平行线经典四大模型典型例题及练习

平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。

重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。

猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。

平行线中的四大基本模型重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023春·山东济宁·七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线AB 与直线CD 内部有一个点P ，连接BP ．(1)如图1，当点E 在直线CD 上，连接PE ，若B PEC P ∠+∠=∠，求证：AB CD ；(2)如图2，当点E 在直线AB 与直线CD 的内部，点H 在直线CD 上，连接EH ，若ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，求证：AB CD ；(3)如图3，在（2）的条件下，BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，BG 和EF 相交于点G ，EF 和直线AB 相交于点F ，当BP PE ⊥时，若10BFG EHD ∠=∠+︒，36BGE ∠=︒，求EHD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)18︒.【分析】（1）过点P 作PF AB ∥，推出PEC EPF ∠=∠，进而得PF CD ∥，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，推出PEM FPE ∠=∠，进而得PF EM ∥，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E 作EN AB ∥，同（1）（2）理证明FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，结合角平分线得2290βγα+=︒+，用含α的式子代替β，γ，代入2290βγα+=︒+即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点P 作PF AB ∥，∴B BPF Ð=Ð，∵B PEC BPE BPF EPF ∠+∠=∠=∠+∠，∴PEC EPF ∠=∠，∴PF CD ∥，∴AB CD ∥；（2）证明：如图，分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，∴ABP BPF ∠=∠，MEH EHD ∠=∠，∵ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠， 即ABP PEM MEH BPF FPE EHD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴PEM FPE ∠=∠，∴PF EM ∥，∴EM AB ∥，∴AB CD ∥；（3）如图，过点E 作EN AB ∥，由 (2) 得AB CD ∥，∴EN CD ∥，BFE FEN ∠=∠，NEH EHD ∠=∠，∴FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，∵ BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，∴2ABP β∠=，2PEH γ∠=∵BP PE ⊥，∴90P ∠=︒，由 (2) 得ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，∴2290βγα+=︒+，∵FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，∴10210γααα=+︒+=+︒，∵36BGE ∠=︒，()180FGB BFG FBG ∠=︒−∠+∠，180FGB BGE ∠=︒−∠，∴36BFG FBG BGE ∠+∠=∠=︒，∴1036αβ+︒+=︒，∴26βα=︒−∴()()226221090ααα︒−++︒=︒+，∴18α=︒，即EHD ∠的度数为18︒.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键． 2．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥， A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)PAC PBD APB ∠+∠=∠(2)当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1PE l ∥，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12PE l l ∥∥，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1PE l ∥，如图1所示．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠−∠，PBD PAC APB ∴∠−∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠−∠，PAC PBD APB ∴∠−∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．3．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1， AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ． ②如图3，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．【答案】(1)见解析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G 作GH AB ∥，∥AB CD ，AB GH CD ∴∥∥，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，//AB CD ,180BEF DFE ∴∠+∠=︒， EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠，111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒， EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠，1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠， PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 4．（2020下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E 作EF AB ∥∵1A ∠=∠∵AB CD ∥，EF AB ∥∴EF CD ∥∴2C ∠=∠∴12AEC ∠=∠+∠∴AEC A C ∠=∠+∠请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB CD ∥，60E ∠=o ，求B C F ∠+∠+∠；(2)如图，AB CD ∥， BE 平分ABG ∠， CF 平分DCG ∠，27G H ∠=∠+，求H ∠．【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，根据平行线的性质得EM AB FN CD ∥∥∥，所以1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=，然后利用等量代换计算240B F C ∠+∠+∠=；（2）分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABG ∠和DCG ∠分别表示出H ∠和G ∠，从而可找到H ∠和G ∠的关系，结合条件可求得51H ∠=．【详解】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，且AB CD ∥∴EM AB FN CD ∥∥∥∴1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=∴1344180B CFE C C BEF C BEF ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+，∵60BEF ∠=，∴60180240B CFE C ∠+∠+∠=+=；（2）如图，分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，∵BE 平分ABG ∠，CF 平分DCG ∠，∴12ABE ABG ∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∵AB CD ∥∴AB CD RS MN ∥∥∥ ∴12RHB ABE ABG ∠=∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∴180NGB ABG MGC DCG ∠+∠=∠+∠=， ∴()11801802BHC RHB SHC ABG DCG ∠=−∠−∠=−∠+∠， ()()180180180180180BGC NGB MGC ABG DCG ABG DCG ∠=−∠−∠=−−∠−−∠=∠+∠−∴36021801802BGC BHC BHC ∠=−∠−=−∠，∵27BGC BHC ∠=∠+，∴180227BHC BHC −∠=∠+，∴51BHC ∠=．