2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020年高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A．乡村游人数逐年上升B．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．在等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝8a2，则数列{a n}前7项的和S7＝（）A．253B．254C．255D．2565．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为（）A．123B．125C．127D．129 6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f(x)=2x cosx4x+a是偶函数，则函数f（x）的最大值为（）A．1B．2C．12D．38．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（）A．710B．310C．13D．7249．已知双曲线C.x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2﹣a2﹣b2＝0与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=√3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．√2B．√3+12C．2D．√3+110．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[1e 2，+∞) B ．[12e，+∞) C ．(1e，+∞)D ．[√e+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≥0x ≤2，则z ＝2x +y 的最小值为 ．14．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为 ．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 ． 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离最小，求点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥mx恒成立，求实数m的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，∴A∪B＝（0，+∞）．故选：A．2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．解：因为z=1−i+2a1−i=1﹣i+2a(1+i)(1−i)(1+i)=1﹣i+a（1+i）＝1+a+（a﹣1）i；由题意可得：1+a＞0且a﹣1＜0；即﹣1＜a＜1；故选：B．3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A ．乡村游人数逐年上升B ．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D ．从2016年开始，乡村游人数明显增多 【分析】根据所给柱状图，逐一对照分析即可解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A 正确；2015年乡村游增长人数为250﹣180＝70万人，2014年乡村游增长人数为180﹣150＝30万人，由70180＞30150，故B 正确；近8年乡村游人数平均数为110+150+180+250+330+510+720+9508=400＞330，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C 错误； 从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D 正确． 故选：C ．4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝8a 2，则数列{a n }前7项的和S 7＝（ ） A ．253B ．254C ．255D ．256【分析】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝8a 2，变形分析可得q 的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 又由a 5＝8a 2，变形可得a 5a 2=8，即a 5a 2=q 3=a5a 2=8，变形可得q ＝2；则数列{a n }前7项的和S 7=a 1(1−q 7)1−q=254；故选：B ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A．123B．125C．127D．129【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得x＝2执行循环体，x＝3不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝7不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝127此时，满足判断框内的条件x＞100，退出循环，输出x的值为127．故选：C．6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案． 解：①若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α， 而m ⊥α，则m ∥n ； 故①正确；②若m ∥α，α⊥β，n ⊥β，则m ∥n 或m ⊥n ； 故②错误；③若n ⊥β，α∥β，m ∥α，则m ⊥n ； 故③正确；④若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ∥n ， 故④错误； 故选：B ．7．已知函数f(x)=2xcosx4x +a是偶函数，则函数f （x ）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】根据题意，由偶函数的定义可得2−x cos(−x)4−x +a=2x cosx 4x +a，变形可得a 的值，即可得f （x ）的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f(x)=2x cosx4x +a 是偶函数，则有2−x cos(−x)4−x +a =2x cosx 4x+a， 变形可得：a （4x ﹣1）＝4x ﹣1，分析可得a ＝1；则f （x ）=2xcosx 4x +a =cosx2x +2−x ，又由当x ＝0时，cos x 取得最大值为1，同时2x +2﹣x 取得最小值2， 则此时f （x ）取得最大值12；故选：C ．8．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（ ）A ．710B ．310C ．13D ．724【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin （α+π4）的值，从而利用sin α＝sin[（α+π4）−π4]，可求sin α，cos α，即可得解tan α的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．解：∵a 为锐角，且cos （α+π4）=35，α+π4∈（π4，3π4），∴sin （α+π4）=45，∴sin α＝sin[（α+π4）−π4]＝sin （α+π4）cos π4−cos （α+π4）sin π4=45×√22−35×√22=√210，cos α=√1−sin 2α=7√210∴tan α=sinαcosα=17， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×171−(17)2=724． 故选：D ．9．已知双曲线C.x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0与双曲线的一个交点为P ，若|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3+12C ．2D ．√3+1【分析】设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，由于圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0可化简为x 2+y 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆，所以PF 1⊥PF 2，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2，解得c ＝x ；由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，解得a =√3−12x ，最后由离心率e =ca 代入化简即可得解．解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，∵圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0，即x 2+y 2＝a 2+b 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆， ∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2， ∴c ＝x ，由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，∴a =√3−12x ，∴离心率e =c a =√3−12x =√3+1．故选：D ．10．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．5【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．解：把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后，得到函数g （x ）＝cos （ωx +ωπ6+π3）的图象， ∵函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6， ∴ω•π6+ω•π6+π3=k π，即ω＝3k ﹣1，k ∈Z ①．