基于根轨迹法的直线一级倒立摆控制系统设计

电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111姓名李杰学号 36姓名韩学建学号 35成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试;李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试;前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展;本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用;目录第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构 (4)设计的目的 (4)设计的基本任务 (4)设计的要求 (4)设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析微分方程的推导 (5)系统的稳定性和能控能观性分析 (11)二阶的能观性、能控性分析 (13)四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (22)极点配置 (22)控制器仿真设计与调试 (23)状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (26)极点配置 (26)控制器仿真设计与调试 (27)状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构与工作原理图倒立摆系统硬件框图图倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统;以直线一级倒立摆为例,其工作原理框图如图所示;图中光电码盘1由伺服电机自带,小车的位移可以根据该码盘的反馈通过换算获得,速度信号可以通过对位移的差分得到;各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反馈到I/O卡,而角速度信号可以通过对角度的差分得到;计算机从I/O卡实时读取数据,确定控制决策电机的输出力矩,并发给I/O卡;I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量,驱动电机转动,使小车按控制要求进行运动,以达到控制目的;实验过程中需要了解倒立摆装置基本结构;了解编码盘、行程开关等的基本工作原理;进行行程开关、编码盘和电机基本测试;设计的目的本设计要求我们针对设计要求,利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计;绘制原理图,同时在实验室进行实验检验设计结果,分析数据,编写设计报告;目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆;通过设计与调试使学生能够：1熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；2掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；3掌握系统性能的计算机辅助分析；4掌握系统控制器的设计与仿真；5研究调节器参数对系统动态性能的影响;设计的要求1.熟悉倒立摆系统结构,熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2.建立系统的数学模型,并在工作点附近线性化；3.分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4.采用状态空间的极点配置法设计控制器,要求系统调节时间ts<=3s,阻尼比ξ>= and ξ<=1;实验步骤1.倒立摆系统基本结构分析2.对象的建模3..系统性能分析4.控制器设计与调试5.设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模;实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出, 应用数学手段建立起系统的输入－输出关系;这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容;机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系;对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难;但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程;下面采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型;微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示;我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角考虑到摆杆初始位置为竖直向下图是系统中小车和摆杆的受力分析图;其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量;注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向;分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中,就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向,由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ,故等式前面有负号; 合并这两个方程,约去P 和N ,得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φφ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,假设φ与1单位是弧度相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下：⑨对式3-9进行拉普拉斯变换,得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0;由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到：⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程,得到：⒁整理后得到传递函数：⒂其中,该系统状态空间方程为：⒃方程组对解代数方程,得到解如下：⒄整理后得到系统状态空间方程：⒅由9的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程：稳定性分析P=polyA;r=rootsP;ii=findrealr>0;n=lengthii;ifn>0disp'不稳定';elsedisp'稳定';end不稳定由此得到系统在未加控制器之前是发散的,不稳定的能控能观性分析A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B= 0 1 0 3';C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ';>> n=4;Uc=ctrbA,B;Vo=obsvA,C;>> ifrankUc==nifrankVo==ndisp'系统状态即能控又能观'else disp'系统状态即能控,但不能观'endelse ifrankVo==ndisp'系统状态能观,但不能控'else disp'系统状态不能控,但也不能观' endend系统状态即能控又能观二阶的能观性、能控性分析>> A=0 1; 0;>> B=0 3';>> C=0 0 ;1 0;>> D=0;二阶能控性分析：>> M=ctrbA,BM =0 33 0>> rankMans =2说明系统是能控的二阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 11 0>> rankNans =2说明系统是能观的四阶的能观性、能控性>> A=0 1 0 0; 0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;;>> B=0 1 0 3';>> C= 1 0 0 0;0 0 1 0;>> D=0 0';四阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 0 00 0 00 00 0>> rankMans =4说明系统是能控的四阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0>> rankNans =4说明系统是能观的第三章倒立摆系统二阶控制器的设计设计的要求建立以X’’为输入,Φ与Φ’为状态变量,y为输出的模型分析系统的稳定性,能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置,是系统ξ>= ts<=3s极点配置取ξ=,Ts=；则Wn=,极点为±利用MATLAB进行计算:clear;T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;K=placeA,B,P则：K0=,K1=;控制器的仿真测试与调试图二阶系统结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图有次图可得加入控制器之后系统可以稳定,可见控制器的设计是合理的硬件调试硬件调试结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,加入Л模块纠正反馈角度符号通过调试K值,当K取的时候,可使仿真结果较稳定;从摆杆的角度可以看出,角度可以稳定下来,施加一干扰后,摆杆可以很快恢复稳定;状态观测器的仿真测试与调试图二阶状态观测器数字仿真图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;C=1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;OP=5P;G=placeA',C',OPG=实物调试由图可知,施加扰动后摆杆能很快恢复,符合系统要求;第四章倒立摆系统四阶控制器的设计设计要求根据设计要求,确定系统闭环极点,设计状态反馈控制器,并进行仿真、调试验证;极点配置取 &= T= Wn= 极点为：±；-20±利用MATLAB进行计算:T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-20+,S1,S2;K=placeA,B,Pk0=,k1=,k2= ,k3=;则K=控制器的仿真测试与调试图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出仿真结果：位移：角度：实物调试：图硬件调试结构图将K1、K2、K3、K4合并后反馈作用系统,系统为单输入双输出四阶一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果平衡时上为位移,下位角度直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果施加干扰上为位移,下位角度状态观测器仿真设计与调试图四阶状态观测器数字仿真图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-10+,S1,S2;OP=3P;G=placeA',C',OP'G =实物调试反馈矩阵G和增益矩阵K分别调用matlab程序即可实物仿真与结果心得体会通过此次课程设计,使我更加扎实的掌握了有关MATLAB方面的知识,在设计过程中虽然遇到了一些问题,但经过一次又一次的思考,一遍又一遍的检查终于找出了原因所在,也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足;实践出真知,通过亲自动手制作,使我们掌握的知识不再是纸上谈兵;课程设计诚然是一门专业课,给我很多专业知识以及专业技能上的提升,同时又是一门讲道课,一门辩思课,给了我许多道,给了我很多思,给了我莫大的空间;同时,设计让我感触很深;使我对抽象的理论有了具体的认识;通过这次课程设计,我掌握了倒立摆装置的识别和测试；熟悉了控制系统的设计原理；了解了现代控制理论的设计方法；以及如何提高倒立摆系统的性能等等,掌握了MATLAB、simulink的使用方法和技术,通过查询资料,对所学知识有了很多新的认识;自己写主要参考文献：1.夏德玲、翁贻方,自动控制理论．北京,北京工业大学出版社,2006年1月2.刘豹、唐万生,现代控制理论．北京,机械工业出版社,2006年6月3.李国勇、谢克明,计算机仿真技术与CAD．北京,电子工业出版社,2009年1月4.Googol Technology直线倒立摆系统GLIP系列安装与使用手册固高科技。

