线代期中考试卷及答案详解

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

2019~2020 年第一学期《线性代数》期中考试专业学号姓名一、单选题(每题 3 分,共 15 分)⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于 0，则行列式的值为 A ． 1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式 D= y 1 y 2 y 3 = _ 1 ，则三阶行列式 _ y 1 _ 2y 2 _ 2y 3 = ( )z 1 z 2 z 3 _ z 1 _ 2z 2 _ 2z 3A ． _ 8B ． 8C ． _ 4D ． 4 ⑶ 若矩阵 A = (a ij )m 根l, B = (b ij )l 根n, C = (c ij )n 根m, 则下列运算中( )无意义。

A ． ABCB ． BCAC ． A+BCD ． A T + BC (4) 设A 为n 阶方阵，且A2= A ，则( )成立(A) A = 0； (B) 若A 不可逆则A = 0 (C) A = E (D) 若A 可逆则A = E(5) n 阶方阵 A 经过若干次初等变换后化为矩阵 B ， 则 .A. 必有 | A |=| B |；B. 必有| A |丰| B |；C. 若 | A |= 0 则必有 | B |= 0；D. 若 | A |> 0 则必有 | B |> 0 .二、填空题(每题 3 分,共 15 分)( 1 _ 4 2 ) (|1 2 )|(1) 若矩阵 A = |(_ 1 4 _ 2)||， B = )||，则积C = AB 的元素c 12 =(2) (||( 01 30))||5=(3) 已知四阶行列式 D 中第二行上元素分别是 _ 1，0，2，4 ，第三行上的元素的余子式分别为1，2， a ，4 ，则 a =⑷ 已知二阶方阵 A = (||(11 23))||，则二阶方阵 A 的逆矩阵 A _1 =⑸ 已知线性方程组 AX = B ， 其中系数矩阵 A = ))||， 若 X 0 = (||(21))||为它的解， 则常数项矩阵 B =三、利用行列式的性质计算下列各行列式： (每题 10 分，共 20 分)x 1 x 2 x 3 _ x 1 _ 2x 2 _ 2x 31．2．2 - 5 1 2 x - 1 1x - 1 x + 1 x x - 1 1 x - 1 1x - 1- 1 - 1- 1四、计算下列 n 阶行列式： (每题 10 分，共 20 分)a b 0 … 0 0ab．a bb a．ba(入x 1 + x 2 + x 3 = 0五、问 入 、p 取何值时，齐次方程组〈|x 1 + px 2 +x 3 = 0|l x 1 + 2px 2 +x 3= 0有非零解？ (10 分)六、求解下列矩阵方程： 「1|| |(10 分)2 ] 「 2 ]七 证明下列等式： (每题 10 分，共 20 分) 1． (A -1 + B -1)-1 = B(A+ B)-1A2．若 A 是 n 阶可逆矩阵， A * 是 A 的伴随矩阵，证明 A * = AL0 0 0 … a bb 0 0 … 0 a- 3 7 - 1 4 5 - 9 2 7 4 - 6 1 2 0 a b … 0 0 0 0 a … 0 04 - 3 02． D 2n = 1．n-1 - 2 |X = |- 1 |3 」|| ||L 3 」||0 0。

珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷姓名：专业：学号：成绩：一，填空题（每题3分，共24分）1.在5阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________2.设A是3阶方阵，|A|=1/3，则|（3A）-1+2A*|=110011113.5200=：4.x c b a=;0036x2 0014x3c2c3b2b3a2a35.已知矩阵A=11,B=10,则AB–BA T=;0-1111026.已知矩阵A=1k0的秩为2,则k=;11121117.1211=;8.若A=diag(1,2,3,4),则A-1=;11211112二.判断题（每题2分，共10分）1.任一n阶对角阵必可与同阶的方阵交换。

