下载文档原格式
第七章平行线的证明1为什么要证明典型例题题型一实验验证结论例1观察，再验证.(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？①②图1分析：先观察得出结论，再实验验证.解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边是直的.对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样长.点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证.例2在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.分析：因为n2-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n2-6n＝7>0.(方法2)不正确.理由：n2-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0.特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.题型二推理的应用1.图形中的推理例3如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成段.图2点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.2.数学式子中的推理例4观察下列关于自然数的等式：①1×7+2×9＝52；②2×8+2×10＝62；③3×9+2×11＝72；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第4个等式；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝82.(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n2+6n+2n+16＝n2+8n+42＝(n+4)2＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.3.假设论证例5甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的解析：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴乙说的是实话，∴丙的车也是红色的，和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴丙说的是实话，而乙说“丙的车是红色的”，∴乙说的是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴只有甲的车是红色的.∴甲说的是实话，丙说的不是实话.∵丙说：“丁的车不是蓝色的”，∴丁的车是蓝色的，∴乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵甲说：“乙的车不是白色”，且甲说的是实话，∴丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.答案：C4.推理论证例6某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁解析：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得分为1分，0胜1平.∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平.∵丙得3分，1胜0平，乙得5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁.答案：B拓展资源哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数.例如，从25~30这六个数中，25＝5×5有2个素因子，26＝2×13有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子，28＝2×2×7有3个素因子，29是素数有1个素因子，30＝2×3×5有3个素因子.于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“m+n”.这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了.1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立.1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.。
第七章平行线的证明1 为什么要证明证明的必要性：1．__实验__、__观察__、__归纳__是人们认识事物的重要手段．2．通过实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．3．判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的__证明__．判一判：1．前天是晴天，昨天是晴天，今天是晴天，明天必然还是晴天．( ×) 2．小明成绩一向很好，后天的竞赛中他必然取得第一名．( ×)3．三个连续整数的积一定能被6整除．( √)【小题快练】1．下列判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是(D)A．只需要观察得出B．只需依靠经验获得C．通过亲自试验得出D．必须进行有根有据的证明【加固训练】下列结论推理合理的是(D)A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题C．因为小强的妈妈是老师，所以小强的学习成绩一定很好D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多2．下列问题中，用到推理的是(A)A．已知x＝3，y＝3，则x＝yB．观察得到六边形有六个内角C．老师告诉我们关于“神舟十二号”的许多奥秘D．小明兄弟两个看起来一样高重点1 证明的必要性【典例1】耳听为虚，眼见为实？以上图片是__静止__(“静止”或“运动”)的．某公园计划砌一个形状如图(1)所示的喷水池，后来有人建议改为图(2)的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿(C)A．图(1)需要的材料多B．图(2)需要的材料多C．图(1)、图(2)需要的材料一样多D．无法确定【解析】设大圆的直径为d，根据圆的周长公式，得图(1)中两圆的周长和为2πd，图(2)中，大圆的周长为πd，小圆的直径和为d，故周长也是πd，所以所需材料也是2πd.故相等．【加固训练】观察下图，回答问题．左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？【解析】一样大．仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并不一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉．【技法点拨】推理证明必要性的四点注意(1)直觉有时候会产生错误，不是永远可信的．(2)图形的性质并不是都能通过测量得出．(3)通过对少数情况观察、测量、计算得出的结论，并不能保证一般情况下都能成立．(4)通过推理的方法研究问题，能够解释问题的本质．重点2 利用验证法证明猜想的规律【典例2】用火柴棒按如图所示的方式拼图形．(1)你知道第6个图形需要多少根火柴棒吗？(2)第n个图形需要多少根火柴棒呢？(3)你能肯定(2)中猜想是正确的吗？请验证一下当n＝4时的情形．【解析】(1)由题图知，第6个图形有32根火柴棒；(2)7＋5(n－1)＝(5n＋2)根，所以第n个图形需要(5n＋2)根火柴棒；(3)当n＝4时，由图知需要22根火柴棒，代入(2)中公式得5×4＋2＝22(根)，所以验证猜想正确．1．如图，一根绳子，对折5次，用剪刀沿5次对折的中间剪断，此时绳子被剪成__33__段．【解析】用列表法根据题意列表如下例图…对折次数 1 2 3 … n 段数359…2n ＋1根据题意，对折5次后共有25＋1＝33段，此时绳子被剪成33段．2．一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2，第三次从A 2点起跳，落点为OA 2的中点A 3；如此跳跃下去…最后落点为OA 2 020的中点A 2 021，则点A 2 021表示的数为__122 020__．【解析】第一次落点为A 1处，点A 1表示的数为1； 第二次落点为OA 1的中点A 2，点A 2表示的数为12 ；第三次落点为OA 2的中点A 3，点A 3表示的数为⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2；…则点A 2 021表示的数为⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 020，即点A 2 021表示的数为122 020 .【技法点拨】 检验数学结论的具体过程观察、度量、实验→猜想归纳→验证猜想教材P163读一读这个故事告诉我们：1．学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度．2．没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜想的结论可能潜藏着错误，未必正确．两名同学在一起研究质数时，得到这样一个猜想：若P为质数，则P3＋5也为质数，这个猜想正确吗？【解析】这个猜想不正确，因为当P＝3时，P3＋5＝32是个合数．。