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书课程名称：自动控制理论设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：电气工程系班级：0806152设计者：段大坤学号：1082710118指导教师：郭犇设计时间：2011.6.13-2011.6.20哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书1.1数学模型建立数学模型的建立过程需要用到以下参数：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），其中θπφ=+分析小车水平方向所受的合力可得：Mx F bx N =-- （1）由摆杆水平方向受力分析可得：22(sin )d N m x l dtθ=+ （2）即2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-（3）将（3）代入（1）可得系统的第一个运动方程：2()cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= （4）对摆杆垂直方向的合力进行分析可得：()22cos d P mg m l dtθ-=- （5）即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+（6）力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--=（7）将（6）（7）合并可得第二个运动方程：2()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- （8）1、微分方程模型由于θπφ=+，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ和1（弧度）相比很小时，即1φ时，可进行如下近似处理：cos 1θ=-，sin θφ=-，2()0d dtθ=。

用u 代表被控对象的输入力F ，将模型线性化可得系统的微分方程表达式：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml uφφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩ （9） 2、传递函数模型设初始条件为0，,对（9）进行拉普拉斯变换可得：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s sM m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩（10） 输出为角度φ，解方程组（10）的第一个方程可得：22()()[]()I ml gX s s ml s+=-Φ （11）或222(()()s mls X s I ml s mglΦ=+-）（12） 令小车加速度v x =则有22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- 将（11）式代入方程组（10）的第二个方程可得222222()()()[]()[]()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s+++-Φ+-Φ-Φ=以u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出的传递函数为：22432()()()()ml ss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s sq q qΦ=+++--其中22[()()()]q M m I ml ml =++- 3、状态空间数学模型取x 、x 、φ、φ为状态变量作出系统的状态空间方程为2112222222220000x x -(I +ml )b m gl I ml 00x x I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml u 0000-mlbmgl(M +m)ml 00I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于质量均匀分布的摆杆有：213I ml =有（9）的第一个式子可得243ml mgl mlx φφ-= 化简得：3344g x l lφφ=+ 设u x '=则有10011330440000x x 00x x u 0000g00l l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦实际系统参数：小车质量0.5kg M =，摆杆质量m 0.2kg =，小车摩擦系数0.1N/m/s b =,摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m l =，摆杆惯量20.006I kg m =。

基于根轨迹校正法的倒立摆控制系统设计杨世勇;张景辉;谭翚【摘要】针对倒立摆系统的稳定控制问题,提出了一种根轨迹校正方案.建立控制对象的数学模型,运用经典控制理论的根轨迹校正法完成控制系统的设计,在Matlab 环境下对控制系统进行了仿真实验,并对该方案的要点进行了归纳性总结.仿真结果表明,该方法不仅成功实现了系统的稳定控制,也满足了期望的性能指标,从而充分证明了方案的正确性与有效性.【期刊名称】《电气传动自动化》【年(卷),期】2012(034)004【总页数】5页(P15-19)【关键词】根轨迹法;校正设计;主导极点;倒立摆【作者】杨世勇;张景辉;谭翚【作者单位】烟台大学计算机学院,山东烟台264005;烟台大学计算机学院,山东烟台264005;烟台大学计算机学院,山东烟台264005【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言在经典控制理论中，根轨迹法是一种分析和设计线性定常系统的图解方法，由于它具有方便快捷的特点，已经成为经典控制理论中最基本的方法之一。

关于根轨迹法校正，有不少文献给出了较详细的介绍［1、2]，还总结出了一些具体实现方法，如几何法、解析法等，它们的校正补偿器都采用固定的结构模式。

然而，实践中控制对象通常是较复杂的，因此在实际的控制系统设计时，校正补偿器有时不必拘泥于采用某种固定的模式，而应该以达到预期的性能指标为目的，方法越简单越好。

倒立摆是自动控制领域典型的控制对象，经常用来研究和检验控制策略与方法［3] ［4]。

本文以直线一级倒立摆为研究对象，采用一种根轨迹校正法，无须繁琐的几何作图和复杂的数学解析，仅需遵循绘制根轨迹的基本原则和一些定性的分析，便完成了控制系统的设计，达到了预期的性能指标，方法简单、快捷，对于高阶控制系统的设计具有一定的参考价值。

