第17讲 2
χ分布 t 分布 F 分布 正态总体统计量的分布
教学目的： 掌握2χ分布、t 分布、F 分布及正态总体统计量的分布。 教学重点： 2χ分布、t 分布、F 分布。 教学难点： 正态总体统计量的分布。 教学时数： 2学时。 教学过程：
第五章 数理统计的基本知识
§ 2χ分布、t 分布、F 分布
1. （
2.
2χ分布
定理1 设随机变量k X X X ,,,21 相互独立，且均服从()1,0N ，则随机变量
∑==k
i i X 1
22
χ
的概率密度为
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--.0,
0;0,221
21222x x e x k x f x k k χ 我们称随机变量2χ服从自由度为k 的2χ分布，记作()k 22~χχ。
注（1）可以证明，2χ分布具有可加性：即若随机变量21χ和2
2χ相互独立，且
()()222
21221~ ,~k k χχχχ
"
则
().~2122221k k ++χχχ
（2）上α分位数：对于不同自由度k 及不同的数()10<<αα，定义2
αχ是自由度
为k 的2χ分布上α分位数，如果其满足
()
()αχχα
χχα==≥⎰+∞
222
2
dx x f P
3. t 分布
定理2 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从()1,0N ，Y 服从自由度为k 的2χ分布，则随机变量
k Y X t =
的概率密度为
|
()2
1
21221+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=k t k x k k k x f π 我们称随机变量t 服从自由度为k 的t 分布，记作()k t t ~。
注（1）可以证明，当自由度∞→k 时，t 分布将趋于()1,0N 。
（2）上α分位数：对于不同的自由度k 及不同的数()10<<αα，定义αt 是自由度为k 的t 分布上α分位数，如果其满足
()()αα
α==≥⎰
+∞
t t dx x f t t P
4. F 分布
定理3 设随机变量X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1k 与2k 的2χ分布，则随机变量
2
1
k Y k X F =
、
的概率密度为
()()
;.
0,
00
,2222
2112
2
2
21
21212112
1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+Γ=+-x x k x k x
k k k k k k x f k k k k k F
我们称随机变量F 服从自由度为()21,k k 的F 分布，记作()21,~k k F F 。其中1k 称为第一自由度，2k 称为第二自由度。
注 （1）上α分位数：对于不同的自由度()21,k k 及不同的数()10<<αα，定义α
F 是自由度为()21,k k 的F 分布上α分位数，如果其满足
()()αα
α==≥⎰
+∞
F F dx x f F F P
（2） 容易证明，()()1,,12211=⋅-k k F k k F αα。
§ 正态总体统计量的分布
1. 单个正态总体的统计量的分布
！
从总体X 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，样本均值与样本方差分别是
()2
1
2
111,1∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X . 定理1 设总体X 服从正态分布()2
,σμN ，则样本均值X 服从正态分布⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛n
N 2
,σμ，即
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n N X 2,~σμ
证 因为随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布
()2,σμN ，所以由§中的定理知，它们的线性组合X 服从正态分布⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛n
N 2
,σμ。 定理2 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量n
X u σμ
-=
服从标准正态分布
()1,0N ，即
()1,0~N n
X u σμ
-=
由定理1结论的标准化即得到定理2。
&
定理3 设总体X 服从正态分布()2
,σ
μN ，则统计量()∑=-=
n
i i
X X
1
2
2
2
1
σχ
服从自由
度为n 的2χ分布，即
()()n X X
n
i i
21
2
2
2
~1
χσχ∑=-=
证 注意到()2,~σμN X i ，则
()n i N X i ,,2,1 ,1,0~ =-σ
μ
又上述统计量相互独立，并按照2χ分布的定义可得结果。
定理4 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则 （1）样本均值X 与样本方差2S 相互独立； （2）统计量()2
22
1σ
χ
S n -=
服从自由度为1-n 的2χ分布，即
。
()()1~122
22
--=
n S n χσχ
证明略。
定理5 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量n
S
X t μ-=
服从自由度为1-n 的
t 分布，即
()1~--=
n t n
S
X t μ
证 由定理2知，统计量
()1,0~N n
X u σμ
-=
又由定理4知，统计量
()()1~122
2
2
--=
n S n χσχ
￥
因为X 与2S 相互独立，所以u 与2χ也相互独立，于是根据t 分布的定义得结论。
2. 两个正态总体的统计量的分布
从总体X 中抽取容量为x n 的样本x n X X X ,,,21 ，从总体Y 中抽取容量为y n 的样本
y n Y Y Y ,,,21 。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本()x i n i X ,,2,1 =与
()y j n j Y ,,2,1 =都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作
∑∑====
y
x
n j j
y n i i x Y
n Y X n X 1
1
1
,1
