《线性代数》 线性方程组

（P－132）
含有自由未知量的解称为方程组的一般解。
自由未知量可以取任的意值，因此有无穷多。
【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵通过
初等行变换化为：1 3 1 2 6
0 1 3 1
4
0 0 0 2 1
0
0
00
0
则此线性方程组的一般解中自由未知量的
个数为____1______。
【分析】先确定基本未知量为： x1, x2, x4 则其余的为自由未知量： x 3
1 2
1 1
1
1
0 4 a 1 b 1
③+②(-2)
1 0
1 2
1 1
1
1
0 0 a 3 b 3
根据方程组解的判定定理可知：
（1）当a=－3,且b≠3时
r(A)2 < r(A) 3 所以方程组无解。
（2）当a=-3,且b=3时
1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 1
1
0
2
1 1
0 0 a 3 b 3 0 0 0 0
②×
1 5
1 3 0 5
③×
1 4
0
1
1
2
④×
1 7
0 1 1
0
1
1
2
2
①+②(-3) ③+②(-1)
1
0
0 1
3 1
1
2
④+②(-1)
0
0
0 0
0 0
0
0
所以方程组化简为： x1
3x3 1, x2 x3 2.
xx12
3x3 1, x3 2.
其中x3是自由未知.量
2、齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
(2.1)AX = 0只有零解(唯一解) 秩(A)n (2.1)AX = 0有非零解(无穷多解)秩(A)n
注：对于齐次线性方程组没有“无解”的情况。
【例】 线性方程组AX = B有唯一解，那么 AX = 0 ( ) ．
A．可能有解 C．无解
B．有无穷多解 D．有唯一解
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
x1 0
x
2
0
x 3 0
就是它的一 组解。
显然：（0,0,,0）是齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a21x1 a12x2 a1nxn 0, am1x1 am2x2 amnxn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
➢注意：方程组的解可能有惟一解，也可能 有无穷多组，也可能是无解。
1 0 1
0
1
1 ①+②×3
0
1
1
0 0 0
0 0 0
所以方程组化简为：
x1 x2
x3 x3
0, 0.
得方程组的一般解：
即：
x1 x2
x3 , x3.
其中x3是自由未知.量
①+③ ②+③(-1)
0 0 0
0
0
0
1 2 0 1 5 34
0 2 0
2
6
2
①+②(-1)
0 0 1 5 2 1
0 0 0
0
0
0
1 0 0 1 1 32
0 2 0 2
6
2
0 0 1 5 2 1
0 0 0 0
0
0
1 0 0 1 1 32
0 1 0 1
3
1
0 0 1 5 2 1
0 0 0 0
0
0
1 ②2
其中，x4 , x5
是自由未知量
写成方程组的形式为：
x1 x4 x5 32
x2
x4
3x5
1
x3 5x4 2x5 1
所以，方程组的解为：
x1 32 x4 x5 x2 1 x4 3x5 x3 1 5x4 2x5
其中，x4 , x5
是自由未知量
解齐次线性方程组
【例3】当a,b为何值时,下列方程组有惟一解
、无穷多解或无解。
x1 x2 x3 1,
x1
x2
2 x3
2,
x1 3x2 ax3 b.
【解】 只需要对增广矩阵进行初等行变换, 将其化为阶梯形矩阵
1 1 1 1 A 1 1 2 2
1 3 a b
A
②+①(-1) ③+①(-1)
1 0
“线性方程组”
“增广矩阵”
【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
“常数项”
1 3 0 3
解：
x1x2 1 x1 2x32
x13x2 3
4、齐次线性方程组：AX=0
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a21x1 a12x2 a1nxn 0, am1x1 am2x2 amnxn 0.
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
3
1
0
3
x1 2x32
“常数项”
x13x2 3
一一对应
5x1 x2 2x3 2, 2x1 x2 x3 4, 9x1 2x2 5x3 3.
【解】 对增广矩阵进行初等行变换，将其化 成行简化阶梯形矩阵，即
5 1 2 A 2 1 1
42 ③①++②②((--42))
1 2
1 1
0 1
6
4
9 2 5 3
1 2 1 13
②+①(-2) ③+①(-1) (②,③) ③+②×3
a1n b1 对 A 做初等
a2n
b2 ,
行变换，同 时也是对A 做变换。
amn bm
3、方程组的矩阵形式：
a11
a21
am1
a1 j a2j amj
a1n x 1
a2n
x
2
b1
b
2
amn
x
n
b
m
系数矩阵A 未知量矩阵X
简记为A： XB
【练习】
已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等 行变换化为阶梯形矩阵：
1 2 1 6 3 35
0 2
1
3 8
1
0 0 1 5 2 1
0 0 0
0
0
0
求方程组的解。
解： 对系数矩阵进行初等行变换，将其进 一步化成行简化阶梯形矩阵，即
1 0 0
2 2 0
1 1 1
6 3 5
3 8 2
35
1
1
• 一般方法是：
– (1) 写出齐次线性方程组的系数矩阵A； – (2) 对A施行初等行变换，使A化为行简
化阶梯形矩阵； – (3) 根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的
解。
【例7】求线性方程组：
x1 x2 x3 0, 2x1 x2 8x3 3x4 0, 的一般解。 2x1 3x2 x3 0.