2 控制对象的建模及其分析［3] ［4]若忽略各种阻力和摩擦力，可将直线一级倒立摆抽象成小车和均匀质杆组成的系统，如图1所示。

1 引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

1.1 问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

1.2 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。

直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。

作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。

当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。

为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。

摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。

本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。

关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。

g 重力加速度（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的静态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征, 因此, 可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点.确定这对闭环主导极点的位置后, 首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上.如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上, 则无需校正, 只需调整系统的根轨迹增益即可；否则, 可在系统中串连一个超前校正装置.罕见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等.2. 实验方法（1）直线倒立摆建模、仿真与分析利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步伐获得系统的控制器, 利用MA TLAB Simulink中的工具进行仿真分析.（3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制利用MA TLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真, 并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值, 分析和仿真倒立摆的运行情况.3. 实验装置直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示, 包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈丈量元件等几年夜部份, 组成了一个闭环系统.图1 一级倒立摆实验硬件结构图对倒立摆本体而言, 可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移, 小车的速度信号可以通过差分法获得.摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备, 速度信号可以通过差分法获得.计算机从I/O设备中实时读取数据, 确定控制战略（实际上是机电的输出力矩）, 并发送给I/O设备, I/O设备发生相应的控制量, 交与伺服驱动器处置, 然后使机电转动, 带动小车运动, 坚持摆杆平衡.图2是一个典范的倒立摆装置.铝制小车由6V 的直流机电通过齿轮和齿条机构来驱动.小车可以沿不锈钢导轨做往复运动.小车位移通过一个额外的与机电齿轮啮合的齿轮测得.小车上面通过轴关节装置一个摆杆, 摆杆可以绕轴做旋转运动.系统的参数可以改变以使用户能够研究运动特性变动的影响, 同时结合系统详尽的参数说明和建模过程, 我们能够方便地设计自己的控制系统.图2 一级倒立摆实验装置图上面的倒立摆控制实验仪器, 包括：摆杆机构、滑块导轨机构基座, 其特征在于：其蜗杆通过轴承固定于基座上, 与之啮合的涡轮扇的轴通过轴承固定于动座下边, 年夜皮带轮轴一端联接机电, 另一端电位计由支座固定于动座上并机电共轴, 年夜皮带轮与2个小皮带轮通过皮带连结, 并通过轴承固定于动座之上；滑块固定联接于皮带轮之间的皮带上, 同时滑块与动座固定的导轨动配合；摆杆机构通过下摆支座与滑块绞接；控制箱连电位计, 机电.4. 