若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则12⋅2πω≥2π3−π3，∴ω≤3②． 根据①②，综合所给的选项，可得ω的取值范围是ω＝2， 故选：C ．11．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，可知当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x ，则三条侧棱长可求，进一步求得△ABC 的面积． 解：设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直， 有43πR 3=56√143，得R =√14． 又由PA 2+PB 2+PC 2＝4R 2，有14x 2=4×(√14)2，得x ＝2． 此时AB =2√5，AC =2√10，BC =2√13． 由cos ∠BAC =2×25×210=√210，sin ∠BAC =7√210．∴△ABC 的面积为12×2√5×2√10×7√210=14．故选：C ．12．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．[1e2，+∞)B．[12e，+∞)C．(1e，+∞)D．[√e+∞)【分析】当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，不等式显然成立，②当x≥1时，问题可转化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln （lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx2，令h（x）=lnx2，只需要m大于等于h（x）的最大值即可．解：当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，lnx＜0，mxe mx2＞0，不等式显然成立，②当x≥1时，不等式mxe mx2≥lnx，可化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln（lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），又由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx x2，令h（x）=lnxx2，有h′（x）=x−2xlnxx4=1−2lnxx3（x≥1），由h′（x）＞0，有1＜x＜√e，可得函数h（x）的递增区间为（1，√e），减区间为（√e，+∞），有h（x）max＝h（√e）=ln√e(√e)2=12e，故实数m的取值范围为[12e，+∞）．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x，y满足{x−y≥0x+y−2≥0x≤2，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值为3．解：作出不等式组{x−y≥0x+y−2≥0x≤2表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（2，2），C（2，0）设z＝F（x，y）＝2x+y，将直线l：z＝2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z 最小值＝F （1，1）＝3 故答案为：314．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为π6．【分析】根据a →⊥(3a →−4b →)可得出a →⋅(3a →−4b →)=0，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →=3，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，进而得出a →与b →的夹角． 解：∵|a →|=2，|b →|=√3，a →⊥(3a →−4b →)，∴a →⋅(3a →−4b →)=3a →2−4a →⋅b →=12−4a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=3，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=32√3=√32，且0≤＜a →，b →＞≤π，∴a →与b →的夹角为π6．故答案为：π6．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 ＞ 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）【分析】由题意可知a 7＜0，a 8＞0，由等差数列的前n 项和公式结合等差数列的性质可得S 15＞0，S 13＜0，则答案可求．解：由题意，S 6＞S 7＜S 8，则a 7＜0，a 8＞0．S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7＜0，S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8＞0． ∴S 15﹣2S 13＞0． 故答案为：＞．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 4 ． 【分析】设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，将其与抛物线的方程联立，消去x ，写出韦达定理可得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1；写出直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，从而得点P （﹣1，−y 1x 1），同理可得点Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，然后根据均值不等式有，|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，故而得解． 解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，焦点F （1，0），设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，∴{y 1+y 2=4my 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1，∵直线OA 的方程为y =y1x 1x ，∴令x ＝﹣1，则y =−y 1x 1，∴P （﹣1，−y1x 1），同理可得，Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，由|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，可知|PQ |的最小值为4．故答案为：4．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； （2）由已知结合三角形的面积公式可求bc ，然后结合余弦定理即可求解． 解：（1）∵√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ，由正弦定理可得，√3sin B ＝（sin A cos C +sin C cos A ）tan A ＝sin （A +C ）tan A ＝sin B tan A ， 因为sin B ≠0， 故tan A =√3， 因为A ∈（0，π）， 故A =π3，（2）S △ABC =12bcsinA =√34bc =√3，∴bc ＝4，因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∴b 2+c 2＝10，∴（b +c ）2＝10+2×4＝18， 则b +c ＝3√2， 由{b +c =3√2bc =4， 解可得{b =√2c =2√2或{b =2√2c =√2．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．【分析】（1）先证明OE ∥平面BCD 及EF ∥平面BCD ，进而可证平面OEF ∥平面BCD ； （2）建立空间直角坐标系，求得平面ODE 及平面OEF 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．解：（1）证明：∵AO ＝OB ，AE ＝EC ，AF ＝FD ， ∴OE ∥BC ，EF ∥CD ，∵OE 不在平面BCD 内，BC 在平面BCD 内， ∴OE ∥平面BCD ；∵EF 不在平面BCD 内，CD 在平面BCD 内， ∴EF ∥平面BCD ；又EF ∩OE ＝E ，且都在平面OEF 内， ∴平面OEF ∥平面BCD ；（2）如图，连接CO ，由AC ＝BC ，AO ＝OB ，有CO ⊥AB ，在△AOC 中，OC =√AC 2−AO 2=√2−1=1，可得AO ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， ∵OD ⊥平面ABC ，可得OB ，OC ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，B(1，0，0)，A(−1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，1)，E(−12，12，0)，F(−12，0，12)， 设平面OED 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，OE →=(−12，12，0)，OD →=(0，0，1)，有{OE →⋅m →=−12a +12b =0OD →⋅m →=c =0，则可取m →=(1，1，0)，同理可求得平面OEF 的一个法向量为n →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√63，∴二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值为√63．