初二数学思维特训(十六) “三数”与“三差”中的数学思想

进生产； 若规定10台为标准日产量，则多数工人不可能超过，甚至还完不成定额， 会挫伤生产积极性，比较合理的生产定额应该确定在恰好能使多数人有超 过的能力，因此取中位数9台比较合适．
课堂小结
中位数、 众数、平 均数
分析三数 选择方案
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谢谢！
（1）分别求出上面这组数据中的平均数、中位数和众数；
（2）管理者应确定每人标准日产量为多少台最好？并说明理由.
典例精讲
6 7 解：（1）平均数是： 15
中位数是9台；众数是8台；
1
16 10（台）；
（2）管理者应确定每人标准日产量为9台比较合适．
因为：若规定8台，则大多数工人不需要努力就可以完成任务，不利于促

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利用“三数”进行方案决策
解题步骤归纳
求出“三数”
对“三数”进行分析
选择方案
典例精讲 利用三数进行方案决策 每周五天工作制实施后，某车间为了改变管理松散状况，准备采 取每天任务定额、超产有奖的措施提高工作效率，下面是该车间 15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）：6，7， 7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16．

GF ＝18m.设 CG ＝ x m.在Rt△ ACG 中，∠ ACG ＝11.5°，∴ AG ＝
CG ·tan∠ ACG ≈0.2 x m.∴ AF ＝ AG ＋ GF ≈（0.2 x ＋18）m. （4
分）在Rt△ BCG 中，∠ BCG ＝18.7°，∴ BG ＝
CG ·tan∠ BCG ≈0.34 x m.∴ BF ＝ BG － GF ≈（0.34 x －18）m. （6
∴ ∠ C ＋∠ CDE ＝90°.∴ ∠ C ＝∠ ADE .
∴ △ ADE ∽△ DCE .


∴ ＝ .


∴ DE2＝ AE ·CE ＝8×2＝16.
∴ DE ＝4（负值舍去）.在Rt△ CDE 中，
CD ＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 .∴ BC ＝2 CD ＝4 .第18题
半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，两种图书
分别购买多少本时费用最少？
解：（2） 设购买 m 本《孙子算经》，则购买（80－ m ）本《周髀算


经》.由题意，得80－ m ≥ m ，解得 m ≤
.


（6分）设购买这两种图
书共花费 w 元，则 w ＝30×0.8 m ＋40×0.8（80－ m ），∴ w ＝－8 m
AF 的高度（结果精确到1m，参考数据： sin 11.5°≈0.20， cos
11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20， sin 18.7°≈0.32， cos
18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34）.
第19题
解：延长 CE 交 AB 于点 G . 由题意，得 CG ⊥ AB ， AF ＝ BF ， CD ＝
解：（1） EF ⊥ AC （2分）

初中数学思维训练题目数学是一门需要思维的学科，通过解题可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

在初中数学学习中，思维训练题目是非常重要的一部分。

下面我将为大家介绍一些初中数学思维训练题目，希望能够帮助大家提升数学思维能力。

一、逻辑思维题1. 在一条直线上，有三个点A、B、C。

已知AB的长度是2，BC的长度是3，问AC的长度是多少？解析：根据直线上的三点共线的性质，可以得知AC的长度等于AB和BC长度的和，即AC=AB+BC=2+3=5。