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB ∥CD ，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB ∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，AB DE ∥，则下列说法中一定正确的是( )A ．123∠=∠+∠B ．123180∠+∠−∠=︒C ．123270∠+∠+∠=︒D ．12390∠−∠+∠=︒【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点C 作CM AB ∥，则根据平行线的传递性，得CM DE ∥．先利用AB CM ∥，可得1180BCM ∠+∠=︒，即1801BCM ∠=︒−∠，再利用CM DE ∥，可得3DCM ∠=∠，而23BCM ∠−∠=∠，整理可得：123180∠+∠−∠=︒．【详解】解：过点C 作CM AB ∥，AB DE ，CM DE ∴∥，1180BCM ∴∠+∠=︒，3MCD ∠=∠，又BCM BCD MCD ∠=∠−∠，180123∴︒−∠=∠−∠，123180∴∠+∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．【变式训练】 【变式1】（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB CD ，∥CG EF ，150BAG ∠=︒，80AGC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】C 【分析】过点F 作FM CD ∥，则AB CD FM ∥∥，再根据平行线的性质可以求出MFA ∠、EFA Ð，进而可求出EFM ∠，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠．【详解】解：如图，过点F 作FM CD ∥，∥AB CD ，AB CD FM ∴∥∥，180DEF EFM ∴∠+∠=︒，180MFA BAG ∠+∠=︒，180********MFA BAG ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．CG EF ∥，80EFA AGC ∴∠=∠=︒．803050EFM EFA MFA ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．180********DEF EFM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是 ．【答案】108︒/108度【分析】过点F 作FH AB ∥，可得AB FH CD ∥∥，根据平行线的性质结合已知求出23HFN EFN ∠=∠，可得21803EFN EFN ∠+∠=︒，即可求出EFN ∠的度数．【详解】解：如图，过点F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FH CD ∥∥，∴EMB EFH ∠=∠，180HFN FND ∠+∠=︒，∵3EFN FND EMB ∠=∠=∠，∴13EFH EFN ∠=∠，∴23HFN EFN ∠=∠， ∴21803EFN EFN ∠+∠=︒，∴108EFN ∠=︒，故答案为：108︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式3】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题 (1)如下图，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数；(2)如下图，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．①当点P 在A ，B 两点之间运动时，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为__________②当点P 在A ，B 两点外侧运动时(点P 与点A ，B ，O 三点不重合)，请写出CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110APC ∠=︒；(2)①CPD αβ∠=∠+∠；②CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P 作PE AB ∥，构造同旁内角，利用平行线性质，可得110APC ∠=︒；（2）①过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P 在BA 的延长线上，点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】（1）解：过P 作PE AB ∥，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∵130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．∴18050APE PAB ∠=︒−∠=︒，18060CPE PCD ∠=︒−∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒；（2）解：①CPD αβ∠=∠+∠：如图3，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；故答案为：CPD αβ∠=∠+∠；②当P 在AB 延长线时，CPD βα∠=∠−∠；理由：如图4，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠−∠=∠−∠；当P 在BO 之间时，CPD αβ∠=∠−∠．理由：如图5，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠−∠=∠−∠．CPD αβ∴∠=∠−∠综上所述，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠−∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠−∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC ﹣∠1＝180°，即得∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF ，∠γ+∠COF ＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1、（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）ABCD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知ABCD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠−∠，图（4）BPD B D ∠=∠−∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由ABCD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒； （2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由ABCD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系． 【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PEAB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠−∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1B ∠=∠，∵1D P ∠=∠+∠，∴B D P ∠=∠+∠，即BPD B D ∠=∠−∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 2．