工程力学 第13章 点的运动学与刚体的基本运动

x2 y2 + 1 2 =1 2 (3 ( 2 r) 2 r)
显然 M 点的轨迹是一个椭圆。 3．求点 M 的速度和加速度
(c)
3 1 i + y j = (− ω r sin ω t )i + ( ω r cos ω t ) j v = vx i + v y j = x 2 2
所以点 M 速度的大小为
vP = ω rP
t 2 n 2 ) + ( aP ) = (α rP ) 2 + (ω 2 rP ) 2 = rP α 2 + ω 4 a P = ( aP
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式中， rP = OP ，这表明，刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到转 轴的距离成正比，方向角由下式确定
t aP rα α tan θ = n = P 2 = 2 aP rPω ω
A O1 C vA B 1 O1 2 a) 图 13-4 例题 13-2 b) A vD O2 vB C D 2 B 1
ϕ
O2
ϕ
解：1．分析机构的运动 机构由杆 O1A、O2B、组合体 ACB 和轮 O2 四部分组成，除组合体 ACB 作 平移（A、B 两点速度相同）外，其余三物体作定轴转动。 2．速度分析 因为杆 O1A 作定轴转动，故点 A 的速度为
图 13-1 二维刚体的定轴转动
如果研究位于定系 Oxy 中的平面刚体绕垂直于纸面的轴 O 转动（图 13－1） ， 以 OA 与定坐标轴 Ox 之间的夹角 ϕ 则取与刚体固结并通过轴 O 的任意直线 OA， 为坐标。于是，转角 ϕ 随时间 t 的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转 动的运动方程为
2 2 2 2 2 1 v = vx + vy =1 2 rω 9 sin ω t + cos ω t = 2 rω 1 + 8 sin ω t
(d) (e)
3 1 a = ax i + a y j = xi + yj = (− ω 2 r cos ω t )i + (− ω 2 r sin ω t ) j 2 2 所以点 M 加速度的大小为
13.1 教学要求与学习目标
1. 掌握点作一般运动及刚体基本运动的有关定义和概念，如 位矢、速度与加速度； at 与 an 的物理意义；刚体的平移与定轴转 动；刚体角速度、角加速度矢量等。 2. 对于点的运动问题，能熟练地根据约束条件选择恰当坐标 （直角坐标或弧坐标）建立运动方程，正确熟练地进行速度及加 速度分析， 对所得到的数学表达式所代表的运动性质有清晰地了 解。 3. 对于刚体的基本运动，要首先能正确、熟练地判断其运动 形式，再根据确定的运动形式建立相应的运动方程，并能熟练地 计算刚体上一点的速度与加速度。
x = OCcosϕ + CMcosϕ y = BMsinϕ
⎫ ⎬ ⎭
(a)
图 13-3
例题 13-1
将 ϕ = ω t 、r 代入式（1） ，得
x= 3 rcosω t 2 y=1 rsinω t 2
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
(b)
式（2）为 M 点的运动参数方程。从式（2）中消去参数 t，得到 M 点的轨迹方 程
= x 2 + y 2 + z 2 v=s
a = s= d 2 2 + y 2 + z 2 ) = at2 + an ( x = x 2 + y 2 + z2 dt
4. 在判断刚体是否作平行移动（特别是作曲线平移）时，只 要根据平移刚体上各点轨迹形状相同的特征， 通过对该刚体上若 干特殊点（例如它与其他构件的两个连接点）的运动分析，就可 确定刚体的运动形式，如果有两点的轨迹完全相同，该刚体即作 平移。 关于平移刚体上各点的运动分析，与点的运动分析相同，所 以只需分析其上任意一点。对于非自由的平移刚体，可分析其联 接点所受约束的条件，先建立它的运动方程。 作圆弧形曲线平移的问题，常应用弧坐标法分析运动；作直 线平移的问题，只需用一维坐标轴表示和分析其运动。 5. 在已知定轴转动刚体的角速度与角加速度的条件下，根据 相应的关系式，就可分析、计算刚体上任一点的速度及加速度。
13.2.2 刚体的基本运动
1. 平移
平移的定义：刚体在运动过程中，其上任取直线始终与它的最初位置平行。 平移的运动特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度、加速度相同。因此，只要 求得刚体上任意一点的运动，就可得知其他各点的运动，也就决定了整个刚体 的运动。
r A = rB + rBA
根据平移的定义， rBA 为常矢量
= atτ + an n 式中 τ 和 n 分别为运动轨迹在点 P 处的切向和法向单位矢量, ρ 为轨迹的曲率半 径。
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式中的第一项称为切向加速度，为速度大小的变化率；第二项称为法向加 速度，为速度方向的变化率，二者在 τ 与 n 方向的投影分别为：
v2 2 s
= s ， an = at = v
13.2 理 论 要 点
本章主要研究：点的一般运动和刚体的两种基本运动——平移和定轴转动。
13.2.1 分析点的运动的三种方法
