初中数学竞赛几何练习题

第18章 整数几何18.1.1★已知ABC △的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值．解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则111,155111.515h h⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩ 解得151545h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． 18.1.2★已知ABC △的三边长分别为3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠<︒，设BD y =，CD z =，则0y >，而z 可正可负．AB D C由2y z n x +=+，及()()()22223242y z n x n x n x x -=+-+=+⋅，得4y z x -=，32ny x =+，由勾股定理，知()222332n x n n x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知1n =，2，…，12，这样的三角形有12个．18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值．解析设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2cR =，内切圆半径2a b cr +-=，不妨设20a ≤． 由条件知52c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()()222225249a b ab a b ++=+，即()2212250a b ab +-=，()()34430a b a b --=，于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72．18.1.4★ABC △为不等边三角形，60A ∠=︒，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积．A BCx y60°解析设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有2249x y xy +-=．由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解．于是1sin 602ABC S xy =︒=△． 18.1.5★★一点P 与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O e 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ⋅=⋅=，因此24ST SP TP =+≥．又30ST AB =≤，故这样的弦共有()302412212-+⨯-=条，其中与AB 垂直的弦及AB 各一条，其余的弦每种长度有两条（关于AB 对称）．18.1.6★★在直角三角形ABC 中，各边长都是整数，90C ∠=︒，CD 为边AB 上的高，D 为垂足，且3BD p =（p 奇素数），求ACAB的值（用p 表示）． C解析由2BC BD AB =⋅知2BD BC ，故设2BC p t =（t 为正整数），则2BA pt =，又由勾股定理，知22442AC p t p t =-，故tp AC ．设AC kpt =，代入得()()222p t k t k t k =-=+-，易知只能有2t k p +=，1t k -=，解得212p t +=，212p k -=，于是2211AC p AB p -=+． 18.1.7★★设正三角形ABC ，M 、N 分别在AB 、AC 上，MN BC ∥，两端延长MN ，交ABC △外接圆于P 、Q ，若PM 、MN 、AB 长均为正整数，求AB 的最小值． 解析 如图， 易知NQ PM =也是整数．设AM x =，BM y =，PM NQ z ==，则MN x =，于是由相交弦定理，得()xy z x z =+，2z x y z=-．APQM NB C设y ks =，z kt =，(),k y z =，s t >，(),1s t =，则2kt x s t=-，由于()2,1s t t -=，故s t k -，要使2t AB x y k ks s t=+=+-达到最小，k 得取s t -，于是()2AB t s t s =+-．由于s t >，2s ≥，1t ≥，知()223t s t s t s +-+≥≥．当1AM =，2BM =时AB 取到最小值3，此时1PM =．18.1.8★★已知凸四边形ABCD 的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且22250AD BC +=，求该四边形面积、对角线长度．解析 不妨设AB α=，BC b =，CD c =，DA d =，AC 与BD 交于O ，则sin 2ABCD AC BD AOB S ac bd AC BD ⋅⋅∠==+⋅≥，于是由托勒密定理，知A 、B 、C 、D 必共圆，且满足AC BD ⊥．又由已知条件，22250b d +=，22250a c +=．经搜索知250表为平方和只有两组：22515+和22913+．由对称性，不妨设5a =，13b =，15c =，9d =，则19622ABCD ac bdS AC BD +=⋅==．由余弦定理，因cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，得222222591315045195BD BD +-+-+=，得BD =AC18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC △？证明你的结论． 解析 存在满足条件的三角形．当ABC △的三边长分别为6a =，4b =，5c =时，2A B ∠=∠．如图，当2A B ∠=∠时，延长BA 至点D ，使AD AC b ==．连结CD ，ACD △为等腰三角形．CD A因为BAC ∠为ACD △的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以B D ∠=∠．所以CBD △为等腰三角形．又D ∠为ACD △与CBD △的一个公共角，有~ACD CBD △△，于是AD CD CD BD =，即b aa b c=+，所以()2a b b c =+．而()26445=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． 评注满足条件的三角形是唯一的．若2A B ∠=∠，可得()2a b b c =+．有如下三种情形：（ⅰ）当a c b >>时，设1a n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b bc =+，得()()()21121n n n +=--，解得5n =，有6a =，4b =，5c =；（ⅱ）当c a b >>时，设1c n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b bc =+，得()212n n n =-⋅．解得2n =，有2a =，1b =，3c =，此时不能构成三角形；（ⅲ）当a b c >>时，设1a n =+，b n =，1c n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b b c =+，得()()2121n n n +=-，即2310n n --=，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？ 解析 设三角形三边依次为1n -、n 、1n +，则333n ≤≤，()131122p n n n n =-+++=，S △==于是()234n -是平方数，令()()22343n k -=，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()222343n k k =+≡，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()22343mod 4n k =+≡，将2k =，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当2k =，8时满足要求．因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、15．18.1.11★★某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值． 解析 设直角三角形直角边长a 、b ，斜边为1575a +，则 ()2221575a b a +=+，()2157521575b a =+．由于221575357=⨯⨯，设105b k =，则2721575k a =+，设7a s =，则22225k s =+，于是k 的最小值为17，此时32s =，224a =，1785b =，1799c =．此时的最小周长为3808． 18.1.12★★已知ABC △，AD 是角平分线，14AB =，24AC =，AD 也是整数，求AD 所有可取的值．AEB DC解析 如图，作DE AB ∥，E 在AC 上，则易知AE ED =． 又ED CD AC AB BC AB AC==+，故 22AB ACAD AE DE ED AB AC⋅<+==+33617.6819==…， 故17AD ≤．又当17AD ≤时，不难通过AED △构造出ABC △，故AD 所有可取的值为1，2， (17)18.1.13★面积为c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质娄的平方整除，求a cb-的值．ADGB E F C解析设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则2m ，由ADG ABC △∽△，可得xx m -=．解得()3x m =．于是()222348x m ==．由题意得28a =，3b =，48c =，所以203a cb -=-． 17.1.14★★如图，AD 是ABC △的高，四边形PQRS 是ABC △的内接正方形，若BC ab =（即两位数），SRc =，ADd =，且a 、b 、c 、d 恰为从小到大的4个连续正整数，求ABC S △的所有可能值．AS RP D Q解析易知11SR AR CR SR BC AC AC AD ==-=-，于是有110c c a b d +=+，或11111132a a a +=+++，移项，得()()1111123a a a =+++，或2650a a -+=，解得1a =或5．于是有两解： 12,3,4;BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩56,7,8.BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩易知这两组数据都符合要求，故24ABC S =△或224．18.1.15★★已知ABC △中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当2BD BC 和2BEAB均为正整数时，ABC △是什么三角形？并证明你的结论． 解析设2BD m BC =，2BEn AB=，m 、n 均为正整数，则 244cos 4BD BE mn B AB BC=⋅⋅=<， 所以，1mn =，2，3． （1）当1mn =时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1m n ==．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是ABC △是等边三角形．（2）当2mn =时，cos B =45B ∠=︒，此时1m =，2n =，或2m =1n =，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90BAC ∠=︒，或90BCA ∠=︒，于是ABC △是等腰直角三角形．（3）3mn =时，cos B =，30B ∠=︒，此时1m =，3n =，或3m =，1n =．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30ACB ∠=︒，或30BAC ∠=︒，于是ABC △是顶角为120︒的等腰三角形．18.1.6★★某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？解析 设直角边分别为a 、b ，则斜边c =，由条件知它是有理数，故必定是整数．设2ka b ab +=，k 为正整数，于是k =．由于a b +1、2或4，记作k '．由a b k +-'=()2220ab k a b k -'++'=，()()22a k b k k -'-'='，1k '=时无解；2k '=时，有()()222a b --=，{a ，b }={3，4}；4k '=时，()()448a b --=，{a ，b }={5，12}或{6，8}，所以这样的直角三角形共有3个．18.1.17★★在等腰ABC △中，已知AB AC kBC ==，这里k 为大于1的自然数，点D 、E 依次在AB 、AC 上，且DB BC CE ==，CD 与BE 相交于O ，求使OCBC为有理数的最小自然数k ．ADEBCO解析如图，连结DE ，则DE BC ∥，11DE AD AB BC BC AB AB k -===-，1k DE BC k-=． 由于四边形DBCE 为等腰梯形，则由托勒密定理（或过D 、E 作BC 垂线亦可），2222121k k CD CD BE DE BC DB CE BC BC BCk k --=⋅=⋅+⋅=+=，又21CO BC kCD DE BC k ==+-，于是CO BC =k 与21k -互质，由题设知其必须均为平方数，1k >，25k =适合，这是满足要求的最小自然数．18.1.18★★★对于某些正整数n 来说，只有一组解xyz n =（不计顺序），这里，x 、y 、z是正整数且可构成三角形的三边长，这样的()100n ≤共有多少个？ 解析显然，当n p =（素数）时无解；当2n p =或1时只有一组解（1，p ，p ）或（1，1，1）；当n pq =（p 、q 为不同素数）时无解；当4n p =（p 为大于3的素数）时也无解．剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100． 易验证，无解的n 有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的n 有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一组解的n 有：36，60，64，72，100．注意：判定无解的主要依据是，abc n =，c ab >时无解，困为1c ab a b ++≥≥． 因此，有解的n 共有23个．18.1.19★★面积为整数的直角三角形周长为正整数k ，求k 的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）．解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为a 、b ，则112ab ≥，a b +≥2，2k a b =+，故5k ≥．下令5k =，2ab =，如有解，则可．()5a b -+，平方得()222225102a b a b a b ab +=-++++．取2ab =，得29,102.a b ab ⎧+=⎪⎨⎪=⎩因此a 、b 为方程21029200x x -+=的根，解得a 、bk 的最小值是5．18.1.20★★若ABC △的三边长a 、b 、c 均为整数，且140abc =，求ABC △内切圆半径． 解析 不妨设a b c ≤≤，于是7c ≥．又14011c a b ab c<++=+≤，故140c c ≤，得10c ≤．于是c 只可能为7或10． 7c =时，20ab =，只可能4a =，5b =，()182p a b c =++=，内切圆半径r =． 10c =时，14ab =，没有满足要求的解．18.1.21★★证明：若a 、b 、c 是一组勾股数()222a b c +=，则存在正整数k 、u 、v 、u v >，(),1u v =使得()22c k u v =+，而()22a k u v =-，2b kuv =；或2a kuv =，()22b k u v =-．解析222a b c +=，设（a ，b ，c ）k =，则1a ka =，1b kb =，1c kc =，222111a b c +=．易知1a 、1b 、1c 两两互质；1a 与1b 不可能同偶，否则12a ，1b ，1c ；1a 与1b 也不会同奇，否则()212mod 4c =，矛盾．于是1a 与1b 必一奇一偶，不妨设1a 奇而1b 偶，于是1c 为奇数．从而()()211111a c b c b =+-，11c b +与11c b -必互质，否则有一奇素数11|p c b +，11c b -，得|2p c ，12b ，故|p （1c ，1b ），与（1c ，1b ）=1矛盾． 于是可设2111c b u +=，2111c b v -=，（1u ，1v ）=1，且1u 、1v 均为奇数，解得221111122u v u v c +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111222u v u v b +-=⋅⋅，221111122u v u v a +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112u v u +=，112u v v -=，即得结论． 18.1.22★★★如图，F 、E 在ABC △的边AB 、AC 上，FE 的延长线与BC 的延长线交于D ，求证：AF 、BF 、CB 、CD 、AE 、EC 、FE 、ED 的长度不可能是1～8的排列． 解析 如果1EF =，则1AE AF EF -<=，得AE AF =，矛盾，故1EF ≠，同理AF 、AE 、ED 、CD 、EC 都不等于1．AFE GDCB因此1只可能等于FB 或BC 之长，不失对称性，设1BF =，则1FD BD BF -<=，FD BD =，作CG AB ∥，G 在ED 上，四边形FBCG 乃一等腰梯形，于是EG FG EF BC EF =-=-为正整数．又1EG EC CG BF -<<=，故EG EC =，但BFD ∠为等腰三角形DFB 的底角，90BFD <︒∠，18090EGC BFD =︒->︒∠∠，为EGC △的最大内角，EC EG >，矛盾，因此结论证毕．18.1.23★★★已知梯形ABCD 中，AD BC <，E 、F 分别在AB 、CD 上，EF AD BC ∥∥，ED BF ∥，如果AD 、EF 、BC 均为正整数，称该梯形为“整数梯形”．现对于正整数n ，有正整数x x <′<y ′<y ，x y x +=′+y ′=n ，且x 、y 为一“整数梯形”的上、下底， x ′、y ′为另一“整数梯形”的上、下底，求n 的最小值．解析 如图，由AED EFD △∽△,DEF FBC △∽△,得AD AE DF EFEF BE FC BC===，得EF =，于是问题变为求最小的n ，使xy 与x ′y ′均为平方数．A DEFB Cxy 、x ′y ′不可能都为4，故至少有一组≥9，显然另一组也不可能为4，于是xy ，x ′y ′≥9．如果xy 或x ′y ′25≥，则10n =≥．若xy 或x ′y ′=9或16，则19n =+或2810+=．于是n 的最小值为10，1x =，x ′=2，y ′=8，y =9．18.1.24★★★求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形．ABDPC解析 如图，作圆内接四边形ABCD ，AC 与BD 垂直于P ，设a 为一整数，2a >，4AP a =，24BP a =-，241DP a =-，则24AB a =+，241AD a=+，，由此知()()224414aa CP a--=，而由ABP DCP △∽△，BPC APD △∽△知，()224414a BC a a -=+，()224144a CD a a -=+．同时乘以系数4a ，得()244AB a a =+，()2441AD a a =+，()()22441BC a a =-+，()()22414CD a a =-+，4244AC a a =-+，()2201BD a a =-．易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个a ，但正整数有无限个，因此有无限个a ，使6个多项式两两不等，又当a →+∞时，0BDAC→，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似． 18.1.25★★★已知PA 、PB 为圆的切线，割线过P ，与圆交于M 、N ，与AB 交于S ，若PA 、PM 、MS 、SN 均为正整数，求PA 的最小值． PMABSN解析 如图，易知有PM PNMS SN=(调和点列)． 设PM a =，MS b =，SN c =，则()b a b c ac ++=，()b c b c a b+=-，从而PA == 设a ks =，b kt =，k =（a ，b ），则（s ，t ）=1，s t >，s tc kts t+=-，PA =易见（s t +，s t -）=1，则s 、t 一奇一偶．于是由（()t s t +，s t -）=1，得|s t k -，且由PA 为整数知2s t x +=，2s t y -=，x 、y 为奇数．因为|s t k -，于是k 的最小值为s t -，()c t s t =+，PA sxy ==，当s =1，2，3，4时，t 无解(即PA 不是整数)，故5s ≥，又3x ≥，1y ≥，于是PA ≥15，当a =5，b =4，c =36时取到15PA =．若（s t +，s t -）=2，此时s 、t 同奇，k 的最小值为2s t-，此时()2t s t c +=，PA =22s t x +=，22s t y -=，当1s =，3时，无t 使PA 为整数，于是5s ≥，又x y >，所以1y ≥，2x ≥，5210PA sxy =⨯=≥．当5a =，3b =，12c =时取到PA =10． 综上，PA 的最小值是10．18.1.26★★★一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者． 解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14．若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2，则由托勒密定理，对角线长为4，满足要求，此时周长为11．故最小周长≤11． 显然对圆内接凸四边形ABCD ，无边长为1．否则若设1AB =，—1AD BD AB <=，得AD BD =，同理AC CB =，于是C 、D 均在AB 中垂线上，构不成凸四边形．因此最小周长≥2×4=8．四边均为2，得正方形，对角线为2，另一边为3，得等腰梯形，10．当周长为10时，显然至少有两边为2．若是2、2、2、4能为2、2、3、3故最小周长为11．18.1.27★★★在Rt ABC △中，90BCA =︒∠，CD 是高，已知ABC △的三边长都是整数，且311BD =，求BCD △与ACD △的周长之比．CB D解析 设ABC △的三边长分别为a 、b 、c ．由题设知 2BC BD BA =⋅，故2311a c =．于是设211a l =，得211l c =由勾股定理得11b ==2211l -是 完全平方数，设为()20t t >，则22211l t -=，()()211l t l t -+=．由于0l t l t <-<+，所以21,11.l t l t -=⎧⎨+=⎩解得61,60.l t =⎧⎨=⎩于是21161a =⨯，116160b =⨯⨯． 因为BCD CAD △∽△，所以它们的周长比等于它们的相似比，即1160a b =．18.1.28★★★已知锐角三角形ABC 中，AD 是高，矩形SPQR 的面积是ABC △的1／3，其顶点S 、P 在BC 上，Q 、R 分别在AC 、AB 上，且BC 、AD 及矩形SPQR 的周长均为有理数，求AB ACBC+的最小值． 解析 如图，设ABC △的三边长依次为a 、b 、c ，AD h =，PQ x =，RS y =，则16xy ah =，及1x y AQ CQ a h AC AC+=+=．由条件，知a 、h 、x y +均为有理数． AR QB S D P C由16x aa x+=，得x a =y h =)2a h x y a h ++=-，因此只能有a h =．若过A 作BC 的平行线l ，再作C 关于l 的对称点C '，则AB AC AB AC +=+′≥BC ′=，于是AB ACBC+，仅当AB AC =时取到． 18.1.29★★★★整数边三角形ABC 中，90BAC =︒∠，AD 是斜边上的高，BD 也是整数．若对同一个BD 能长度，有两个不全等的直角整数边三角形ABC 满足要求，求BD 的最小值． 解析 不妨设ABC △的三边长为a 、b 、c ，AD h =，BD d =，首先bch a=为有理数，又222h c d =-为整数，因此h 也是整数．又CD 为整数，故2h d也是整数．又ABD CBA △∽△,故h b d c=． AB D C因此，只需正整数h 、c 、d 满足222h c d =-及2|d h ，这样的整数边三角形就存在．因为此时hcb d=是有理数，而222b h CD =+为整数，从而b 为整数．易知由2|d h 可得2|d c ． 设21d d σ=，σ、1d 为正整数，且σ无平方因子，于是由2|h σ及2c 知|h σ，c ．设1h h σ=，1c c σ=，代入得422111d c h =-，又由2|d h ，2c 得2211|d h σ，21c σ，今对1d 的任一素因子p ，其在1d 的指数()1s d 不会比1h 的指数高，否则()()111s d s h +≥，()()22112s d s h +≥，而()s σ最多为1，于是()()2211s d s h σ>，这是不可能的．于是11|d h ，同理11|d c ．又令112h d h =，112c d c =，代入422111d c h =-得222122d c h =-． 于是对1d 有两组不同的2c 、2h 满足222122d c h =-．经计算18d ≥，故64d ≥．当64d =时，确实有满足要求的两组解：80AB =，60AC =，100BC =，和136AB =，255AC =，289BC =．故BD 的最小值是64．18.1.30★★★★试找一不等边三角形ABC ，使BC 及BC 边上的中线、角平分线、高的长度都是整数，BC 可以是多少(此时的中线、角平分线、高的长度分别为多少)?若要求BC 不是整数，但2BC 是整数，则BC 可为多少(此时中线、角平分线、高的长度分别为多少)? 解析 首先处理BC 为整数的问题，我们选择的是直角三角形ABC ，对应边为a 、b 、c ，中线AM ，角平分线AD ，高AH ，2aAM =，bc AH a =，又ABC ABD ACD S S S =+△△△，得)bc b c AD +，故AD ，于是a 为偶数2k ，b ，c =，mnAH k =而2mn AD m n =+，2222m n k +=，这个方程有解1m =，7n =，5k =，得75AH =，5AM =，74AD =．乘以一个系数20，即得直角三角形ABC ，它的斜边为200，斜边上的中线为100，角平分线为35，高为28． 下面处理BC 为无理数、2BC 为整数的情形，如图，延长AD ，与MP 交于P ，此处MP BC ⊥．易知A 、B 、P 、C 共圆(P 是ABC △外接圆弧»BC之中点)． 今从基本勾股数出发构造．取12AH =，13AD =，15AM =，则5DH =，9MH =，4MD =，485MD MP AH HD =⋅=，45255PD AD ==． ABMD HCP易知BPD APB △∽△，于是25211760845525BP PD PA =⋅=⨯=，()22222608448302444425255BC BM PB MP ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭． 再乘以系数5，得所求三角形的高60AH =，角平分线65AD =，中线75AM =，边BC =是无理数，但15120BC =．18.1.31★★作圆外切凸五边形ABCDE ，现知该五边形每边长均为整数，1AB =，又圆与BC 切于K ，求BK ．解析 如图，设CD 、DE 、EA 、AB 分别与圆切于P 、Q 、R 、S ．则RE DP ED +=为整数，于是由题设，AR CP +亦为整数，而AR CP AS KC +=+．于是22BK BS BK BS ==+为整数，由于1BS AB <=，故22BS <，221BK BS ==，12BK =． A S RB EQ K CPD。