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 【分析】（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A ，求出献爱心参与者中奖的概率． （2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X ＝100，80，60，﹣100，由此能求出X 学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望． 解：（1）“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A ， 则P （A ）=C 63C 93=521；（2）设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X 元， 则X ＝100，80，60，﹣100， 则P （X ＝100）=C 63C 93=521，P （X ＝80）=C 31C 62C 93=1528，P （X ＝60）=C 32C 61C 93=314， P （X ＝﹣100）=C 33C 93=184，故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E （X ）＝100×521+80×1528+60×314+100×184=2353，故此次募捐所得善款的数学期望为2353×300＝23500（元）．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．【分析】（1）由题意可知a ＝2c ，b =√3c ，所以椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，把点A 的坐标代入求出c 的值，进而求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的坐标方程； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x 1x 2+y 1y 2，和点T ，点M ，点N 的坐标，代入7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →化简整理得7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，则必有4﹣m 2＝3，可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21．解：（1）设点F 的坐标为（c ，0），由|OF |＝c ，|OB |＝b ，|BF |＝a ，∠OBF ＝30°，有a ＝2c ，b =√3c ，可得椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，代入点A 的坐标有12c 2+12c 2=1，解得c ＝1， ∴椭圆C 的坐标方程为x 24+y 23=1；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ＞0），联立方程{x 24+y 23=1y =kx +m，消去y 后整理得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，∴x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，由△＝64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）＞0，得4k 2﹣m 2+3＞0， ∴y 1+y 2＝（kx 1+m ）+（kx 2+m ）＝k （x 1+x 2）+2m =−8k 2m 4k 2+3+2m =6m4k 2+3，y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=k 2(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2=3m 2−12k 24k 2+3，∴x 1x 2+y 1y 2=7m 2−12k 2−124k 2+3，点T 的坐标为（−4km 4k 2+3，3m 4k +3），点M 的坐标为（−mk ，0），点N 的坐标为（0，m ），∴OM →+ON →=(−mk ，m)，∴OT →⋅(OM →+ON →)=4m 24k 2+3+3m 24k 2+3=7m 24k 2+3， ∴7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →＝7OP →⋅OQ →−4OT →⋅(OM →+ON →) ＝7（x 1x 2+y 1y 2）−28m 24k 2+3=7(7m 2−12k 2−12)4k 2+3−28m 24k 2+3=7(3m 2−12k 2−12)4k 2+3=7[−12k 2+(3m 2−12)]4k 2+3=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，必有4﹣m 2＝3，解得m ＝±1，由m ＞0可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈一、选择题）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f ′（1）＝4e ﹣2a ，再求出f （1）＝2e ﹣a ，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a 值； （2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax=(x+1)(2xe x −a)x．当a≤0时，f （x ）单调递增，最多只有一个零点；当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0），利用导数可知存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0，有x 0e x 0=a2，函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）．由f （x 0）＜0，得a ＞2e ．然后证明当x ＞lna 时，f （x ）＞0．即可说明函数f （x ）有两个零点．由此可得实数a 的取值范围． 解：（1）由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax ，得f ′（1）＝4e ﹣2a ， 又f （1）＝2e ﹣a ，∴切线l 的方程为y ﹣（2e ﹣a ）＝（4e ﹣2a ）（x ﹣1），代入点（0，﹣2e ﹣1）， 有﹣2e ﹣1﹣（2e ﹣a ）＝﹣（4e ﹣2a ），解得a ＝﹣1． 故实数a 的值为﹣1；（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax =（x +1）（2e x −ax ）=(x+1)(2xe x −a)x．①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增，最多只有一个零点； ②当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0）．由g ′（x ）＝2（x +1）e x ＞0，可知函数g （x ）单调递增，又g （0）＝﹣a ＜0， g （a ）＝2ae a ﹣a ＝a （2e a ﹣1）＞0，可得存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0， 有x 0e x 0=a2，可知函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）． 若函数f （x ）有两个零点，必有f （x 0）=2x 0e x 0−ax 0−alnx 0 ＝a ﹣a （x 0+lnx 0）=a −aln(x 0e x 0)=a −aln a2＜0，得a ＞2e ． 又由f （e ﹣a ）＞﹣ae ﹣a ﹣alne ﹣a =a 2−a e a =a(ae a −1)e a ＞0． 令h （x ）＝x ﹣lnx ，有h ′（x ）＝1−1x=x−1x，令h ′（x ）＞0， 可得x ＞1，故函数h （x ）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），有h （x ）≥h （1）＝1．当x ＞lna 时，e x ＞a ，f （x ）＝x （2e x ﹣a ）﹣alnx ＞ax ﹣alnx ＝a （x ﹣lnx ）≥a ＞0． 可得此时函数f （x ）有两个零点．由上可知，若函数f （x ）有两个零点，则实数a 的取值范围是（2e ，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且点P 到直线l 的距离最小，求点P 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=3√22．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y +3＝0．（2）设点P （√3cosα，sinα）为曲线上一点，所以点P 到直线的距离d =√3cosα−sinα+3|√1+1=|2cos(α+π6)+3|2，当cos （α+π6）＝﹣1时，即α=5π6时， 点P 到直线l 的距离的最小值为√22，且P （−32，12）． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x |． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，求实数m 的值．【分析】（1）由题意可得|x ﹣2|﹣|x |≥1，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）可得f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，结合不等式f （x ）≥mx 恒成立，可得m 的值，检验即可得到结论．解：（1）不等式|x ﹣2|﹣|x |≥1等价为{x ≥2x −2−x ≥1或{0＜x ＜22−x −x ≥1或{x ≤02−x +x ≥1， 解得x ∈∅或0＜x ≤12或x ≤0，则原不等式的解集为{x |x ≤12}；（2）x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，由f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，可得{f(2)≥2m f(−2)≥−2m ，即{−2≥2m 2≥−2m， 解得﹣1≤m ≤﹣1，故m ＝﹣1，当m ＝﹣1时，且﹣2≤x ≤2时，f （x ）+x ＝|x ﹣2|+x ﹣|x |＝2﹣x +x ﹣|x |＝2﹣|x |≥0， 故实数m 的值为﹣1．。