（2020下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A 、C 、B 不在同一条直线，AD BE ∥(1)求证：180B C A ∠+∠−∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、交于点P ，QP PB ⊥，直接写出=DAC ACB CBE ∠∠∠：： ．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ∠+∠︒，理由见解析(3)122：：【分析】（1）过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥，根据平行线的性质可得出ACF A ∠=∠、180BCF B ∠=︒−∠，据此可得；（2）过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出1()2AQB CBE CAD ∠=∠−∠，结合（1）的结论可得出2180AQB C ∠+∠=︒；（3）由（2）的结论可得出12CAD CBE ∠=∠①，由QP PB ⊥可得出180CAD CBE ∠+∠=︒②，联立①②可求出CAD CBE ∠∠、的度数，再结合（ 1）的结论可得出ACB ∠的度数，将其代入DAC ACB CBE ∠∠∠：：中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥．∵CF AD BE ∥∥，∴180ACF A BCF B ∠=∠∠+∠=︒，，∴180180ACB B A ACF BCF B A A A ∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+︒−∠=︒．（2）在图2中，过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥．∵QM AD QM BE ∥，∥，∴AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠，．∵AQ 平分CAD ∠，BQ 平分CBE ∠， ∴11,22NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠， ∴1()2AQB BQM AQM CBE CAD ∠=∠−∠=∠−∠． ∵180()1802C CBE CAD AQB ︒︒∠=−∠−∠=−∠，∴2180AQB C ∠+∠=︒．（3）∵AC QB ∥， ∴11,22AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒−∠=︒−∠．∵2180AQB ACB ∠+∠=︒， ∴1.2CAD CBE ∠=∠．又∵QP PB ⊥，∴90CAP ACP ∠+∠=︒，即180CAD CBE ∠+∠=︒，∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒−∠−∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：， 故答案为：122：：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 3．（2021上·八年级课时练习）（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C 在AB 与ED 之外时，ABC CDE BCD ∠−∠=∠，见解析【分析】（1）由题意首先过点C 作CF ∥AB ，由直线AB ∥ED ，可得AB ∥CF ∥DE ，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD ，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC -∠CDE=∠BCD ．【详解】解：（1）证明：过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥ED ，∴AB ∥ED ∥CF ，∴∠BCF=∠ABC ，∠DCF=∠EDC ，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）结论：∠ABC -∠CDE=∠BCD ，证明：如图：∵AB ∥ED ，∴∠ABC=∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC -∠CDE=∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．4．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF ，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C=∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E ＝37°，∠C ＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB ∥CD ，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知//AB DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD =_____．【答案】40︒【分析】延长ED 交BC 于M ，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC ，再求解CMD ∠，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长ED 交BC 于M ，∵//AB DE ，∴∠BMD=∠ABC=80°，∴180100CMD BMD ∠=︒−∠=︒；又∵∠CDE=∠CMD+∠C ，∴14010040BCD CDE CMD ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若//AB CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA 交CD 于点F ，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据//AB CD 可得∠1=∠EFD ，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA 交CD 于点F ，如图所示：//AB CD ，∴∠1=∠EFD ，∠2+∠EFC=∠3，∴32EFC ∠=∠−∠，+180EFC EFD ∠∠=︒，∴132180∠+∠−∠=︒；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB //CD ，CF 平分∠DCE ，若∠DCF =30°，∠E =20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．【拓展培优】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF∥．在证明该结论∥，B E∠=∠，求证：BC DE时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ∠，CDE ∠的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ∠=∠，∵B DEF ∠=∠，∴G DEF =∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ∠=∠，∵ABC FED ∠=∠，∴CBE DEB ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ∠，DH 平分CDE ∠，没有条件说明BCD ∠与CDE ∠相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ∠=∠，MDE E ∠=∠，∵B E ∠=∠，∴BMD MDE ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a b ∥，若AB 与BC 的夹角为100︒，150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】D 【分析】过点B 作BD a ∥，则BD b ∥，利用平行线的性质，进行求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BD a ∥，∵a b ，∴BD b ∥，∴150ABD ∠=∠=︒，2180CBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴1005050CBD ∠=︒−︒=︒，∴218050130︒︒=∠=−︒．故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．3．