初中数学 中考模拟复习专题33 动态几何之线动形成的最值问题考试卷及答案

一、选择题1．（2016广西百色市）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4B．32C．23D．232．（2016湖北省鄂州市）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5B．7C．8D．13 2二、填空题3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题4．（2016新疆）如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．5．（2016福建省福州市）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM 对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．6．（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD 重叠部分面积的最大值．7．（2015浙江衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．8．（2015江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1：y=12x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N．（1）求M，N的坐标；（2）在矩形ABC D中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S．移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）。

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(2 )设△AQP 的面积为S ,①求S 与t 之间的函数关系式 ,并求出S 的最|大值；②假设我们规定：点P 、Q 的坐标分别为 (x 1 ,y 1 ) , (x 2 ,y 2 ) ,那么新坐标 (x 2﹣x 1 ,y 2﹣y 1 )称为 "向量PQ 〞的坐标．当S 取最|大值时 ,求 "向量PQ 〞的坐标．【答案】 (1 )当t =2011秒时 ,PQ ∥BO (2 )①S =295t +553⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (0＜t ＜103) ,5② (23 ,﹣3 )【解析】解： (1 )∵A 、B 两点的坐标分别是 (8 ,0 )、 (0 ,6 ) ,那么OB =6 ,OA =8 . ∴2222AB OB OA 6810=+=+= .(2 )由 (1 )知：OA =8 ,OB =6 ,AB =10．②如图②所示 ,当S 取最|大值时 ,t =53, ∴PD =6﹣95t =3 ,∴PD =12BO . 又PD ∥BO ,∴此时PD 为△OAB 的中位线 ,那么OD =12OA =4 .∴P (4 ,3 ) . 又AQ =2t =103 ,∴OQ =OA ﹣AQ =143 ,∴Q (143,0 ) . 依题意 , "向量PQ 〞的坐标为 (143﹣4 ,0﹣3 ) ,即 (23 ,﹣3 )．∴当S 取最|大值时 , "向量PQ 〞的坐标为 (23,﹣3 ) .原创模拟预测题2. ：如图一 ,抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点 ,与y 轴交于点C ,直线2x y -=经过A 、C 两点 ,且AB =2.(1 )求抛物线的解析式；(2 )假设直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移 ,且分别交y 轴、线段BC 于点E,D ,同时动点P 从点B 出发 ,沿BO 方向以每秒2个单位速度运动 , (如图2 )；当点P 运动到原点O 时 ,直线DE 与点P 都停止运动 ,连DP ,假设点P 运动时间为t 秒 ；设OPED OPED s ⋅+= ,当t 为何值时 ,s 有最|小值 ,并求出最|小值 .(3 )在 (2 )的条件下 ,是否存在t 的值 ,使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；假设存在 ,求t 的值；假设不存在 ,请说明理由 .【答案】 (1 )y = -1/4 x 2+3/2 x -2 (2 )1 (3 )当t =2 /3 或t =10/ 7 时 ,以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似 ,证明见解析【解析】解： (1 )由抛物线y =ax 2+bx -2得：C (0 , -2 ) , ∴OA =OC =2 , ∴A (2 ,0 ) , ∵△ABC 的面积为2 , ∴AB =2 , ∴B (4 ,0 ) ,∴设抛物线的解析式为y =a (x -2 ) (x -4 ) ,代入点C (0 , -2 ) , a = -1/4 ,∴抛物线的解析式为y = -1/4 (x -2)(x -4) = -1/4 x2 +3/2 x -2 , 答：抛物线的解析式为y = -1/4 x 2 +3/2 x -2． (2 )解：由题意：CE =t ,PB =2t ,OP =4 -2t , ∵ED∥BA可得：ED /OB =CE /CO , 即ED/4 =CE/2 , ∴ED =2CE =2t ,②解：由题意可求：CD = 5 t ,CB =2 5 ,∴BD =2 5 - 5 t ,∵∠PBD =∠ABC ,∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：(1 )求出C的坐标 ,得到A、B的坐标 ,设抛物线的解析式为y =a (x -2 ) (x -4 ) ,代入点C的坐标求出a即可；(2 )①由题意：CE =t ,PB =2t ,OP =4 -2t ,由ED∥BA得出EDOB =CE CO ,求出ED =2CE =2t ,根据1 ED +1 OP =1 2t +1 4 -2t =4 2t(4 -2t) =1 -t2 +2t ,求出即可；②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BP AB =BD BC 和BP BD =BC BA 代入求出即可．原创模拟预测题3.如图 ,在直角坐标系中 ,点A (0 ,4 ) ,B ( -3 ,4 ) ,C ( -6 ,0 ) ,动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动 ,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动 ,过点P作PD⊥y轴 ,交OB于D ,连接DQ．当点P与点O重合时 ,两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．(1 )当t =1时 ,求线段DP的长；(2 )连接CD ,设△CDQ的面积为S ,求S关于t的函数解析式 ,并求出S的最|大值；(3 )运动过程中是否存在某一时刻 ,使△ODQ 与△ABC 相似 ?假设存在 ,请求出所有满足要求的t 的值；假设不存在 ,请说明理由． 【答案】 (1 )49； (2 )S =t t 42+- ,当2=t 时 ,S 最|大值 =4； (3 )1136=t 和49172=t 【解析】试题分析： (1 )先由题意得到OA =4 ,AB =3 ,CO =6 ,再求出当t =1时 ,AP 、OP 的长 ,最|后根据PD ⊥y 轴 ,AB ⊥y 轴 ,结合平行线分线段成比例即可列比例式求解；当t =1时 ,AP =1 ,那么OP =3 , ∴PD ∥AB∴OA OPAB DP = ∴433=DP 解得DP =49；(2 )CQ =2t ,AP =t ,OP =4–t作DE ⊥CO 于点E ,那么DE =O P =4–t ∴S =DE CQ 21⨯⨯ =21×2t ×(4–t) =t t 42+-当2=t 时 ,S 最|大值 =4 (3 )分两种情况讨论：②当43≤<t 时 ,点Q 在x 轴正半轴上运动 ,考点：此题考查的是二次函数的最|值 ,平行线分线段成比例 ,相似三角形的判定点评：解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的最|值的方法：公式法或配方法；同时熟练运用平行线分线段成比例 ,准确列出比例式解决问题.