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九年级数学上册专题突破讲练剖析与圆有关的计算试题新版青岛版

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1 剖析与圆有关的计算 圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点： 1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解； 2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础； 注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。 3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因此要善于发现和构造相似三角形。 常见的相似三角形模型有：

例题 （南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线； （2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO。试证明BG＝PG；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝33。求弦CD的长。

解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。 （2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。 2

（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝33，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。 解答：（1）证明：连结OP，

∵EP＝EG， ∴∠EPG＝∠EGP， 又∵∠EGP＝∠BGF， ∴∠EPG＝∠BGF， ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠OBP， ∵CD⊥AB， ∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°， ∴∠EPG＋∠OPB＝90°， ∴直线EP为⊙O的切线； （2）证明：如图，连结OG，OP，

∵BG2＝BF•BO， ∴BGBFBOBG， ∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO＝∠BFG＝90°， 3

由垂线定理知：BG＝PG； （3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，

∵sinB＝33，

∴33OGOB， ∵OB＝r＝3， ∴OG＝3， 由（2）得∠EPG＋∠OPB＝90°， ∠B＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°， ∴∠B＝∠OGF，

∴sin∠OGF＝33＝OFOG ∴OF＝1， ∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，FA＝OF＋OA＝1＋3＝4， 在Rt△BCA中， CF2＝BF•FA，

∴CF＝2422BFFA。 ∴CD＝2CF＝42。 点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。

【解题技巧】 1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。 2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。 3. 善于利用相似三角形对应边成比例解决问题。 例题 （北京）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。 （1）求证：∠EPD＝∠EDO；

（2）若PC＝6，tan∠PDA＝43，求OE的长。 4

解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD＝∠EDO； （2）连接OC，利用34tanPDA，可求出CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似

三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。 答案：（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C ∴PA＝PC，∠APO＝∠EPD ∵AB是⊙O的直径 ∴PA⊥AB ∵DE⊥PO ∴∠A＝∠E＝90° ∵∠POA＝∠DOE ∴∠APO＝∠EDO ∴∠EPO＝∠EDO （2）解：连结OC，则OC⊥PD

在Rt△PAD中，∠A＝90°，PA＝PC＝6，tan∠PDA＝34 可得AD＝8，PD＝10 ∴CD＝4

在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，CD＝4，tan∠ODC＝34 可得OC＝3，OD＝5 在Rt△PCO中，由勾股定理得

PO＝35

可证Rt△DEO∽Rt△PCO

∴OEODOCOP，即5335OE 5

∴OE＝5 点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力。

（答题时间：30分钟） 一、选择题 1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（－4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（－2，0）。点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q。当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 23 2. （梧州一模）如图，过等腰△ABC三边的中点D、F、G作⊙O，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若∠B＝72°，则∠BDH＝（ ）

A. 32° B. 34° C. 36° D. 72° 3. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN。△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，

则PNQN＝（ ） 6

A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5 *4. 一张半径为2的半圆图纸，沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（ ）

A. 3 B. 10 C. 11 D. 23 **5.（北塘区二模）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°。点B是弧MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与

CE相交于点P，DE与AG相交于点Q。当四边形EPGQ是矩形时，OA的长为（ ）

A. 33 B. 23 C. 26 D. 36 二、填空题 6. （甘孜州）如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y＝x相切。若半圆O1的半径为1，则半圆O2的半径R＝ 。 7

7.（相城区模拟）如图，直线l与圆O相交于A，B两点，与y轴交于点P。若点A的坐标为（1，3），PB＝3PA，则直线l的解析式为 。

8.（西湖区一模）如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°。O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E。点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点

G。则∠CDG＝ ，若AB＝42，则BG＝ 。

9.（上城区二模）如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，OE∥AB交⊙O于点E，PE∥OD，延长直径AG，交PE于点H，直线DG交OE于点F，交PE于K。若EF＝2，FO＝1，则KH的长度等于 。

三、解答题 10. （遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB的延长线于F。 （1）求证：CF＝DB； 8

（2）当AD＝3时，试求E点到CF的距离。 *11. （襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D。 （1）求证：△ADP∽△BDA； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD＝2，PD＝1，求线段BC的长。

**12. （荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E。 （1）求证：OF∥BE； （2）设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由。 9

一、选择题 1. C 解析：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QO并延长交⊙O于点C，连接QB，OP，BC，则∠CBQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）

∵B、Q分别是OA、AP的中点， ∴BQ∥OP， ∵点A坐标为（－4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（－2，0）。