初中数学几何计算专题练习(含答案)第一题已知直角三角形的直角边长分别为6cm和8cm，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边长度= √(直角边1的平方 + 直角边2的平方)将已知的直角边长代入计算：斜边长度= √(6cm^2 + 8cm^2)斜边长度= √(36cm^2 + 64cm^2)斜边长度= √(100cm^2)斜边长度≈ 10cm因此，直角三角形的斜边长度约为10cm。

第二题在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, 4)，点B的坐标为(7, 2)，求线段AB的长度。

答案：根据两点间距离公式，可以计算出线段AB的长度：线段AB的长度= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)将点A和点B的坐标代入计算：线段AB的长度= √((7 - 3)^2 + (2 - 4)^2)线段AB的长度= √(4^2 + (-2)^2)线段AB的长度= √(16 + 4)线段AB的长度= √20 ≈ 4.47因此，线段AB的长度约为4.47。

第三题已知正方形的边长为10cm，求正方形的对角线长度。

答案：正方形的对角线长度可以通过以下公式计算：对角线长度 = 边长* √2将已知的边长代入计算：对角线长度= 10cm * √2对角线长度≈ 14.14cm因此，正方形的对角线长度约为14.14cm。

第四题已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。

答案：圆的周长可以通过以下公式计算：周长= 2πr将已知的半径代入计算：周长= 2π * 5cm周长≈ 2 * 3.14 * 5cm周长≈ 31.4cm圆的面积可以通过以下公式计算：面积= πr^2将已知的半径代入计算：面积 = 3.14 * (5cm)^2面积 = 3.14 * 25cm^2面积≈ 78.5cm^2因此，圆的周长约为31.4cm，面积约为78.5cm^2。

以上是初中数学几何计算专题练习的一些题目和答案。

2024学年初中数学几何（赵爽弦图）模型专项练习 1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）A．1+ B．2+ C．5﹣ D．2．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为（ ）A．20 B．40 C．20 D．203．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）A．2 B．4 C．6 D．84．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于 ．5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝15，则S2的值是 ．6．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 ．7．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD 的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x 的值．参考答案1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）A．1+ B．2+ C．5﹣ D．【过程解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．2．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为（ ）A．20 B．40 C．20 D．20【过程解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT交BE于J，连接AE，ET，延长CE 交AD于P，过点D作DH⊥CP于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝20，∵AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠EAD）＝135°， ∵∠CED＝135°，∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵BT＝CT，∴TE＝TB＝TC，∵AB＝AE，∴AT垂直平分线段BE，∵CE⊥BE，∴AT∥CP，∵AP∥CT，∴四边形ATCP是平行四边形，∴AP＝CT＝10，∴PD＝AP＝10，∴PC＝＝＝10，∵DH⊥PC，∴•CD•PD＝×PC×DH，∴DH＝4，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，在△BEC和△CHD中，，∴△BEC≌△CHD（AAS），∴EC＝DH＝4，∴S△DEC＝•EC•DH＝40．故选：B．3．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【过程解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．4．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于 5．【过程解答】解：∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即4×ab＝120， ∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案为：5．5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝15，则S2的值是 5．【过程解答】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∵S1+S2+S3＝15＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：5．故答案为：5．6．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 32．【过程解答】解：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵正方形EFGH的面积为4，∴b2＝4，∵AM＝EF，∴2a＝b，∴a＝b，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝8b2＝32，故答案为：32．7．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．【过程解答】解：（1）在Rt△ABC中…（2分）由面积的两种算法可得：…（4分）解得：CD＝…（5分）（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2…（6分）在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2…（8分）所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）解得＝（10分）。

蝴蝶定理[蝴蝶定理] 已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。

SM。

MT。

∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。

Y。

M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM[推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF 交AB于P,则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标，则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。