原创模拟预测题4. 阅读以下材料：小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC 中,∠ACB =30º,BC =6,AC =5,在△ABC 内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA +PB +PC 的最|小值．小华是这样思考的：要解决这个问题,首|先应想方法将这三条端点重合于一点的线段别离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据 "两点之间,线段最|短〞,就可以求出这三条线段和的最|小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC 绕点C 顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,那么BE 的长即为所求．(2 )参考小华的思考问题的方法,解决以下问题：①如图3,菱形ABCD 中,∠ABC =60º,在菱形ABCD 内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最|小值的线段 (保存画图痕迹,画出一条即可 );②假设①中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当PA +PB +P C 值最|小时PB 的长．【答案】(1)PA +PB +PC 的最|小值为61;(2)①图形见解析;②当PA +PB +PC 值最|小时PB 的长为433． 【解析】试题解析： (1 )如图2．∵将△APC 绕点C 顺时针旋转60°,得到△EDC, ∴△APC ≌△EDC,∴∠ACP =∠ECD,AC =EC =5,∠PCD =60°, ∴∠ACP +∠PCB =∠ECD +∠PCB, ∴∠ECD +∠PCB =∠ACB =30°,∴∠B CE =∠ECD +∠PCB +∠PCD =30° +60° =90°． 在Rt △BCE 中,∵∠B CE =90°,BC =6,CE =5, ∴22226561BC CE BE +=+==,即PA +PB +PC 的最|小值为61;(2 )①将△APC 绕点C 顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,那么线段BD 等于PA +PB +PC 最|小值的线段;同理,DE =CE, ∴BP =PE =ED ．连接AC,交BD 于点O,那么AC ⊥BD ．在Rt △BOC 中,∵∠BOC =90°,∠OBC =30°,BC =4, ∴BO =BC•c os ∠OBC =3423= ∴BD =2BO =43∴BP =13BD =33． 即当PA +PB +PC 值最|小时PB 43考点：几何变换综合题．原创模拟预测题5. 如图9, 抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4 ,0) 和B (1 ,0)两点 ,与y 轴交于C 点．(1 )求此抛物线的解析式；(2 )设E 是线段AB 上的动点 ,作EF //AC 交BC 于F ,连接CE ,当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时 ,求E 点的坐标;(3 )假设P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点 ,过P 作y 轴的平行线 ,交AC 于Q ,当P 点运动到什么位置时 ,线段PQ 的值最|大 ,并求此时P 点的坐标． 【答案】 (1 )213222y x x =+- (2 )(23-,0) (3 ) (－2 ,－3 )故E 点的坐标为(23-,0).解法二：延长PQ 交x 轴于D 点 ,那么PD AB ⊥．要使线段PQ 最|长 ,那么只须△APC 的面积取大值时即可.＝111()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅ ＝()()000001112242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯ ＝0024y x --- ＝20001322422x x x ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭＝2004x x -- ＝－()22024x ++即02x =-时 ,△APC 的面积取大值 ,此时线段PQ 最|长 ,那么P 点坐标为 (－2 ,－3 )原创模拟预测题6. 己知：二次函数y =ax 2+bx +6 (a≠0 )与x 轴交于A 、B 两点 (点A 在点B 的左侧 )点 (1 )请直接写出点A 、点B 的坐标．(2 )请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．(3 )如图1 ,在二次函数对称轴上是否存在点P ,使△APC 的周长最|小 ,假设存在 ,请求出点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．(4 )如图2 ,连接AC 、BC ,点Q 是线段0B 上一个动点 (点Q 不与点0、B 重合 )．过点Q 作QD ∥AC 交BC 于点D ,设Q 点坐标 (m ,0 ) ,当△CDQ 面积S 最|大时 ,求m 的值．【答案】 (1 )A ( -2 ,0 ) ,B (6 ,0 )；(2) y = -12x 2 +2x +6 ,抛物线对称轴为x =2 ,顶点坐标为 (2 ,8 )；(3) P (2 ,4 )；(4)2.【解析】试题分析： (1 )解一元二次方程x2 -4x -12 =0可求A 、B 两点坐标；(2 )将A 、B 两点坐标代入二次函数y =ax2 +b x +6 ,可求二次函数解析式 ,配方为顶点式 ,可求对称轴及顶点坐标；(3 )作点C 关于抛物线对称轴的对称点C ′ ,连接AC ′ ,交抛物线对称轴于P 点 ,连接CP ,P 点即为所求； (4 )由DQ ∥AC 得△BDQ ∽△BCA ,利用相似比表示△BDQ 的面积 ,利用三角形面积公式表示△ACQ 的面积 ,根据S △CDQ =S △ABC -S △BDQ -S △ACQ ,运用二次函数的性质求面积最|大时 ,m 的值．试题解析： (1 )A ( -2 ,0 ) ,B (6 ,0 )；(3 )如图 ,作点C 关于抛物线对称轴的对称点C ′ ,连接AC ′ ,交抛物线对称轴于P 点 ,连接CP ,∵C (0 ,6 ) ,∴C ′ (4 ,6 ) ,设直线AC ′解析式为y =ax +b ,那么2046a b a b -+=⎧⎨+=⎩,解得12 ab=⎧⎨=⎩,∴y =x +2 ,当x =2时 ,y =4 ,即P (2 ,4 )；考点：二次函数综合题．。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图 在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形 则符合条件的点P 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在平面直角坐标系中 边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动 连接OC 则OC 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上 则当BEC 的一个内角度数为60︒时 符合条件的点E 的个数共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图 在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为 ．5 （2024·江西吉安·二模）如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形 且P 为直角顶点时 BP 的长为 ．