（2021下·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，直线AB CD EF ∥∥，且40B ∠=︒，125C ∠=︒，则(CGB ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得出40BGF B ∠=∠=︒，180C CGF ∠+∠=︒，求出55CGF ∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，40B ∠=︒，125C ∠=︒，40BGF B ∴∠=∠=︒，18055CGF C ∠=︒−∠=︒，15CGB CGF BGF ∴∠=∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力． 4．（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图，ABC 为等边三角形，AP CQ ∥．若20BAP ∠=︒，则1∠=（）A ．80︒B ．40︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】过点B 作BE CQ ，可得AP CQ BE ，用平行线性质求解即可．【详解】解：过点B 作BE CQ ，如图，∵AP CQ ∥，∴AP CQ BE ，∴20BAP ABE ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴40CBE ABC ABE ∠∠=−∠=︒，∵BE CQ ，∴140CBE ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，AE 平分BAN ∠，AE 的反向延长线交CDN ∠的平分线于点M ，则M ∠与N ∠的数量关系是（ ）A ．2M N ∠=∠B ．3M N ∠=∠C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，再利用平行线的判定与性质得到12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒，经过角度之间的运算得到180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，()11802DMA AND ∠=︒−∠，即2180DMA AND ∠+∠=︒可求解．【详解】解：∵AE 平分BAN ∠，DM 平分CDN ∠，∴12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，则12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，∵AB CD ∥，∴MF CD ∥，NH CD ∥，∴12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒， ∴180AND ANH HND BAN CDN ∠=∠+∠=∠+︒−∠，即180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，又∵DMA FMD FME ∠=∠−∠()12CDN BAN =∠−∠()11802AND =︒−∠，∴2180DMA AND ∠+∠=︒，即2180M N ∠+∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 6．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，AD BC ∥，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．请写出C ∠、D ∠、P ∠的数量关系 ．【答案】2P C D ∠=∠+∠【分析】作PG AD ∥，则PG AD BC ∥∥，根据平行线的性质可得APB DAP CBP ∠=∠+∠，结合角平分线定义可得1122APB DAC CBD ∠=∠+，再根据AD BC ∥推出DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，即可得出2P C D ∠=∠+∠．【详解】解：如图，作PG AD ∥，AD BC ∥，∴PG AD BC ∥∥，PG AD ∥，∴DAP APG ∠=∠，PG BC ∥，∴CBP BPG ∠=∠，∴APB APG BPG DAP CBP ∠=∠+∠=∠+∠，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．∴12DAP DAC ∠=∠，12CBP CBD ∠=∠， ∴1122APB DAC CBD ∠=∠+，∴2APB DAC CBD ∠=∠+∠，AD BC ∥，∴DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，∴2APB C D ∠=∠+∠，即2P C D ∠=∠+∠．故答案为：2P C D ∠=∠+∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 7．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO OE ⊥点O ，支架AB ，BC 为固定支撑杆，BAO ∠是CBA ∠的两倍，灯体CD 可绕点C 旋转调节，现把灯体CD 从水平位置旋转到CD '位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体CD '所在的直线恰好垂直支架AB ，且120BCD DCD '∠−∠=︒，则DCD '∠= ．【答案】40︒/40度【分析】延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，可得90AGC AFC ∠=∠=︒，可得DCD GAF '∠=∠，在四边形ABCF 中，利用四边形内角和为360︒列出等式计算即可．【详解】解：延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，如图．CD OE ∥，AO OE ⊥，OA CD ∴⊥，AO OE ⊥Q ，D C AB '⊥，90AGC AFC ∴∠=∠=︒，180GCF GAF ∴∠+∠=︒，180DCD GCF '∠+∠=︒Q ，DCD GAF '∴∠=∠，180180BAO GAF DCD '∴∠=︒−∠=︒−∠，∵BAO ∠是CBA ∠的两倍，()11802CBA DCD '∴∠=︒−∠∵120BCD DCD '∠−∠=︒，120BCD DCD '∴∠=∠+︒，在四边形ABCF 中，360GAF CBA BCD AFC ∠+∠+∠+∠=︒，()1180120903602DCD DCD DCD '∴∠'+︒−∠+∠'+︒+︒=︒，解得40DCD '∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，一元一次方程的应用，利用图形性质建立方程求解是解题关键．8．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线AB CD ∥，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，延长FP 交AB 于点G ，过点G 作GQ FG ⊥交直线EF 于点Q ，连接PQ ，点M 是QG 延长线上的一点，且PQM QPM ∠=∠，若PN 平分FPM ∠交CD 于点N ，则NPQ ∠的度数为 ．【答案】135︒/135度【分析】根据平行线的性质求出180AEF CFE ∠+∠=︒，根据角平分线定义求出90PEF PFE ∠+∠=︒，求出90EPF ∠=︒，求出GQ EP ∥，根据平行线的性质求出PQM QPE ∠=∠，再求出答案即可．【详解】设PQM QPM x ∠=∠=︒，∵PN 平分MPF ∠，∴MPN FPN ∠=∠，设MPN FPN y ∠=∠=︒，∵AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，∴12PEF AEF ∠=∠，12EFP CFE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180AEF CFE ∠+∠=︒，∴1180902PEF PFE ∠+∠=⨯︒=︒，∴()1801809090EPF PEF PFE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，∵GQ PF ⊥，∴90QGP =︒∠，∴QGP EPF ∠=∠，∴GQ EP ∥，∴PQM QPE x ∠=∠=︒，∵360QPE QPM FPN NPM EPF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴90360x x y y ++++=，∴135x y +=，即135QPM NPM ∠+∠=︒，∴135NPQ QPM NPM ∠=∠+∠=︒．故答案为：135︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 9．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线AE CF ，ABC ∠ 的平分线BD 交直线CF 于点D ，若2260A BCF ∠=︒∠=︒，，则D ∠的度数为 ． 【答案】19︒/19度【分析】过点B 作B G C F ∥，利用平行线的性质求得22,60ABG CBG ∠=︒∠=︒，从而得到82ABC ∠=︒，再运用角平分线的性质得到1412CBD ABC ∠=∠=︒，继而求出19DBG ∠=︒，最后利用平行线的性质得到19D DBG ∠=∠=︒．