点的运动分析主要是研究点的运动方程、速度和加速度。描述点在空间的 位置随时间变化的数学表达式称为点的运动方程。研究点的运动通常有以下几 种方法：
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1. 矢量法
r = r (t ) ，
ρ
=
ρ
建立点的运动方程的关键，是选择合适的方法，建立相应的坐标系（不管 使用哪种坐标系，一定要首先确定原点及坐标正向） ，并将点置于一般位置（不 能放在特殊位置） ，根据问题的约束条件建立运动方程。
4. 三种方法各自的特点及适用性
1) 矢量法简明、直观，常用于理论推导，不适于具体问题的计算； 2) 便于代数及微积分运算， 常用于点的运动轨迹未知情况下的具体计算， 但所得结果物理意义不够直观； 3) 弧坐标法速度、切向加速度、法向加速度的表达式物理意义明确，常 用于点的运动轨迹已知情况下的具体计算，但不适用于点的运动轨迹未知的情 况。
13.4 例 题 示 范
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【例题 13-1】椭圆规机构如图 13-3 所示，已知 AC=CB=OC=r，曲柄 OC 转 动时， ϕ = ω t ，带动 AB 尺运动，A、B 分别在铅垂和水平槽内滑动。求 BC 中 点 M 的运动速度和加速度以及运动轨 迹的曲率半径。 【解】1．分析 M 点的运动 曲柄 OC 转动时，带动 BC 尺运动， 而 CB 中点 M 作运动轨迹未知的平面曲 线运动，可采用直角坐标法确定其运 动。 2．建立运动方程 建立如图 13-3 所示的直角坐标系 ϕ Oxy，由图的几何关系知，M 点的坐标 为
= v=r dr , dt = a=v r= d2 r dt 2
r、v、a 分别为点在时间 t 瞬时的位矢、速度、加速度。且 r = r (t ) 为运动方程。
2. 直角坐标法
⎡i ⎤ ⎥ r = xi + yj + zk = ( x , y , z ) ⎢ ⎢ j⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦ ⎡i ⎤ i + y j + z , y ,z k = ( x ) ⎢ j ⎥ v=x ⎢ ⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦ ⎡i ⎤ i + j + , , k = ( ) ⎢ j ⎥ a= x y z x y z ⎢ ⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦
vP = ω×rP
式中， rP 为点 P 的位矢（图 13-2） 。 点 P 的加速度为
P = ω × rP + ω × r P = α × rP + ω × v P aP = v
t n + aP = α × rP + ω × (ω × rP ) = a P
这表明，定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即式中的切向加
1 2 2 3 r ω (1 + 8sin 2 ω t ) v2 4 r (1 + 8sin 2 ω t ) 2 = ρ= = 3rω 2 an 6 2 1 + 8sin 2 ω t
【例题 13-2】图 13-4a 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，AB = O1O2，齿 轮 1 和半径为 r2 的齿轮 2 啮合，齿轮 2 可绕 O2 轴转动且和曲柄 O2B 没有联系。 π 设 O1A = O2B = l，ϕ = bsinωt，试确定 t = s 时，轮 2 的角速度和角加速度。 2ω
13.2.3 角速度与角加速度矢
设转轴 Oz 的单位矢为 k ，则刚体角速度与角加速度可以分别表示为矢量 ω 和α，称为角速度矢和角加速度矢，如图 13-2 所示。
图 13-2 角速度矢与角加速度矢
ω = ω k⎫ ⎬ α =α k⎭
若刚体加速转动，则 α 与 ω 同向；若减速转动，则 α 与 ω 反向。 刚体上某一点 P 的速度可以表示为
第 13 章 点的运动学与 刚体的基本运动
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工程力学学习指导
第三篇 运动学与动力学
第 13 章 点的运动学与刚体的基本运动
运动学研究物体在空间的位置随时间的变化规律， 以及物体上各点的速度和 加速度这些运动的几何性质，但是不涉及引起运动的原因。 物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。 物体运动的位移、及其上各点的速度和加速度都是矢量，因此研究运动学 采用矢量方法。一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化， 因而称为变矢量。
d rBA =0 dt
故有
A = r B r
即
v ห้องสมุดไป่ตู้ = vB →
类似地，有：
A = v B v
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即
a A = aB
2. 定轴转动
刚体定轴转动的定义：刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始 终保持不动。这条固定不动的直线称为转轴。轴线上各点的速度和加速度均恒 为零，其他各点均围绕轴线作圆周运动。