6 （2024·江西九江·二模）如图 在平面直角坐标系中 已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点 点P 为矩形OABC 边上任意一点 将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上 则点E 的坐标为 ．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处 射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形 则α∠的度数为 ．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中 已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上 点N 在边BC 上 且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中 若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为 ．10 （2024·江西吉安·三模）如图 在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点 当APD △为直角三角形时 BP 的长为 ．11 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点 连接BE 点P 在矩形的边上 且在BE 的上方 则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为 ．12 （2024·江西九江·二模）如图 在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点 沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时 则BD 的长为 ．13 （2024·江西·模拟预测）如图 在菱形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点 当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为 ．14 （2024·江西上饶·一模）如图 在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠 使点B 的对应点B '落在AC 上 折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为 ．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点 过点E 分别作AC 与BC 的垂线 垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上 且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处 并绕点O 逆时针旋转 探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处 在旋转过程中 当OF 与OB 重合时 重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时 重叠部分的面积为__________ 一般地 若正方形面积为S 在旋转过程中 重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处 在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时 试判断重叠部分OMN 的形状 并说明理由②如图3 当CM CN =时 求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处 该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=） 将GOH ∠绕点O 逆时针旋转 在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图 在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中 点B D E 在同一直线上 且点D 在AC 上 若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为 ．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立 请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点 连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】 思考我们知道 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 反过来 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理 某同学画出了图形 并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部 过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中 过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点 连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠 使点A 落在BC 边上的点F 处 若图中的四个三角形都相似 求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上 某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合） 将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中 四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直 相等且互相平分等性质 证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样 就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征 过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上 点F 在BC 上 则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时 其他条件不变 四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是 请求出四边形OECF 的面积 若不是 请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线 求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点 且AC EC = 则DAE ∠的度数为 ．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠 得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时 连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点 且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，已知：抛物线C1：，将抛物线C1向上平移m个单位（m＞0）得抛物线C2，C2的顶点为G，与y轴交于M，点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。