即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证。

蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M 为XY之中点。

出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

初中数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º，则∠BOC 的度数为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．50ºD ．60º 2．下列图形属于立体图形的是（ ）A ．正方形B ．三角形C ．球D ．梯形 3．已知∠AOB =75°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC =48°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．123°B ．123°和27°C ．23°D ．27°4．如图，已知点C 是线段AB 的中点，2AC cm =， 1.5DC cm =，则BD =（ ）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm 5．已知A ，B ，C ，D 四点，任意三点都不在同一直线上，以其中的任意两点为端点的线段的数量是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若2110∠=︒，那么1∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 7．如图，已知∠ACB=90°，CD∠AB ，垂足是D ，则图中与∠A 相等的角是( )A．∠1B．∠2C．∠B D．∠1、∠2和∠B 8．在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时,李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和互补的角为（）A．B．C．D．9．下列说法正确的是()A．连接两点的线段，叫做两点间的距离B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角10．我军在海南举行了建国以来海上最大的军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东65︒方向（如图），同时观测到军舰B位于点O处的南偏西20︒方向，则AOB∠=（）A ．85︒B ．105︒C ．125︒D ．135︒ 11．如图，小玮从A 处沿北偏东40°方向行走到点B 处，又从点B 处沿东偏南23°方向行走到点C 处，则∠ABC 的度数为（ ）A ．99°B ．107°C ．127°D ．129° 12．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，30B ∠=︒，100ACD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25° 13．如图所示，正方体的展开图为（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定 15．如图，等边∠ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若AE ＝2，则EM ＋CM 的最小值为（ ）AB ．C ．D ．16．已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，且AB ＝60，BC ＝40，则MN 的长为（ ）A ．10B ．50C ．10或50D ．无法确定 17．如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分针与时针所夹角的度数是（ ）A ．090B ．0100C ．0110D ．0120 18．一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒ 19．一把直尺和一块三角板ABC （含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（）A．10°B．50°C．45°D．40°20．如图，直线AB MN∥，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令ECMα∠=，用含α的式子表示∠EBC为（）．A．52αB．10α︒-C．1102α︒-D．1102α-︒二、填空题21．如图，将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD 的度数是______°．22．若∠A与∠B互余，则∠A+∠B=_____；若∠A与∠B互补，则∠A+∠B=_____. 23．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOD＝35°，OD平分∠AOC，则图中∠BOC＝______度．24．如图，在直线AB 上有一点O ，OC ∠OD ，OE 是∠DOB 的角平分线，当∠DOE ＝20°时，∠AOC ＝___°．25．一个直棱柱有12条棱，则它是__棱柱．26．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于D ，若6,10AB BC ==，则DF =______．27．已知5526α∠=︒'，则α∠的余角为____________28．在墙上钉一根细木条至少要钉2根钉才稳，根据是_________________________； 29．在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做______，相邻的两个侧面的交线叫做_______.30．如图所示，//AB CD ，CE 平分ACD ∠，并且交AB 于E ，118A ∠=︒，则AEC ∠等于______．31．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D ．若45BOD ∠=︒，20C ∠=︒，则ADC ∠=___________．32．一副三角板按如图放置，则下列结论：∠如果230∠=︒，则有AC DE ∥；∠如果BC AD ∥，则有245∠=︒；∠如果445∠=︒，那么160∠=︒；∠ BAE CAD ∠+∠ 随着2∠的变化而变化，其中正确的是____．33．已知C 是线段AB 的中点，AB=10，若E 是直线AB 上的一点，且BE=3，则CE=_____34．如图，C ，D 是线段AB 上两点，已知AC ：CD ：DB=1：2：3，M 、N 分别为AC 、DB 的中点，且AB=8cm ，求线段MN 的长_____．35．已知OC 为一条射线，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠．（1）如图1，当60AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部任意一条射线时，MON ∠=_____； （2）如图2，当60AOB ∠=︒，OC 旋转到AOB ∠的外部时，MON ∠=_____； （3）如图3，当AOB α∠=，OC 旋转到AOB ∠（120BOC ∠<︒）的外部时，求MON ∠，请借助图3填空．解：因为OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠ 所以1122COM AOC CON BOC ∠=∠∠=∠，（依据是____________） 所以MON COM ∠=∠-_________12AOC =∠-_______12=________． 36．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且20AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 的周长为 ______．37．平面内，已知AOB 90∠=，20,BOC OE ∠=平分,AOB OF ∠平分BOC ∠，则EOF ∠=______.38．如图所示，设L AB AD CD =++，M BE CE =+，N BC =．试比较M 、N 、L 的大小：________．39．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．（1）若18AB =，点D 与点A 重合，8DE =，则EC =_________；（2）若2AB DE =，线段DE 在直线AB 上移动，且满足关系式32AD EC BE +=，则CD AB =_______．三、解答题40．如图所示，在长方形ABCD 中，6cm BC ，8cm CD =，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体．请解决以下问题：(1)说出旋转得到的几何体的名称？(2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状（至少写出3种）？(3)求旋转得到的几何体的表面积？（结果保留π）41．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你能得到哪些形状的平面图形？42．如图，OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线．(1)如果40AOB ∠=︒，30DOE ∠=︒，那么BOD ∠为多少度？(2)如果140AOE ∠=︒，30COD ∠=︒，那么AOB ∠为多少度？(3)如果AOC α∠=︒，COE β∠=︒，则BOD ∠=______°，如果AOE θ∠=︒，则BOD ∠=______︒．43．如图，点C 是线段AB 上的一点，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．（1）如果12,5AB cm AM cm ==，求BC 的长；（2）如果8MN cm =，求AB 的长．44．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A 爬到另一顶点M ，已知AB =3，AD = 4，BF = 5．求这只蚂蚁爬行的最短距离．45．已知AB CD ∥，点M 、N 分别在直线AB 、CD 上，AME ∠与CNE ∠的平分线所在的直线相交于点F ．(1)如图1，点E 、F 都在直线AB 、CD 之间且70MEN ∠=︒时，MFN ∠的度数为___________；(2)如图2，当点E在直线AB、CD之间，F在直线CD下方时，写出MEN∠与MFN∠之间的数量关系，并证明；∠与(3)如图3，当点E在直线AB上方，F在直线AB与CD之间时，直接写出MEN∠之间的数量关系．MFN46．O为直线AB上的一点，OC∠OD，射线OE平分∠AOD．(1)如图∠，判断∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；(2)若将∠COD绕点O旋转至图∠的位置，试问(1)中∠COE和∠BOD之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；(3)若将∠COD绕点O旋转至图∠的位置，探究∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由．47．已知，P是线段AB的中点，点C是线段AB的三等分点，线段CP的长为4 cm.（1）求线段AB的长；（2）若点D是线段AC的中点，求线段DP的长.48．【提出问题】如图1，在直角ABC中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为【探究问题】如图2，在直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l 上，分别作BD∠l于点D，CE∠l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，在ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l 上，分别以A、B为直角顶点，向ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．∠试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；∠若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为49．如图，两个形状、大小完全相同的含有3060︒︒、的三角板如图∠放置，PA PB 、与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．(1)求DPC ∠；(2)如图∠，若三角板PBD 保持不动，三角板PAC 的边PA 从PN 绕点P 逆时针旋转一定角度，PF 平分,APD PE ∠平分CPD ∠，求EPF ∠．(3)如图∠，在图∠基础上，若三角板PAC 的边PA 从PN 开始绕点P 逆时针旋转，转速为3︒/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 绕点P 逆时针旋转，转速为2︒/秒，（当PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），求CPD BPN∠∠的值． (4)如图∠，在图∠基础上，若三角板PAC 开始绕点P 逆时针旋转，转速为5︒/秒，同时三角板PBD 绕点P 逆时针旋转，转速为1︒/秒，（当PA 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC PB PD 、、三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．参考答案：1．A【详解】试题分析：根据∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º，可得∠COD的度数，从而求得结果.∠∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=150º∠∠COD=∠AOD-∠AOC=60°∠∠BOC=∠BOD-∠COD=30°故选A.考点：本题考查的是角的计算点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握角的大小关系，即可完成.2．C【分析】依据立体图形的定义回答即可．【详解】解：正方形、三角形、梯形是平面图形，球是立体图形．故选：C．【点睛】本题主要考查的是立体图形的认识，掌握相关概念是解题的关键．3．B【分析】讨论：当OC在∠AOB的内部，如图1，则∠BOC=∠AOB-∠AOC；OC在∠AOB的外部，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC．【详解】解：当OC在∠AOB的内部，如图1，∠∠AOB=75°，∠AOC=48°，∠∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-48°=27°；当OC在∠AOB的外部，如图2，∠∠AOB=75°，∠AOC=48°，∠∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°+48°=123°，综上所述，∠BOC的度数为27°或123°．【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．4．A【分析】根据线段中点和线段之间的关系计算即可.【详解】解：点C是线段AB的中点，∴2==，BC AC cm∴2 1.50.5=-=-=.BD BC CD cm故选：A.【点睛】本题考查线段中点和线段的长度关系，掌握线段中点的性质是解答关键.5．B【分析】根据题意画出示意图，即可得答案．【详解】解：如图所示，有四个点，且每三点都不在同一直线上，每两点连一条线段，则可以连6条线段，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线、线段、射线数量问题，能正确根据题意画出图形是解决问题的关键．6．D【分析】利用平行线的性质和平角的性质可以求得结果得出答案．【详解】解：如图示∠=︒，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，2110∠32110∠=∠=︒，∠11802301801103040∠=︒-∠-︒=︒-︒-︒=︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确得出3∠的度数是解题关键．7．B【分析】【详解】∠∠ACB= 90°，即∠1+∠2= 90°又∠在Rt∠ACD 中，∠A+∠1=90°∠∠A=∠2故选：B.8．D【详解】析：根据图形估计∠AOB 的大致度数，然后根据互为补角的和等于180°进行解答即可．解答：解：根据图形可得∠AOB 大约为135°，∠与∠AOB 互补的角大约为45°，综合各选项D 符合．故选D ．9．C【分析】根据线段、射线、直线的定义即可解题.【详解】解：A. 连接两点的线段长度，叫做两点间的距离B. 射线OA 与射线AO 表示的是同一条射线,错误,射线具有方向性,C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确,D. 错误,应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选Ｃ.【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质,属于简单题,熟悉定义是解题关键. 10．D【分析】根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可．【详解】解：由方向角的定义可知，65NOA ∠=︒，20SOB ∠=︒，∠906525AOE ∠=︒-︒=︒，∠AOB AOE EOS SOB ∠=∠+∠+∠，259020=︒+︒+︒故选：D ．【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义是解决问题的前提．11．B【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【详解】如图：∠小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南23︒方向行走至点C 处，∠40DAB ∠=︒，23CBF ∠=︒，∠向北方向线是平行的，即AD BE ∥，∠40ABE DAB ∠=∠=︒，∠90EBF ∠=︒，∠902367EBC ∠=︒-︒=︒，∠4067107ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查方位角，解题的关键是画图正确表示出方位角.12．C 【分析】先根据角平分线的定义求出1502ECD ACD ∠=∠=︒，再由三角形外角的性质求解【详解】解：∠CE平分∠ACD，∠ACD=100°，∠1502ECD ACD∠=∠=︒，∠∠B=30°，∠∠E=∠ECD-∠B=20°，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知角平分线的定义和三角形外角的性质是解题的关键．13．A【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；【详解】A中展开图正确；B中对号面和等号面是对面，与题意不符；C中对号的方向不正确，故不正确；D中三个符号的方位不相符，故不正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．14．B【分析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．【详解】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，周长为2（3+4）=14故选B．【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．15．C【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF∠BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF∠BC交于点F，∠∠ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∠B点与C点关于AD对称，∠BM＝CM，∠EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∠AC＝6，AE＝2，∠EC＝4，在Rt∠EFC中，∠ECF＝60°，∠FC＝2，EF＝在Rt∠BEF中，BF＝4，∠BE＝故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．16．C【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【详解】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∠M、N分别为AB、BC的中点，∠BM＝12AB＝30，BN＝12BC＝20；∠MN＝50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM ＝30，BN ＝20，∠MN ＝10；所以MN ＝50或10，故选C ．【点睛】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．17．B【分析】4点时，分针与时针相差四大格，即120°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°．【详解】4点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°=100°．故选B ．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．18．D【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得，1290,2120∠+∠︒⎧⎨∠-∠︒⎩＝＝，解得135,255.∠︒⎧⎨∠︒⎩＝＝． 故选：D ．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念和性质，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．19．A【分析】先根据∠CED ＝50°，DE ∠AF ，即可得到∠CAF ＝50°，最后根据∠BAC ＝60°，即可得出∠BAF 的大小．【详解】∠DE ∠AF ，∠CED ＝50°，∠∠CAF ＝∠CED ＝50°，∠∠BAC ＝60°，∠∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键.20．D【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】在∠ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∠∠ABC=50°．