2011届高三数学一轮复习 函数与方程巩固与练习

1．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是________．①a 1＋c 1>a 2＋c 2 ②a 1－c 1＝a 2－c 2③a 1c 2<a 2c 1 ④a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，则有a 1c 2<a 2c 1，故④不正确． 答案：④2．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：由条件当m <4时，由题意得：32＝ 1－m 4⇒m ＝1，当m >4时有32＝ 1－4m ⇒m ＝16，故m 的取值为1或16. 答案：1或163．(2009年高考上海卷)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧ r 1＋r 2＝2a ，r 12＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－r 12－r 22＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝9＝b 2，∴b ＝3.答案：34．(2009年高考浙江卷改编)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P →＝2PB→，则椭圆的离心率是________．解析：如图由题意知：F (－c,0)，A (a,0)．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c .又∵A P →＝2PB→， ∴a c ＝2，即e ＝c a ＝12.答案：125．(原创题)已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标为________．解析：设点P 到两焦点的距离分别为r 1，r 2，则r 1＋r 2＝10，m ＝r 1r 2≤(r 1＋r 22)2＝25，当且仅当r 1＝r 2＝5时取等号，此时点P 的坐标为(0，－3)或(0,3)．答案：(0，－3)或(0,3)6．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，一个焦点的坐标为(3，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T .当m 变化时，求△TAB 面积的最大值．解：法一：(1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵c ＝3，e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋4(12x ＋m )2＝4，即x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0.令Δ>0，得8－4m 2>0，∴－2<m < 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2. |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝ 54·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(2－m 2). 又∵x 0＝12(x 1＋x 2)＝－m ，y 0＝12x 0＋m ＝12m ，∴M (－m ，12m )． 设T (t,0)，∵MT ⊥AB ，∴k MT ·k AB ＝0－12m t ＋m·12＝－1， 解得t ＝－34m ，∴T (－34m,0)．∴|MT |＝ 116m 2＋14m 2＝54|m |.∴S △TAB ＝12|AB |·|MT |＝12·5(2－m 2)·54|m | ＝58－(m 2－1)2＋1.∵－2<m <2，∴当m 2＝1，即m ＝±1时，S △TAB 取得最大值为58.法二：(1)同法一．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋4(12x ＋m )2＝4，即x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0. 令Δ>0，得8－4m 2>0，∴－2<m < 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又∵x 0＝12(x 1＋x 2)＝－m ，y 0＝12x 0＋m ＝12m ， ∴M (－m ，12m )．∵MT ⊥AB ，∴MT 的方程为y ＝－2x －32m .令y ＝0，得x ＝－34m ，∴T (－34m,0)．设AB 交x 轴于点R ，则R (－2m,0)，∴|TR |＝54|m |.∴S △TAB ＝12|TR |·|y 1－y 2|＝14|TR |·|x 1－x 2| ＝14|TR |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝58m 2(2－m 2)≤58·m 2(2－m 2)2＝58，当且仅当m 2＝2－m 2，即m ＝±1时，S △TAB 取得最大值为58.。

课标文数13.B1函数y＝16－x－x2的定义域是________．课标文数13.B1【答案】 (－3，2)【解析】由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2.课标理数15.B1，M1设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝2＋，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数8.B1已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于()A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标文数8.B1 A 【解析】由已知，得f (1)＝2； 又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.课标文数4.B1函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是() A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)课标文数4.B1 C 【解析】要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，所以所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.课标文数16.B1给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 课标文数16.B1 (1)a (a 为正整数)(2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1，2，3，4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2，3，4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.课标文数11.B1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．课标文数11.B1－2 【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2，10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.大纲文数16.B1函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)大纲文数16.B1②③④ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．课标理数1.B1设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝()A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2课标理数1.B1 B 【解析】当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4； 当α＞0，f (α)＝α2＝4，α＝2.课标文数11.B1设函数f (x )＝41－x ，若f (α)＝2，则实数α＝________.课标文数11.B1－1 【解析】∵f (α)＝41－α＝2，∴α＝－1.大纲理数2.B2函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为() A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲理数2.B 2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲文数2.B2函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为() A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲文数2.B2 B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲理数7.B2已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的反函数的图象大致是()图1－2大纲理数7.B2 A 【解析】当x >0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(1<x <2)，根据图象可判断选择答案A ，另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数8.B3设A (0，0)，B (4，0)，C (t ＋4，4)，D (t ，4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为()A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}课标理数8.B3 C 【解析】显然四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k (k ＝1，2，3)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以9＝3×3≤N (t )≤3×4＝12.图1－4如图1－4(1)，图(2)，当四边形ABCD 的边AD 上有5个整点时，N (t )＝9； 如图(3)，当四边形ABCD 的边AD 上有2个整点时，N (t )＝11； 如图(4)，当四边形ABCD 的边AD 上有1个整点时，N (t )＝12. 故应选C.课标理数2.B3，B4下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是() A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数3.B3，B4下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标数学2.B3函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．课标数学2.B3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 【解析】因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课标文数12.B3，B7已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 课标文数12.B3，B7 18 【解析】∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲理数5.B3下列区间中，函数f (x )＝||ln （2－x ）在其上为增函数的是() A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ． D 【解析】化f (x )为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （2－x ），x <1，－ln （2－x ），1≤x <2，作出函数的图象，如图1－1所示，根据图象可知f (x )在设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5【答案】－3【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.