专题1函数导数与不等式

专题1 函数、导数与不等式

二、高考回放

【2007年第20题（理科），13分】 已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：)0()()(>≥x x g x f ．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，2

3()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即2

20002

00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

，，由200

32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215

23ln 3ln 22b a a a a a a a =

+-=-． 令22

5()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->，即13

0t e <<时，()0h t '>；

当(13ln )0t t -<，即13

t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

3

0e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，∞为减函数，

于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12

333

2

h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．

（Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->， 则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x

-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．

故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．

【2008年第20题（理科），12分】

水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为

⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤<+-+-=121050)413)(10(410050)4014()(412

t t t t e t t t V t ，

， （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i =L ）,

同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）.

本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）①当010t <≤时，1

2

4

()(1440)5050x V t t t e

=-+-+<，化简得214400t t -+>,

解得4t <，或10t >，又010t <≤，故04t <<.

②当1012t <≤时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<，化简得(10)(341)0t t --<,

解得41

103

t <<

，又1012t <≤,故1012t <≤. 综合得04t <<,或1012t <≤；

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()V t 的最大值只能在（4，10）内达到.

由1

1'

24

4

131()(4)(2)(8),424

t t V t c t t c t t =-++=-+-

令'

()0V t =，解得8t =(2t =-舍去).

当t 变化时，'

()V t 与()V t 的变化情况如下表：

由上表，()V t 在t ＝8时取得最大值(8)850108.32V e =+=(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

【2009年第21题（理科），14分】

在R 上定义运算()()1:43

p q p c q b bc ⊗⊗=-

--+（b 、c 为实常数）

。记c x x f 2)(2

1-=，b x x f 2)(22-=，R x ∈.令)()()(21x f x f x f ⊗=.

()I 如果函数)(x f 在1=x 处有极值4

3

-,试确定b 、c 的值；

()II 求曲线)(x f y =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；

()III 记()()()|11g x f x x '=

-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大

值。

本题主要考查函数、函数的导数、极值、切线和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.

解：12121(1)()()()(())(())43

f x f x f x f x c f x b bc =⊕=---+Q

322

21

3

'(1)0

11'()2,413(1)3:1,1,'()(1)01,2

x bx cx bc

f b b f x x bx c c c f b c f x x b c =-+++=⎧==-⎧⎧⎪∴=-++⇒⎨⎨⎨

=-==-⎩⎩⎪⎩

==-=--≤∴=-=由或经检验时无极值, 2232

(2)'()2,2,021)0(0,),(0,),(3,4)13f x x bx c x bx c c x x b x bc y cx bc y cx bc bc b bc y x bx cx bc =-++∴-++=∴===⇒=+=+⎧⎪⇒⎨=-+++⎪⎩

Q 或若切点切线方程为由公共点为

3

3333332342)2(2,

3)3

44

(3)(2),,

334443(2,3),(,)

13330,(0,0)

0,,(0,)(3,4)

4(2,3)3x b b b bc y b bc c x b y cx bc b y cx bc b b b bc b b y x bx cx bc

b b b

c b bc b b bc =⇒+-+=-=++⎧

=++⎪⎪⇒+-⎨⎪=-+++⎪⎩

∴=≠+若切点切线方程为即由公共点为时切线与曲线公共点只有一个时切线与曲线公共点有两个分别为和或34

(,)

3

b b -和 （3）∵

c b b x x f x g ++--='=2

2)()()(

当1||>b 时，)(x f y '=对称轴位于区间[]11，-之外 ∴)(x f y '=在[]11，

-端点处取得最值， ∴{})1()1(m ax -=g g M ， ∴

4

4)21()21(2121)1()1(2>=+---++-≥+--+++-=-+≥b c b c b c b c b g g M

∴2>M

当1||≤b 时，)(x f y '=对称轴位于区间[]11，-内， ∴{})()1()1(m ax b g g g M ，，-=