【详解】过点B 作B G C F ∥，∵B G C F ∥，AE CF ，∴BG CF AE ∥∥∴,A ABG CBG BCF ∠=∠∠=∠，又∵2260A BCF ∠=︒∠=︒，，∴22,60A ABG CBG BCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴82ABC ABG CBG ∠=∠+∠=︒，又∵BD 是ABC ∠ 的平分线， ∴1412CBD ABC ∠=∠=︒， ∴19DBG CBG CBD ∠=∠−∠=︒，又∵B G C F ∥，∴19D DBG ∠=∠=︒．【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且ABCD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为 ． 【答案】40︒【分析】根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，利用平行线的性质可得80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，PCD PAB APC ∠−∠=∠，再结合角平分线即可求得答案．【详解】解：根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，∵AB CD ，∴AB CD EF PQ ∥∥∥，∵EF AB ∥，EF CD ，∴180EAB AEC CEF ∠+∠+∠=︒，180CEF ECD ∠+∠=︒，∴EAB AEC ECD ∠+∠=∠，即80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，PQ CD ∥，∴180PAB APC CPQ ∠+∠+∠=︒，180CPQ PCD ∠+∠=︒，∴PAB APC PCD ∠+∠=∠，即PCD PAB APC ∠−∠=∠，又∵点P 为EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线的交点， ∴12PAB EAB ∠=∠，12PCD ECD ∠=∠， ∴11140222APC PCD PAB ECD EAB AEC ∠=∠−∠=∠−∠=∠=︒，故答案案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 11．（2023下·七年级课时练习）如图，AB ∥CD ，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，EN ，MF 交于点O ． (1)若∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，分别求∠MEN ，∠MFN 的度数；(2)若图中∠MEN ＋60°＝2∠MFN ，求∠AMF 的度数；(3)探究∠MEN ，∠MFN 与∠MON 之间的数量关系．【答案】(1)∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°(2)∠AMF ＝40°(3)32MEN MFN MON ∠+∠=∠，理由见解析【详解】（1）分别过点E ，F 作AB 的平行线，则它们同时也与CD 平行，则有∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ．由∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，得∠AME ＝25°，∠CNF ＝20°，∴∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°．（2）由（1）可知，∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ，则有∠AME ＋∠CNE ＋60°＝2∠AMF ＋2∠CNF ．又2∠CNF ＝∠CNE ，2∠AME ＝∠AMF ． ∴3602AMF ∠=︒，故∠AMF ＝40°．（3）过点O 作AB 的平行线，则它同时也与CD 平行，易证∠MON ＝∠AMF ＋∠CNE ．∵∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ， ∴32MEN MFN ∠+∠=（∠AMF ＋∠CNE ）． ∴32MEN MFN MON ∠+∠=∠． 12．（2023上·浙江·八年级专题练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O (1)如图1，若A B ∠∠＝，求证：A C B D ∠+∠∠+∠＝(2)如图2，若A B ∠≠∠，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）(3)如图3，若65B ∠︒＝，25C ∠︒＝，AP 平分BAC ∠，DP 平分BDC ∠，请你（2）中结论求出P ∠的度数，请直接写出结果P ∠= ．【答案】(1)见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)45︒【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的综合运用，掌握三角形内角和180︒是解题的关键．（1）依据平行线的性质，即可得到C D ∠∠＝，依据等式基本性质得到A C B D ∠+∠∠+∠＝；。

专题2.3 平行线四大模型专项训练（40道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！【模型1 “铅笔”模型】1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )A．55°B．60°C．65°D．70°2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度数.6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……请你帮助小明完成剩余的解答．(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= __________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【模型2 “猪蹄”模型】9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD，∠ABE=40°，则∠EDC=______度．10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．13．（2022·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；∠GAC，若∠AKB=∠ACD，（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13直接写出∠GAC的度数．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=12(∠A+∠C)15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）16．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．17．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．18．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是 ；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是 ；所以∠C＝（ ），所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．19．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．（1）证明：MN//ST；（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则（3）如图3，若∠ACB=180°n∠CAE:∠CAN=______．20．（2022·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH 分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．21．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．22.（2022·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB ＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【模型3 “臭脚”模型】23．（2022·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？