大纲理数9.B4设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝()A ．－12B ．－14C.14D.12大纲理数9.B 4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.大纲文数10.B4设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝()A ．－12B ．－14C.14D.12大纲文数10.B4 A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.课标理数9.B4对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．() A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2课标理数9.B4 D 【解析】由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ， ∴f (1)＋f (－1)＝2c ，∵c ∈Z ，∴f (1)＋f (－1)为偶数，而D 选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.课标理数4.B4设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数课标理数4.B4 A 【解析】因为g (x )在R 上为奇函数，所以|g (x )|为偶函数，则f (x )＋|g (x )|一定为偶函数．课标文数12.B4设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________． 课标文数12.B4－9 【解析】由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10， 所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.课标理数6.B4已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝()A ．2 B.154 C.174D ．a 2课标理数6.B4 B 【解析】因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2②，①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝154.课标文数3.B4若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝()A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4 D 【解析】因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x.又因为f (x )＋g ()x ＝e x，所以g ()x ＝e x －e －x2.课标文数12.B4已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________． 课标文数12.B4 6 【解析】由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9⇒f (－2)＝－6.因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.课标理数2.B3，B4下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是() A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数6.B4若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝()A.12B.23C.34D ．1 课标文数6.B4 A 【解析】法一：由已知得f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A.法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )＝x2x 2＋（1－2a ）x －a，则－x 2x 2－（1－2a ）x －a ＝－x 2x 2＋（1－2a ）x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.课标文数3.B3，B4下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是() A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数12.B4，B7，B8已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有()A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数10.B4已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点的个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9课标理数10.B4 B 【解析】当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．课标理数3.B4设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是()图1－1课标理数3.B4 B 【解析】由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.课标理数11.B4若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________． 课标理数11.B4 0 【解析】∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.课标文数11.B4，B5设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5【答案】－3【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.课标文数8.B5，H2已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1课标文数8.B5，H2 A 【解析】由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.课标理数12.B5设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标理数12.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，故当n ＝3，4时方程有整数根．课标文数14.B5设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标文数14.B5 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，当n ＝3，4时方程有整数根．课标理数8.B5对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 课标理数8.B5 B 【解析】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点， 由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.课标文数8.B5对实数a和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．课标文数8.B5 B 【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －1）≤1x －1，x 2－2－（x －1）>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2 则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.图1－3课标理数3.B6若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为()A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标理数3.B6D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标文数3.B6若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为()A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标文数3.B6D 【解析】因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标数学12.B6在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．课标数学12.B612⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e【解析】设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋x e x 2，则y ′＝－e x（x －1）＋（x －1）ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .课标理数7.B6，B7已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则() A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a ，1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2，2b )课标文数5.B7 D 【解析】由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 图像上．课标文数3.B7如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么()A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x课标文数3.B7 D 【解析】因为log 12x <log 12y <0＝log 121，所以x >y >1，故选D.课标文数15.B7里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．课标文数15.B7 610000 【解析】由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1，5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．课标理数3.B7若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 课标理数3.B7 A 【解析】根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.课标文数3.B7若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪()0，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 课标文数3.B7 C 【解析】方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C. 