时间序列分析总结

ARMA(p,q)模型
如果时间序列 Xt 满足
X t 1X t1 L p X t p t 1t1 L qtq
则称时间序列 Xt 服从p,q阶自回归模型，记为
ARMA(p,q) 。
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一阶自回归模型AR(1):
如果时间序列 Xt 满足
j0
t 1at1 12t2 L
t 1t1 2t2 L 令1j j
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时间序列分析总结
平稳性 AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数 B 后移算子,B的次数表示后移期数。如
BX t X t1, B2 X t X t2 L
则AR(1)模型可以写成
11B Xt t
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平稳性
AR(1)模型 X t的方差
0 Var
Xt
Var
j 1
t
j0
j
2 jVar 1
t j
j0
2 j 2 1 j0
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平稳性
AR(1)模型 X t的方差
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平稳性
AR(1)系统的格林函数
依次推导，得
Xt
j 1 t j
j0
格林函数 G j
X t G jt j
Gj
j0
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平稳性 AR(1)系统的格林函数
Gj 1j
AR(1)模型的无限阶MA模型逼近
Xt
j 1 t j
即 E Xt Xt1 1E Xt1Xt1 E t Xt1
1 1 0
k=2时，
E Xt Xt2 1E Xt1Xt2 E t Xt2
2 11
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自协方差函数 对于一般地的k>0,
1,L , p称为自回归系数。
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ARMA模型 MA(q)模型
如果时间序列Xt 满足
X t t 1t1 L qtq
则称时间序列 Xt 服从q阶自回归模型，记为MA(q)。
1,L ,q称为移动平均系数。
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其解为
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平稳性
Xt
t 1 1B
11B 12B2 L t
t 1t1 12t2 L
j 1 t j
Fra Baidu bibliotek
Gjt j
j0
j0
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平稳性
AR(1)模型平稳 1 1 1 1，系统存在某种趋势或季节性。 1 1时，系统非平稳。
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上海上财海经财大经学大统学计与统管计理与学管院理学王院黎明
1177
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可逆性 若ARMA模型
X t 1X t1 L p X t p t 1t1 L qtq
可以表示为
t
1
I
j
B
j
X
t
j1
1 I1B I2B2 L Xt
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自协方差函数 AR(1)模型的自协方差函数
X t 1 X t1 t
E Xt Xtk 1E Xt1Xtk E t Xtk
k=0时，
即 E Xt Xt 1E Xt1Xt E t Xt
0 11 2
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自协方差函数 k=1时，
Var Xt 2
2j 1
j0
1
2
12
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平稳性 ARMA(2,1)模型的格林系数
11B 2B2
GjB j
t
11Bt
j0
B满足一个迭代
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1 N
N
Xt Xtk , k
t k 1
0,1,K
,N
1
样本的自相关函数为
或ˆ*k
1 N k
N
Xt Xtk
t k 1
N
ˆk
ˆk ˆ0
Xt Xtk
t k 1
N
X
2 t
t 1
N
或
ˆ
* k
ˆ*k ˆ*0
N N k
Xt Xtk
t k 1
N
X
2 t
t 1
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函数为
XY
XY
Var X Var Y
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自协方差函数 对于ARMA模型，自协方差函数为
k cov Xk , Xtk
自相关函数为
k
k 0
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自协方差函数
样本的自协方差函数为
ˆk
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2015,06.15
➢ 期末考试题型
填空题40％ 计算题50％ 证明题10％
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➢ 平稳模型
严平稳
宽平稳
设时间序列 Xt
存在二阶矩EX
2 t
，如果 Xt满足
（1）Xt 的均值 EXt 是常数； （2）Xt 的自协方差只与间隔长度有关，即
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逆函数与可逆性 上述式子称为逆转形式
Ij
逆函数
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自协方差函数
理论自相关函数与样本自相关函数
随机变量X与Y的协方差函数为
XY E X X Y Y
其中， X 为X的期望，Y为Y的期望，X,Y的相关
cov Xt , Xtk k , k
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ARMA模型 AR(p)模型
如果时间序列Xt满足
X t 1X t1 L p X t p t
其中对于任意的t, t 满足
E t 0 Var t 2 0
则称时间序列 Xt 服从p阶自回归模型，记为AR(p)。
X t c 1X t1 t
其中对于任意的t, t 满足 E t 0 Var t 2 0
则称时间序列 Xt 服从p阶自回归模型，记为AR(1)。
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平稳性 AR(1)系统的格林函数
X t 1 X t1 t
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