2015年10月 线代

一． 填空题（每小题4分，共20分）12，4，1122122212n n n n ++⎡⎤--+⎢⎥--+⎣⎦，0，-2.二. （15分）设010111101⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A ，2AX X A =+,求X .解1(2),[2,][,(2)]A E X A A E A E A E A --=-→-231100555210010212111111010555103101112001555⎡⎤--⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦三. （15分）设 111313311551231115A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦试求矩阵A 的秩及A 的一个最高阶非零子式。

解 1113100013310110155120001311150000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， ()3R A =，选法很多，例如1，2，4列及1，2，3行交叉元。

厦门大学《线性代数B 》课程试卷答案 2015.06.10四．(15分) 设()12342342341234022132321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩问,a b 为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解 []11110111100122101221,013200101321100010A a b a b a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 当1a ≠时，此时()4,(,)4R A R A β==，线性方程组有唯一解.当1,1a b =≠-且时，此时()2,(,)3R A R A β==，线性方程组无解. 当1,1a b ==-且时，此时()2,(,)2R A R A β==，线性方程组有无穷多解.11221231421122x k k x k k x k x k =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩五. （15分）证明：线性方程组121232343454155,,,,x x bx x b x x b x x b x x b -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-+=⎪⎩ 有解的充分必要条件是510ii b==∑.当方程组有解时，求出它的通解.解 []112233445511100011000011000110000110,0011000011000111000100000i i b b b b b A b b b b b β=-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑, 充分必要条件是510ii b==∑.1234123423434455110001110000100101100001010011000011000111000100000i i b b b b b b b b b b b b b b b b =-+++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑1123422343344451x b b b b k x b b b kx b b k x b k x k =++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩六．（15分）设n 阶矩阵A 满足条件2320A A E -+=，证明：a)2,A E A E --不同时为可逆矩阵，b)(2)()R A E R A E n -+-=， c)当1,2k ≠时，A kE -为可逆矩阵。

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工专) 试卷(课程代码 00022)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3．第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。

4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共l0分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。

未涂、错涂或多涂均无分。

1．函数的定义域为A．(-∞，2) B-2，+∞) C. (-∞，2] D．(一2，+∞)2. 函数是A单调减少的 B. 有界函数 C单调增加的 D. 周期函数3. 是级数．发散的A．充分条件 B必要条件 C. 充分必要条件 D．无关的条件5．设三阶方阵A的伴随矩阵为A*，E为三阶单位矩阵，则第二部分非选择题6.7．8. 可导函数f(x)在点x0去的极值的必要条件是_________。

9. 设y=cos(e x),则y’=_________。

21.设函数讨论f(x)在x=O处的可导性．22．计算定积分23．求解非齐次线性方程组四、综合题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)请在答题卡上作答。

24．求由曲线y=lnx及直线y=In3，y=In6，x=0所围成平面图形的面积．25·试用函数的单调性证明：当x>0时,高等数学（工专）试卷第3页共5页高等数学（工专）试卷第5页共5页。

2015-20162 线性代数 (必修) (B)数理学院 朱景阳 相关专业 杨延昭 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设A 为2阶矩阵，3=A ，则()12A -=_________；2. 已知1234⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，4321⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，则AB =_________，AB =________；3．二阶矩阵2334⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则1A -=_________； 4．若向量组1231230,2,510t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a 线性相关，则t =_________.二. 单选题（每题3分，共15分）1. 3阶行列式D 中，带有负号的项为________；)A 112233a a a )B 112332a a a )C 122331a a a )D 132132a a a2.下列说法正确的是________；)A ()()2A+E A E A E -=- )B ()()22A+B A B A B -=- )C 若2A 0=，则A 0=)D 若AX AY =，且A 0≠则X Y =3. 非齐次线性方程组=AX b 中未知数的个数为n ，则非齐次线性方程组=AX b 有无穷多解的充要条件是________；)A ()()R R ,<A A b )B ()()R R ,n ==A A b )C ()()R R ,n =<A A b)D 以上都不对4. 已知向量组123, , ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是________；)A 122331,, αααααα+++ )B 112123,, αααααα+++)C 122313, 2,3αααααα+++)D 122331,, α-αα-αα-α5．设12111,1,12⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a 则非零向量3a =____，能使得123a ,a ,a 两两正交.课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）:适 用 专 业:)A 101-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ )B 110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ )C 012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ )D 210⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭三．计算题（共20分）1. 计算行列式11110111101111；（10分）2. 设三阶方阵A 和B 满足A+B AB =，其中1102110002⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ， （1）求()1A E --，（2）求B .（10分） 四．计算题（共30分）1. 设矩阵1121369746222111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭A =，求A 的秩；（10分） 2．设非齐次方程组为131231234226423x x ax x x a x x x a +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩，（1）当2a =时，验证方程组无解，（2）当1a=时，求出方程组的无穷多解.（20分） 五．计算题（共20分）1. 设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，求+*A +A E 的特征值；（5分）2. 已知4100130,361--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A （1）求A 的特征值和特征向量，（2）求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使1-P AP =Λ.（15分）。