2020年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}选：A．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限选：D．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9选：B．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β选：D．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁选：D．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18选：D．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3选：C．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．选：D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．选：A．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为选：D．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．选：B．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，∴BA⊥平面P AD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a ＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。

2020年东北三省三校高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.已知复数z=sinθ−2√23+(cosθ−13)i为纯虚数，则tanθ=()A. −2√2B. −√24C. √24D. 2√23.小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为()A. 4B. 3C. 2D. 14.“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是()A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日(2月10日至13日)乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多5.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. 23B. 43C. 53D. 736.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为()A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值7.函数y=sinx+√3cosx的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期2πB. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 函数f(x)的图象关于(π3,0)对称中心D. 函数f(x)在[5π6,11π6]上递增8.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=AB=2，∠BAD=60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. −√105B. −15 C. 15D. √1059. 已知圆M ：x 2+y 2=12，过圆M 内一点E(1,√2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 6√2B. 12√2C. 12√3D. 24√310. 已知函数f(x)={|x −1+1|,x <0|x −1|−1,x ≥0，若函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A. [−1,12) B. (−∞,−116)∪(12,+∞) C. [−116,12)D. {−116}∪[0,12)11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且|BF|=3|AF|，则双曲线C 的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,3]C. (3,+∞)D. [2,+∞)12. 若对任意x ∈(0,+∞)，不等式2e 2x −alna −alnx ≥0恒成立，则实数a 的最大值为( )A. √eB. eC. 2eD. e 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民．中国之光--中国女排，一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力．一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是______．14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌．下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘蒽并四苯……并n 苯结构简式…… …… 分子式C 10H 8 C 14H 10C 18H 12…………由此推断并十苯的分子式为______．15. f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，则不等式f(x)>e 2−2x +1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，则A=；若O是△ABC外接圆的圆心，且cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m=．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)，满足a1=2b1，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0．(Ⅰ)令c n=a nb n，证明：数列{c n}为等差数列，并求数列{c n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=13 n，求数列{a n}的前n项和S n．18.新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：A套餐(在下列食品中6选3)西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；中式面点：豆包、桂花糕．B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．复工复产后某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表：(Ⅰ)根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况，结合两种套餐的平均销售量和方差，评价两种套餐的销售情况(不需要计算，只给出结论即可)；(Ⅱ)如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率；(Ⅲ)某顾客购买一份A套餐，求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望．19. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6(如图2)．(Ⅰ)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；(Ⅱ)在线段PC 上存在点F ，满足PC =4PF ，求平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆C 1：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，P 1(1,1)，P 2(0,2)，P 3(√32,−1)，P 4(√32,1)四点中恰有三点在椭圆C 1上，抛物线C 2：y 2=2px(p >0)焦点到准线的距离为12． (Ⅰ)求椭圆C 1、抛物线C 2的方程；(Ⅱ)过椭圆C 1右顶点Q 的直线l 与抛物线C 2交于点A 、B ，射线OA 、OB 分别交椭圆C 1于点M 、N ． (i)证明：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (ii)求△AOB 、△MON 的面积分别为S 1、S 2，求S 1S 2的最小值．21. 已知函数f(x)=sinx +cosx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)在[−π4,π2]上最值；(Ⅱ)若对一切x ∈[−π,0]，不等式f(x)≤1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4)． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程及点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. 已知函数f(x)=|ax −1|(a >0)．(Ⅰ)若不等式f(x)+f(x −1)≥1对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若x ，y ∈A ，求证：x +y +1xy ≤1x +1y +xy ．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解{x 2+y 2=1y =x得，{x =−√22y =−√22或{x =√22y =√22；∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}； ∴A ∩B 子集个数为C 20+C 21+C 22=22=4．故选：B ．