∴OP＝OB＝BA＝12OA＝2， ∴QB＝1 在Rt△CQB中，∠CBQ＝90°

∴cos∠OQB＝QBQC＝14。

2. C 解：如图，连接AD、GD， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝72°， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－72°＝18°， ∵G是AB的中点， ∴DG＝AG， ∴∠BAD＝∠ADG， ∴∠BGD＝∠BAD＋∠ADG＝18°＋18°＝36°， ∵G、F分别是AB、AC的中点， ∴GF是△ABC的中位线， ∴AD垂直平分GF， ∴AD经过圆心O， ∴∠BDH＝∠BGD＝36°。

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九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件(1)练习(新版)青岛版

九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件(1)练习(新版)青岛版

3.2 确定圆的条件（1）1．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△ABC是 ( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A．已知圆心 B．已知半径C．过三个已知点 D．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( )A2 B．πR2 C2R D24．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°．AB＝4，则⊙O的半径为 ( )第4题图A．．4C． D．55．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°6.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）第6题图A.B. C.4 D.37．等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O，若底边BC＝8 cm，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC 的外接圆面积为．10.直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．11.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为．第11题图12．如图，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y＝2x ＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图，等腰三角形ABC 内接于半径为5的⊙O 中，AB ＝AC ，且tan B ＝13． (1)求BC 的长； (2)求AB 边上的高．第14题图参考答案1．C 2．D 3．D 4．A 5.B 6.D 7．8 cm 2或32 cm 28．163π cm 2 9．74π 10. 30°或150° 【解析】连接OA 、OB ，如答图.∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．第10题答图11. 65° 【解析】∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．12．【解析】连接AB ，作线段AB 的垂直平分线l′交直线l 于O ；以O 为圆心，OA 长为半径作圆，则⊙O 就是所求作的圆．图略． 13． 解：他的推断是正确的．因为“两点确定一条直线”，设经过A ，B 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b ．由A (1，2)，B (3，4)，得2,34,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,1,k b =⎧⎨=⎩∴经过A ，B 两点的直线的解析式为y ＝x ＋1． 把x ＝－1代入y ＝x ＋1中，由－1＋1≠6，可知点C (－1，6)不在直线AB 上，即A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C三点可以确定一个圆．14．解：(1)连接OA交BC于D，连接OB，OC，则AO垂直平分线段BC．设AD＝x，∵tan B＝13，∴BD＝3x．在Rt△ODB中，(5－x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1，∴BC＝2BD＝6． (2)过C作CE⊥AB交BA的延长线于E，∵tan B＝13，BC＝6，∴CE2＋(3CE)2＝62，。

九年级数学上册 3.4 直线与圆的位置关系典型例题2素材

九年级数学上册 3.4 直线与圆的位置关系典型例题2素材

典型例题：直线和圆的位置关系2例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=1cm；（2）r；（3）r=2.5cm．例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB 与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC 上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.参考答案例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD 的长，然后再与r比较即可．解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．例2 解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r<CD，即0<r；（2）∵直线AB与⊙C相切，∴ r =CD，即r；（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r．说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．例3 分析：若R t△PBC∽R t△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离．例4 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到的距离等于12 AB.证明：过点作于，同理可证：为的中点，即：以为直径的圆与相切.说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.例 5 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）证明于，是圆心到的距离∽ .又⊙的半径为，故与⊙相离.。

九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.6弧长及扇形的面积的计算综合练习(答案不全)(新版)青岛版

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九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.6弧长及扇形的面积的计算综合练习（答案不全）（新版）青岛版1．把一只折扇展开成一个扇形，它的圆心角为120°，半径为6，则这个扇形的弧长为_______．2．朝阳市第三中学要修建一个圆心角为60°，半径为12米的扇形投掷场地，则该扇形场地的面积约为____ 米2． (π取3.14，结果精确到0.1米2 )3．如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm ，当物体从A 传送4πcm 至B 时，那么这个转动轮转了_____________度．(π取3.14，结果保留四个有效数字)4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，若AC=6，则AD 的长为______．5. 已知一个扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为( )A ．53πB ．5103π+C ．56πD ．5106π+如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，若⊙O 半径为3，PA=33AB 的长.分析：根据弧长公式180n r l π=，须知AB 所对的圆心角∠AOB 的度数. B PA O解：连接OA∵PA 切⊙O 于点A ∴OA ⊥PA∴在Rt △APO 中，tan ∠AOP=3333AP OA == ∴∠AOP=600∴603180180n r l πππ⨯⨯===1.如图，三个皮带轮的半径都是1，圆心距AC=3，BC=33．AB=6，则皮带的总长度为 ．2．如图，扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形．点C.E.D 分别在OA.OB.AB 上，过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，垂足为F ．如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 ．3．一条弧长等于l ，它的半径等于R ，若这条弧所对的圆心角增加01，则它的弧长增加( ) A ．l n B ．180R π C ．180l R π D ．360l4．如图，OA.OB.OC 两两不相交，且半径都是2 cm ，则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为 ( )A ．12πcm2B ．4πcm2 C ．π cm2 D ．2 π cm25．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF……叫做“正三角形的渐开线”，其中CD 、DE 、EF ……的圆心依次按A.B.C 循环，它们依次相连结．若AB=1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π6．如图，直线y kx b =+经过点M(1，3)和点N(1-，33)，A.B 是此直线与坐标轴的交点．以AB 为直径作⊙C ，求此圆与y 轴围成的阴影部分面积．7．如图．在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心、OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC交于另一点F ．(1)求证：△AOC ≌△AOD ；(2)若BE=1，BD=3，求⊙O 的半径及图中阴影部分的面积S ．1.如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为( )A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π2.如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是( )A ．93π-B ．63π-C ．933π-D ．632π-3. 75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ．4.为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴布部分BD 的长为20cm ，则贴布部分的面积约为____________2cm ．(π取3)P O B A。