实验内容及步伐 1）设计根轨迹校正控制器. （1）确定闭环期望极点d S 的位置, 由最年夜超调量2(1)10%p M e ζζπ--=≤,可以获得0.5912ζ≥, 取0.6ζ=, 由cos ζθ=得0.9273θ=rad,其中θ为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角.图3 性能指标与根轨迹关系图又由40.5s nt sζω=≤可以获得13.3333n ω≥, 取13.5n ω=, 于是可以获得期望的闭环极点为13.5(cos sin )8.110.8j j θθ-±≈-±*.（2）未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上, 欠亨过闭环期望极点, 因此需要对系统进行超前校正, 设控制器为1()(1)1cc cs z aTs G s a Ts s p ++==>++.（3）计算超前校正装置应提供的相角, 已知系统原来的极点在主导极点发生的滞后相角和为1113.5sin 13.5sin ()tan tan 13.5cos 7.74613.5cos 7.7462.1362d G s θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭≈,所以一次校正装置提供的相角为3.1416 2.1362 1.0054φ=-=.（4）设计超前校正装置, 已知0.9273θ=, 对最年夜的a 值的γ角度1()0.60452γπθφ=--=.图4 根轨迹校正计算图按最佳确定法作图规则, 在上图中画出相应的直线, 求出超前校正装置的零点和极点, 分别为7,24c p z z =-=-,校正后系统的开环传递函数为2(7) 6.122()()2460.06c K s Q KG s G s s s +==+-.（5）由幅值条件()1d Q s =, 反馈为单元反馈, 所以可得52.71k =. （6）于是我们获得了系统的控制器52.71(7)()24s G s s +=+（2）直线倒立摆建模、仿真与分析1）应用经典力学的理论, 结合实验手册建立直线一级倒立摆系统的笼统数学模型； （3）直线一级倒立摆PID 控制实验 1）PID 控制参数设定及仿真在Simulink 中建立如图5所示的直线一级倒立摆模型.图5 基于根轨迹校正控制的直线一级倒立摆Simulink 仿真模型点击“Simulation ”菜单, 在下拉菜单中选择“Simulation Parameters ”, 在下面窗口中设置“Simulation time ”以及“Solver options ”等选项.设置仿真步长为1秒.图6 Simulation Parameters 界面点击运行仿真, 双击“Scope ”模块观察仿真结果：图7 直线一级倒立摆的根轨迹校正仿真结果（一阶控制器）可以看出, 系统能较好的跟踪阶跃信号, 可是存在一定的稳态误差, 修改控制器的零点和极点, 可以获得分歧的控制效果, 屡次改变参数后, 选取仿真结果最好的参数进行根轨迹校正控制物理实验.2）根轨迹校正控制实验双击快捷方式“元创兴便携式倒立摆实物控制”, 在左侧的SelectExperiment模块中选择实验编号2, 然后单击右侧对应的Enabled Subsystem模块后呈现以下界面.图8 根轨迹校正实验模块组成把仿真获得的参数输入根轨迹校正控制器, 点击“OK”保管参数；点击编译法式, 完成后点击使计算机和倒立摆建立连接；点击运行法式, 缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置, 在法式进入自动控制后松开, 当小车运动到正负限位的位置时, 用工具挡一下摆杆, 使小车反向运动.5、实验延伸拓展在学习本次根轨迹校正控制实验的同时, 我查阅了更多的资料, 并检验考试运用matlab 自带的工具箱来获得更加稳定的根轨迹校正控制器的值.d =u1y1 0y2 02、传递函数表达式Gc =From input to output...1: --------------------------------------s^4 + 0.1485 s^3 - 20.16 s^2 - 2.915 s2: ----------------------------------Continuous-time transfer function.3、零极点增益表达式Gs =2.9745 s------------------------------(s-4.488) (s+4.492) (s+0.1446)Continuous-time zero/pole/gain model.