可解方程组{x 2+y 2=1y =x得出{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22，从而得出A ∩B 有两个元素，从而得出A ∩B 的子集个数为C 20+C 21+C 22=4．考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法．2.【答案】A【解析】解：∵z =sinθ−2√23+(cosθ−13)i 为纯虚数，∴{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，解得sinθ=2√23，cosθ=−13．则tanθ=sinθcosθ=−2√2． 故选：A ．由已知可得{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，求得cosθ与sinθ的值，即可得解． 本题考查复数的概念，同角三角函数的基本关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为南岗区空置房套数有7套，则其中位数是79；道里区空置房套数有8套，则其中位数为76+802=78，所以两中位数之差是79−78=1． 故选：D ．由茎叶图分别求出两区的中位数，相减即可． 本题通过茎叶图考查中位数的求法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为19，方差为53，单日新增最大值为28，2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，方差约为17，单日新增最大值为29，故可得AB正确，C错误，由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确，故选：C．根据图象计算平均数、方差进行比较即可本题考查学生合情推理能力，考查统计的相关知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：V=13×2×2×1=43．故选：B．直接利用三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得k=3，S=a3，满足条件k>0，执行循环体，k=2，S=a2+a3x0，满足条件k>0，执行循环体，k=1，S=a1+x0(a2+a3x0)，满足条件k>0，执行循环体，k=0，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，不满足条件k>0，退出循环，输出S的值为a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k =0时，不满足条件k >0，退出循环，输出S 的值为a 0+x 0(a 1+x 0(a 2+a 3x 0))．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，依次正确写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：把函数y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)的图象向右平移2π3个单位长度， 得到函数f(x)=2sin(x −π3)的图象， 显然，f(x)的周期为2π，故A 正确； 当x =5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确；当x =π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故C 正确； 在[5π6,11π6]上，x −π3∈[π2,3π2]上，f(x)单调递减，故D 错误，故选：D ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵M 是BB 1的中点，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AA 1=AB =2，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， ∴|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，又∠BAD =60°，∠AA 1B 1=∠AA 1D 1=90°，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×12+12×4=4，∴cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=√105， ∴异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为√105． 故选：D ．可以得出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，进行数量积的运算即可求出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，然后即可求出cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值，从而得出异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值．本题考查了用向量求异面直线所成角的方法，异面直线所成角的定义，正四棱柱的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，|OE|=√12+(√2)2=√3，则|BD|=2√12−3=6， |AC|=4√3．∴四边形ABCD 的面积为12×6×4√3=12√3． 故选：C ．由题意画出图形，分别求出最长弦和最短弦的值，再由12|AC|⋅|BD|求解． 本题考查直线与圆的性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根． 函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象如图：当直线y =kx +12过(−1,0)与(0,12)时，k =12−00−(−1)=12； 当直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时，联立{y =kx +12y =1x+1，得2kx 2−x −2=0． 由△=(−1)2+16k =0，解得k =−116．结合图象可知，若函数y =f(x)与y =kx +12的图象有3个交点， 则实数k 的取值范围为{−116}∪[0,12)． 故选：D ．函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根．由函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象，求出直线y =kx +12过(−1,0)时的斜率，再利用判别式法求出直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时直线的斜率，数形结合可得实数k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设双曲线的左焦点为F 1，根据对称性知AFBF 1是平行四边形，所以有|AF|=|BF 1|， 又点B 在双曲线上，所以|BF|−|BF 1|=2a因为|BF|=3|AF|，所以|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，即|BF|=3a ，|BF 1|=a ， 而在三角形BFF 1中，|BF|+|BF 1|=4a ≥2c ，|BF|−|BF 1|=2a <2c ， 所以双曲线的离心率e ∈(1,2]， 故选：A ．由双曲线的对称性，连接A ，B 与右焦点F 的连线，可得AFBF 1是平行四边形，对应边平行且相等，3|AF|=|BF|，推出|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，然后结合三角形的边长关系，求和双曲线的离心率的范围． 本题考查双曲线的性质及三角形的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：依题意，对任意x ∈(0,+∞)，2e 2x ≥aln(ax)恒成立， 记f(x)=2e 2x ，g(x)=aln(ax)(x >0)，则f′(x)=4e 2x ,g′(x)=ax ， 易知函数f(x)在(0,+∞)上单增，显然a >0，则函数g(x)在(0,+∞)上递增， 要使f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，只需x ∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，如图可知，a 越大，函数g(x)图象的开口越大，故当两函数恰好相切时，此时实数a 取得最大值，设切点为(m,n)，则{am=4e2m2e2m=n aln(am)=n ，解得{m=12n=2ea=2e，则实数a的最大值为2e．故选：C．记f(x)=2e2x，g(x)=aln(ax)(x>0)，则只需x∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，当a取得最大值时，两函数恰好相切，设出切点，建立方程组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的恒成立问题，同时也涉及了导数的几何意义的运用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．13.【答案】0.72【解析】解：一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为：P=0.8×0.9=0.72．故答案为：0.72．利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】C42H24【解析】解：设并n苯的分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，因为a2=10，b2=8，所以a n=10+4(n−2)=4n+2，b n=8+2(n−2)=2n+4，所以a10=42，b10=24，所以并十苯的分子式为C42H24，所以答案为C42H24．本题主要考察等差数列．设并n苯分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，进而求得n=10时a n和b n的值，从而得到并十苯的分子式．