九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件(2)练习(新版)青岛版

九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件(2)练习(新版)青岛版

3.2 确定圆的条件（2）1．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等 D．菱形的对角线相等且互相平分2．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是________．3．•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）4．如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为_______cm．5．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．6．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．（1）如果M为AB上一点（如图①，且满足∠DMC=∠A，求AM的长．（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N（如图②），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（•写x 的取值范围时，不写推理过程）7．如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、•N 两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由．（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q 的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN•相似，试求a的值．8．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，•启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．cD'B'BAbaC'D C9．如图所示，B、C、E三点在一条直线上，△ABC•和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB．（1）求证：AE=DB；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？10．已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=BC，BE⊥CD于E，交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，•并加以证明．11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）BAFED C12．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，F、H分别是AB、CD的中点，•FH分别交BD、AC于G、M， BD=6，ED=2，BC=10．（1）求GM的长；（2）若梯形ABCD是等腰梯形，求证：△BFG≌△CHM．BAHG MFEDC参考答案1．D2．假设三角形的三个外角中，有两个锐角．3．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．4．85．证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，•所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．6．解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠A=∠B．又∵∠A=∠DMC，∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°，∴∠1=∠3．∴△ADM≌△BMC．设AM=x，则3 310xx =-，∴x2-10x+9=0，∴x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根．∴AM长为1或9．（2）同理可证△ADM∽△BMN，可得3 310xy x=+-，∴y=-13x2+103x-3（1<x<9）．7．（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=24cm．（2）△AMN是直角三角形，确定理由如下： 12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），∵AB+BD=48（cm），∴点M与点D重合．点Q走过的路程为5×12=60（cm）．∵DC+CB+12AB=60（cm），∴点N是AB的中点．连结MN，∵AM=MB，AN=BN，∴MN⊥AB．∴△AMN是直角三角形．（3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．∵12BD=12cm，∴点E是BD的中点．点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，又∵∠EBF=∠A=60°，①若∠BFE=∠ANM=60°．a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴12312 1224a-=．解得a=2．（证法2）：在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴12-3a=12×12．解得a=2．b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴31212 1224a-=．解得a=6．（证法2）在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴3a-12=12×12．解得a=6．②若∠BEF=∠ANM=90°，即点F与点C重合，此时3a=BN+BC=36．∴a=12．综上所述，a=2或6或12．8．∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC‘D’=12（BC+C′D′）·BD ′=2()2a b+．∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′．∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°．∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=12ab+12c2+12ab=222c ab+．∴2()2a b+=222c ab+．∴a2+b2=c2．9．（1）证△BCD≌△ACE即可；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）•中的结论仍成立．10．添加条件DM∥AC（或ME=EF，DM=DF，DM=CF等均可）．证明：如图所示，在△ABC中，BD=BC，BE⊥CD，则DE=CE．∵DM∥AC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴△DME≌△CFE，∴DM=CF．∴四边形DMCF是平行四边形．又∵BF⊥CD，∴Y DMCF是菱形．11．（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DB=DC，∴△DEB≌△DFC．∴DE=DF．（2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或BC=2AB•或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等）．12．解：（1）∵F、H为AB、CD的中点，∴AD∥FH∥BC．∴△AED∽△CEB．∴AD EDCB EB=，∴2104AD=．∴AD=5．又∵△AED∽△MEC，∴ED AD EG MG=．∴251MG=，∴MG=52（或2.5）．（2）∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点，∴BF=CH，∠BAD=∠CDA，FH∥AD．∴∠BFG=∠CHM．∴FG=HM=12 AD．∴△BFG≌△CHM．。