方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.课标文数12.B4，B7，B8已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有()A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数7.B6，B7已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则() A ．a >b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b课标文数5.B7 B 【解析】∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1， ∴b <c <a .课标文数12.B3，B7已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 课标文数12.B3，B7 18 【解析】∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲文数6.B7设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a大纲文数6.B7 B 【解析】a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，则由log 343＜log 332＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.课标文数10.B8函数f (x )＝ax n(1－x )2在区间上的图像如图1－2所示，则n 可能是()图1－2A ．1B ．2C ．3D ．4课标文数10.B8 A 【解析】由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax (2x －1)(x －1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．课标理数10.B8函数f (x )＝ax m(1－x )n在区间上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是()图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1课标理数10.B8 B 【解析】由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )的图像关于直线x ＝12对称，所以A 不可能；当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，所以f (x )的极大值点应为x ＝13＜0.5，由图可知B 可能．当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝－ax (3x －2)，所以f (x )的极大值点为x ＝23＞0.5，所以C 不可能；当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，所以f (x )的极大值点为x ＝34＞0.5，所以D 不可能，故选B.课标理数13.B8已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标理数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－5所示：图1－5由上图可知0<k <1.课标文数13.B8已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标文数13.B8 (0，1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－3所示：图1－3由上图可知0<k <1.课标文数12.B4，B7，B8已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有()A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数9.B8函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是()图1－1课标理数9.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数10.B8函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是()图1－2课标文数10.B8 C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数4.B8函数y ＝x 13的图象是()图1－1课标文数4.B8 B 【解析】因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0，0)，(1，1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故答案为B.课标数学8.B8在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课标数学8.B8 4 【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k ，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.大纲文数4.B8函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是()图1－1大纲文数4.B8 A 【解析】由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数21.B9，H8在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|； 当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p 2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2. 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X . ②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝54.课标理数21.B9，H8在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|； 当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p 2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2. 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X . ②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin ＝1，φmax＝54.课标文数21.H10，B9在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T (1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO |＋|HT |的最小值，并给出此时点H 的坐标； (3)过点T (1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．求直线l 1的斜率k 的取值范围．课标文数21.H10，B9【解答】 (1)如图1－2(1)．设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q .∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴MP ⊥l ，且|MO |＝|MP |. 因此，x 2＋y 2＝|x ＋2|，即y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)． ①另一种情况，见图1－2(2)(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)．图1－2∵MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ ＝∠MOQ .又∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴∠MOQ ＝∠AOP .因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x ，0)．为分析M (x ，0)中x 的变化范围，设P (－2，a )为l 上任意点(a ∈R )． 由|MO |＝|MP |，即|x |＝（x ＋2）2＋a 2得，x ＝－1－14a 2≤－1.故M (x ，0)的轨迹方程为y ＝0，x ≤－1.②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1），x ≥－1，0， x <－1. (2)由(1)知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成(如图1－3)：图1－3E 1：y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)； E 2：y ＝0，x <－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H ′.因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1. (3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零． 设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．故x ＝1k (y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4ky －⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝0.因判别式Δ＝16k2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22＋28>0，所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点． 又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点， 则此交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k <0时，l 1与E 2有唯一交点⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点．因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．课标理数22.B9，M3已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点． (2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0.因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立． 故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0， 即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立． 故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数12.B9函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9 D 【解析】当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y ＝11－32＝－2.