的变式教学 内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。在新课程背景及最新的“135”教学模式

下充分运用变式教学，可拓展学生的思维．促使学生自觉将数学学习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。

关键词：“135”数学；变式教学；变式原则；有效教学 《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。

所谓“135”课堂教学模式，是指课堂教学要贯穿一条主线，达成三项要求，抓好五步教学。在围绕“突现主体，体现探究”这一主线下，实施变式教学更加体现其重要性。

因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。 一、数学变式教学的本质含义 数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。

初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。

二、变式教学中遵循的几个原则 2.1一题多解，触类旁通 通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

【案例1】 如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？ （只剩一个底角和一条底边）

学生给出的三种“补出”方法： 1 量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A； ② 作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A； ③“对折”。 看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。 这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

学生总结出该题的三种常规的办法：

①作∠A的平分线，利用“角角边” ②过A作BC边的垂线，利用“角角边” ③作BC边上的中线，“边边角”不能证明 两种创造性的证法： ④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾 ⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角” 2.2 一题多变，横向联想 通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。

【案例2】 如左图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm。

要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？

变式1 将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少

时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？ 变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 ，面积为1.5 ，工 人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计 加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你 认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计 算结果可保留分数）

图（1） 图（2） 变式3 已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如图所 示，把边长分别为 , , ,… 的n个正方形依次放入△ABC中， 则第1个正方形的边长 = ；第n个正方形的边长 = (用含n的式子表示，n≥1)。

变式4 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3. （1）如图（1），四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。 （2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于

Rt△ABC，求正方形的边长。 （3）如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接

于Rt△ABC，求正方形的边长。

图（1） 图（2） 图（3） 2.3 一题多导，创设情境 对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。

【案例3】 在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。 （1）如图①，若半径为 的⊙ 是Rt△ABC的内切圆，求

。 （2）如图②，若半径为 的两个等圆⊙ 、⊙ 外切，且⊙ 与AC、 AB相切，⊙ 与BC、AB相切，求 。 （3）如图③，当n大于2的正整数时，若半径 的n个等圆⊙ 、⊙ 、…、 ⊙ 依次外切，且⊙ 与AC、BC相切，⊙ 与BC、AB相切，⊙ 、⊙ 、 ⊙ 、…、⊙ 均与AB边相切，求 .

图① 图② 图③ 通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。

变式 有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和 100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的 面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆 铁皮的半径是多少？

2.4 多题一解，异中求同 由问题的条件或结论的外形结构，联想到与其形式类似的有关题型，从而获得转化桥梁，打开解题思路。

【案例4】 如图1，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，

要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长 的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。求这个矩形零 件的长与宽。

图1 图2 变式1 如图2，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要 把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一 边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。（1）求这个矩形的周 长；（2）求这个矩形的面积；（3）求△APQ的面积。 变式2 如图3，一块铁皮呈三角形，∠BAC= 90°，要把它加工成矩形零件，

使矩形一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PS、 BS、CR之间有何关系？为什么？

图3 图4 变式3 如图4，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要 把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、 AC上。求这个矩形面积的最大值。 三、变式教学要把握好三个“度 ” 3.1 变式的数量要“适度” 变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。因此，数学变式要正确把握变式的度，适度进行，适可而止。

3.2 变式的内容与难度要有“梯度” 变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。

【案例5】 如左图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰

长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度。

变式1 如右图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究 第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？ 变式2 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个 等腰直角三角形的直角边长为多少？ 变式3 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n个等腰

直角三角形的面积为多少？ 3.3 变式教学要提高学生的“参与度” 设计问题变式要注重一个“变”，不能简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，让每一个学生都能够参与到数学思考中来。

【案例6】 如图1，在直线

与x轴、y轴所围成的△AOB中，依次 放入腰长分别为 , , ,… 的n个等腰直角三角形，则

= ， = 。 （或：求 , , ,… 的横坐标。）

图1 图2 变式1 如图2，在直线

与x轴、y轴所围成的△AOB中，依次放入 边长分别为 , , ,… 的n个等边三角形，试猜想第n个等边 三角形的边长。 变式2 二次函数

的图象如图所示，点 位于坐标原点，点