本题考查等差数列，要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差，进而求解指定项．属于基础题．15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)>e2−2x+1，即e2x f(x)−e2x>e2，令g(x)=e2x f(x)−e2x，则g′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)−2]>0，故g(x)在R递增，而g(1)=e2f(1)−e2=e2，∴e2x f(x)−e2x>e2，即g(x)>g(1)，即x>1，故不等式的解集是(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)令g(x)=e2x f(x)−e2x，得到g(x)>g(1)，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．16.【答案】π3√32【解析】解：①2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，2sinC⋅tanB=sinB⋅(tanA+tanB)，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入上式得，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅sinBcosB=sinB⋅(sinAcosA+sinBcosB)2[sinAcosB+cosAsinB]⋅1cosB =sinAcosA+sinBcosB，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅cosA=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB−sinAcosB−sinBcosA=0，sinAcosB(2cosA−1)+cosAsinB(2cosA−1)=0，(2cosA−1)(sinAcosB+cosAsinB)=0，(2cosA−1)sin(A+B)=0，(2cosA−1)sinC=0，所以2cosA−1=0，即cosA=12，因为是锐角三角形，所以A=π3，②取AB边中点D，则AB⊥ODcosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB 2sinC ⋅c2+cosC2sinB⋅b⋅c⋅cosA=m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=m⋅12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=12m⋅sin2C，cosB+cosAcosC=msinC，所以m=cosB+cosAcosCsinC =cos[π−(A+C)]+cosAcosCsinC=−cosAcosC+sinAsinC+cosCcosAsinC=sinA=√32．故答案为：π3，√32．①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案．②取AB边中点D，则AB⊥OD，cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．本题考查正弦定理，向量数量积，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵b n≠0，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0，∴a nb n −a n+1b n+1+2=0.又c n=a nb n，∴c n−c n+1+2=0，即c n+1−c n=2，c1=a1b1=2，∴{cn}为首项、公差均为2的等差数列，∴c n=2n；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得c n=a nb n =2n，∵bn=13 n，∴a n=2n×(13)n．∵S n=2[1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯n⋅(13)n]①，∴13S n=2[1×(13)2+2×(13)3+⋯(n−1)⋅(13)n+n⋅(13)n+1]②，由①−②可得：23S n=2[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n⋅(13)n+1]=2[13[1−(13)n]1−13−n⋅(13)n+1]=1−(2n3+1)⋅(13)n，∴S n=32−2n+32⋅13n．【解析】(Ⅰ)先由题设条件⇒a n bn −a n+1b n+1+2=0，再由c n=a nb n⇒c n+1−c n=2，进而证明数列{cn}为等差数列，求出其通项公式；(Ⅱ)先由(Ⅰ)和题设条件求出a n ，再利用错位相减法求其前n 项和即可．本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据所给数据可知B 套餐的平均销售高于A 套餐，但A 套餐销售情况比B 套餐更稳定，波动性小；(Ⅱ)设“一周内B 套餐连续两天中至少有一天销量业绩优秀”为事件C ， 则P(C)=36=12；(Ⅲ)由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 21⋅C 42C 63=35，P(X =2)=C 22⋅C 41C 63=15， 所以随机变量X 的分布列为， X 012P153515数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1．【解析】(Ⅰ)根据所给数据分析判断即可； (Ⅱ)利用古典概型的概率公式计算就；(Ⅲ)由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，∵在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6， ∴∠OAB =π4，AO =12AE =2，在△OAB 中，AO =2，AB =4√2，∠OAB =π4， ∴OB 2=4+32−2×2×4√2×√22=20，在Rt △DAE 中，PO =12AE =2，PB =2√6， ∴PB 2=OB 2+PO 2，∴PO ⊥OB ，∵PA =PE ，AO =OE ，∴PO ⊥AE ， ∵OB ∩AE =O ，∴PO ⊥平面ABCE ， 又PO ⊂面DAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ． (Ⅱ)解：取AB 中点M ，连结OM ， ∵AM =12AB =2√2，AO =2，∠OAB =π4，∴OM ⊥AE ，∵PO ⊥面ABCE ，∴PO ，OM ，AE 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，A(0,−2,0)，E(0,2，0)，M(2,0，0)， 又∵M 是AB 中点，∴B(4,2，0)，P(0,0，2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， ∴C(1,3，0)，又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,34,−12)，∴F(14,34,32)， 设平面ABF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,114,32)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +4y =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 4+11y 4+3z2=0，取y =1，得n ⃗ =(−1,1，−53)， 平面PAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√43=3√4343， ∴平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值为3√4343．【解析】(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，推导出PO ⊥OB ，PO ⊥AE ，从而PO ⊥平面ABCE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)取AB 中点M ，连结OM ，推导出PO ，OM ，AE 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．本题考查考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由C 1关于x 轴对称，P 3，P 4关于x 轴对称，所以P 3，P 4在C 1上，所以34b +1a =1，若P 1在C 1上，则1b 2+1a 2>34b 2+1a 2=1，所以P 1不在C 1上，P 2在C 1上， 所以a =2，b =1，即C 1：y 24+x 2=1，又由p =12，可得C 2：y 2=x ；(Ⅱ)(i)证明：设直线l ：x =my +1，代入y 2=x 中，可得y 2−my −1=0， 所以y 1+y 2=m ，y 1y 2=−1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=1−1=0；(ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中， 可得y2(4m 12+1)=4，即y M =√1+4m 1，同理可得y N =1√4+m 1， S 1S 2=12|OA|⋅|OB|12|OM|⋅|ON|=|OA||OM|⋅|OB||ON|=|y 1||y M |⋅|y 2||y N |=|y 1y 2||y M y N |=√4m 12+1⋅√m 12+44|m 1|=14√4m 12+4m 12+17≥14√2√16+17=54，当且仅当m 12=1m 12，即m 1=1时取得等号．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于较难题目．