延长CE，交AB于点G，∠MN BA∥，∠EGBα∠=，∠ACM=∠BAC=40°，∠∠ACE=α-40°，∠∠BCE=90°-（α-40°）=130°-α．∠∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∠∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（α-40°）=α-20°．∠EF平分∠CED，∠∠CEF=111022CEDα∠=-︒，∠∠CEB=1110706022αα-︒+︒=+︒，∠∠EBC=11180(60)(130)10 22ααα︒-+︒-︒-=-︒．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．21．55°##55度【分析】根据将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD ，可得∠BOD = 40° 即可得∠AOD =∠BOD +∠AOB = 55°．【详解】∠将∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到∠COD ．∠∠BOD = 40°，∠∠AOB = 15°∠∠AOD =∠BOD +∠AOB = 40°+ 15°= 55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．22． 90°##90度 180°##180度【分析】根据互余，互补的定义即可得到结果.【详解】若∠A 与∠B 互余，则∠A +∠B =90°；若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.故答案为：90°，180°【点睛】解答本题的关键是熟记和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补. 23．110【分析】根据角平分线可得270AOC AOD ∠=∠=︒，再利用补角的性质求解即可得．【详解】解：∵OD 平分AOC ∠，35AOD ∠=︒，∴223570AOC AOD ∠=∠=⨯︒=︒，∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴180AOC BOC ∠+∠=︒，∴18070110BOC ∠=︒-︒=︒．故答案为：110．【点睛】题目主要考查角平分线的计算及补角的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关键．24．50【分析】先求出∠BOD ，根据平角的性质即可求出∠AOC ．【详解】∠OE 是∠DOB 的角平分线，当∠DOE ＝20°∠∠BOD =2∠DOE ＝40°∠OC ∠OD ，∠∠AOC =180°-90°-∠BOD =50°故答案为：50．【点睛】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、直角的性质． 25．四【详解】试题解析：设该棱柱为n 棱柱,根据题意得：3n =12.解得：n =4.所以该棱柱为四棱柱,故答案是：四.26．2【分析】根据中位线的性质可得EF BC ∥，EF =12BC =5，则有∠CBD =∠BDE ，AE =BE =12AB =3，再根据BD 平分∠ABC ，有∠ABD =∠CBD ，即有∠ABD =∠BDE ，则可得DE =BE =3，问题得解．【详解】∠EF 是∠ABC 的中位线，∠EF BC ∥，EF =12BC =5，E 点为AB 中点， ∠∠CBD =∠BDE ，AE =BE =12AB =3． ∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD =∠CBD ，∠∠ABD =∠BDE ，∠DE =BE =3．∠DF =EF −DE =EF −BE =5−3=2．故答案为：2．【点睛】本题考了三角形中位线的性质、角平分线的性质以及等角对等边的知识，求出DE =BE 是解答本题的关键．27．3434'︒【分析】直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．【详解】解：∠5526α∠=︒'，∠α∠的余角为：9055263434'=︒'︒-︒．故答案为：3434'︒．【点睛】此题主要考查了余角的定义和度分秒的转换，正确把握相关定义是解题关键． 28．两点确定一条直线【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根木条至少需要两根钉子．【详解】在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为两点确定一条直线．【点睛】当木工师傅锯木板时，他会用墨盒在木板上弹出墨线，这样会使木板沿直线锯下；在正常情况下，射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星确定在直线上，才能射中目标等等；它们都是运用了“两点确定一条直线”的直线的性质．29． 棱， 侧棱；【分析】由棱柱的组成部分的定义直接填空即可.【详解】在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻的两个侧面的交线叫做侧棱. 故答案为棱；侧棱.【点睛】熟记面与面相交成线，在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱. 30．31°【分析】要求AEC ∠的度数，根据平行线的性质，只需求得2∠的度数．显然结合平行线的性质以及角平分线的定义就可解决．【详解】解：//AB CD ，CE 平分ACD ∠交AB 于E ，118A ∠=︒，1112(180)(180118)3122A ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 231AEC ∴∠=∠=︒，故答案为：31°．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，比较简单，需同学们熟练掌握．31．70︒##70度【分析】根据三角形外角的定义和性质可知ADC A ABD ∠=∠+∠，利用轴对称的性质求出A ∠与ABD ∠的大小并进行计算即可． 【详解】解：AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称∴20A C ∠=∠=︒，2ABD ABO ∠=∠，根据三角形外角的性质可知：在AOB 中，452025ABO BOD A ∠=∠-∠=︒-︒=︒222550ABD ABO ∴∠=∠=⨯︒=︒∴ 在ABD △中，205070ADC A ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：70︒．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角的性质，熟练运用三角形的外角性质进行计算是本题的解题关键．32．∠∠∠【分析】根据平行线的判定与性质即可逐一进行证明．【详解】解：∠∠230∠=︒，∠190260∠=︒-∠=︒，∠60AED ∠=︒，∠1AED ∠=∠，∠AC DE ∥；所以∠正确；∠∠BC AD ∥，∠345B ∠=∠=︒，∠290345∠=︒-∠=︒；所以∠正确；∠如图，∠445,60EGF GEF ∠=∠=︒∠=︒，∠4560105GFA ∠=︒+︒=︒，∠1GFA C ∠=∠+∠，∠45C ∠=︒，∠160∠=︒．所以∠正确．∠∠123290∠+∠=∠+∠=︒，∠21239090180BAE CAD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，∠BAE CAD ∠+∠随着2∠的变化不会发生变化；所以∠错误；所以其中正确的是∠∠∠．故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．33．2或8【分析】由已知C 是线段AB 中点，AB=10，求得BC'= 5，进一步分类探讨：E 在BC 内；E 在BC 的延长线上；由此画图得出答案即可．【详解】C 是线段AB 的中点， AB= 10，BC= AB= 5，如图，当E 在BC 内，CE= BC- BE= 5- 3=2；∠如图，E 在BC 的延长线上，CE= BC+ BE= 5+3=8 ；所以CE= 2或8；故本题答案为：2或8．【点睛】解决本题的关键突破口是分类讨论，本题考查了学生综合分析的能力，要求学生掌握线段中点的意义，线段的和与差．34．153cm 【分析】根据线段的比例，可得线段的长度，根据线段的和差，可得答案．【详解】∠AC ：CD ：DB=1：2：3，设AC=a ，CD=2a ，DB=3a ，∠AB=AC+CD+DB=a+2a+3a=6a=8，解得：a=43， ∠AC=43，DB=3×43=4， ∠M 、N 分别为AC 、DB 的中点， ∠AM=12AC=23，BN=12DB=2， ∠MN=AB-AM-BN=8-23-2=513（cm ）． 故答案为：153cm 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，根据比例关系列出方程求出各线段的长是关键．35． 30° 30° 角平分线定义 ∠CON 12BOC ∠ α 【分析】对于（1），根据角平分线定义得12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠，再结合12MON COM CON AOB ∠=∠+∠=∠，可得答案； 对于（2），仿照（1），根据12MON COM CON AOB ∠=∠-∠=∠求解； 对于（3），仿照（2）解答即可．（1）因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， 所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠， 所以11603022MON COM CON AOB ∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：30°．（2） 因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， 所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠， 所以11603022MON COM CON AOB ∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：30°．（3）因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， 所以12COM AOC ∠=∠，12CON BOC ∠=∠（依据的角平分线定义）， 所以111222MON COM CON AOC BOC α∠=∠-∠=∠-∠=． 故答案为：角平分线定义，∠CON ，12BOC ∠，α． 【点睛】本题主要考查了角的和差的计算，角平分线定义，掌握角平分线定义是解题的关键．36．10+【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE 、根据勾股定理求出AE ，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线，∠30DAE ∠=︒，在Rt DAE 中，20,30AD DAE =∠=︒， ∠1102DE AD ==，由勾股定理得：AE =∠AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∠FA FD =，∠DEF 的垂直10DE EF FD DE EF FA DE AE =++=++=+=+故答案为：10+【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．37．35︒或55︒【分析】分OC 在AOB ∠的内部和外部进行讨论，运用角平分线性质及角的和差进行运算即可.【详解】解：∠AOB 90∠=，OE 平分,AOB ∠ ∠∠BOE=12∠AOB=45°∠20,BOC ∠=OF 平分BOC ∠ ∠∠FOC=∠FOB =12∠BOC=10°当OC 在AOB ∠的内部时，如图∠∠EOF=∠BOE-∠BOF=45-10=35︒︒︒当OC 在AOB ∠的外部时，如图∠∠EOF=∠BOE+∠BOF=45+10=55︒︒︒故答案为：35︒或55︒【点睛】本题考查了角平分线的定义，先求出∠BOC 的度数，再求出∠FOC 的度数，最后求出答案，有两种情况，以防漏掉．38．L M N >>【分析】根据连接两点的所有线中,线段最短的性质解答.【详解】∠AB+AE ＞BE ，CD+DE ＞CE ，∠AB+AE+CD+DE ＞BE+CE ，即l ＞m ，又BE+CE ＞BC ，即m ＞n ，∠L M N >>．【点睛】本题考查了知识点两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质.39． （1）4 （2）116或1742． 【分析】（1）画出符合题意的图形，由18,2AB AC BC ==，求解BC ，再利用线段的和差关系求解EC 即可得到答案；（2）根据AC=2BC ，AB=2DE ，线段DE 在直线AB 上移动，满足关系式32AD EC BE +=，再分六种情况讨论，∠当DE 在点A 左侧时，∠当A 在DE 之间时，∠当DE 在线段AC 上时，∠当C 在DE 之间时，∠当D 在CB 之间时，∠当D 在B 的右边时，可以设CE=x ，DC=y ，用含x 和y 的式子表示,,AD EC BE 的长，从而得出x 与y 的等量关系，即可求出 CD AB的值． 【详解】解：（1）如图，18AB DB ==，2,AC BC = 163BC AB ∴==， 8DE =，1886 4.EC AB DE BC ∴=--=--=（2）∠AC=2BC ，AB=2DE ，满足关系式32AD EC BE +=， ∠当DE 在点A 左侧时，如图，设CE=x ，DC=y ， 则DE y x =-，∠()()242,33AB y x AC AB y x =-==-，()12222,333BC y x y x =-=-∠41,33AD DC AC x y =-=- ∠2133BE BC CE y x =+=+ ∠7133AD EC x y +=- ∠32AD EC BE +=， ∴ ()23,AD EC BE += ∠7121233333x y y x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，811x y =， ∠ ()11.826211CD y y AB y x y y ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∠当A 在DE 之间时，如图，设,,CE x CD y == 则DE y x =-， 同理可得：11.6CD AB = ∠当DE 在线段AC 上时，设,,CE x CD y == 则DE y x =-，,222,DE y x AB DE y x ∴=-==-24422,,33333AC AB y x BC y x ∴==-=- 1411,,3333AD AC CD y x AD CE y x ∴=-=-+=- 21+,33BE BC CE y x ==+ AD CE ∴+＜,BE32AD EC BE +=, AD CE ∴+＞,BE∴ 不合题意舍去；∠当C 在DE 之间时，如图，设CE=x ，DC=y ， 则DE=x+y ，∠()()242,,33AB x y AC AB x y =+==+ ()()112333BC AB x y x y ==+=+, ∠41,33AD AC DC x y =-=+ ∠7133AD EC x y +=+ ∠21,33BE BC CE y x =-=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += ∠7121233333x y y x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，417x y =， ∠ ()174242217CD y y AB x y y y ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∠当D 在CB 之间时，设,,CD y CE x == 则,222,DE x y AB DE x y =-==- 4422,,3333AC x y BC x y ∴=-=- 4112,,3333AD AC CD x y BE CE BC x y ∴=+=-=-=+ 71,33AD CE x y ∴+=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += 同理可得：8,11x y = 与图形条件x ＞y 不符舍去， ∠当D 在B 的右边时，设,,CD y CE x == 则,222,DE x y AB DE x y =-==-4422,,3333AC x y BC x y ∴=-=- 4112,,3333AD AC CD x y BE CE BC x y ∴=+=-=-=+ 71,33AD CE x y ∴+=- ∠32AD EC BE += ∴ ()23,AD EC BE += 同理可得：8,11x y =与图形条件x ＞y 不符，舍去， 综上：CD AB 的值为：116或1742． 故答案为116或1742． 【点睛】本题考查的是线段的和差关系，二元一次方程思想，与线段相关的动态问题，分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键．40．(1)圆柱(2)长方形、圆形或梯形(3)168π平方厘米或224π平方厘米【分析】（1）由图形旋转性质可知旋转后得到的几何体是圆柱；（2）用一个平面截圆柱，从不同角度截取的形状不同；（3）分情况讨论，找出圆柱的底面半径和高，即可求解．【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得立方体为柱体、底面为圆，因此得到的几何体是圆柱．故答案为圆柱．（2）解：用一个平面截圆柱，截面形状可能为长方形、圆形或梯形．（3）解：分情况讨论，若绕BC 边旋转，则所得圆柱的表面积为：228286=224S S S 侧底平方厘米；若绕CD 边旋转，则所得圆柱的表面积为：226268=168S S S 侧底平方厘米．故旋转得到的几何体的表面积为168π平方厘米或224π平方厘米．【点睛】本题考查了点、线、面、体，截几何体，圆柱的表面积计算等知识点，解题关键是理解点动成线、线动成面、面动成体．41．【解析】略42．(1)70BOD ∠=︒(2)40AOB ∠=︒ (3)()12αβ+；12θ【分析】（1）根据角平分线的定义得出40BOC AOB ∠=∠=︒，30DOC DOE ∠=∠=︒，再根据角度之间的关系求出BOD ∠的度数即可；（2）先根据角平分线的定义，30COD ∠=︒，得出260COE COD ∠=∠=︒，根据140AOE ∠=︒，求出80AOC ∠=︒，根据角平分线的定义即可得出答案； （3）根据角平分线的定义得出1122BOC AOC ∠=∠=︒，1122COD COE ∠=∠=︒，根据角度之间的关系得出()12BOD ∠=+︒；根据角平分线的定义得出12BOD AOE ∠=∠． 【详解】（1）解：∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，∠40BOC AOB ∠=∠=︒，30DOC DOE ∠=∠=︒，∠403070BOD BOC DOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）解：∠OD 是COE ∠的平分线，30COD ∠=︒，∠260COE COD ∠=∠=︒，∠140AOE ∠=︒，∠80AOC AOE COE ∠=∠-∠=︒，∠OB 为AOC ∠的平分线，∠4120AOB AOC ∠=∠=︒． （3）解：∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，AOC α∠=︒，COE β∠=︒，∠1122BOC AOC ∠=∠=︒，1122COD COE ∠=∠=︒， ∠()111222BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒+︒=+︒； ∠OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，∠1BOC AOB 2∠=∠，12COD COE ∠=∠， ∠BOD BOC COD ∠=∠+∠1122AOC COE =∠+∠ ()12AOC COE =∠+∠ 12AOE =∠ 12=． 故答案为：()12αβ+；12θ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．43．（1）2BC cm =；（2）16AB cm =【分析】(1)先求出AC ，根据BC=AB-AC ，即可求出BC ；(2)求出BC=2CN, AC=2CM,把MN=CN+MC=8cm 代入求出即可．【详解】解: (1) ∠点M 是线段AC 的中点,∠AC=2AM,∠AM=5cm,∠AC=10cm,∠AB=12cm ,∠BC=AB-AC=12-10=2cm,(2)∠点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．∠BC=2NC ，AC=2MC,∠MN=NC+MC=8cm ,∠AB=BC+AC=2NC+2MC==2(NC+MC)=2MN=28⨯cm=16cm ．【点睛】本题考查了两点之间的距离的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．44【分析】由AB=3，AD=4，BF=5长宽高三种长度不同，蚂蚁走的折面不同，距离也不同，要按不同的棱展开两个面，（1）长方形沿着棱ND展开，（2）长方形沿着棱DC展开，（3）长方形沿着棱BC展开，用勾股定理求出对角线的长度，再比较取最短者．【详解】∠AB=3，AD=4，BF=5∠MC =BF=AE=5，BC=AD=MF=4,MN= CD=AB=3（1）长方形沿着棱ND展开如图∠所示时，在Rt∆AEM中AM2=AE2+EM2= AE2+(NE+MN)2=52+(3+4)2=25+49=74，（2）长方形沿着棱DC展开如图∠所示时，AM2=AB2+( BC+CM)2=32+(4+5)2=9+81=90，（3）长方形沿着棱BC展开如图∠所示时，AM2=MF2+( AB+BF)2=42+(3+5)2=16+64=80，∠ AM=∠【点睛】本题考查蚂蚁所走最短路径问题，涉及长方体的侧面展开问题，要会分析最短路径涉及几个面展开，展开后走的哪条路径为最短，分别求出经比较才能解决问题．45．(1)145°(2)∠MEN＝2∠MFN，证明见解析(3)1∠MEN＋∠MFN＝180°，证明见解析2【分析】分析：（1）过E作EH∠AB，FG∠AB，根据平行线的性质得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得，平行线的性质，角平分线的定义即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠MGE∠∠ENC，根据角平分线的定义得到∠MGE∠∠ENC∠2∠FNG∠∠AME∠2∠1∠∠E∠∠MGE∠∠E∠2∠FNG，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图1，过E作EH∠AB，FG∠AB。

