b >=__________________=__________________； a ∥b ⇔__________⇔__________________； a ⊥b ⇔__________⇔__________________． 四、空间位置关系
1． 直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称−−→
AB 为直线l 的方向向量．
与−−→
AB 平行的任意__________也是直线的方向向量． （2）平面的法向量
①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量．
②确定：设a ，b 是平面内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______________． 2． 空间位置关系的向量表示
精讲精练
1. 已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则
1()2AB BD BC −−→
−−
→−−→++=（ ）
G
D
C
B
A
A ．BC −−→
B ．CG −−→
C ．AG −−→
D ．12
BC −−
→ 2. 如图，在四面体OABC 中，OA −−→
=a ，OB −−→=b ，OC −−→
=c ，
D 为BC 的中点，
E 为AD 的中点，则−−→
OE =___________． （用a ，b ，c 表示）
E O
A
B
C
D
3. 已知向量a ，b ，且2AB −−→
=+a b ，56BC −−→
=-+a b ，72CD −−→
=-a b ，则一定共线
的三点是（ ） A ．A ，B ，D
B ．A ，B ，C
C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
4. 下列等式中，使M ，A ，B ，C 共面的有__________．
①OM OA OB OC −−→
−−→
−−→
−−→
=+-； ②111532
OM OA OB OC −−→
−−
→−−→−−→=++；
③MA MB MC −−→
−−→
−−→
++=0； ④OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→
+++=0．
5. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一个单位正交基底，{a +b ，a -b ，c }是空间的另
一个基底，若向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为(32，1
2
-，3)，则p
在基底{a ，b ，c }下的坐标为__________．
6. 已知a =(x ，4，1)，b =(-2，y ，-1)，c =(3，-2，z )，a ∥b ，
b ⊥
c ．
（1）x =_______，y =_________，z =_________； （2）a +c 与b +c 所成角的余弦值为______________．
7. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，
点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF −−→
•DC −−→
=（ ）
D
C
B
A F
E
A ．14
B ．1
4
- C
．4 D
．4-
8. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，
点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则−−→AE •AF −−→
的值为（ ）
A ．2a
B ．21
2
a
C ．214
a
D
2
9. 若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若l ⊥α，则a ⊥n
B ．若l ∥α，则a ∥n
C ．若a ∥n ，则l ⊥α
D ．若a •n =0，则l ⊥α