（2）SISO TOOL进行根轨迹分析>> SISOTOOL(Gs)翻开SISO Design TOOL获得系统开环传递函数的根轨迹图, 并调节Control and Estimation Tools Manager|Control Architecture 窗口, 使得控制器C在反馈通道图9 Control Architecture 窗口翻开Edit|SISO Tool Preferences|Options|选择Zero/pole/gain, 没有添加控制器的开环传递函数根轨迹如图所示,图10 开环传递函数根轨迹然后在Matlab Command Window中再输入：>>pole(Gs)ans =可以看到传递函数的极点分布为：两个左半平面的极点和一个右半平面的极点, 以及一个在原点的零点, 构成了非最小相位系统, 显然, 系统是不稳定, 由于传递函数有一个极点位于右半平面.（3）通过添加超前滞后校正获得相对稳定的系统依次添加的零点-5与极点-100构成超前校正器, 添加的零点-1与极点0构成滞后校正, 最后拖动系统闭环主导极点, 使其向左半平面移动, 从而调节增益k, 并同时观察阶跃响应曲线和Nyquist曲线, 使得系统稳定, 并同时达到设计指标.所添加的零点-1与极点0构成滞后校正, 滞后校正网络实质上是一个低通滤波器, 对低频信号有较高的增益, 从而减小了系统的稳态误差, 同时由于滞后校正在高频段的衰减作用, 使增益剪切频率移到较低的频率上, 保证了系统的稳定性.从而有助于改善系统的稳态性能, 而且能够坚持理想的瞬态性能.所添加的零点-5与极点-100构成超前校正器, 能够发生如下影响：(1)渐近线向左移动, 有利于改善系统的瞬态性能；(2)改变根轨迹的分布图, 使超前校正装置的零极点分布合理, 并有助于改善系统的瞬态特性.图11 阶跃响应曲线和Nyquist曲线图12 根轨迹在原点处局部放年夜的根轨迹绘制阶跃响应曲线和Nyquist曲线图13阶跃响应曲线和Nyquist曲线可以看出摆杆角度最终小于0.04rad, 稳按时间在3.0-3.5s之间.依照把持步伐6的方法导出此时控制器的传递函数.（4）导出控制器的传递函数Cs =484.98 (s+1) (s+5)------------------s (s+100)Cs=tf(Cs)Cs =485 s^2 + 2910 s + 2425-----------------------s^2 + 100 s对此时的控制器传递函数进行离散化如下,c2d(Cs,0.005)ans =-------------------------(5) Simulink仿真1、基于线性模型的Simulink仿真分别从信号源库(Sources)、数学运算库(Math Operations)、连续系统库(Continuous)、经常使用模块(Commonly Used Blocks)、输出方式库(Sinks)中将阶跃信号发生器(Step)、相加器（Sum）、状态空间模型(State-Space)、传递函数(Transfer Fcn)、分线器(Demux) 、示波器(Scope)选中, 并将其拖至模型窗口.按要求将各个模块如图连接好.四个示波器分别显示小车位置, 小车速度, 摆杆摆角, 摆杆角速度.图14 根轨迹校正的simulink仿真图运行后, 双击Scope和Scope2获得小车位置和摆杆角度的单元阶跃响应的曲线：图15 小车位置图16摆杆角度由图可知, 摆杆能够稳定, 可是小车的位置不能够控制.由于直线一级倒立摆是单输入单输出模型, 在设计时只把摆杆角度作为控制目标, 而没有涉及小车的位置, 小车位移在阶跃输入下信号线性增加, 所以小车在双方向运动, 不能稳定在某个位置, 最终会触发限位开关.2、基于非线性模型的Simulink仿真控制器采纳线性方程仿真所设计的摆杆角度控制器,在课后习题有涉及计算环节, 不再详述.图17 基于非线性模型的Simulink仿真图18 小车位置图19 摆杆角度三、结果1. 完成直线倒立摆建模、仿真与分析运行后, 倒立摆经过手动起摆, 达到平衡位置后稳定；如果给以一定范围内的干扰, 倒立摆能较快地重新恢复平衡状态.需要注意的是, 尽量让小车处于轨道中间位置附近.2. 完成直线一级倒立摆根轨迹校正控制实验（1）倒立摆平衡实验结果如下图所示：图20 直线一级倒立摆根轨迹校正控制实验结果从图中可以看出, 倒立摆可以实现较好的稳定性.（2）扰动实验在系统处于稳态时, 考察系统的抗扰动能力.在给定干扰的情况下, 小车位置和摆杆角度的变动曲线如下图所示：图21 直线一级倒立摆根轨迹控制实验结果2（施加干扰）可以看出, 系统可以较好的抵换外界干扰, 在干扰停止作用后, 系统能很快回到平衡位置.（3）实验结果分析从图21所示的变动曲线可知, 当小车位置受到外界干扰而变动时, 系统控制法式总能使其在一按时间内, 逐渐回到一个固定角度范围内；如果不受到干扰, 将一直坚持在这个角度范围内, 最后趋于定值, 坚持稳定.。