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。

第11章 比例与相似§11.1比例线段11.1.1★在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD 之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． AB D C11．1．2★已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA ⊥且交于E ，求证：CE MN =．解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ==，1AE ED =，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==． ADEMN BC11．1．3★在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．AEFGBDC11．1．4★设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．G AE BDCF解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论． 11．1．5★已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．A E DQGH POB F C11．1．6★ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==． 解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值． F AEB G D C评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥． AF DOB CE11．1．8★★如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．ARP Q BDC解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11．1．9★★梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+．A DE MF GNHBC解析 11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC =+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．11．1．10★设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．CABbca D11．1．11★设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．DA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 11．1．12★★AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．ADF B EG P C11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．A MBCND P图(a)又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h'''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh H跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h l l PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B B C C D D PB PC PD '"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．11．1.14★★求日高公式．解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．RxDB'A A'hhCB易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． 11.1.15★★设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．A DEG FB HC易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=．11．1．16★★如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．AEP BDCG K MNF解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅=⎪⎝⎭． 11.1.17★四边形ABCD 为正方形，E 、F 在BC 延长线上，CE CD =，CF CA =，H 、G 分别是CD 、DE 与AF 的交点．求证：CHG △为等腰三角形． 解析 如图，不妨设正方形边长为1，则CF ，1CE =，1EF ．ADH JBCEFG作GJ CF ∥，交CD 于J．则JG DG AD CE DE AD EF ==+于是12HG JG HF CF ===，即G 为直角三角形斜边HF 之中点，于是GH GC =． 11.1.18★★在ABC △中，4AB =，2BC =，3CA =，P 是ABC △内一点，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且PD BC ∥，PE AC ∥，PF AB ∥．若PD PE PF ==，求PD ． 解析 如图，延长CP 交AB 于C ′(同理定义A ′、B ′，图中未画出)，设PD PE PF x ===，则2x C P CC '='，同理，4x B P BB '='，3x PA AA '='，由于1PA PB PC AA BB CC '''++='''，故1234x x x ++=，1213x =． AC'FPDE B C11.1.19★ABC △内有一点O ，AO 的延长线交边BC 于点A ′，BO 的延长线交边AC 于点B ′，CO 的延长线交边AB 于点C ′．若AO BO CO k OA OB OC ++='''，求AO BO COOA OB OC ⋅⋅'⋅'⋅'的值(用k 表示)． 解析 如图，设AO x OA ='，BO y OB ='，CO z OC ='，则x y z k ++=，而1OA OB OCAA BB CC ''++='''，即1111111x y z++=+++，展开得 ()32x y z xy yz zx ++++++()1x y z xy yz zx xyz =+++++++，故22xyz x y z k =+++=+．AC'B'B A'CO11.1.20★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ，三角形中有一点P ，过P 作三边的平行线，长度均为x ，试用a 、b 、c 来表示x ．解析 设AP 延长后与BC 交于A ′(同理定义B ′与C ′)，则1x AP PA a AA AA '==-''，同理1x PB b BB '=-'， 1x PC b CC '=-'，三式相加，得11132PA PB PC x a b c AA BB CC '''⎛⎫⎛⎫++=-++= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭，所以2abcx ab bc ca=++．ABCPA'评注 P 存在的条件是x a <，b ，c ，代人得：1a 、1b 、1c可组成三角形三边之长． 11.1.21★已知D 、E 、F 分别是锐角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，6AP BP CP ===．设PD x =，PE y =，PF z =，28xy yz zx ++=，求xyz 的大小．解析 由熟知结论1PD PE PFAD BE CF++=，得1666x y z x y z ++=+++，因此(6)(6)(6)(6)(6)(6)x x z y x z z x y ++++++++=(6)(6)(6)x y z +++，即 1083()xyz xy yz zx =-++=24．11.1.22★如图，正方形ABCD 边长为1，Q 为BC 延长线上一点，QA 与CD 、BD 分别交于点P 、E ，QO (点O 是AC 与BD 交点)与CD 交于点F ，若EF AC ∥，求AP 的长．ADEPFOCBQ解析 连结DQ ，则由EF AC ∥，得EQ EF EF DEQA AO CO DO===，于是DQ AC ∥，CQ AD =，P 为CD 中点，所以AP =． 11.1.23★★如图，已知EF BC <，G 、D 分别在EF 、BC 上，则下面任两条可推出第三条：(1)BE 、DG 、CF 共点；（2）EF BC ∥；（3）EG BDFG CD=． AA'E'EGF F'B DC解析 (1)，(2)⇒(3)：EF BC ∥，则EG AG GF BD AD CD ==，故EG BDGF CD=． （2），（3）⇒（1）：EG BD FG CD =⇒1EG FG EFBD CD BC==<，故可设BE 、DG 延长后交于A ，DG 、CF 延长后交于AG EG GF AD BD CD ===A G A D ''，AG A GGD GD'=，A 与A '重合． (1)，(3)⇒(2)：若EF 与BC 不平行，作E 'GF 'BC ∥，E '在AB 上，F '在AC 上，则有E G BD EG F G CD FG'=='，得EE 'FF ∥'，即AB AC ∥，矛盾． 11.1.24★ABC △中，AK 为A ∠的平分线，在BA 、CA 上取BD CE =，G 、F 分别为DE 、BC 的中点，则GF AK ∥．解析 如图，连结BE ，设BE 中点为M ，连结CM 、FM ，则12GM BD =∥12CE MF ∥，所以GM FM =，且GMF GME EMF ABE ∠=∠+∠=∠+180180BEC BAC ︒-∠=︒-∠． 取AC 上的点S ，使KS AB ∥，则等腰GMF △∽等腰AKS △，且对应边KS GM ∥，AS MF ∥，故第三边也平行，即GF AK ∥．AE SGD MBFKC11.1.25★★★已知：ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 上一点，且非BC 中点，211AD BD CD=+，P 为AD 中点，求证：2BDA BAD ∠=∠，PD 平分BPC ∠．解析 如图，作BR AD ∥，与CA 延长线交于R ，延长CP 交BR 于Q ，则由AP PD =，AD RB ∥，有RQ BQ =．又90RAB ∠=︒，故AQ BQ =．由条件，知111BCPD BD CD BD CD++=⋅，于是PD CD PD BD BC BQ ==，BD BQ AQ ==，四边形AQBD 乃等腰梯形(若四边形AQBD 是菱形，则C ∠=QAR R DAC ∠=∠=∠，D 为BC 中点，与题设矛盾)，12BAD QBA QAD ∠=∠=∠12BDA =∠．又P 为AD 中点，显然(比如由全等)有BPD APQ DPC ∠=∠=∠．RQBDCAP11．1．26★★★已知M 、N 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，CD 延长线上有一点P ，PM 延长后与AC 交于Q ．求证．NM 平分PNQ ∠．解析 如图，设AC 与MN 交于O ，则MO NO =，过O 作OR MN ⊥，交QN 于R ，则MR NR =．AMDPROB N C又OR BC ∥，MO PC ∥，故QM QO QRMP OC RN==，于是MR PN ∥，由于OR 将MN 垂直平分，于是RNO RMO PNM ∠=∠=∠． 11.1.27★★在ABC △中，3A B ∠=∠，求证：2a b b c a b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，a 、b 、c 为ABC △的对应边长．解析 如图，延长CA 至D ，使223D BAC ABC ∠=∠=∠，于是DBA ABC ∠=∠，故CD BC =，AD a b =-．ABD △中，2D DBA ∠=∠，则2()AB AD AD BD =+．又由角平分线性质BD AD BC AC =，得()a a b BD b-=，22a b AD BD b -+=，代人前式，得222()()a b a b c b --=，即得结论．DACB评注 ABC △中，22()A B BC AC AC AB ∠=∠⇔=+，证明如下：延长CA 至D ，使AD AB =，于是2()D ABC BC AC AC AD ∠=∠⇔=+或()AC AC AB +．11．1.28★★已知AB CD ∥，E 、F 分别是AB 、CD 上任两点，DE 、FB 延长后交于M ，AF 、EC 延长后交于N ，求证：若AB CD ≠，则AD 、BC 、MN 共点；若AB CD =，则AD BC MN ∥∥．解析 如图，设AE a =，BE b =，CF c =，DF d =，延长AB 、DC 分别与MN 交于P 、Q ，设BP x =,CQ y =．由AP FQ ∥知a cb x y =+，同理d bc y x=+，即ay bc cx =+，dx bc by =+，于是ay cc dx by -=-，a b c d x y ++=，或AB CDBP CQ=．若AB CD =，则BP CQ =，又BP CQ ∥，做AD BC PQ ∥∥；AB CD ≠，由AB ∥CD ，得AD 、BC 、MN 共点（见题11.1.23）．ADE FB C MPQN11.1.29★★正三角形ABC ，D 、E 、F 是BC 、CA 、AB 的中点，P 、Q 、R 分别在EF 、FD 、DE 上，A 、P 、Q 共线，B 、Q 、R 共线，C 、R 、P 共线，求FPPE． 解析 如图，不妨设ABC △边长为2，PF x =，QD y =，ER z =，则1PE x =-，1FQ y =-，1DR z =-．AE PQRBDCF由PE ER CD RD =，得11z x z -=-，同理11y z y -=-，11x y x -=-，于是121xy x -=-，121y x yx -=-，13111111212x x x z x x--=-=-=---，x y z ===．所以1x -=1FPx PE x ===- 11．1．30★★任给锐角ABC △，问在BC 、CA 、AB 上是否各存在一点D 、E 、F ，使FD BC ⊥，DE AC ⊥，EF AB ⊥?解析 这样的DEF △是存在的．作法如下：在BC 上任取一点D ′，作D ′E ′AC ⊥于E ′，分别过D ′、E ′作BC 、AB 的垂直线交于点F ′．A RF SB D'D CEE'F'若F ′恰在AB 上，则D ′、E ′、F ′，即为满足条件的三点D 、E 、F ；若，F ′不在AB 上，设C 、F ′，所在直线与AB 交点为F (因为ABC △是锐角三角形，所以交点必在AB 上)，过F 分别作BC 、AB 的垂线交BC 、AC 于D 、E ，则FD BC ⊥，EF AB ⊥，连结DE ，易知CD CF CECD CF CE =='''，得DE ∥D ′E ′，由作法D ′E ′AC ⊥，所以DE AC ⊥，D 、E 、F 满足条件．11.1.31★★★已知凸四边形内有一点P ，APB ∠、BPC ∠、CPD ∠、DPA ∠的平分线分别交AB 、BC 、CD 、DA 于K 、L 、M 、N ，求证：四边形KLMN 为平行四边形的充要条件是P 为AC 、BD 的中垂线的交点．解析 若P 为AC 、BD 的中垂线之交点，则AP CP =，BP DP =，于是AK AP AP ANBK BP DP ND===，于是KN BD ∥，同理ML ∥BD ，又同理MN AC KL ∥∥，故四边形KLMN 为平行四边形．D反之，若四边形KLMN 为平行四边形，由于AN DM AP AK BLND MC CP KB LC⋅==⋅，故由梅氏定理，若MN 、KL 不与AC 平行，它们将与AC 交于同一点，这与NM KL ∥矛盾，因此NM AC ∥，AP CP =，同理BP DP =，故P 在AC 、BD 的中垂线上． 11．1．32★★★已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，求证：若ED BF ∥，则AF CE ∥．又此时若ED 、AF 交于M ，CE 、BF 交于N ，问三直线AB 、MN 、CD 共点的条件．解析 如图(a)，不妨议BA 、CD 延长后交于P ，于是有PQ PD BP PC =，PE PDPB PF=．PA D M EFN BC图(a)于是PA PC PB PD PE PF ⋅=⋅=⋅，由此可得PA PFPE PC=，故AF CE ∥． 因为四边形MENF 为平行四边形，MN 过EF 的中点，若P 、M 、N 共线，则由塞瓦定理，有AD EF ∥BC ∥．下面刻画E 或F 的位置，如图(b)，设BD 与EF 交于Q ，AEk EB=，则由ED BF ∥，DF DQ EQ k FC BQ FQ ===，而111EQ AD K =++，1QF k BC k =+，故1ADk k BC =⋅，此即AEBE= ADEFQBC图(b)11.1.33★★如图，已知ABC △中，AD 、BE 、CF 交于G ，FH AD ∥，FH 延长后与ED 的延长线交于K ，求证：FH HK =．AFEMG N BH DJ CK解析 作EJ AD ∥，EJ 与CF 交于N ，FK 与BE 交于M ，则由平行，知FH AD EJFM AG EN==，故FH FM FG HD HKEJ EN GN DJ EJ====，于是FH HK =．11.1.34★★★已知ABC △，AD 、BE 、CF 是角平分线，M 、N 在BC 上，且FM AD EN ∥∥，求证：AD 平分MAN ∠．AF EPI TSBMDN C解析1 设ABC △内心为I ，FM 与BE 交于S ，EN 与CF 交于T ，连结EF ，交AD 于P ．由角平分线及平行性质，有FM AD EN FS AI ET ==，故有FM FS SI FP AFEN ET IE PE AE====，又11802AFM BAC ∠=︒-∠∠AEN =∠，故AFM △∽AEN △，于是FAM EAN ∠=∠，于是AD 平分MAN ∠．解析2 由角平分线性质，知AE AB EC BC =，AF AC BF BC =，于是AE AB CE AF AC BF =⋅．又易见FM BFAD AB=，EN CE AD AC =，故EN CE AB FM BF AC ⋅=⋅，于是AE ENAF FM =，以下同解析1． 评注 注意解析1更好些，因为只要求AD 平分BAC ∠．不要求I 是内心，本题结论也成立．于是本题的逆命题是，由AD 平分MAN ∠得出AD 平分BAC ∠，而不能证明I 是内心．这个逆命题也是正确的，读诗者不妨一试．11．1．35★★P 为XOY ∠内一点，A 、B 在OX 上，C 、D 在OY 上，线段AD 、BC 交于P ．若1111OA OD OB OC+=+，则OP 平分XOY ∠，反之亦然． 解析 如图，作平行四边形PQOR ，Q 、R 分别在OX 、OY 上．设QP OR a ==，OQ PR b ==． 此时易得1a b a b OD OA OC OB +=-+，因此1111a b a b b b OD OD OA OC OC OB --⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是a b a bOD OC --=．但OD OC >，故a b =．所以平行四边形PQOR 是菱形，OP 为XOY ∠之平分线．XYBA Q POR C反之，可设所作平行四边形PQOR 为菱形．设菱形边长为n ，则1a PR RD aOA OA OD OD===-，即得111OA OD a +=．同理，111OB OC a+=，于是命题得证．11．1．36★★已知ABC △，三边分别为a 、b 、c ，AD 是角平分线．求AD 之长(用a 、b ，c 表示)解析 如图，延长AD 至E ，使E B ∠=∠，于是A 、B 、E 、C 共圆，又ABD △∽AEC △，故AB AC ⋅=()AD AE AD AD DE ⋅=+=22AD AD DE AD BD CD +⋅=+⋅．ABDCE设AB c =，AC b =，则ac BD b c =+，abCD b c=+，故AD ===． 11．1．37★★在ABC △中，AD 、AE 三等分BAC ∠，且BD =2，DE =3，EC =6，求AB 的长． 解析 如图，设AB x =，AD y =，则由角平分线性质知32AE x =，2AC y =． AB D E由于2AB AE AD BD DE ⋅-=⋅，即22362x y -=，同理2292184y x -=，消去y ，得AB x ==11．1．38★★★已知平行四边形ABCD ，点E 是点B 在AD 上的垂足，点F 在CD 上，90AFB ∠=︒，EG AB ∥，点G 在BF 上，点H 是AF 与BE 的交点，又DH 延长后与CB 的延长线交于点I ，求证：FI GH ⊥．解析 如图，作IK HF ⊥．对OKF △与HFG △来说，KF FG ⊥，IK HF ⊥，而90HFG IKF ∠=︒=∠，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边OF 与HG 就垂直了，于是只需证明KF IK FG HF =或KF FGIK HF=．事实上设AF 、BC 延长后交于点J ，且设J θ∠=∠，则易知cos KF BO θ=，sin KI IJ θ=，于是cot cot cot KF BI DE FGIK IJ AD FBθθθ===，又HB BJ ⊥，故HBF θ∠=，于是tan FB HF θ=，代人上式，即得KF FGKI HF=． θθθCJ IB G KF HAE D§11.2相似三角形11．2．1★已知，B 是AC 中点，D 、E 在AC 的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠．解析 如图，易知DBE DBC EBC A ADB EBC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠． 又ABD △∽BDE △，故BD AD ADBE BC AB==，于是ADB △∽BDE △，故BDE ADB ∠=∠． DEA B C11．2．2★已知αβ+=α′+β′<180︒，sin sin αβ=sin sin αβ''，则αα=′，ββ='． 解析 如图，作ABC △与A △′B ′C ′，使B α∠=，B ∠′α=′，C β∠=，C ∠′β='，则由条件A A ∠=∠′，且sin sin sin sin AB A B AC A C ββαα'''==='''，故ABC △∽A △′B ′C ′，从而B B ∠=∠′，C C ∠=∠′．此即αα=′，ββ=′．AB C A'B'C'评注 这个结果用途极广．11．2．3★线段BE 分ABC △为两个相似的三角形，求ABC △的各内角． 解析 如图，不妨设BCE △∽ABE △，BCE △比较“大”．BA EC由于BEA ∠>EBC ∠及C ∠，故只能有BEA CEB ∠=∠，于是BE AC ⊥．ABE CBE ∠=∠不可能(否则ABE △≌BCE △)，故ABE C ∠=∠，CBE A ∠=∠，90ABC ∠=︒，BCAB=ABC △三内角为：30︒、60︒、90︒． 11．2．4★★设ABC △中，D 在BC 在上，且22BD AD BC AC =，求证：ABD △∽CBA △． AEB D C解析 过D 作DE AC ∥，E 是AB 是一点．于是BD EDBC AC=，代入条件并整理，即得ED ADAD AC=． 又EDA DAC ∠=∠，于是EDA ∠∽DAC △，于是BAD C ∠=∠，故ABD △∽CBA △．。