拟题学院（系）：数理学院 适用专业： 中韩141-2，应化137-8 2015--2016 学年 2 学期 线性代数 (A) 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题（每小题3分，共15分）1. d2. 13.124. 105. 无关 二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2.B3. D4. A5. B三、(10分)解：1115212221=原式 ------------------5分 11150-100-1= ------------------------------------8分5= ---------------------------------------- 10分四、(10分)解： -1204-60321X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， -------- ------ ---------------5分1/204-601/321⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-------- ------ ---------------8分2-32/31/3⎛⎫= ⎪⎝⎭---------------------------------10分 五、(10分)解：令()123,,ααα=111111a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭-------------------------------------4分 拟 题 人： 刘玉霜书写标准答案人： 刘玉霜2111111~11~011~0111101100(1)a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭----------8分 所以， 0a =或1a =-. -------------------------------------------------10分 六、(12分)12211221=2122~036411430364A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭--------------------------4分 12211025/3=0124/3~0124/300000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--------------------------6分 由此即得，134234523423x x x x x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩----------------------10分所以， 1212345232431001x x c c x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，12,c c 为任意常数。

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分） 注：极大线性无关组不唯一。

20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。

2015年数学二线代大题1. 计算题(1)已知正整数 $a$ 和 $b$ 满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{18}$，求 $a+b$ 的值。

解：两边同乘 $18ab$，得 $18b+18a=5ab$。

移项整理可得 $ab-18a-18b=0$。

根据韦达定理，$a,b$ 是 $x^2-18x$ 的两个根，所以 $a+b=18$。

答案：$a+b=18$。

(2)已知函数 $f(x)=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)$，求$f(2015)$。

解：$$\begin{aligned}f(x)&=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^x-1)+2}{(2^x-1)-1}\right)\\&=\log_2\left(1+\dfrac{2}{2^x-1}\right)=\log_2\left(1+\dfrac{1}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{x-1}+\frac{1}{2}}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^{x-1}+\frac{1}{2})^2}{(2^{x-1}-\frac{1}{2})(2^{x-1}+\frac{1}{2})}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{2x-2}+2^{x-1}+\frac{1}{4}}{2^{2x-2}-\frac{1}{4}}\right)=2-\log_2\left(2^{2x-2}-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}$$因为 $2014=2^1+2^2+\cdots+2^{10}$，所以$2^{2014}=2^{2^1}\times2^{2^2}\times\cdots\times2^{2^{10}}$。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲
综述
2014年9月13日教育部考试中心发布了2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比考试大纲没有发生任何变化.
具体如下：
试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分；
填空题6小题，每小题4分，共24分；
解答题(包括证明题) 9小题，共94分.
数学一
高等数学部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
线性代数部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
概率论与数理统计部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
数学二
高等数学部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
线性代数部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
数学三
微积分部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
线性代数部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.
概率论与数理统计部分：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2014年完全相同.。

2015年武汉市事业单位中学数学考点之线性代数根据往年的2015年武汉市事业单位笔试考试情况，可知2015年武汉事业单位考试难度大，机会又难得（有的考生就只有一次机会），因此，我们一定要认真复习，全力以赴！那问题来了我们又该如何复习呢？这是大家急切想知道的问题。

最适用、最有效的方法就是根据历年来的真题，总结常考的知识点，全面了解考试的范围及重难点，并要充分了解考查知识点的角度，这样复习才具有针对性，考试才会事半功倍。

根据最近5年的武汉市事业单位中学数学考试的真题，不难看出中学数学学科专业知识考试有几年考到了线性代数的知识点，对于线性代数这方面额知识点，复习了，可能拿到分，没复习，完全得不到分的。

而且线性代数往往以一道大题的形式考查大家的，一般分值10左右，分值还是比较重的，因此大家复习时千万不要忽视线性代数的考点，那通常考线性代数的哪些知识点呢？在这里，湖北华图产品教研部建议大家根据历年武汉市事业单位中学数学考试的真题，总结了线性代数的以下3个常考的知识点。

考点一：向量线性相关性例1、设向量1a ＝122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2a ＝215-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3a ＝114-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，β＝110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试问β是否可由向量1a ，2a ，3a 唯一线性表示？若可以表示，请求出它的表达式。

【解析】设112233x x x βααα=++即：方程组12312312321212540x x x x x x x x x --=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一非零解所以121211254--90=≠，由克莱姆法则可得11211211133054x --==，2111121103204x -==，31211121133250x -==-，所以β可由向量1a ，2a ，3a 唯一线性表示，它的表达式12321033βααα=+⋅-。

考点二：极大线性无关组例2、求向量1234=-=2=014=16αααα（1,1,2,4），（0,3,1,），（3,,7,），（2,,5,）的秩与一个极大线性无关组。

矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。

2.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。

3.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。

4.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。

5.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。

4.设矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。

（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和22TT A A A A A -++=） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。

8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。

9.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。

10.设1211A ⎛⎫=⎪⎝⎭，2()2f x x =+，则()f A = 。

11.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1、设矩阵,A B 满足0AB =，则0A =或0B =。

2、矩阵乘法适合交换律。

3、设,A B 是n 级方阵，则22222()2,()()A B A AB B A B A B A B +=++-=+-。

4、设,,A B C 是同级方阵，若AB AC =，则B C =。

5、若20A =，则必有0A =。

6、方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A 。

三、解答题1.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311412A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=131210131B ，计算AB ,TAB AB -。