科学实践摘要：建立了直线一级倒立摆的数学模型，采用MATLAB分析了开环时倒立摆的不稳定性，运用根轨迹法设计了控制器，仿真及实控结果表明，该控制系统的设计是正确、可行的。

关键词：倒立摆根轨迹控制器0引言摆是进行控制理论研究的典型实验平台，可以分为倒立摆和顺摆。

由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。

由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。

1直线一级倒立摆的建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

其中M为小车质量，m为摆杆质量，b为小车摩擦系数，l为摆杆转动轴心到杆质心的长度，I为摆杆惯量，F为加在小车上的力，x为小车位置，Φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。

系统中小车和摆杆的受力分析如图1。

其中N、P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

对小车进行受力分析，由小车摆杆水平方向受力分析得:(1)对摆杆垂直方向上的合力进行分析得:(2)线性化后两个运动方程为：得到直线一级倒立摆系统的传递函数：2倒立摆开环系统仿真与校正实际系统的模型参数为：M=1.096Kg，m=0.109Kg，b=0. 1N/m/sec，L=0.25m，I=0.0034kg*m*m，T=0.005秒。

倒立摆的开环传递函数为：(5)2.1倒立摆开环系统性能分析在MATLAB中编写m文件，对开环系统进行仿真。

Num=[0.02725]；Den=[0.01021250-0. 26705]；rlocus(num，den)开环系统根轨迹如图2：由图2可以看出，闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即直线一级倒立摆系统系统总是不稳定的。

直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。

（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。

（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。

（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。

在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。

本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。

一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。

该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。

常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。

在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。

比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。

比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。

三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。

四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。

我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。

在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。

在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。

在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。

常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。

在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。

五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。