第9章三角形§9．1全等三角形9．1．1★已知等腰直角三角形ABC ,BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ,过C 作CE 与BD 垂直 且交BD 延长线于E ,求证.2BD CE =．解析如图,延长CE 、BA ,设交于F ．则FBE ACF ∠=∠,AB AC =,得ABD ACF △△≌,CF BD =． 又BE CF ⊥,BE 平分FBC ∠,故BE 平分CF ,E 为CF 中点,所以2CE FC BD ==．9．1．2★在ABC △中,已知60A ∠=︒,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,P 、Q 为ABC △形外两点,使PE AB ⊥,2AB PE =,QF AC ⊥,2ACQF =,若1GP =,求PQ 的长． F AE DBC解析如图,连结EG 、FG ,则EG AC ∥,FG AB ∥,故150PEG QFG ∠=︒=∠．又12QF AC EG ==,12PE AB FG==,故PEG GFQ △△≌,所以PG GQ =,30EGP FGQ FQG FGQ ∠+∠=∠+∠=︒,又60EGF ∠=︒,所以90PGQ ∠=︒,于是PQ ==ACG QPEF9．1．3★在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ,若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等,求BCAD． 解析作平行四边形ECBA ',则A BE CEB '△△≌,若A '与A 不重合,则A '在EA （或延长线）上,但由三角形不等式易知,A '在EA 上时,ABE △的周长>A BE '△的周长；A '在EA 延长线上时,ABE △的周长A BE '<△周长,均与题设矛盾,故A 与A '重合,AE BC ∥,同理ED BC ∥,12BC AD =．B CEDAA'9．1．4★★ABC △内,60BAC ∠=︒,40ACB ∠=︒,P 、Q 分别在边BC 、CA 上,并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证.BQ AQ AB BP +=+． 解析延长AB 到D ,使BD BP =,连结DP ．易知80ABC ∠=︒,所以40QBC ACB ∠=︒=∠,AC AQ QC AQ QB =+=+．ABCDQP因1402BDP BPD ABC ACB ∠=∠=∠=︒=∠,所以ADP ACP △△≌,AC AD AB BD AB BP ==+=+． 于是BQ AQ AB BP +=+．9．1．5★★设等腰直角三角形ABC 中,D 是腰AC 的中点,E 在斜边BC 上,并且AE BD ⊥．求证. BDA EDC ∠=∠．解析如图,作BAD ∠的平分线AF ,F 在BD 上．ABCEFD由于45BAF ACE ∠=︒=∠,AB AC =,ABF CAE ∠=∠,故ABF CAE △△≌,故EC AF =． 又45C FAD ∠=∠=︒,AD CD =,于是AFD CED △△≌,于是ADB EDC ∠=∠．9．1．6★★设ABE △、ACF △都是等腰直角三角形,AE 、AF 是各自的斜边,G 是EF 的中点,求证.GBC △也是等腰直角三角形．解析如图,作AQ 、GP 、EM 、FN 分别垂直于直线BC ,垂足为Q 、P 、M 、N ．AE FGMBQ PC由90EBM ABQ BAQ ∠=︒-∠=∠,AB BE =,EMB BQA △△≌,故有EM BQ =,BM AQ =．同理FN QC =,CN AQ =,所以BM CN =, EM FN BQ QC BC +=+=． 又EG GF =得BP CP =,且()1122GP EM FN BC =+=,故GP BP CP ==．又由GP BC ⊥,故 结论成立．9．1．7★★已知AB AC ⊥,AB AC =,D 、E 在BC 上（D 靠近B ）,求证.222DE BD CE =+的充要条件是45DAE ∠=︒．ABEFC解析如图,作FC BC ⊥,且FC BD =,则45ACF B ∠=︒=∠,又AB AC =,故ABD ACF △△≌,AD AF =,且490D F BAC ∠=∠=︒．若45DAE ∠=︒,则45EAF ∠=︒,因AD AF =,得ADE AFE △△≌,则222222DE EF EC FC EC BD ==+=+．反之,若222DE EC BD =+,由222EF EC FC =+得EF DE =．又AD AF =,故ADE AEF △△≌,又90DAF ∠=︒,于是45DAE ∠=︒．9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证.可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、 旋转后拼成另一个三角形．解析如图,设ABC △与A B C '''△关于l 对称,分别找到各自的内心I 、I ',分别向三边作垂线ID 、IE 、 IF 与I D ''、I E ''、I F '',于是6个四边形AFIE ……均为轴对称的筝形,且四边形AFIE ≌四边形A E J F '''',所以两者可通过平移、旋转后重合；同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．AECDF BA'B'C'D'F'E'l l'l9．1．9★★★已知.两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等．解析如图,设BC B C ''=,A 至BC 距离等于A '至B C ''距离,取各自的中位线FE 、F E '',则FE FE '=．由ABC △、A B C '''△均为锐角三角形,可在BC 、B C ''上各取一点D 、D ',使图中标相同数字的角相等,于是AEF D E F '''△△≌,DEF A E F '''△△≌,FBD FD B ''△△≌,EDC E C D '''△△≌． 评注还有一种旋转而不是对称的构造法．A BC DEF A'B'D'C'E'F'123451465264152432519．1．10★已知ABC △与A B C '''△中,A A '∠=∠,BC B C ''=,ABC A B C S S '''=△△,ABC △与A B C '''△是否一定全等？A B CA'解析如图,让B 与B '重合,C 与C '重合,A 、A '在BC 同侧,若A 与A '重合,则ABC A B C '''△△≌；否则由条件知四边形ABCA '为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是ABC A CB '∠=∠,AB A C '=,ABC A C B '''△△≌．综上,可知ABC △与A B C '''△全等． 评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．9．1．11★★如图所示,已知ABC △、CED △均为正三角形,M 、N 、L 分别为BD 、AC 和CE 的中点,求证.MNL △为正三角形．ABEDM TS CN L解析如图,设BC 、CD 中点分别为S 、T ,连结NS 、SM 、MT 、TL ．则四边形CSMT 为平行四 边形,设BCD θ∠=,则60180240NSM LTM θθ∠=︒+︒-=︒-=∠,360120240NCL θθ∠=︒-︒-=︒-,又NC SN SC MT ===,LC LT CT SM ===,故CNL SNM TML △△△≌≌, NL NM ML ==,于是MNL △为正三角形．评注注意有时S 在MN 另一侧,此时120NSM LTM NCL θ∠=∠=∠=︒+,不影响最终结论．9．1．12★★★ABC △中,90A ∠=︒,AB c =．6AC =,BC a =,M 是BC 中点,P 、Q 分别在AB 、AC 上（可落在端点）,满足MP MQ ⊥,求22BP CQ +的最小值（用a 、b 、c 表示）．解析如图,延长QM 至N ,使QM MN =,连结PN 、BN 、PQ 、AM 由于M 是BC 、NQ 的中点,故BN CQ =,BN AC ∥,BN BP ⊥,又PM 垂直平分NQ ,故222222BP CQ BP BN PN PQ +=+==．取PQ 中点K （图中未画出）,则2a PQ AK MK AM =+=≥,于是22BP CQ +的最小值为24a ,取到等号仅当PQ AM =即四边形APMQ 为矩形时．NMP CBQA9．1．13★★★已知P 为ABC △内一点,PAC PBC ∠=∠,由P 作BC 、CA 的垂线,垂足分别是L 、M ．C ABDEFMP L设D 为AB 中点,求证.DM DL =．解析如图所示,取AP 中点E ,BP 中点F ,连ME 、ED 、DF 、FL ．显然四边形DEPF 是平行四边形,所以EP DF =,FP DE =．DEP DFP ∠=∠．又由PM AC ⊥,所以EM EA EP DF ===,2PEM PAC ∠=∠；同理FL DE =,2PFL PBC ∠=∠．由PAC PBC ∠=∠,所以DEM DEP PEM DFP PFL DFL ∠=∠+∠=∠+∠=∠,从而DFM LFD △△≌,所以DM DL =．9．1．14★★在ABC △中,已知60CAB ∠=︒,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且60AED ∠=︒,ED DB CE +=,2CDB CDE ∠=∠,求DCB ∠的度数． 解析如图,延长AB 到F ,使BF ED =,连CF 、EF ．CEA DB F因为60EAB AED ∠=∠=︒,所以60FDA ∠=︒,120EDB CED ∠=∠=︒, AD AE ED BF ===．CE ED DB DB BF DF =+=+=．于是,AC AF =,60ACF AFC ∠=∠=︒． 又因为120EDB ∠=︒,2CDB CDE ∠=∠, 所以40CDE ∠=︒,80CDB ∠=︒,18020ECD CED EDC ∠=︒-∠-∠=︒．在CDA △和CBF △中,CA CF =,60CAD CFB ∠=∠=︒,AD BF =,所以CDA CBF △△≌,故 20FCB ACD ∠=∠=︒．于是,6020DCB CDE FCB ∠=︒-∠-∠=︒．9．1．15★★在ABC △中,B ∠、C ∠为锐角,M 、N 、D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点,满足AM AN =,BD DC =,且BDM CDN ∠=∠．求证.AB AC =．解析若DM DN >,则在DM 上取一点E ,使DN DE =．连结BE 并延长交AC 于F ,连结EN ．在BED △与CND △中,BD DC =,BDE CDN ∠=∠,DE DN =,故BDE CDN △△≌．于是有EBD NCD ∠=∠,BE NC =,所以FB FC =．又易知EN BC ∥,因此ENF ACB ∠=∠． 但另一方面,由DM DN >,知ABC FBC ACB ∠>∠=∠,所以AFM NE BDC1(180)2ANM BAC ∠=︒-∠()12ABC ACB =∠+∠ ()12ACB ACB ACB >∠+∠=∠． 从而ENF MNA ACB ∠>∠>∠．矛盾,故假设DM DN >不成立． 若DM DN <,同法可证此假设不成立．综上所述DM DN =,于是由BDM CDN △△≌ 知DBM DCN ∠=∠,从而AB AC =．9．1．16★★如图,ABC △为边长是1的等边三角形,BDC △为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒角,角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ,连结MN ,形成一个AMN △． 求AMN △的周长．AM NBC DE解析延长AC 到E ,使CE BM =,连结DE ．易知在BMD △与CED △中有BD DC =,90MBD ECD ∠=∠=︒,BM CE =,从而MBD ECD △△≌．所以MD DE =,MDB EDC ∠=∠． 于是在DMN △与DEN △中有DN DN =,MD DE =,60MDN MDB CDN EDC CDN EDN ∠=︒=∠+∠=∠+∠=∠．从而MDN EDN △△≌,故NE MN =． 所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC AN ++=++=+++=+++= 2AB AC +=．9．1．17★★★ABC △为等腰直角三角形,90C ∠=︒,点M 、N 分别为边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且2BD BM =,点E 在射线NA 上,且2NE NA =,求证.BD DE ⊥． 解析取AD 中点F ,连EF ．EADF MBNC在BMC △与DMA △中,AM MC =,12BM BD MD ==,BMC DMA ∠=∠,故AMD CMB △△≌．于是有ADM CBM ∠=∠,AD BC =,AD BC ∥．同样易知BMC ANC △△≌,于是有CBM CAN ∠=∠．在ANC △与EAF △中,12NA NE AE ==,1122AF AD BC NC ===,由AD BC ∥知EAF ANC ∠=∠,所以FAF ANC △△≌．于是有AEF NAC ∠=∠,90EFA ACN EFD ∠=∠=︒=∠．从而在EAF △与EDF △中有AF FD =,EF EF =,故FAF EDF △△≌．于是有EDF EAF ∠=∠, FED FEA ∠=∠．总之,90EDF MDA EDF NAC EDF AEF EDF FED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒,即 BD DE ⊥．9．1．18★★★已知ABCD ,延长DC 至P ,使DP AD =,连结PA 与BC 交于Q ,O 为PQC △的外心,则B 、O 、C 、D 共圆．ADBC O PQ解析如图连好辅助线,由于DPA BAP PAD CQP ∠=∠=∠=∠,故CQ CP =,设OCP OCQ OQC θ∠=∠=∠=,则180BQO DCO θ∠=︒-=∠,又BQ AB CD ==,QO CO =,故BQO DCO △△≌,于是QOB COD ∠=∠,于是2BOD QOC QPC BCD ∠=∠=∠=∠,因此B 、O 、C 、D 共圆．9．1．19★★★已知ABC △和A B C '''△,A A '∠=∠,且BC B C ''=,D 和D '分别是BC 、B C ''的中点,AD A D ''=,问两个三角形是否必定全等？解析如图,作出ABC △外心O (A B C '''△及相应的O '、D '图中未画出)． 若O 在BC 上,则90A A '∠=︒=∠,此时ABC △与A B C '''△未必全等． 若O 不与D 重合,则2sin 2sin BC B C AO A O A A ''''===', cos cos OD BO A AO A == cos A O A O D '''''==,AD A D ''=．当A 、O 、D 共线,则AD BC ⊥,A D B C ''''⊥,所以ABD A B D '''△△≌,ACD A C D '''△△≌,从而 ABC A B C '''△△≌．当A 、O 、D 不共线,则AOD A O D '''△△≌,ODA O D A '''∠=∠,于是'ADC A D C ''∠=∠（或A D B '''∠）,于是由三角形全等可得AC A C ''=(或A B ''),AB A B ''=（或A C ''）,故有ABC A B C '''△△≌（或A CB '''△）． 评注此题亦可用中线长公式证明．9．1．20★★如果两个三角形满足“ASS ”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形1△,作2△与之“相近”,……一般有1n +△与n △相近,问是否存在一个k ,使1△与k △相做且不全等？ 解析这是不可能的．因为由正弦定理,1△与2△有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补）,从而 推出1△与x k △有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等．9．1．21★★★是否存在两个全等的三角形△与'△,△可划分为两个三角形1△与2△,'△可划分成两个三角形1'△与2'△,使12△△≌,2△与2'△却不全等？解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形ABC A B C '''△△≌,其中22''BC AB AC A B A C B C ''''=⋅=⋅=,不妨设AC A C ''=是各自的最长边,则AB 、A B ''为各自的最短边．在AC 、B C ''上分别找D 、D ',使CD AB =,BA D C ''∠=∠,则由于2BC AB AC CD AC =⋅=⋅,故ABC BDC △∽△,所以'BDC ABC A B C ''∠=∠=∠,又因为C B A D '''∠=∠,CD A B ''=,因此BDC D B A '''△△≌,而ABD △显然不与A C D '''△全等．（若90B B '∠=∠=︒,还可避免相似．） ABCDA'B'D'图(a)图(b)9．1．22★★★已知ABC △中,60A ∠=︒,I 是ABC △内心,AI 的垂直平分线分别交AB 、AC 于M 、N ,E 、F 在BC 上,BE EF FC ==,求证.ME NF ∥．解析如图,连结MI 、BI 、CI 、NI ．易诮AMN △与IMN △为全等之正三角形,120BIC ∠=︒, 180MIB NIC ∠+∠=︒．ANMTB E F CIS两端延长MN 至S 与T ,使SM MN NT ==,则60SMB AMN BMI ∠=∠=∠=︒,于是SMB IMB △△≌,同理NTC NIC △△≌,因此180S T MIB NIC ∠+∠=∠+∠=︒,SB TC ∥．而M 、N 将ST 三等分,E 、F 将BC 三等分,于是由平行线分线段成比例,知ME NF ∥(SB ∥)． 评注读者可以考虑.如果ME NF ∥是否有60BAC ∠=︒．9．1．23★★★已知锐角三角形ABC ,60BAC ∠=︒,AB AC >,ABC △的垂心和外心分别为M 和O ,OM 分别与AB 、AC 交于X 、Y ,证明.AXY △的周长为AB AC +,OM AB AC =-．解析如图,连结AO 、BO 、CO 、AM ．由AB AC >可知O 在AB 一侧,M 在AC 一侧．因120BOC ∠=︒,故AO =,而tan BC AM BAC ==∠于是AO AM =,AOM AMO ∠=∠． 又90OAB C YAM ∠=︒-∠=∠,故AXY AYX ∠=∠,AXY △为正三角形．又60XOB YOC YOC OCY ∠+∠=︒=∠+∠,故XOB YCO ∠=∠,120BXO CYO ∠=︒=∠,又BO CO =,故XBO YOC △△≌,XY XO YO BX YC =+=+．于是AX XY YA AB AC ++=+．又XO MY YC ==,做()()112233OM XY YC AB AC AC AB AC AB AC ⎡⎤=-=+--+=-⎢⎥⎣⎦．§9．2特殊三角形9．2．1★在直角三角形ABC 中,BC 是斜边,5AC =,D 是BC 中点,E 是AC 上一点,2DE AE ==,求AB ．BADEC解析如图,连结AD ．设AD CD x ==,因2DE =,2AE =,3CE =,则 22223x -=⨯,x =AB ==9．2．2★已知ABC △中,14AB =,16BC =,28CA =,P 为B 在A ∠平分线上的射影,M 为BC 中 点,求PM ．解析延长BP 交AC 于Q ．由BAP QAP ∠=∠．AP BQ ⊥知BP QP =,AB AQ =．又BM CM =,故()()11128147222PM CQ AC AQ =-=⨯-=∥．ABCQ P M9．2．3★等腰三角形ABC 中,AB AC =,D 为直线BC 上一点,则22AB AD BD CD -=⋅（D 在BC 上）,22AD AB BD CD -=⋅（D 在BC 外）． 解析如图,设D 在BC 上且较靠近B ．作AE BC ⊥于E ,则E 为BC 中点,于是AB D E C()()BD CD BE DE CE DE ⋅=-⋅+2222BE DE AB AD =-=-．当D 在BC 外时的结论同理可证．评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途（例如题9．2．1）,亦可用相 交弦定理证明．9．2．4★★已知锐角三角形ABC 中,AD 、CE 是高,H 为垂心,AD BC =,F 是BC 的中点,求证.12FH DH BC +=．AEBFDCH解析如图,连结EF ,则12EF CF BC ==．于是2222FH EF EH CH EF AH HD EF =-⋅=-⋅=- 222AH HD HD HD EF HD AD ⋅-+=-⋅+22222HD EF HD BC HD EF HD =-⋅+=-⋅ ()22EF HD EF HD +=-．由于EF FH HD >>,故12FH EF DH BC DH =-=-． 9．2．5★已知斜边为AC 的直角三角形ABC 中,B 在AC 上的投影为H ．若以AB 、BC 、BH 为三边可以构成一个直角三角形,求AHCH的所有可能值． BHAC解析显然由AB 、BC 、BH 构成的直角三角形中,BH 不是斜边,且AB BC ≠．若AB BC >,则AB 为斜边．设AB c =,BC a =,BH h =,则由ABC △的面积知h ac ,又h =,故4422c a a c -=．易知2222AH AB c kCH BC a ===,则由前式知21k k -=,得k =,故AH CH =同理,若AB BC <,可得AH CH =．所以AHCH9．2．6★★已知ABC △中,AD 为高,D 在BC 上, 以下哪些条件能判定AB AC =. (1)AB CD AC BD +=+. (2)AB CD AC BD ⋅=⋅；(3)1111AB CD AC BD+=+． AB D C解析设BD x =,CD y =,AD h =,则AB ,AC先看条件y x =．若x y =,则AB AC =；否则不妨设x y >,则22x y -==．x y =+,于是0h =,矛盾． 故AB AC =．再看见条件（2）.=22222222h y x y h x x y +=+,于是x y =,故AB AC =． 最后条件（3）.11y x =+．于是22x y xy -=．若x y ≠,则()xy x y =+,仍有0h =,矛盾,故AB AC =．所以三个条件都能判定AB AC =．9．2．7★已知P 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上任意一点,求222BP CP AP +．解析如图,作AD BC ⊥于D ．AB D CP不妨设1AD BD CD ===．