问：当m为何值时，在抛物线C2上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？试题2:如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－1，0）、B（－3，1）、C（0，2）。

将△ABC沿x轴的反方向平移，在第二象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数的图像上，直线B′C′交y轴于点G。

问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形。

如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

评卷人得分试题3:如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）。

1．当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？2．在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由。

试题4:已知在直角坐标系中，A(0,2),F(-3,0),D为x轴上一动点，过点F作直线AD的垂线FB，交y轴于B，点C(2，)为定点，在点D移动的过程中，如果以A,B,C,D为顶点的四边形是梯形，则点D的坐标为_______________.试题1答案:①若MN是平行四边形的一条边，由MN=PQ=和P（）得Q（）。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（﹣4，3），直角顶点B在第二象限。

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标。

试题2:.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为y cm．（1）当x= s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．评卷人得分试题3:如图，抛物线与x轴交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转1200至OB的位置.（1）点B在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．试题1答案:解：（1）由题意，得点B的坐标为（﹣4，﹣1），∵抛物线过A（0，﹣1），B（﹣4，﹣1）两点，∴，解得。

∴抛物线的函数表达式为：。

（2）∵A（0，﹣1），C（﹣4，3），∴直线AC的解析式为：。

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（﹣2，1），且P0在直线AC上。

过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则PE=，QE=，∴PQ==AP0。

专题31 动态几何之单动点形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。

本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

1. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．【答案】（1）当PQ∥BO（2）①0＜t，53）【解析】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．②如图②所示，当S取最大值时，∴PD=6，∴。

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。

本专题原创编写动态几何之线、面动形成的四边形存在性问题模拟题。

在中考压轴题中，动态几何之线、面动形成的四边形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

原创模拟预测题1. 如图，已知：抛物线C 1：2y x 2x =-+，将抛物线C 1向上平移m 个单位（m ＞0）得抛物线C 2，C 2的顶点为G ，与y 轴交于M ，点N 是M 关于x 轴的对称点，点P （12m, m 2-）在直线MG 上。

问：当m 为何值时，在抛物线C 2上存在点Q ，使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？①若MN 是平行四边形的一条边，由MN=PQ=2m 和P （12m, m 2--）得Q （52m, m 2--）。