（）2.n阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（）3.若A为n阶方阵，则（A*）T=(A T)*（）4.设A,B为n阶方阵，则有（AB）3=A3B3（）5.设A与B为同型矩阵，则A~B的充要条件是R（A）=R(B)()三,计算下列行列式(每题8分,共16分)-2-11-1010 (00)D4=-2248101 (00)-2111Dn=010 (00)-2-248.....000 (01)000 (10)-1-10四.已知A=-101且AB=A–2B,求B.2213-1-12五.求矩阵A=10-11的秩及一个最高阶非零子式(8分)-1431六.设A为n阶方阵,且A3+2A–E=0.证明A+2E可逆,并求(A+2E)-1. (8分)七.设P-1A P=K,B=A+E,其中P=11,K=001201求f(B)=B2(B2+B+2E).(10分)(1-k)x1+2x2-2x3=1八.设2x1+(4-k)x2–4x3=2,问k为何值时,此方程组有惟一解,-2x1–4x2+(4–k)x3=-k–2无解,或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.(10分).答案:一. 1.–a13a22a34a45a51;2.3;3.-18;4.(c-x)(b-x)(a-x)(a-b)(b-c)(a-c);115.-30;6.2;7.5;8.diag(1,1/2,1/3,1/4);二.1.wrong2.wrong3.right4.Wrong5.right三.D4=48;Dn:对Dn以第一列拆分.可得:Dn=-D n-2,又可知D1=0;D2= -1.由数学归纳法可得:Dn=( -1)(n-2)/2D2=(-1)n/2当n为偶数时;Dn=0,当n为奇数时.四.具体做法,回顾课本第二章相关例题.96-2B=107-2-12-83五.做法,运用行变换.得R(A)=3;最高阶非零子式可以是:3-1-410-1-143六.原式子可以转化为:(A+2E)(A2 -2A+6E) -13E=0.即.下面的都知道了吧.自己说下.七.f(B)=-2428,具体做法.参照课本第45~46页.-5660八.行等变换后观察.得: 1.R(A)=R(A,b)=3,即得最终k不等于0且k不等于9时,有惟一解.2.R(A)<R(A,b),即得最终k=9时,方程组无解,3.R(A)=R(A,b)<3,方程组有无数多个解.此时,通解为-221X=c11+c20+c30 010具体做法.参照课本第75~76页PS:没有详细解答,有不懂的要自动去问同学哈.把不懂的补上去,后面的内容挺烦人的.。

试卷答案及提示一、试卷一答案及提示1）（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1451551111；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11B C ；（3）1；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232；（5）1，2，－2 2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B3)（1）22y x ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121613q 4）1-≠a 时，β可唯一表示成4321,,,αααα的线性组合，这时43210111212ααααβ⋅+++++++-=a a a a 5）0=+y x 。

提示：12,1=λ，要使A 可对角化必须1)(=-I A r ，求得0=+y x 。

6）（1）无解。

因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故)()(A r b A r ≠ 。

（2）2)(=A r ，3=n ，1)(dim =A N ，故通解)(,111202)(112R t t t x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=ξξξ7）（1）2=a 。

提示：321λλλ=A ，即10521303002=••=a a 。

（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q（3）q 为正定二次型，因为特征值全大于零。

8）提示：取j i e y e x ==,，由0=Ay x T 可求得),,2,1,,,2,1(0n j n i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==。

二、试卷二答案及提示1) (1)I ；（2）0；（3）63；（4）a ＝2，b ＝－1；（5）0 2）（1）C; (2)C; (3)B; (4)C; (5)D3)01≠≠b a 且时，方程组有唯一解；0=b 时，方程组无解；211≠=b a 且时，方程组无解；211＝且b a =时，方程组有无穷多解，解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101t x ，（)R t ∈。

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。

2011《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“+”的为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5345342112a a a a a (B) 2554134231a a a a a (C) 2534511342a a a a a (D) 4223155134a a a a a解 答案为(C).根据行列式的定义，对于行列式的一般项，若行标排列是标准排列，则符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断)选项(A)的行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (21453)=3，故(A)取“-”。

选项(B)的列标排列是标准排列，行标排列的逆序数为t (34152)=5，故 (B)取“-”。

选项(C)行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标和列标排列的逆序数之和t (41532)+t (23145)=6+2=8，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 13a 25a 34a 42a 51，此时列标排列的逆序数为t (35421)=8，故取“+”。

同理可得，(D)应取“-”。

2.设n 阶行列式D =1，将D 上下翻转得D~，则D~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) -1 (B) (-1)n(C) (-1)n /2(D) (-1)n (n -1)/2解 答案为(D).参见教材习题一第7题的解答。

3. 设A , B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣ (B) 若AB =O ，则A =O 或B =O (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) ∣AB ∣=∣BA ∣ 解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011112, 但1011112=。