P 在CD 上,PD a =,则1BP BD PD a =+=+,1CP CD PD a =-=-,于是()()222221122BP CP a a a +=++-=+．又22221AP AD PD a =+=+．故2222BP CP AP +=．评注请读者考虑,若对BC 上任一点P ,有222BP CP AP+为定值,是否可认为ABC △为等腰直角三角形． 9．2．8★★在ABC △中,19AB =,17BC =,18CA =,P 是ABC △内一点,过点P 向ABC △的 三边BC 、CA 、AB 分别垂线PD 、PE 、PF ,垂足分别为D 、E 、F ,且27BD CE AF ++=,求BD BF + 的长．解析如图,由于2222220BD CD CE AE AF BF -+-+-=,于是AFEPBDC()()222222(17)18190BD BD CE CE AF AF --+--+--=,此即171819487BD CE AF ++=．而181818486BD CE AF ++=,故1AF BD -=．所以118BD BF BD AB AF AB +=+-=-=． 9．2．9★★已知ABC △中,AB AC =,AE 是BC 的中垂线,AE BC =,3BDC BAC ∠=∠, 求ADDE．AF DBEC解析如图,不妨设1BE CE ==,则2AE =,AB =．作ABD ∠的平分线BF ,由于3BDE BAE ABD BAE ∠=∠=∠+∠,故ABF DBF BAE ∠=∠=∠．因此AF BF =,ABD BFD △∽△, AB AD BD BF BD DF ==,从而2BD DF DA =⋅,DB ADDF AB DB⋅=+,所以()2DA BD BD AB =⋅+． 设DE x=,则221BD x =+,2DA x=-,因此()2221x x -=+,()223455x x -=+,2112440x x -+=,211x =（2x =舍）．于是2011AD =,10AD DE =． 9．2．10★★正三角形ABC 内有一点P ,P 关于AB 、AC 的对称点分别为Q 、R ,作平行四边形QPRS ,求证.AS BC ∥．A SMRQBCP解析如图,设QS 与AB 交于M ,连结MP ,则60Q ∠=︒,AB 垂直平分PQ ,QM PM =,MPQ △ 为正三角形,MP PQ SR ==,于是四边形MPRS 为等腰梯形,PR 的中垂线即MS 的中垂线． 于是60SAC MAC C ∠=∠==∠,AS BC ∥．9．2．11★★AB 与O 相切于点B ,AC 与O 相交于C 、D ,若45C ∠=︒,60BDA ∠=︒,CD =求AB ．BC D AK T解析如图,由题意可得45ABD ∠=︒,作BK AC ⊥于K ,则BK CK=,又CK CD DK =+=,故32BK =,BD =再作AT BD ⊥于T ,设BT AT x ==,则DT =,x =x =于是6AB ==．9．2．12★已知大小相等的等边ABC △与等边PQR △有三组边分别平行,一个指向上方,一个指向 下方,相交部分是一个六边形,则这个六边形的主对角线共点．A D KR QEHBFGCP解析如图,设两个三角形的边的交点依次为D 、E 、F 、G 、H 、K ．设ABC △、PQR △的高为h ,则正ADK △的高h =（RQ 与BC 的距离）=正FPG △的高,于是DK FG ∥,DG 、KF 互相平分,同理DG 、EH 互相平分,于是DG 、EH 、KF 的中点为同一点,结论成立．9．2．13★★★★求证.过正三角形ABC 的中心O 任作一条直线l ,则A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为常数．AlB'A'OC'B QC P解析如图,不妨设l 与AB 、AC 相交,且与BC 延长线交于P (平行容易计算)．由中位线及重心性质,知BB CC AA '''+=．故222222()B B C C A A B B C C B B C C '''''''++=++⋅．连结OB 、OC ,作OQ BC ⊥,易知B BP QOP C CP ''△∽△∽△,故C C CP OQ OP '=,B B BPOQ OP'=． 对于等腰三角形OBC ,有22OP OC CP BP -=⋅．因此()()222222222223OQ OQ B B C C B B C C CP BP CP BP BC CP BP OP OP ''''++⋅=++⋅=+⋅= ()222222333OQ BC OP OC OQ OP+-=(定值),这里用到了BC =． 于是A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为22162OQ BC =,结论得证．§9．3三角形中的巧合点9．3．1★已知.H 是ABC △内一点,AH 、BH 、CH 延长后分别交对边于D 、E 、F ,若AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅,则H 是ABC △的垂心,解析如图,由条件知AHE BHD △∽△,故AEH BDH ∠=∠,同理,AFH CDH ∠=∠,故180AFH AEH ∠+∠=︒．A FEHBDC又FBH ECH △∽△,故BFH CEH ∠=∠,这样可得90AFH AEH ∠=∠=︒,故H 为ABC △之垂 心．9．3．2★★求证.到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．解析设ABC △中,AD 、BE 、CF 是中线,G 是重心,M 是任一点．由斯图沃特定理,并考虑到 结论成立． 123DG GA AD =∶∶∶∶,得2222122339MG AM DM AD =+-22212233AM DM GD =+-．① 又由中线长公式,有 ()22221124MD BM CM BC =+-, ()22221124GD BG CG BC =+-． 代入式①,得()()222222230MG MA MB MC GA GB GC =++-++≥．结论成立． 9．3．3★★★已知,H 是锐角ABC △的垂心,D 是BC 中点,过H 作DH 的垂线,交AB 、AC 于M 、N ,求证.H 是MN 中点．AQ NMHBD PC解析设ABC △两条高为AP 、CQ ．又不妨设D 在BP 上．由于HAM DCH ∠=∠,90AHM DHP HDC ∠=︒-∠=∠,故AMH CHD △∽△,于是MH AH HD CD =,同理NH AHHD BD=, 又CD BD =,故MH NH =．9．3．4★★★ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ,且BD CE AFDC EA FB==,求证.ABC △的重心与DEF △的重心是同一点．解析在AB 上取一点M ,使MD AC ∥,则MD BD CEAC BC AC==,所以MD CE =,四边形MDCE 为平行四边形,设MC 与DE 交于N ,又设BC 的中点为,P 连结PN 、AP 、FN ,AP 与FN 交于G ,于是由 BM BD CE AF AB BC AC AB ===,得RM AF =,于是1122PN BM AF ∥∥,于是12PG GN PN GA FG AF ===,所以G 为ABC △与DEF △之重心．AFMG EBDPCN9．3．5★★★已知ABC △,60A ∠=︒,G 是ABC △重心,120BGC ∠=︒,求证.ABC △是正三角形． 解析设ABC △三条中线分别为AD 、BE 、CF ．连EF 为中位线．于是由条件知A 、F 、G 、E 共圆,故GBD FEG BAD ∠=∠=∠,于是2BD GD DA =⋅．由于12BD BC =,13GD AD =,代入,得AD =． 在ABC △外作等腰BCP △,使BP CP =,120BPC ∠=︒,连结DP ,DP BC ⊥．由圆心角与圆周角的关系,211333GP BP AD AD AD GD PD ====+=+,故G 、D 、P 三点共线,故AD BC ⊥,于是AB AC =,又60RAC ∠=︒,故ABC △为正三角形．AFEBD CPG9．3．6★★★已知D 是BC 上一点,ABD △、ECD △、BCF △都是正三角形,A 、E 在BC 同侧,F 在另一侧,求证.以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形,且它的中心在BC 上．又问此题如何推广？A BCEFR R'DQ'P'Q解析如图,设P 、Q 、R 分别为BCF △、DCE △和ABD △的中心,则由题11．2．25知PQR △为正三角形．过P 、Q 、R 分别作BC 的垂线PP '、QQ '、RR ',则RR QQ PP BD CD BC ⎛'''=== ⎝⎭,又BD CD BC +=, 故RR QQ PP '''+=．又设RQ 中点为S （图中未画出）,SS BC '⊥于S ',则SS PP ''∥,且()1122SS RR QQ PP ''''=+=．设SP 与BC 交于G ,则12SG SS GP PP '==',所以G 为PQR 的中点． 评注此题不难推广,只需AB DE CF ∥∥,AD CE BF ∥∥,此时ABD DC FCB △∽△∽△, P 、Q 、R 为各自对应的重心,则必有PQR △之重心位于BC 上． 9．3．7★★★ABC △内有一点P ,连结AP 、BP 、CP 并延长,分别与对边相交,把ABC △分成六个小三角形,若这六个小三角形中有三个面积相等,则点P 是否必为ABC △之重心？ 解析如图,设AD 、BE 、CF 交于P ．由对称性,可分四种情况讨论．AFEPBDC（1）BPD CDP BPF S S S ==△△△．于是BD CD =,2CPPF=,由梅氏定理（或添平行线）,得AF BF =,P 为中心．（2）BPD CDP APF S S S ==△△△．此时FD AC ∥,故D 、F 分别为BC 、AB 中点,P 为重心．（3）BPD BPF APE S S S ==△△△．此时有DE AB ∥,由塞瓦定理,AF BF =,于是APF BPF S S =△△,回到情形（1）．（4）APF BPD CPE S S S ==△△△,见题15．1．58．综上所知,答案是肯定的．9．3．8★★★设有一个三角形三角之比为124∶∶,作两较大角的平分线,分别交对边于M 、N ．求证.这个三角形的重心在MN 上．解析如图(a),设A ∠为最小角,作中线AD ,交MN 于G ,于是只要证明2AG GD =．分别作EB AD CF ∥∥,E 、F 在直线MN 上,则2GD EB CF =+,故问题变成1EB FCAG AG+=,或 1BC BC CM BN CF BEAB AC AM AN AG AG+=+=+=． 不妨设A θ∠=,2C θ∠=,4B θ∠=,7180θ=︒,在AC 上找一点P ,使ABP θ∠=,又作PQ BC ∥,Q 在AB 上,则各角大小如图(b)所示．于是BC BP AP BQ ===,故 11BC AP CP BQ BCAC AC AC AB AB==-=1-=-． ABCD E FNMGA QP B C2θ3θ2θ3θ3θθθ图(a)图(b)9．3．9★★★不等边锐角ABC △中,H 、G 分别是其垂心和重心,求证.若112HABHACHBCS S S +=△△△,AG HG ⊥．ABDECGH解析设ABC △的一条中线与高分别为AD 、AE ,则欲证结论等价于AG AD AH AE ⋅=⋅．熟知cot AH BC A =⋅,23AG AD =．于是结论变为22cot cos 3AD BC AE A AB AC A =⋅⋅=⋅⋅． 设AB c =,BC a =,CA b =,则由中线长及余弦定理,知欲证式左端()2221226b c a =+-, 右端2222b c a +-=,整理,得2222b c a +=,于是剩下的任务是证明这个等价条件．1cos 2BHC S BH BC C =⋅⋅⋅△1cot cos 2AC BC B C =⋅⋅⋅⋅ cot cot ABC S B C =⋅⋅△,同理有另两式,于是条件变为cot cot 2cot C B A +=,由正弦及余弦定理,知上式即cos cos ab C ac B +=2cos bc A ,或()()22222222262()ac a c b b c a +-++-=+-,化简即得2222b c a +=．9．3．10★★已知凸四边形ABCD 中,2BAC BDC ∠=∠,2CAD CBD ∠=∠,A 是否一定为BCD △之外心？ABDC解析当BCD △固定．由题设BAC ∠、CAD ∠固定,于是BAC △、ACD △外接圆固定,它们的交点 C 、A '固定,又若A 为BCD △外心时,确为BAC △的外接圆和ACD △的外接圆之异于C 的交点,因此A A '=,结论成立．9．3．11★★★已知锐角ABC △的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ,O 是外心,O 至三边距离之和为L ,试用R 、r 表示L ．解析易知()cos cos cos L R A B C =++．设ABC △三边分别为a 、b 、c ,由于cos cos a B b A c +=等,则()()cos cos cos a b c A B C ++⋅++=cos cos cos a b c a A b B c C +++++,于是 cos cos cos 1A B C ++-cos cos cos a A b B c Ca b c++=++．①又1cos 2BOC Ra A S =△等,可得()()11cos cos cos 22ABC R a A b B c C S r a b c ++==++△,故式①的右端r R =． 于是L R r =+． 9．3．12★★★★.已知ABC △,D 、E 分别在AC 、AB 上,BD 、CE 交于F ,ED BC ∥,求证.AEF △、ADF △、EFB △、DFC △的外心四点共圆．AED BCOKO 1O 2解析如图,设BEF △、DFC △的外心分别为1O 、2O ,O 为EFD △的外心,于是1OO 垂直平分EF ．2OO 垂直平分DF ．设EFB DFC θ∠=∠=,则由垂径定理知11sin 2OO BD θ=,21sin 2OO CE θ=,于是12OO BD FD OO CE EF ==． 易知AF 过ED 中点（由塞瓦定理或面积比）,作KD EF ∥,K 在AF 上,则KD EF =,又 12180KDF EFD O OO ∠=︒-∠=∠,故12O OO FDK △∽△．又设AEF △,ADF △的外心分别为3O 、4O （图中未画出）,于是3O 、4O 分别在直线1O O 与2O O 上, 且34O O AF ⊥,于是4312OO O KFD OO O ∠=∠=∠,于是1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．9．3．13★★★已知.ABC △中,AB AC =,D 是AB 中点,F 为ADC △重心,O 为ABC △外心,求证.FO CD ⊥．解析1如图,延长DF 交AC 于E ,则AE CE =,2DF EF =．连结AO 并延长,分别交CD 、BC 于G 、H ,则G 为ABC △重心,BH CH =,2233DF DE BH ==,易见2323BHDO BH DF AD AH AG AH ===． ADEF OGB H C又OD AB ⊥,90ODF ADE DAG ∠=︒-∠=∠,ODF DAG △∽△,对应边垂直,所以FO CD ⊥． 解析2O 为ABC △外心,故22222CO DO AO DO AD -=-=； 而由中线公式,CF =DF 于是22222CF DF AD CO DO -==-,于是FO CD ⊥．9．3．14★★★设I 和O 分别是ABC △的内心和外心,求证.90AIO ∠︒≤的充分必要条件是2BC AB AC +≤．解析延长AI 与外接圆交于点D ,连结BD 、CD 、OD ,则 90AIO ∠︒≤ AI ID ⇔≥．2ADDI⇔≤D由内心性质知,DI DB DC ==,结合托勒密定理得 AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅ AB DI AC DI =⋅+⋅, 所以AD AB ACDI BC+=, 所以902AB ACAIO BC+∠︒⇔≤≤, 故90AIO ∠︒≤的充要条件是2BC AB AC +≤．评注本题的关键是先把90AIO ∠︒≤转换为AI ID ≥,然后再用托勒密定理．托勒密定理是.圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和．9．3．15★★★设O 是ABC △的外接圆,G 是三角形重心,延长AG 、BG 、CG ,分别交O 于D 、E 、F ,则3AG BG CGGD GE GF++=． AF ERQGBP DC解析设BC 、CA 、AB 的中点分别为P 、Q 、R ,则由中线长公式及相交弦定理,有（此处ABC △三边分别设为a 、b 、c ） AG AG AGBP CPGD GP PD GP AP==⋅++22223133APAP BP CP AP BP CP AP AP ==⋅+⋅+ 2222222222222122211132244b c a b c a a b c b c a a +-+-==+++-+． 同理,有22222222BG c a b GE a b c +-=++ , 22222222CG a b c GF a b c +-=++． 三式相加,即得结论．9．3．16★★I 在ABC △内,AI 平分BAC ∠,1902BIC A ∠=︒+∠,求证.I 是ABC △内心．解析如图,作EIF AI ⊥,E 在AB 上,F 在AC 上,则AE AF =,LE IF =,AEF BCI1902BEI IFC A BIC ∠=∠=︒+∠=∠．又1902EBI EIB A EIB FIC ∠+∠=︒-∠=∠+∠,故EBI FIC ∠=∠,于是EBI FIC △∽△,BI BE BEIC IF EI==．而BEI BIC ∠=∠,故BEI BIC △∽△,ABI IBC ∠=∠,所以I 为ABC △内心．9．3．17★★已知.ABC △中,2BC AB AC =+,D 是内心,DE 与BC 垂直于E ,求2DE BE CE⋅的值．解析设ABC △三边长分别为a 、b 、c ,则2a b c =+． 易知若设DE r =,()12p a b c =++,则BE p b =-,CE p c =-．r =于是2133DE P a b c a a BE CE p a b c a -+-====⋅++． 9．3．18★★设ABC △中,AB 最长,在其上分别找两点M 、N ,使AN AC =,BM BC =,又设I 为ABC △内心,求MIN ∠（用A ∠、B ∠、C ∠及其组合表示）． 解析如图,连结CM 、CN 、CI 、AI ．CABM NI易知ACI ANI △△≌,CI NI =,同理CI MI =,I 为CMN △的外心,因此 MCN ACN BCM C ∠=∠+∠-∠11909022A B C =︒-∠+︒-∠-∠1902C =︒-∠,2180MIN MCN C ∠=∠=︒-∠．9．3．19★★★★ABC △的边BC 上有一点D ,ABD △与ACD △的内心与B 、C 四点共圆,求证. AD BD ABAD CD AC+=+． AMNE FBDCPI 1I 2解析如图,设ABD △与ACD △的内心分别为1I 与2I ．连结1AI 、2AI 、1BI 、2CI 、12I I ,两端延长12I I ,分别交AB 、AC 于E 、F ,则由条件知()1112AEF ABI EI B ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠,同理AFE ∠也是此值,于是AE AF =． 又设12I I 与AD 交于P ,则由角平分线性质知1212EI FI AE AF I P AP AP I P ===,故由梅氏定理（直线AB 截1PDI △及直线AC 截2PDI △）,得1212I D I DI M I N=（此处M 、N 分别为1DI 、2DI 延长后与AB 、AC 之交点）,又由角平分线性质,知11I D AD BD I M AB +=,22I D AD CDI N AC+=于是结论成立． 9．3．20★★★已知ABC △中,AB AC =,O 、I 分别为其外心与内心,D 在AC 上,DI AB ∥,求证.OD CI ⊥．解析如图,不妨设O 在ABC △内,且在I “之上”(O 在形外、I 之下类似处理）,连结AOI 、OC ,则IOC BAC IDC ∠=∠=∠,故O 、I 、C 、D 共圆,于是ODC ICD OIK ICD ∠+∠=∠+∠．这里K 为DO 、CI 直线之交点．AD O KIBC由于AOI BC ⊥,故9090OIK ICD BCI ICD ∠+∠=︒-∠+∠=︒,于是90DKC ∠=︒．9．3．21★★设G 为ABC △的重心,已知GA =GB =2GC =,求ABC △的面积．解析1由题意可画出图(a),令D 为AB 中点,GE AB ⊥,垂足为点E ,因G 为重心,可知112GD GC ==．由勾股定理可知222222222GE GB EB GE GA EA GE GD DE ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩①②③,C ABD E G22322(a)令AD BD c ==．由①与②可得(()(()2222c DE c DE -+=--,化简后可得1c DE ⨯=,即1DE c =,代入③得2211GE c=-,再代入①式可得 22118c c c ⎛⎫1-=-- ⎪⎝⎭, 解方程可得3c =,GE =,故 ABC △的面积=6GBD ⨯△的面积1632=⨯⨯= 解析2由题意可画出图(b),令D 为AB 中点,在GD 的延长线上取E 点使得GD DE =,因此GBD △ 之面积为AEG △之面积的一半．此时因AB 与GE互相平分,可知四边形AEBG 为平行四边形,也因此可知AE GB ==,即AEG △的三边长为2、,故可知AEG △为直角三角形,故GBD △的面积为11222⨯⨯=,所以ABC △的面积6GBD =⨯△的面积=(b)22232GD BAC 22E 119．3．22★★★已知120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒,P 为异于F 的任一点,求证. PA PB PC FA FB FC ++>++．解析如图,在ABC △外作正三角形ABD ,由于ABC ∠,120BAC ∠<︒,故四边形DBCA 的内角均小于180︒,是凸四边形．ADF F'PP'BC对于ABC △中任一异于F 的点P ,将ABP △、ABF △均以点A 为中心顺时针旋转60︒,至ADP '△ 和ADF '△,则AFF △与APP '△均为正三角形．由全等知AP BP CP PP DP CP CD DF F F FC AF BF CF ''''++=++>=++=++,这是因为DP PC '是一条折线,而120DF A AFC '∠=∠=︒,60AFF AF F ''∠=∠=︒,D 、F '、F 、C 四点共线且仅对于F 满足四点共线．评注当ABC △内角均小于120︒时,满足条件的点F 称为ABC △的费马点（当ABC △有内角比如120A ∠︒≥时,到A 、B 、C 距离之和最小的点正是点A ）．。