所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1，0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标文数10.B9在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 课标文数10.B9 C 【解析】因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，又因为函数y ＝e x是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内．课标理数16.B9已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．课标理数16.B9 2 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a <3，所以log a 2<1＝log a a <log a 3，因为3<b <4，所以b －2>1>log a 2，b －3<1<log a 3，所以f(2)·f(3)＝(log a2＋2－b)(log a3＋3－b)<0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标文数16.B9已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．课标文数16.B9 2 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a＜3，所以log a2＜1＝log a a＜log a3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>log a2，b－3＜1＜log a3，所以f(2)·f(3)＝ (log a2＋2－b)·(log a3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标理数6.B9函数f(x)＝x－cos x在 B 【解析】在同一个坐标系中作出y＝x与y ＝cos x的图象如图，图1－2由图象可得函数f(x)＝x－cos x在方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根课标文数6.B9 C 【解析】如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.图1－3。

图1－2课标理数10.C1如图1－2，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是()图1－3课标理数10.C1 A 【解析】如图1－4，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .图1－4设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧AM 与小圆圆弧AM ′相等．以切点A 在劣弧MB 上运动为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧AM 的长为l 1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM 1的长为l 2＝2θ×12＝θ，即l 1＝l 2，∴小圆的两段圆弧AM ′与AM 1的长相等，故点M 1与点M ′重合， 即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动． 点A 在其他象限类似可得，M 、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项A 符合．故选A.课标文数14.C1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 课标文数14.C1－8 【解析】r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.课标理数5.C1，C6已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝()A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数5.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数7.C1，C6已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝()A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.大纲文数14.C2已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________．大纲文数14.C2－55【解析】∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数9.C2，C6若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6 D 【解析】因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.大纲文数12.C2若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．大纲文数12.C243 【解析】∵cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.课标理数15.C3，C5已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．课标理数15.C3，C5【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．课标文数15.C3，C5【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标理数3.C2，C6若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于() A ．2 B ．3 C ．4 D ．6课标理数3.C2，C6 D 【解析】因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标理数11.C4，C5设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则()A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 课标理数11.C4，C5 A 【解析】原式可化简为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．课标理数16.C3已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．图1－7课标理数16.C3 3 【解析】由图象知πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又图象过(0，1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.课标文数12.C3已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝()图1－7A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3 课标文数12.C3 B 【解析】由图象知πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又图象过(0，1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝3，故选B.课标文数15.C4设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 课标文数15.C4【答案】①③ 【解析】f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1. 故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.对于①，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确；对于②，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②错误；对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．故⑤错．课标理数9.C4已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 课标理数9.C4 C 【解析】对x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0.所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，答案为C.大纲理数5.C4设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13 B ．3 C ．6 D ．9大纲理数5.C 4 C 【解析】将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.大纲文数7.C4设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B ．3C ．6D ．9 大纲文数7.C4 C 【解析】将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．课标数学16.D3，C4【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1（1－33）1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3； 因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.课标理数3.C4已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z课标理数3.C4 B 【解析】因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x－π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标文数6.C4已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 课标文数6.C4 A 【解析】因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x－π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标理数17.C8，C4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标文数17.C8，C4【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数11.C4，C5设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则()A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 课标理数11.C4，C5 A 【解析】原式可化简为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．课标文数11.C4，C5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则()A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5 D 【解析】f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos π＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标理数6.C4若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝()A ．