不等关系
教学目标
（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；
（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 教学重点，难点
(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
教学过程
一．问题情境
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)
A 及40000单位的维生素
B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，
那么x ,y 应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二．学生活动
在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤．
在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22
x x ⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42
x x +->， 化简，得2510 4.80x x -+<．
在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩ 即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,
常用(<>≤≥≠，，，，
)表示不等关系.
三．建构数学
1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．
问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
2．比较两实数大小的方法——作差比较法：
比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
四．数学运用
1．例题：
例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．
根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.
x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩ 说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．
解：,x y 满足的条件为638471000
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．
例3．比较大小：
（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）
a m
b m ++与a b
（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-<
∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．
（2）()()()()()
a m a
b a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a b m b
+>+． 说明：不等式a m a b m b
+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了．
例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．
解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-
=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）
（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；
（2） 当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；
（3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +
说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
2．练习：
（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；
（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．
五．回顾小结：
1．通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法——求差比较法．
六．课外作业：
1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；
2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22
a b b a
+与a b +的大小．