∵点Q 在抛物线C 2上，∴()()25m 2m 22m m 2-=--+⋅-+，学科网解得1m 8=-或m 0=（均不合题意，舍去）。

②若MN 是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称性，得Q （52m, m 2）。

中考压轴题动点形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．原创模拟预测题1．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．【答案】3． 【解析】试题分析：∵ED=EM ，MF=FN ，∴EF=12DN ，∴DN 最大时，EF 最大，∵N 与B 重合时DN 最大，此时22AD AB ，∴EF 的最大值为3．故答案为：3．考点：三角形中位线定理；勾股定理；动点型．原创模拟预测题2．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD=4cm ，DC=5cm ，AB=8cm ．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t=4时，S 的最大值是325；（3）t=4011秒或t=4811秒或t=4秒．【解析】（2）由题意知，AQ=BP=t ，∴QB=8﹣t ，作PF ⊥QB 于F ，则△BPF ～△BCE ，∴PF BPCE BC =，即45PF t =，∴PF=45t，∴S=12QB•PF=14(8)25t t ⨯-=221655t t -+=2232(4)55t --+（0＜t≤5），∵25-＜0，∴S 有最大值，当t=4时，S 的最大值是325；（3）∵cos ∠B=35BE FB BC BP ==，∴BF=35t ，∴QF=AB ﹣AQ ﹣BF=885t-，∴22QF PF +2284(8)()55t t -+2184455t t -+①当PQ=PB 时，∵PF ⊥QB ，∴BF=QF ，∴BQ=2BF ，即：3825t t-=⨯，解得t=4011； ②当PQ=BQ 时，即218455t t -+﹣t ，即：211480t t -=，解得：10t =（舍去），24811t =；③当QB=BP ，即8﹣t=t ，解得：t=4．综上所述：当t=4011秒或t=4811秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【答案】（1）2.5；（2）S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．【解析】（3）分两种情况讨论，①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKACS 最小，当t=0是，M 与A 重合，N 与B 重合，如图5，此时三角形ΔKACS 最大；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，可以得到ΔKAC S =65t，而101.43t ≤≤，故当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=6 1.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．综合①②可得到结论．试题解析：（1）∵∠ACB ＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，当M 、N 相遇时，有310t t +=，∴ 2.5t =；（2）∵N 比M 运动的速度快，∴P 先在BC 上运动，然后在CA 上运动．当P 与C 重合时，∵ΔABC S=12AC •BC=12AB •GC ，∴GC=6×8÷10=4.8，∴226 4.8-，∴BG=10－3.6=6.4，∵AM=t ，BN=3t ，∴MN=10－4t ，MG=GN=12MN=1(104)2t -=52t -，∴52 3.6t t +-=，∴ 1.4t =．①当0 1.4t≤≤时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=12MN=1(104)2t-=52t-，∴GB=GN+NB=523t t-+=5t+，∵tanB=PG ACGB BC=，∴658PGt=+，∴PG=3(5)4t+，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=3(52)(5)4t t-⨯+=2751564t t--；②当1.4 2.5t<≤时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，由①可知，GN=MG=52t-，AM=t，∴AG=MG+AM=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=4(52)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+；③当102.53t<≤时，M在N的右边，在AC上逐渐远离C，如图3．MN=NB+AM－AB=310t t+-=410t-，GN=MG=25t-，AM=t，∴AG= AM－MG =(25)t t--=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN •PG= GN•PG=4(25)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+-；∴S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，∴EK∥FM，∵K为PM的中点，∴EK=12FM，∵FM⊥AC，CB⊥AC，∴FM∥CB，∴FM AMBC AB=，∴810FM t=，∴FM=45t，∴EK=12FM=25t，∴ΔKACS=12AC•EK=12625t⨯⨯=65t，∵101.43t≤≤，∴当 1.4t=时，ΔKACS的最小值=61.4 1.685⨯=，当103t=时，ΔKACS的最大值=610453⨯=．∴当P在CA上运动时，△KAC面积的最小值为1.68，最大值为4．综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．考点：三角形综合题；动点型；分类讨论；最值问题；分段函数；压轴题．原创模拟预测题4．如图，二次函数cxaxy++=22的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M 以每秒1个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N以每秒513个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）322++-=x x y ；（2）1y x =--；（3）①P （35，0）或P （﹣4.5，0）；②当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．【解析】②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ，在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，于是可求得BF ，BD 的长，进而求得sin ∠ADB ，由于DM=t -25，DN=t513，于是得到NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=，整理配方即可得到结果． 试题解析：（1）由题意知：023a c c =-+⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为322++-=x x y ；（2）在322++-=x x y 中，令y=0，则2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴B （3，0），由已知条件得直线BC 的解析式为3y x =-+，∵AD ∥BC ，∴设直线AD 的解析式为y x b =-+，∴0=1+b ，∴b=﹣1，∴直线AD 的解析式为1y x =--；（3）①∵BC ∥AD ，∴∠DAB=∠CBA ，∴只要当：AB PB AD BC =或AD PBAB BC =时，△PBC ∽△ABD ，解：2231x y y x x ⎧⎨=-+-=-+⎩，得D （4，﹣5），∴AD=25，AB=4，BC=23，设P 的坐标为（x ，0），即432523x -=或253423x -=，解得53=x 或5.4-=x ，∴P （35，0）或P （﹣4.5，0），②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ， 在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，∴AB BFBAF =∠sin ，∴BF=22224=⨯，BD=26，∴131322622sin ===∠BD BF ADB ， ∵DM=t -25，DN=t513，又∵DN NE ADB =∠sin ，NE=t 513t5213132=⋅， ∴NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=)25(5125122t t t t --=+-=25)225(512+--=t ，∴当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．