南京信息工程大学 试卷答案2018－2019学年 第二学期 线性代数 课程期中试卷一、填空题 （每题3分，共15分）1. 计算22012329281955-=--- ．答：-7.2. 若1023145xx 的代数余子式121A =-，则代数余子式21A = ．答：2.3. 设A 为54⨯矩阵， R()3=A ，10002300456078910⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭B ，则R()=AB _______________.答：3.4. 设矩阵A 满足24+-=A A E O ，其中E 为单位矩阵，则()1--=A E ．答：22+A E. 5. 设A 为三阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，且2=-A ，则()1*1312-⎛⎫+= ⎪⎝⎭A A ． 答：108.二、选择题（每题3分，共15分）1. 设D 是n 阶行列式，则下列各式中正确的是( B ). (A) 101,2,,nkj kj k a A j n ===∑，;(B) 11,2,,nkj kj k a A D j n ===∑，; (C) 121nk k k a A D ==∑; (D) 101,2,,nik ik k a A i n ===∑，.2. 设A 是3阶矩阵，将A 的第1列加到第2列得B ，再把B 的第2行的()1-倍加到第1行得C ，记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则 ( A )(A) 1-=C P AP ； (B) 1-=C PAP ； (C) T =C P AP ； (D) T =C PAP . 3. 下述命题不正确的是( D )(A) R()min{,}m n m n ⨯≤A ; (B) 若AB ，则R()R()=A B ;(C) 若,P Q 可逆，则R()R()=PAQ A ;(D) 若矩阵A 有某个k 阶子式不为0，则R()A >k .4. 非齐次线性方程组Ax b =中未知数个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则( A )(A) =r m 时，方程组Ax b =有解; (B) =r n 时，方程组Ax b =有唯一解; (C) =m n 时，方程组Ax b =有唯一解; (D) <r n 时，方程组Ax b =有无穷多解. 5. 已知A 是n 阶的对称矩阵，B 是n 阶的反对称矩阵，则矩阵2A B +是( A ) (A) 对称矩阵; (B) 反对称矩阵;(C) 可逆矩阵; (D) 对角矩阵.三、计算下列各题（每题6分 ，共18分）1．计算行列式111100100100a a a a，其中0≠a ；解：34213111111100130003100000100000-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭ia a aa a c c a a a a a a a a aa.2．行列式1357246813301111=-D ，求11121314242+-+A A A A .解：11121314242+-+A A A A 2421246813301111-=-111111112468024601330024124210241=-=-=------3. 已知0010000112003400A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求2A ，4A .解：21200340000120034⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，……………………..……………………………………………..3分47100015220000710001522A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………..……………………………………………….6分 四、设1202P ⎛⎫=⎪⎝⎭，1002Λ⎛⎫=⎪⎝⎭，AP P Λ=，求100A .（10分） 解： 因为20P =≠，所以P 可逆，且1221012P --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ………………………….3分又因为AP P Λ=，故1A P ΛP -=，因而1001001A P ΛP -=. ……………………….5分10010010010011001210221121020201202AP ΛP --⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………10分 五、已知2=+AB A B ，其中423110123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求B .（10分）解：因为2=+AB A B ， 则()2A E B A -=，所以()12B A E A -=-，………….3分又因为2234231003861101100102961211230012129--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换，………7分所以()138622962129B A E A ---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. …………………………………………..10分六、设21837230753258010320A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭，求A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式. （12分）解：因为218371032010320230752307503635325803258002420103202183701217⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-------⎪⎪⎪−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪----⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 103201032001217012100000140000100001600000⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−→−−→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………….8分所以()R 3A =，A 的一个最高阶非零子式为2172351--. …………………………….12分七、当λ取何值时，非齐次线性方程组123123123(3)2,(1), 3(1)(3)3λλλλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩x x x x x x x x x （1）有唯一解（2）无解；（3）有无穷多个解？在无穷多解时，求解.（12分）解：因为()()312111313λλλλλλλλ+-=-++ …………………………….4分(1) 当0λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解；(2) 当0λ=时，方程组无解； ……………………………8分(3) 当1λ=时，其通解为123112310x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈R ．…………………………….12分八、设T =-A E αα，其中E 是n 阶单位矩阵，α是1n ⨯阶非零矩阵，T α是α的转置，证明：2=A A 的充要条件是T 1=αα. （8分）证明： ()()()()2TTTTT2A E E E =--=-+αααααααααα()()T T T T T 22E E =-+=--αααααααααα，………………………………..4分必要性：当2=A A 时，即()2T T T 2A E E =--=-αααααα，故T 1=αα……………….6分充分性：当T 1=αα时，则()2T T T 2A E E =--=-αααααα………………….………….8分注：有的题目有多种解法，以上解答和评分标准仅供参考.。

线性代数期中考试试卷一、判断下列各题是否正确1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。

（ × ） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。

（ × ） 3． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。

（ √ ） 4． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。

（ √ ） 5． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。

（ √ ）二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。

（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －42．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。

(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。

（A ）（2A ）-1= 2 A -1(B) |2A | = 2 | A | (C) ()AA A11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设6115210112344321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44 = [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A，则A ＝ [ B ]。

（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。

2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。

其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。

所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。

其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。