24．（2022·全国·七年级）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如图1，求证：AB//CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．25．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．26．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．求证：∠C=∠1+∠2．证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）∴AD∥EF，（）∴__________=∠1（）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）27．（2022·广东珠海·七年级期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．28．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【模型4 “铅笔”模型】29．（2022·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．30．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为______31．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．33．（2022·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．34．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D35．（2022·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．36．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．37．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．38．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．39．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+1240．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．。

平行线中的四大经典模型【浙教版】【模型1 “猪蹄”型（含锯齿型）】1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B−∠D=28°，则∠BED=．2．（2023上·辽宁鞍山·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为．（用含n的式子表示）3．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）4．（2023下·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．5．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；（2）如图2，点M在线段AE上，①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．6．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC7．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．8．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD 的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．9．（2023下·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．10．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【模型2 “铅笔”型】、1．（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540°D．270°2．（2012·江苏常州·七年级统考期中）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝．3．（2023下·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是．4．（2023下·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．5．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC 的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．6．（2023下·内蒙古·七年级校考期中）综合与探究：（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．7．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．8．（2023下·浙江·七年级期末）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）9．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°<∠EPF<180°．（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）10．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF 的数量关系（(用含α的式子表示)【模型3 “鸡翅”型】1．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023上·1a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？3．（2023下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．4．（2023下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C−∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．5．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．求证：∠C=∠1+∠2．证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）∴AD∥EF，（）∴__________=∠1（）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）6．（2023下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如图1，求证：AB//CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．7．（2023下·浙江·七年级期末）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．8．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【模型4 “骨折”型】1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式．2．（2023下·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为．3．（2023上·贵州六盘水·七年级校考阶段练习）如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为．4．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为．5．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为6．（2023·全国·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+128．（2023下·广东中山·七年级校考期中）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN 和∠APB之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．。