考点：二次函数综合题；分类讨论；相似三角形的判定与性质；最值问题；二次函数的最值；动点型；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3． （1）求MP 的值；（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5；（2）1611；（3）755+．【解析】 试题分析：（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可计算出MP 的长；（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM=AD ﹣MP ﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，利用勾股定理计算出MN=3，NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R得出，从而得到四边形MEQG的最小周长值．（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE=GR，∵G M=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=22112+=55，∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是755+．考点：几何变换综合题；动点型；最值问题；翻折变换（折叠问题）；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．抛物线213242y x x=-+与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D （如图所示），当t 为何值时，11OP ED +的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） A （2，0），B （4，0），C （0，2）；（2）①t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1， E （0，1），P （2，0）；②F （3，2），（3，7）．【解析】 试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果； （2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，通过△CDE ∽△CBO 得到CE ED CO OB =，即224t DE -=，求得11OP ED +有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F （3，m ），当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即2132042x x -+=，解得：12x =，24x =，∵OA ＜OB ，∴A （2，0），B （4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C （0，2）；（2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，∵DE ∥OB ，∴△CDE ∽△CBO ，∴CE ED CO OB =，即224t DE -=，∴DE=4﹣2t ， ∴11OP ED +=11242t t +-=212t t -+=211(1)t --，∵0＜t ＜2，21(1)t --始终为正数，且t=1时，21(1)t --有最大值1，∴t=1时，211(1)t --有最小值1，即t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E （0，1），P （2，0）； ②存在，∵抛物线213242y x x =-+的对称轴方程为x=3，设F （3，m ），∴25EP =，2PF =22(32)m -+，2EF =22(1)3m -+，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，222EPPF EF +=，即22225(32)(1)3m m +-+=-+，解得：m=2， ②当∠EFP=90°时，222EF PF EP +=，即2222(1)3(32)5m m -++-+=，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，222EF PE PF +=，即2222(1)35(32)m m -++=-+，解得：m=7， 综上所述，F （3，2），（3，7）．考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，ΔABC 272S =，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ．（1）求tanA 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】（1）34；（2）8110；（3）t 的值为：914或911或1或97．【解析】试题分析：（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，利用面积法求得BM 的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P 作PN ⊥AC 于点N ．利用（1）中的结论和勾股定理得到222PN NQ PQ +=，所以由正方形的面积公式得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．（3）分四种情况讨论：①如图3，当点E在边HG上时，t=9 14；②如图4，当点F在边HG上时，t=9 11；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t=1；④如图6，当点F边C上时，t=9 7；综上所述：t的值为：914或911或1或97．考点：四边形综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．。

初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。

初三数学中考复习 动点或最值问题 专题复习训练题一、选择题1．如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 32．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53)D ．(3，2)5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝34，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A．18 cm2B．12 cm2C．9 cm2D．3 cm26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD ⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是( C )A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．8．如图，已知点A 是双曲线y ＝6x 在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x 上运动，则k 的值是9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．10．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是__6__．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B 的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC 向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为3)_____．13. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__4__．三、解答题14．如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×(－1)2＋b ×(－1)－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－258)(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎨⎧b ＝2，32a ＋b ＝－258，解得a ＝－4112，b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，0)。