3B ．2 C.32 D.23课标理数6.C4 C 【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标文数6.C4若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝()A.23B.32C ．2D ．3 课标文数6.C4 B 【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )为增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．图1－1课标数学9.C462 【解析】由图象可得A ＝2，周期为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.课标文数7.C4已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间上是增函数B ．f (x )在区间上是增函数C ．f (x )在区间上是减函数D ．f (x )在区间上是减函数课标文数7.C4 A 【解析】∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52π，π2上递增．课标文数18.C4已知函数f (x )＝A sin π3x ＋φ，x ∈R ，A >0，0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图1－6所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．图1－6(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．课标文数18.C4【解答】 (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A ·9＋A2＝－12，解得A 2＝3，又A ＞0，所以A ＝ 3.课标理数15.C3，C5已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．课标理数15.C3，C5【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．课标文数15.C3，C5【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.大纲理数17. C5，C8△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8【解答】由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C . 故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°，所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.课标理数16.C5，C8在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 课标理数16.C5，C8 27 【解析】因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 由正弦定理，有ABsin C＝BCsin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标文数11.C4，C5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则() A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5 D 【解析】f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos π＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标数学15.C5，C7在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A≠0，tan A ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数6.C5若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝()A.33 B ．－33 C.539 D ．－69课标理数6.C5 C【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.大纲理数14.C6已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________．大纲理数14.C 6 －43 【解析】∵sin α＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tanα＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43.课标理数3.C2，C6若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于() A ．2 B ．3 C ．4 D ．6课标理数3.C2，C6 D 【解析】因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标文数9.C2，C6若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6 D 【解析】因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.课标理数5.C1，C6已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝()A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数5.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标理数7.C6设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝()A ．－79B ．－19 C.19 D.79课标理数7.C6 A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ.由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.课标文数7.C1，C6已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝()A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标数学7.C6已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x 的值为________．课标数学7.C649 【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan2x ＝49.课标理数16.C7已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．课标理数16.C7【解答】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×54π－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×（3β＋2π）－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝35，又∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝1665.课标文数16.C7已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 课标文数16.C7【解答】(1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－2sin π6＝－1.(2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝ 2sin β＋π2＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.课标数学15.C5，C7在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A≠0，tan A ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数15.C7已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．课标理数15.C7【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.课标文数16.C8在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．课标文数16.C8本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0， cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得 sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.课标理数14.C8已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．课标理数14.C8 15 3 【解析】不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋（b －4）2－（b ＋4）22b （b －4）＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.课标理数9.C8在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.课标理数9.C8255210 【解析】因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210.课标文数9.C8在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________．课标文数9.C8523 【解析】由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a ＝523.大纲理数17. C5，C8△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8【解答】由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C . 故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°，所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.大纲文数18.C8△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .大纲文数18.C8【解答】由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° ＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.课标理数14.C8图1－5如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．课标理数14.C8【答案】 2【解析】在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝（23）22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2.