专题25平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M 作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．a )，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b(b长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12=AC 2=AB 2+BC 2=25+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22=(BC +AB )2=(5+10)2=225．∵l 12–l 22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12＞l 22，∴l 1＞l 2．所以，应选择路线2．线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．（衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求 S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △PAB ，得到PCP A CD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB =cm ．（广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）第1题图第3题图第4题图第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是()（兰州市中考试题）A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为()（河北省竞赛试题）A．12B．4πC．62D．636．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为()（武汉市竞赛试题）A．80°B．100°C．120°D．140°7．如图，⌒AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是()（福州市中考试题）A．15B．20C．15+52D．15+55第6题图第7题图第8题图8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N．(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．(1)当∠BAD=75°时，求⌒BC的长；(2)求证：BC∥AD∥FE；(3)设AB=x，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O 的半径为2，⊙O 内的一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为()（鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3第6题图第7题图第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ．(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当y =41cm 时，求x 的值．（河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标．（河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求：(1)∠MAN 的大小；(2)△MAN 的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD =CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB 相交于点E ．(1)求证：AB ·AF =CB ·CD ；(2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）第6题图第7题图第8题图第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1)求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2)若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）专题25平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅=例2如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BC AC⋅=cm ，BB ′＝85，AE ()222220455AB BE -=-．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ．例3由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ=，即BQ ＝()b a x AD BP AP x -⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥22ab x ab x ⋅=x ＝ab x即x ab 时，上式等号成立．故当AP ab AP ＋BQ 最小，其最小值为ab b ．例4⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短．⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244h π-时，2212l l <．例5设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%．例6设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△PAB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-，令y ＝AB •S △PAB ，则y ＝12AB ×PA ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥-322＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4.③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4.A 级1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83.4.D5.D6.B7.C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8.（1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x.∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF +×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52.故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52.9.（1） BC 长为23r π.（2）提示：连结BD .（3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC ＝AD －2AM ＝2r －2AM .由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r －2x r .同理，EF ＝2r －2x r .l ＝4x ＋2（2r －2x r ）＝－x r（x －r ）2＋6r（0＜x ＜r ）..当x ＝r 时，l 取得最大值6r .10.（1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ .（2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34.故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11.（1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上.（2）由已知得△ABC 底边上的高h＝＝4.①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O.由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2.当＝3时，y 的值最大，最大值是3.②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D .由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC .，∴PEF ABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （.∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2.∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4.故当x ＝4时，y 的最大值为4.综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4.B 级1.832提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2.0＜r ≤1提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc·2＝12［＋2（r ＋1）］r ，.bc ＝4r （r ＋2）.b ，c 为方程x 2－（r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22.因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1.3.249π提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小.4.13提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADG ABC S S ∆∆＝x 2，BDE ABCS S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG ＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5.12a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大. 6.C 7.（1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x-，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）.当x ＝2时,y 最大值＝1cm.（2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2）cm 或（2）cm.8.当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求.作O′D ⊥A B 于D .，O′D 2＝O′B 2－B D 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′DC0）.9.（1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°.∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL ＝902＝45°.（2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2.整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0.∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋）（z ＋2－）≥0.又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立.由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12MN ×1＝2z ，因此，△AMN 2－1.10.（1）提示：证明△ADF ∽△BAC .（2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋PA ，故只要求PB ＋PA 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252．∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292．11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）．（2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k -==-< ，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小．12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-，22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy＝，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去)．（2）由（1）2122y x x ==++．当且仅当2x x =，即x =时，上式等号成立．故当x =时，y1-．。

《圆柱圆锥等规则立体图形》配套练习题一、解答题1、如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10cm，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（π＝3.14）2、一个圆柱体的体积是50.24cm3，底面半径是2cm．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的几何体，表面积增加了多少平方厘米？（π＝3.14）3、一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是多少平方厘米？（π取3.14）4、有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10cm、20cm，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2cm；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？5、如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将△ABC绕AC旋转一周，求△ABC 扫出的立体图形的体积．（π＝3.14）6、如图，ABCD是直角梯形，（1）以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少?（2）如果以CD为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少? （π＝3.14）7、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10cm和12cm的长方形，那么这个圆柱体的体积是多少立方厘米？（π取3）8、把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？（π＝3.14）9、如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？10、如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？答案部分一、解答题1、【正确答案】2056【答案解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2×π×10＝62.8（cm），原来的长方形的面积为：（10×4＋62.8）×（10×2）＝2056（cm2）．【答疑编号10296737】2、【正确答案】16【答案解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．可知，圆柱体的高为50.24÷（3.14×22）＝4（cm），所以增加的表面积为2×4×2＝16（cm2）。