(Ⅰ)由椭圆的对称性，判断P 3，P 4在C 1上，再由椭圆的范围可得P 1不在C 1上，P 2在C 1上，可得a ，b ，即有椭圆方程，由p 的值，可得抛物线的方程；(Ⅱ)(i)设直线l ：x =my +1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证； (ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中，求得M 的纵坐标，同理可得N 的纵坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可得到所求最小值．21.【答案】解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减， 故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π， f′(x)=−√2sin(x −π4)−a ，∵−π≤x ≤0，∴−5π4≤x −π4≤−π4，∴−1≤sin(x −π4)≤√22，−1≤−√2sin(x −π4)≤√2，(i)a ≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立， (ii)−1<a ≤2π时，当−π≤x ≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x ≤0时，f′(x)单调递减， ∴f′(π)=−1−a <0，f′(−π4)=√2−a >0，f′(0)=1−a >0， ∴存在a ∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x <a 时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a <x ≤0时，f′(x)>0，函数单调递增， 又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1， ∴f(x)≤1，∴a ≤2π【解析】(I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用． 22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)整理得x 2=2t 1+t 2，y =−1+21+t 2≠−1， 所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1(y ≠−1)．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4).转换为直角坐标为(√2,√2) 所以B(2,3π4)转换为直角坐标为(−√2,√2)，C(2,5π4)转换为直角坐标为(−√2,−√2)，D(2,7π4)转换为直角坐标为(√2,−√2).(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则：x 024+y 02=1，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02+16=3x 02+20， 由于0≤x 02≤4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围为[20,32]．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)+f(x−1)≥1，即为|ax−1|+|ax−a−1|≥1，而a>0时，|ax−1|+|ax−a−1|≥|ax−1−ax+a+1|=|a|=a，当且仅当(ax−1)(ax−a−1)≤0时，上式取得等号．即有|ax−1|+|ax−a−1|的最小值为a，由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，则a≥1，即A=[1,+∞)；(Ⅱ)证明：x+y+1xy −(1x+1y+xy)=(x−1x)+(y−xy)+(1xy−1y)=(x−1)(x+1)x+y(1−x)+1xy(1−x)=x−1xy [(x+1)y−xy2−1]=x−1xy[xy(1−y)+(y−1)]=(x−1)(xy−1)(1−y)xy，由x，y∈[1,+∞)，可得x−1≥0，1−y≤0，xy≥1，即xy−1≥0，则(x−1)(xy−1)(1−y)xy≤0，可得x+y+1xy≤1x+1y+xy．【解析】(Ⅰ)由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合A；(Ⅱ)运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得，∴.由题意得，∴．故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可． 【详解】由题意得复数可化为， 所以．故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．【详解】（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴．取的中点，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴点共线，从而得，又，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴底面，∴两两垂直．以为原点如图建立空间直角坐标系，则，∴,设平面的法向量为，由，得，令，得．设，则，∴，∴当时，有最小值，且，此时．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数，（为自然对数的底数）（I）若在上单调递减，求的最大值；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且，故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．【详解】（Ⅰ）由，得．∵在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立.则，∴，当时，，且单调递增，，∴当，，单调递减；当，，单调递增．∴，即恒成立，∴的最大值为2．（Ⅱ）当时，单调递减，且，当时，，即，∴，∴，①下面证明，②令，则，∴在区间上单调递增，∴，故②成立．由①+②得成立．【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解．本题综合性较强、难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I ）求动点对应参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积. （Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面， 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析： （Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−， 令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>， 由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=． 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．125．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣67．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．911．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为．15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），＝（0，1），A∪B＝B，则∁R（A∪B）＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0解：由z＝a+bi（a，b∈R），得＝，由题意，b﹣a＝0．故选：B．3．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：n＝13为奇数，则n＝13×3+1＝40，第二步，n＝40为偶数，则n＝，第三步，n＝20为偶数，则n＝＝10，第四步，n＝10为偶数，则n＝＝5，第五步，n＝5为奇数，则n＝5×3+1＝16，第六步，n＝16为偶数，则n＝，第七步，n＝8为偶数，则n＝＝4，第八步，n＝4为偶数，则n＝＝2，第九步，n＝2为偶数，则n＝＝1．∴取n＝13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A．5．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：a＝ln3＞1＞b＝log3e＞c＝logπe，∴a＞b＞c，故选：B．6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣6解：∵＝（）＝（+）•＝＝32+×3×3×cos120°＝6；故选：A．7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1），＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝0，∴S△ABF＝＝＝，设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴E到平面ABF的距离d＝＝，∴四面体A﹣BEF的体积为：V A﹣BEF＝V E﹣ABF＝＝＝．故选：B．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．解：把函数＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z．即φ＝﹣﹣，再令k＝﹣1，可得φ＝，故选：D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．解：设P（，y），由＝0，则＝（﹣c，y）+（﹣c，b）＝（﹣2c，y+b），＝（，y﹣b），所以由＝0，可得：（﹣2c）+（y+b）（y﹣b）＝0，可得：﹣2a2﹣b2＝﹣y2≤0，整理可得：a4﹣2a2c2﹣（a2﹣c2）c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得：≤e2，即≤e≤，由于椭圆的离心率小于1，所以≤e＜1，故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．