课标文数14.C8若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 课标文数14.C8 2 【解析】方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴AB ＝2，即边AB 的长度等于2. 方法二：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.课标理数16.C8设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标理数16.C8【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标文数16.C8设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标文数16.C8【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标理数17.C8，C4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数17.C8在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．课标理数17.C8【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos C2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.课标理数16.C5，C8在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 课标理数16.C5，C8 27 【解析】因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 由正弦定理，有ABsin C＝BCsin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标理数4.C8△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝()A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2课标理数4.C8 D 【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B 得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.课标文数17.C8△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .课标文数17.C8【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝（1＋3）a 2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.课标文数15.C8△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 课标文数15.C81534 【解析】解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝AB sin C ，即7sin120°＝5sin C， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°，所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有 cos120°＝52＋x 2－7210x ，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数17.C8在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课标文数17.C8【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A ＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1，因此b ＝2.课标理数18.F3，C8叙述并证明余弦定理．课标理数18.F3，C8【解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一：如图1－9，图1－9a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，图1－10则C (b cos A ，b sin A )，B (c ，0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .课标文数18.F3，C8叙述并证明余弦定理．课标文数18.F3，C8【解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一： 如图1－10，图1－10a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，同理可证 b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .图1－11证法二： 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直。

巩固1．(原创题)已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：选C.结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱．2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是()A.77 cm B．7 2 cmC．5 5 cm D．10 2 cm解析：选C.两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为77、98、125，所以最长对角线的长为5 5.3．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.A错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．4．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为__________．解析：由题意知截面圆的半径为1，所以截面圆的面积为π.答案：π5．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．解：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为1∶16，设半径分别为r 、4r.设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r 、4r.根据相似三角形的性质得33＋l＝r 4r ，解得l=9. 所以，圆台的母线长为9 cm.练习1．三视图如图的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台解析：选B.由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直．2．下列几种关于投影的说法不正确的是( )A ．平行投影的投影线是互相平行的B ．中心投影的投影线是互相垂直的C ．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D ．平行的直线在中心投影中不平行解析：选B.中心投影的投影线是从一点出发的，不一定互相垂直．3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a 2 B ．22a 2C.22a 2D.223a 2解析：选B.根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积等于a 224＝22a 2.故选B. 4.(2009年高考福建卷)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选C.法一：∵体积为12，而高为1，故底面积为12，选C.法二：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．5.(2009年高考全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )A ．南B ．北C ．西D ．下解析：选B.如图所示．6．圆锥轴截面的顶角θ满足π3<θ<π2，则侧面展开图中中心角α满足( )A.π4<α<π3B.π3<α<π2C.π2<α<π D ．π<α<2π解析：选D.设圆锥母线长为R ，底面圆的半径为r ，则r ＝R sin θ2.又底面周长l ＝2πr ＝Rα，即2πR sin θ2＝Rα，∴α＝2πsin θ2.∵π3<θ<π2，∴12<sin θ2<22，∴π<α<2π，故选D.7．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成．解析：由三视图知，由4块木块组成．答案：48.(2010年温州模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C-ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为 .解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C-BD-A 为直角二面角，其侧视图是一个两直角边长为22的直角三角形，其面积为14. 答案：149．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________cm.解析：作出圆锥的轴截面如图，利用平行线截线段成比例，则SA′∶SA=O′A′∶OA ，即(y-10)∶y=x ∶4x ，解得 y ＝1313.即圆锥的母线长为1313cm.答案：131310．一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长．解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x ，则OC=22x ，∴22x 30＝40－x 40，， 解得x=120(3-22)，∴正方体的棱长为120(3-22)cm.11.已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝2AB ＝4.根据已经给出的此四棱锥的正视图，画出其俯视图和侧视图．解：12．已知正三角形ABC 的边长为a ，求△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积．解：如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.。

