2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数学(理工类)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题．

1．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )

A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1} D．{－1,0}

2．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )

A．30 B．20

C．15 D．10

3．为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )

A．向左平行移动12 个单位长度

B．向右平行移动12 个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度

D．向右平行移动1个单位长度

4．若a>b>0，c

A.ac>bd B.ac

C.ad>bc D.ad

5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(

)

A．0 B．1

C．2 D．3

6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种 B．216种

C．240种 D．288种

7．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )

A．－2 B．－1

C．1 D．2

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是(

)

A.33，1 B.63，1

C.63，223 D.223，1

9．已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1)，现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f2x1＋x2＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是( )

A．①②③ B．②③

C．①③ D．①②

10．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

A．2

B．3

C.1728 D.10

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题．

11．复数2－2i1＋i＝________.

12．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时， f(x)＝ －4x2＋2， －1≤x<0x， 0≤x<1，则f32＝________.

13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)

14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

15．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

三、解答题．

16．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sin3x＋π4.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．

17．(本小题满分12分)

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

18．(本小题满分12分)

三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值．

19．(本小题满分12分)

设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．

(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列anbn的前n项和Tn.

20．(本小题满分13分)

已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；

②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28„为自然对数的底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1] 上的最小值；

(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围．

答案

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题．

1．解析：选A 因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1,0,1,2}．

2．解析：选C 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C26＝15，故选C.

3．解析：选A 因为y＝sin(2x＋1)＝sin2x＋12，故可由函数y＝sin 2x的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到，选A.

4．解析：选D 由c－1c>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－ad>－bc>0，所以ad

5．解析：选C 当 x≥0，y≥0，x＋y≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2，否则，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.

6．解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种．

7．解析：选D 解法一 由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝c·a|c|·|a|，cos〈c，b〉＝c·b|c|·|b|，所以c·a|c|·|a|＝c·b|c|·|b|，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2.

解法二 易知c是以ma，b为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b|＝2|a|，故m＝2.

8.解析：选B 易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→π2→∠C1OA1点P为线段CC1的中点时，α＝π2，由于sin∠AOA1＝63，sin∠C1OA1＝223>63，sinπ2＝1，所以sin α的取值范围是63，1.

9．解析：选A f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln1＋x1－x，又当x∈(－1,1)时，2x1＋x2∈(－1,1)，所以f2x1＋x2＝ln1＋2x1＋x21－2x1＋x2＝ln1＋x1－x2＝2ln1＋x1－x＝2f(x)，故②正确；当x∈[0,1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0,1))，因为g′(x)＝11＋x＋11－x－2＝2x21－x2>0，所以g(x)在区间[0,1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.

10．解析：选B 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y1>0，y2<0)，直线AB的方程为x＝ty＋m，且直线AB与x轴的交点为M(m,0)．由 x＝ty＋my2＝x消去x，得y2－ty－m＝0，所以y1y2＝－m.又＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2＝－2，故m＝2.又F14，0，于是S△ABO＋S△AFO＝12×2×(y1－y2)＋12×14×y1＝98y1＋2y1≥298y1×2y1＝3，当且仅当98y1＝2y1，即y1＝43时取“＝”，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题．

11．解析：2－2i1＋i＝21－i21＋i1－i＝(1－i)2＝－2i.

答案：－2i

12．解析：f32＝f2－12＝f－12＝－4×－122＋2＝1.

答案：1