9解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，而函数g（x）＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f（x）和g（x）图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和＝3×2+1＝7，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．解：由题意，设数列{a n}的前n项和为S n．∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，∴数列{a n}是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：a1+a2+…+a n＝S n＝4n+•2＝n2+3n．则第2行的所有项的和为：a2+a3+…+a n+1＝（a1+d）+（a2+d）+…+（a n+d）＝S n+nd；第3行的所有项的和为：a3+a4+…+a n+2＝（a1+2d）+（a2+2d）+…+（a n+2d）＝S n+2nd；•••第n行的所有项的和为：a n+a n+1+…+a2n﹣1＝[a1+（n﹣1）d]+[a2++（n﹣1）d]+…+[a n+（n﹣1）d]＝S n+（n﹣1）nd；∴b n＝（a1+a2+…+a n）+（a2+a3+…+a n+1）+（a3+a4+…+a n+2）+…+（a n+a n+1+…+a2n﹣1）＝S n+（S n+nd）+（S n+2nd）+…+[S n+（n﹣1）nd]＝nS n+[1+2+…+（n﹣1）]•nd＝n（n2+3n）+•n•2＝2n2（n+1）．＝＝＝（﹣）．∴数列的前2020项和为++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．解：设事件A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P（A）＝，P（AB）＝，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P（A|B）＝＝＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为（1，e2）．解：由题意可得，＝0在[0，1]上有变号零点，故a＝e2x在[0，1]上有变号零点，因为y＝e2x在[0，1]上单调，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案为：（1，e2）15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．解：∵a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）＝2S n2，整理得：S n﹣S n﹣1＝﹣2S n•S n﹣1（n≥2，n∈N*），∴﹣＝2（n≥2，n∈N*）∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴S n＝，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴a n＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当③a＝1，﹣2＜b＜0时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有⑦6个零点．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点解：可选③a＝1，﹣2＜b＜0，由f（x）＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|﹣b，令f（x）＝0，可得b＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|，即b＝|x2﹣1|2﹣3|x2﹣1|，可令t＝|x2﹣1|，可得b＝t2﹣3t，可设g（t）＝t2﹣3t，分别画出y＝g（t）和t＝|x2﹣1|的图象，由﹣2＜t2﹣3t＜0，即．可得0＜t＜1或2＜t＜3，当0＜t＜1时，t＝|x2﹣1|有4个零点；2＜t＜3时，t＝|x2﹣1|有2个零点，则函数f（x）共有6个零点．故答案为：③a＝1，﹣2＜b＜0，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．解：（I）由已知以及正弦定理，可得：2sin B cos C＝2sin A+sin C＝2sin（B+C）+sin C＝2sin BcoC+2cos B sin C+sin C，所以：2cos B sin C+sin C＝0，由于：0＜C＜π，sin C≠0，cos B＝﹣，因为B∈（0，π），解得：B＝；（Ⅱ）如图所示：，∵D为AC的中点，∴，两边平方得：，∴，∴，整理得：c2﹣2c﹣8＝0，解得：c＝4．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．解：（Ⅰ）取AA₁的中点G，连接DG，EG，则DG∥A₁C₁，E，G为中点，所以EG∥BA₁，DG⊄平面BA₁C₁，A₁C₁⊂平面BA₁C₁，故DG∥平面BA₁C₁，同理EG∥平面BA₁C₁，又DG∩EG＝G，故平面DEG∥平面BA₁C₁，DE⊂平面EDG，所以DE∥BA₁C₁；（II）以B为原点，BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B₁（0，3，0），A₁（2，3，0），C（0，0，1），C₁（0，3，1），设F（0，a，1），A（2，0，0），，平面ABB1A1所的法向量为，由cos＜＞＝，a＝2，故F（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，3，0），设平面FBA₁的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．解：（Ⅰ）设A＝{出现A症状的人}，B＝{出现B症状的人}，C＝{出现C症状的人}，card表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知card（A∩B）＝1.8万，card（A∩C）＝1万，card（B∩C）＝2万，card（A∩B∩C）＝0.5万，所以card（A∪B∪C）＝cardA+cardB+cardC﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B ∩C）]+card（A∩B∩C）＝8.5+9.3+6.5﹣（1.8+1+2）+0.5＝20万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，2×2列联表如下：失眠不失眠合计患心脑血管疾病5712不患心脑血管疾病157388合计2080100所以＞3.841，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x＝﹣相切，又与定圆F相外切，知x＞﹣，∴，化简得：y2＝4x，∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y＝kx+m（k ≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，联立方程，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，∵S1＝，S3＝，∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1）（）＝﹣×＝﹣×＝，∵直线MN的方程为：y＝kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，令y＝0得，x＝﹣，∴B（﹣，0），∴S2＝，∴＝（﹣+）2（y1﹣y2）2＝××＝××[4（x2+x1）﹣2y1y2]＝××＝，∵S22＝4S1S3，∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，∴4k2+16m2+16mk＝0，即k2+4m2+4km＝0，∴（k+2m）2＝0，∴k＝﹣2m，∴直线MN的方程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），∴直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）﹣ax＝g（x），（x∈（﹣1，+∞））．g′（x）＝﹣a，a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，g′（x）＝，∴f'（x）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．由（I）可得：a＞0，f′（0）＝0．令ln（x+1）﹣ax＝0，化为：a＝＝h（x），h′（x）＝．令u（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）＝0．u′（x）＝1﹣ln（x+1）﹣1＝﹣ln（x+1）＜0．∴u（x）＜u（0）＝0．∴h′（x）＜0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．x→0+时，h（x）→＝1．x→+∞时，h（x）→0．∴0＜a＜1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．解：（Ⅰ）参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C：；曲线D的极坐标方程为．转化为直角坐标方程为：；（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，当sin（θ+α）＝1时，d min＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＞5或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣4}（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝5．∵不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，∴|3m﹣2|≥f（x）min＝5，∴3m﹣2≥5或3m﹣2≤﹣5，∴，∴m的取值范围为．。