巩固1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析：选B.由减法的定义可知EF →＝OF →－OE →，B 项正确．2．(2009年高考湖南卷)如图，D 、E 、F分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 解析：选A.AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.OC→＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC → ＝OB→＋2(OC →－OA →)， ∴OC→＝2OA →－OB →.故选A. 4．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．解析：由已知得：(OA→－OB →)＋2(OC →－OB →)＝BA →＋2BC →＝0⇒AB →＝2BC →，根据数乘的意义可得：|AB →||BC →|＝2. 答案：25．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB→＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．解析：由于A ，B ，D 三点共线，故AB →∥BD →，又AB →＝2a ＋k b ，BD →＝CD→－CB →＝a －2b ，故由2a ＋k b ＝λ(a －2b )可解得k ＝－4. 答案：－46．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC→，EF →，FC →. 解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，∴FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF→＝ED →＋DA →＋AF → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .练习1．下列结论中，不．正确的是( ) A ．向量AB→，CD →共线与向量AB →∥CD →同义 B ．若向量AB→∥CD →，则向量AB →与DC →共线 C ．若向量AB→＝CD →，则向量BA →＝DC → D ．只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b解析：选D.根据平行向量(或共线向量)定义知A 、B 均正确；根据向量相等的概念知C 正确，D 不正确．2．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa . ②若b ＝－λa ，则a 与b 共线． ③若a ＝λb ，则a 与b 共线． ④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中，正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④ 解析：选D.①a ＝0，b ≠0时，不成立，②③④均正确．3.(2008年高考湖南卷)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC→＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF→与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选 A.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋23CA →，CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋23AB →， ∴AD →＋BE →＋CF →＝53AB →＋53CA →＋43BC →＝53(AB →＋CA →)＋43BC → ＝53CB →＋43BC →＝－13BC →.故选A.4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D.∵P A →＋PB→＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB→＋PC →－AB →＝0， 即P A →＋PB →＋BA →＋PC →＝0， ∴P A →＋P A →＋PC →＝0， 2P A →＝CP→，∴点P 在线段AC 上．5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13C ．－13D ．－23解析：选A.法一：∵A 、D 、B 三点共线，∴13＋λ＝1， ∴λ＝23.故选A.法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →， ∴λ＝23，故选A.6．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6]解析：选A.∵a ＝2b .∴⎩⎨⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.消去λ，得4m 2－8m ＋4－cos 2α＝m ＋2sin α， 即4m 2－9m ＋2＝－(sin α－1)2.∵－1≤sin α≤1，∴－4≤－(sin α－1)2≤0， ∴－4≤4m 2－9m ＋2≤0，解得14≤m ≤2，∴λm ＝2m －2m ＝2－2m ∈[－6,1]．7．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k 3k ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13k ＝13.答案：－138．设e 1，e 2是不共线向量，e 1－4e 2与k e 1＋e 2共线，则实数k 的值为________．解析：由题意e 1－4e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝kλe 1＋λe 2，∴⎩⎨⎧kλ＝1，λ＝－4.∴k ＝－14.答案：－149．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC于不同的两点M 、N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN→，则m ＋n 的值为________． 解析：AO →＝12(AB →＋AC →) ＝m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1， ∴m ＋n ＝2. 答案：210．如图所示，D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 边中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC →＝a ，BD→＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN →. 解：由三角形中位线定理知DE 綊12BC . 故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE→＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b . MN→＝MD →＋DB →＋BN → ＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .11.设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA→＝－2i ＋m j ，OB →＝n i ＋j ，OC →＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．解：AB→＝OB →－OA →＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC→＝OC →－OB →＝(5－n )i ＋(－2)j . ∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB →∥BC →， 即AB→＝λBC →， ∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n，解得⎩⎨⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.12．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解：设BM→＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN→＝2e 1＋e 2∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ、μ使 AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2， 故BA→＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2∴⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.。

第二编函数与基本初等函数I里.1函数及其表示使f(x)>— 1成立的x 的取值范围是 A . [ — 4,2) B . [ — 4,2] C . (0,2]D . (— 4,2]x < 0,解析 I f(x) > — 1,1l 2x + 1 > — 1x>0, 或5I — (x — 1)2> — 1,• — 4w x < 0 或 0<x w 2,即一4w x < 2. 答案 B13. (2010茂名模拟)已知函数f(x) = lg(x + 3)的定义域为 M , g(x)= -------------- 的定义域为N ,贝V M n N吋2 — x定时检测练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2010佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是A .y = x — 1 与 y = X (x — 1)2 y =7x — 1 与 y = ^x —2y = 4lg x 与 y = 2lg x y = lg x — 2 与 y = Ig 100 解析 T y = x — 1 与 y= “ (x —1)2=|x — 1|的对应法则不同，故不是同一函数;•••它们不是同一函数；又 y = 4lg x (x>0)与y = 2lg2xx (X M 0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而 y = lg x — 2(x>0)与y = lg 亦0 = lg x — 2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数. 答案 D2. (2009临沂3月模拟)已知f(x)=—(x — 1)2,x w 0,x>0,(x > 1)与 y =(x>1)的定义域不同,等于A . {x|x>- 3} C . {x|x<2}解析 M = {x|x> — 3}, N = {x|x<2}. M n N = {x|-3<x<2}. 答案 BB . {x|— 3<x<2} D . {x|-3<x w 2}了1 - x 2,4. (2008 •东)设函数f(x)= 2 门+ x — 2,27 B .-池A 15 A.花解析 f(2)=4, f 4 =1 —116= H x < 1 , 则x>1,C 8答案 A5. (2008 陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy(x , y € R ), f(1) = 2，则 f( - 3)等于 A . 2B . 3解析 f(1)= f(0 + 1)= f(0)+ f(1) + 2X 0X 1 C . 6D . 9=f(0) + f(1), •-f (o )= 0.f(0) = f(- 1 + 1) = f(- 1) + f(1) + 2X (- 1)X 1 =f( — 1) + f(1) — 2, ••• f (- 1) = 0. f( - 1) = f(- 2+ 1) = f(- 2)+ f(1) + 2 X (-2)X =f( - 2) + f(1) - 4, • f(- 2) = 2. f( - 2) = f(- 3+ 1) = f(- 3)+ f(1) + 2 X (-3)X =f( - 3) + f(1) - 6, • f(- 3) = 6. 答案 C6. (2009吉林一模)已知函数f(x)的定义域为[—1,5].在同一坐标系下，函数 直线x =1的交点个数为 A . 0 个 B . C . 2 个D . 解析 •/ f(x)的定义域为[—1,5]，而1€ [ - 1,5],•点(1 , f(1))在函数y = f(x)的图象上. 1个0个或1个均有可能y = f(x)的图象与( )而点（1 , f （1））又在直线x = 1 上,•直线x = 1与函数y = f （x ）的图象至少有一个交点 (1, f(1)). 根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域 [-1,5]中的任何一个元素，在其值域中只有唯一确定的元素 f （1）与之对应，故直线 x = 1与y = f （x ）的图象有且只有一个交点.答案 B二、填空题（每小题6分，共18分）7. （2010温州模拟）某出租车公司规定“打的”收费标准如下： 3千米以内为起步价 8元（即行程不超过 3千米，一律收费8元）,若超过3千米除起步价外， 超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司 机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为 7.4,则乘客应付的车费是 ___________元.