红绿灯优化问题
摘要
红绿灯（交通信号灯）系以规定之时间上交互更迭之光色讯号，设置于交岔路口或其他特殊地点，用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及转向之交通管制设施。为一由电力运转之交通管制设施，以红、黄、绿三色灯号或辅以音响，指示车辆及行人停止、注意与行进，设于交岔路口或其他必地点。
有些红绿灯在设计的时候，由于考虑不周全，环境的发展变化，出现了一系列问题，使得不能真正的方便于人。为了使红绿灯能真正的方便于人，本文建模过程根据实际情况，考虑诸如道路车辆行驶速度、行人行走速度、车流量、人流量、路段宽度等相关问题，对这些因素进行了数据收集，利用数学方法对其进行了分析，得出了各个影响红绿灯变化的规律及其拟合方程。
一、问题重述
灯是用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及其转向之交通管制设施，红绿灯灯亮的时间长短问题影响了车辆和行人的通行。如控制方案不佳，会导致行人和车辆通行的不便，怎样设置才能使红绿灯时间达到最佳。
在日常生活中我们知道红绿灯的表示如下：
（一）绿灯亮时，准许车辆通行，但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆、行人通行；
（二）黄灯亮时，已越过停止线的车辆可以继续通行；
（三）红灯亮时，禁止车辆通行。
根据其工作原理我们可以知道，在红绿灯前首先司机会看到黄灯，黄灯亮
后变成红灯，红灯亮后，没有通过停止线的车辆则要停止，行人此时过马路。此后再变绿灯，以此循环。但由于变化的规律性，地域的差异，红绿灯时间很难达到最佳。
红绿灯时间差的决定因素大体可以归为两个：车流量和人流量。
第一个因素车流量会因为地域经济发展程度而决定。所谓的地域经济发展程度会影响该地域人们的经济，人们的经济条件则决定车的总量。
第二个因素人流量的主要影响条件也是地域经济发展程度，所以我们把总因素，即红绿灯的时间差因素归纳为地域经济发展因素的影响。
根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表所示：
根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表所示：
二、模型的建设
1、假设公路路面行驶顺畅，所以车辆设为质点，车距相等；
2、假设司机的反应时间相同；
3、假设车辆离红绿灯较远的速度和离开红绿灯后的速度相等。
三、符号说明
Q为等候红绿灯的人流量
W为车流量
V为车辆离红绿灯较远时的速度（m/s）
T为红绿灯所占时间周期（s）
I为相邻两红绿灯的道路长度（m）
E为所需通行时间占周期总时间的比例
K为车辆密度（辆/km）
四、模型建立与求解
在公路上选定一个坐标原点，记作x=0.以车流运动方向作为X轴的正向，对于每一时刻t和每一点x，引入3个基本函数；
流量W(x,t)时刻t单位时间通过点x的车辆数；
密度K(x,t)时刻t点x处单位长度的车辆数；
速度u(x,t)时刻t通过点x的车流速度；
单位时间通过的车辆数等于单位长度的车辆数与车辆速度的乘积，即
W(x,t)=u(x,t)K(x,t)①
由这三个函数我们可以得知，车流速度u 总是随着车流密度K 的增加而减小的。当一汽车前面没有车辆的时候，它将以最大速度V 行驶。当亮红灯时，车队首尾连接造成堵塞，车辆无法前进，此时K 为最大值，车辆行驶速度u=0.
在交通模型中这个关系常用如下二次函数表述：
W=uK(1-K/Km)②
由①②得出：
U=um(1-k/km)
最后得到，W 的最大极值点为Km/2
说明，红灯亮时道路中间的车辆密度为最大，首尾两端递减。
若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度K （x ）是常数。某时刻交通灯突然变红灯，于是前面车辆继续行驶，后面的车辆则一辆辆地堵塞起来。
红绿灯的变化必然引起密度函数K （x,t ）的间断，一连串的间断点（x,t ）在平面上构成一条孤立连续的间断线。
考虑到如果汽车以V0 (m/s)行驶的过程中遇到红灯，汽车将会经历一个减
速过程，最后停在红灯线前，为了使模型较为简练，近似地取
b 3v v =作为汽车在这个过程中的速度。同样的，当绿灯亮时，汽车将经历一个加速过程，最后以一个较大Va=V0的速度离开路口，模型建立的时候认为加速过程较短，可以忽略，汽车离开路口的速度为Va 。
1.2.5车流密度和速度假设
定义一个变量车流密度k(辆/km)表示在一千米长的道路上的平均的车辆数目。假设k 只是速度v 的函数，即()k k v =，并且，v 越大，则k 越小，v 越小，
则k越大。
1.3模型建立
1.3.1车流波及波速
列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。
车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。
此车流波动沿道路移动的速度称为波速。
假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w(w为垂线S相对于路面的绝对速度)，并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。如下图1.1表示：
图1.1车流波示意图
首先看波速公式的推导：
假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S 分割这两种密度，称S 为波阵面，设S 的速度为w （ w 为垂线S 相对于路面的绝对速度），并规定垂线S 的速度w 沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间由A 进入S 面的车辆数等于由S 面驶入B 的车辆数，即：
1122()()v w K t v w K t
-=- 可解得
221121V K V K w K K -=-
如图，2211
21V K V K w K K -=- (1.1)
1.3.2目标函数及约束条件