2. 有两个相同的容器，容器A中装满了水，容器B中只有一半的水。

现在需要将容器A中的水倒入容器B，使得容器B中的水正好装满。

问应该倒入容器B的水量是容器A中的多少？解析：由题意可知，容器B中只有容器A水量的一半，所以应该将容器A中的一半水倒入容器B，即容器A的水量的一半。

二、推理思维题1. 有一张长方形的纸片，将纸片的一角剪掉后，剩下的形状是什么？解析：纸片的形状是长方形，将一角剪掉后，剩下的形状仍然是长方形。

2. 有两个容器，一个容器中装满了水，另一个容器是空的。

现在需要将容器A中的水倒入容器B，但是只能使用一个空杯子。

请问如何操作才能将水倒入容器B？解析：可以借助空杯子，将容器A中的水先倒入空杯子，然后再将空杯子中的水倒入容器B。

三、创新思维题1. 有一条长为10米的绳子，需要将它分成两段，其中一段的长度是另一段的2倍。

请问应该如何分割绳子？解析：假设绳子的一段长度为x米，则另一段的长度为2x米。

根据题意，x+2x=10，即3x=10，解得x=10/3。

所以应该将绳子分成长度为10/3米和20/3米的两段。

2. 有一堆石头，其中有一块石头比其他的石头更重。

现在只有一个天平，可以使用三次称重的机会。

请问如何找出那块更重的石头？解析：首先将石头分成三堆，分别取两堆放在天平的两边进行第一次称重。

如果天平平衡，说明那块更重的石头在第三堆中；如果天平不平衡，说明那块更重的石头在较重的一边。

思维特训(十六)与平行四边形有关的辅助线作法方法点津·平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．典题精练·类型之一证明线段互相平分1．如图16－TX－1，已知O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE 是平行四边形．求证：OE与AD互相平分．图16－TX－1类型之二证明线段相等问题2．如图16－TX－2，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.求证：BF＝AC.图16－TX－2类型之三证明角倍分问题3．如图16－TX－3，在▱ABCD中，M为边AD的中点，过点C作CE⊥AB于点E，连接ME.若BC＝2AB，求证：∠EMD＝3∠AEM.图16－TX－34．如图16－TX－4，在△ABC中，D，F是AB边上的两点，且AD＝BF，作DE∥BC，FG∥BC，分别交AC于点E，G.求证：DE＋FG＝BC.图16－TX－45．如图16－TX－5，P是等边三角形ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC.求证：PD＋PE＋PF＝AB.图16－TX－5类型之五证明线段倍分问题6．如图16－TX－6，已知AB＝AC，B是AD的中点，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.图16－TX－67．如图16－TX－7，在△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D，连接AD，CD.求证：AB∥CD.图16－TX－7类型之七证明两直线垂直问题8．如图16－TX－8，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FH，M为FH的中点，连接MA.求证：MA⊥BC.图16－TX－8类型之八证明面积相等9．如图16－TX－9，P是梯形ABCD的腰DC的中点．求证：S△P AB＝12S梯形ABCD.图16－TX－9详解详析1．证明：如图，连接AE，OD.∵四边形OCDE是平行四边形，∴DE∥AC，DE＝OC.∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∴DE∥OA，DE＝OA，故四边形AODE是平行四边形，∴OE与AD互相平分．方法点拨：当已知条件涉及平行，且要求的结论中和平行四边形有关时，可以通过添加辅助线的方法构造平行四边形．2．证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，CG.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵DG＝AD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC∥BG，AC＝BG，∴∠1＝∠4.∵AE＝EF，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，故BF＝BG.∵AC＝BG，∴BF＝AC.解题突破：利用对角线互相平分构造平行四边形是解题的关键，当已知线段中点或三角形的中线时常考虑这种方法．3．证明：如图，延长EM，CD交于点N，连接CM.∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N.在△AEM和△DNM中，∵∠AEM＝∠N，∠AME＝∠DMN，AM＝DM，∴△AEM≌△DNM，∴EM＝NM.又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边上的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM.∵在▱ABCD中，BC＝AD＝2DM，BC＝2AB＝2CD，∴CD＝DM，∴∠DMC＝∠MCD＝∠N＝∠AEM，∴∠EMD＝∠EMC＋∠DMC＝2∠AEM＋∠AEM，即∠EMD＝3∠AEM.4．解：如图，过点G作GH∥AB交BC于点H，则四边形BHGF是平行四边形，所以GH＝BF＝AD，FG＝BH.因为DE∥BC，GH∥AB，所以∠1＝∠C，∠A＝∠2，所以△ADE ≌△GHC，所以DE＝HC.因为HC＋BH＝BC，所以DE＋FG＝BC.5．解：如图，过点P作PG∥AC，PH∥BC分别交BC，AB于点G，H.因为PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，所以四边形BDPH、四边形PECG为平行四边形．易知△PDG，△PHF 均为等边三角形，所以PD＝DG，PF＝PH＝BD，又因为PE＝GC，所以PD＋PE＋PF＝DG ＋GC＋BD＝AB.6．解：如图，延长CE至点F，使EF＝CE，连接AF，BF.因为E是AB的中点，所以四边形AFBC是平行四边形，所以AC∥BF，AC＝BF.又因为AB＝AC＝BD，所以BD＝BF.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.因为∠DBC＝180°－∠ABC，∠FBC＝180°－∠ACB，所以∠DBC＝∠FBC.又因为BC＝BC，所以△DBC≌△FBC，所以CD＝CF＝2CE.7．解：如图，连接BD交AC于点O，连接BM，BN.由AE＝BE，AM＝MN，可得ED∥BN.由BF＝CF，MN＝NC可得BM∥FD，所以四边形BMDN是平行四边形，所以OB＝OD，OM＝ON.又因为AM＝NC，所以OA＝OC.由此可得出四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD.8．解：如图，作MA 的延长线交BC 于点D ，延长AM 至点N ，使MN ＝AM ，连接FN ，HN ，则四边形AHNF 为平行四边形，所以FN ＝AH ＝AC ，∠AFN ＋∠F AH ＝180°.因为∠BAC ＋∠F AH ＝180°，所以∠AFN ＝∠BAC .又因为AF ＝BA ，所以△AFN ≌△BAC ，所以∠1＝∠2.因为∠1＋∠3＝90°，所以∠2＋∠3＝90°，所以∠ADB ＝90°，所以MA ⊥BC .9．解：如图，过点P 作MN ∥AB ，交BC 于点N ，交AD 的延长线于点M ，则四边形ABNM 是平行四边形，所以S △P AB ＝12S ▱ABNM .因为AD ∥BC ，所以∠PDM ＝∠C ，∠M ＝∠PNC .又因为PD ＝PC ，所以△PMD ≌△PNC ，所以S 梯形ABCD ＝S ▱ABNM ，所以S △P AB ＝12S 梯形ABCD .。