1 1 0 6
0
3
1
16
0 1 1 7
1 1 0 6
0
1
1
7
0 3 1 16
1 1 0 6
0
1
1
7
0 0 4 5
②×(-1)
1
③× 4
1 1 0 6
0 1 1 7
0 0
1
5
4
②+③
1 1 0
6
0 0
1 0
0 1
23 5
4 4
x1
①+②
1
0
0
1 4
x2
0 0
解： 对系数矩阵进行初等行变换，将其化 成行简化阶梯形矩阵，即
1 1 1 A 2 1 8
0 3
②+①(-2) ③+①(-2)
1 0
1 3
1 6
0
3
2 3 1 0
0 1 3 0
②×
1 3
1 0
1 1
1 2
0 1
③+②(-1)
0 1 3 0
1 0
1 1
1 2
0 1
③ (-1)
0 0 1 1
r(A)r(A)23n
所以方程组有无穷多解.
（3）当a≠-3时 r(A)r(A)3n
所以方程组有惟一解.
注意3个量：r(A)，r(A)，n
1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
(1.1)AX = b有唯一解 秩 (A)秩 (A)n (1.2)AX = b有无穷多解 秩 (A)秩 (A)n (1.3)AX = b无解 秩 (A)秩 (A)
二、线性方程组解的判定定理
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过 求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：
设r=秩(A)，n为未知量的个数.
（1）若 r秩 (A)秩 (A)则, 方程组无解。 （2）若 r秩 (A)秩 (A)则方程组有解。
（2.1）若r = n 就有唯一解； （2.2）若r < n 就有无穷多解。
0, 0,
x 3 x 4 0 .
其中x4是自由未知.量
【例8】设齐次线性方程组为：
x1 3x2 2x3 0, 2x1 5x2 3x3 0,
3x1 8x2 x3 0.
问：λ取何值时方程组有非零解，并求一 般解。 【解】 对系数矩阵进行初等行变换，即
1 3 2 ②+①(-2) 1 3 2
1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1
①+③(-1) ②+③2
1
0
1 1
0 0
1
3
①+②(-1)
0 0 1 1
1 0 0 4
0
1
0
3
0 0 1 1
x1 4 x4 ,
即： x 2 3 x 4 ,
x
3
x4.
所以方程组化简为：
x x
1 2
4 x4 3x4
bj：第j个方程的常数项.
4元线性方程组
x1 x2 x3 1,
x1
x2
2 x3
2,
x1
3x3
4 x4
3.
2、方程组的系数矩阵A为：
a11 a1j a1n
A a21 am1
a2j amj
a2n ,
amn “增广矩阵”
a11 A a21
am1
a1j a2j amj
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
【解】 对增广矩阵进行初等行变换，将其化
成行简化阶梯形矩阵，即
2 1 5 0
1 3 0 5
A
1
3
0
5 (①,②)
2
1 5
0
1 1 4 3
1 1 4 3
4
5 7 6
4
5
7
6
②+①(-2) ③+①
1
0
3 5
0 5
5
10
④+①(-4) 0 4 4 8
0
7
7
14
常数矩阵B
【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵、
增广矩阵和矩阵形式
x1 2x2 0x3 1,
x1 0x2 2x3 2,
0
x
1
3x2 4x3
3.
解： 系数矩阵是 1 2 0
A
1
0 2
0 3 4
增广矩阵
1 1 0 1 A 1 0 2 2
0 3 4 3
方程组的矩阵形式是AX＝B，即
1 0 1 2 1
0
1
2
0
3
0 0 0 0 0
求解的方法：用初等行变换。
第一步，写出增广矩阵 A ，并用初等
行变换变为阶梯矩阵；
第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为
行简化阶梯形矩阵；
第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。
实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。
【例4】解线性方程组：
【解】 线性方程组AX = B有唯一解，说明
r(A)n,
故AX = 0只有唯一解（零解）．
三、线性方程组的求解
定义：“行简化阶梯形矩阵”
若阶梯形矩阵还满足下两个条件：
(1)各个非0行的第一个不为0的元素(首非0元) 都是1；
(2)所有首非0元所在列的其余元素都是0.
如： 1 2 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 1 3
1 0
0 1
23 5
4 4
x3
所以方程组化简为：
1
x
1
0
0
1 4
,
0
1x2
0
23 4
,
0
0
1
x3
5 4
即方程组 的解为：
x
1
1 4
,
x2
23 4
,
x
3
源自文库5 4
【例5】解线性方程组：
2 x1 x1 x1
3
x2 x2 x2
5x3 4x3
0, 5, 3,
4 x1 5 x2 7 x3 6.