解析 车费为 8 + （7.4- 3）X 1.5= 14.6~ 15（元）. 答案 153x, x< 1,卄& (2009北京文，12)已知函数f(x)= 若f(x)= 2，贝V x= ______________x，x〉1，解析当x< 1 时，3"= 2, ••• x= log32;当x>1 时，一x= 2, • x=- 2(舍去).答案log 329. (2009 •东六校联考)函数f(x)=区]；的定义域为____________________ .解析要使f(x)有意义，x> 4<尸±• f(x)的定义域为{x|x> 4且X M 5}.答案{x|x> 4 且X M 5}三、解答题(共40分)10. (13分)(2009阳江第一学期期末)求下列函数的定义域:(1) y = 25 —x2+ Igcos x;(2) y = Iog2(—x2+ 2x).(1)由丿25—x‘0cos x>0I —5< x< 5 得n n2k n- -<x<2k n+ -(k€Z)L 2 2借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为3 n n n 3 n[—5, —y) u (—2, 2)U (~2，5].2 2(2) —x + 2x>0，即卩x —2x<0 , • 0<x<2,•••函数的定义域为(0,2).11. (13分)(2009清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1) 当每辆车的月租金定为 3 600元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？一 3 600 — 3 000解(1)当每辆车的月租金定为 3 600元时，未租出的车辆数为=12,所以这时租出了50车.⑵设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)= 100 —x —3 000 (x—150)—< 50 Jx—3 000 X 50502x整理得f(x)=—二;+ 162x—21 00050=—50(x— 4 050)2+ 307 050.所以，当x= 4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050) = 307 050.88辆即当每辆车的月租金定为 4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.12. (14分)(2010东莞模拟)已知g(x) = —x1 2 3—3, f(x)是二次函数，当x€ [ —1,2]时，f(x)的最小值为1,且f(x) +g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式.解设f(x) = ax2+ bx+ c (a 丰 0),则f(x) + g(x) = (a —1)x2+ bx+ c—3,又f(x) + g(x)为奇函数，a = 1, c= 3.b_ 2••• f(x) = x2+ bx+ 3,对称轴x=当一b>2,即即b w—4时，f(x)在［-1,2］上为减函数,• f(x)的最小值为f(2)= 4 + 2b+ 3 = 1.•- b =—3. •此时无解.b 当—1< —^<2，即—4<b<2 时，2f(X)min = f「=4 —= 1，• b = i2 2.• b =— 2 2，此时f(x) = x2— 2 .2x+ 3,当一2 < —1，即b > 2时，f(x)在［—1,2］上为增函数,• f(x)的最小值为f(—1) = 4—b= 1.• b = 3. • f(x)= x2+ 3x+ 3.综上所述，f(x)= x2— 2.2x+ 3,或f(x) = x2+ 3x+ 3.§2.2函数的单调性与最大(小)值定时检测—练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)2(2010佛山模拟)若函数y = ax与y=— -在(0, )上都是减函数，则y = ax2+ bx在(0,x+ m)上是()A .增函数B.减函数C .先增后减D.先减后增解析T y= ax与y=—~在 (0, + m)上都是减函数，x…a<0, b<0 ,…y = ax2 + bx的对称轴方程x= —<0,2a2• y= ax + bx在(0, + )上为减函数.答案B—x+ 3a, x<0 ,3(2010安庆一模)函数f(x) = x c (a>0且a丰1)是R上的减函数，贝U a的取值范围是la , x>0( )A •(0,1)B._1,- D. 0, 2解析 据单调性定义，f(x)为减函数应满足: 0<a<1, 1 03a >a , 答案 B 3. (2009 东莞 A . y = sin xc l! \C . y = 2模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是 y =— log 2x 1 y =x — 2 n -2，• y = sin x 在(0,1)上是增函数. 答案 A 增函数, 4. (2009天津理，8)已知函数f(x) = x 2 + 4x , 2 4x — x 2, x<0. 7 x > 0, 若f(2 — a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围 是 A . B . C . D . ( — 3, — 1)U (2, +3 ) (—1,2) (—2,1)( — 3,— 2)U (1 , +3 ) 厂 2 丿 (x + 2) — 4, —(x — 2)2+ 4,解析 f(x)= x<0, 2 a >a ，即 由f(x)的图象可知f(x)在(―3,+^)上是单调递增 a 2 + a — 2<0,解得一2<a<1. 函数，由 f(2 — a )>f(a)得 2 — 答案 C3 5. (2010淮南调研)若函数f(x) = x (x € R )，则函数y = f( — x)在其定义域上是 A .单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数 C .单调递增的偶函数 D .单调递增的奇函数 解析 f(x) = x 3 (x € R ),则函数y = f( — x) = — x 3 (x € R )显然在其定义域内是单调递减的奇函数. 答案 B26. (2010温州一模)函数f(x) = ln(4 + 3x — x )的单调递减区间是 ” 3 ——3 _ ，2 A. B.C. - 1,I D. ，4解析 函数f(x)的定义域是(一1,4), u(x) = — x 2+ 3x + 4 =— x — | 2+严的减区间为2, 4 , I 7 •••e>1, •••函数f(x)的单调减区间为答案 D 二、填空题(每小题6分，共18分) 7. (2010珠海调研)若函数f(x) = (m — 1)x 2+ mx + 3 (x € R )是偶函数，则f(x)的单调减区间是解析 ■/ f(x)是偶函数，• f( — x) = f(x), 22•- (m — 1)x — mx + 3= (m — 1)x + mx + 3 ,/• m = 0.这时f(x)=—x2+ 3, 单调减区间为[0 ,+^).答案[0,+^ )4x& (2010汕尾一模)若函数f(x) = x2^在区间(m,2m+ 1)上是单调递增函数,x ~+ I4(1 —x )解析I f' (x)= 2 2，令f' (x)>0，得—1<x<1,(x2+ 1)2••• f(x)的增区间为(一1,1).又•/ f(x)在(m,2m+ 1)上单调递增，|m> —1,2m+ 1 < 1 ,•••区间(m,2m+ 1)中2m+ 1>m , . m> — 1.综上，—1<m w 0.答案(—1,0]9. (2009 •东实验中学第一次诊断)已知定义域为D的函数f(x),对任意x( 都有|f(x)| w K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”.已知下列函数：①②f(x) = 1 —x2:③f(x)= 1 —2x:④f(x) = x2+-^,其中是“有界函数”的是的函数的序号)解析①中|f(x)|=|2sin x|w 2,②中|f(x)|w 1;④|蚀=严wx+ 1|x|+1|x|+|x|1当x= 0 时，f(x) = 0,总之，|f(x)|w 2；③f(x)<1, . ( x ) H+ o<p故填①②④.答案①②④三、解答题(共40分)110. (13分)(2010芜湖一模)判断f(x)= -在(—m, 0) U (0,+^ )上的单调性.x解•/ —1<1, f(—1)=—1<f(1) = 1,f(x)在(—m , 0) U (0,+ m)上不是减函数.1••• —2< — 1 , f( —2) = —1>f( —1) = —1,.f(x)在(一8, 0) U (0,+a)上不是增函数..f(x)在(—^, 0) U (0,+ a)上不具有单调性.x11. (13 分)(2010 青岛调研)已知f(x)= (X M a).x—a(1) 若a=—2，试证f(x)在( —a, —2)内单调递增；⑵若a>0且f(x)在(1 ,+a )内单调递减，求a的取值范围.(1) 证明任设X1<x2< —2,X1 X2 2(x1—X2)1 D,存在正数K ,) f(x)= 2s in x;_______ .(写出所有满足要求则fg)—f(X2)= —=x1 + 2 X2 + 2 (X1 + 2)(x2 + 2) T (x1 + 2)(x2 + 2)>0 , X1 —X2<0,二 f(X i )<f(X 2),••• f(x)在(一a,— 2)内单调递增. ⑵解任设1<X 1<X 2，则x 2a(x2一 xi)X 2— a (x i — a)(X 2— a)T a>0, X 2 — x i >0,•-要使 f(x i ) 一 f(x 2)>0,只需(x i — a)(x 2— a)>0 恒成立，•- a w 1. 综上所述知0<a w i. i2. (i4分)(2009宣城一模)f(x)是定义在(0,+a )上的增函数，且 (1) 求f(i)的值；(2) 若 f(6) = i ，解不等式 f(x + 3) — f i <2. 解(i)令 x = y ,得 f(i) = 0. i(2) 由 x + 3>0 及->0,得 x>0,X 由 f(6) = i 及 f(x + 3) — f£,<2, 得 f[x(x + 3)]<2f(6), 即 f[x(x + 3)] — f(6)<f(6), 亦即 fX(X+ 3)<f(6).I L 6因为f(x)在(0,+ a )上是增函数， x(x + 3) 所以^^<6,—3 — 3 i7 — 3 + 3 i7 解得 2 <x< 综上所述，不等式的解集是§ 2.3 函数的奇偶性题（每小题7分，共42分）i. （20i0吉林模拟）已知f （x ） = ax 2 + bx 是定义在［a — i,2a ］上的偶函数，那么 i B.1[a — i = 一 2a解析依题意得l b = 0」i i •a + b = 3+0=3. 答案 Bf(x i ) — f(X 2)=x i — a f x = f(x)—f(y).定时检测练技巧练规范练速度、选择a +b 的值是（ egi b = 02. (2009金华模拟)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(―汽 0］上是减函数，且f(2) = 0, 贝U 使得f(x)<0的取值范围是 ( ) A . ( — 3 2) B . (2 ,+3 )C . ( — ^，― 2) U (2,+^ )D . (— 2,2)解析 px)是偶函数且在(-^, 0]上是减函数，且f(2)=f(-2)=0 , 可画示意图如图所示，由图知 f(x)<0的解集为(-2,2).答案 DA '1 G A. 3’ 3 C |1 G C.2, 31解析 方法一 当2x — 1>0,即x >寸时’因为f(x)在[0 , + )上单调递增’故需满足 2x —1<1 ,即 x<2 ,3 31 2 所以1 < x<|.当2x — 1<0 ,即x<*时’由于f(x)是偶函数’故f(x)在(—, 0]上单调递减’ f* = f — g , 此时需满足2x — 1>— 1,所以1<x<1 ,综上可得1<x<2.3 3 2 33方法二 •/ f(x)为偶函数 ’ ••• f(2x — 1)= f(|2x — 1|), 又••• f(x)在区间(0 , + )上为增函数’ •不等式 f(2x — 1)<f(1)等价于 |2x — 1|<1. 1 1 •—3<2x —1<3 , .1 2 •-3<x <3答案 Af( X 2) — f(X 1)4. (2009陕西文’ 10)定义在R 上的偶函数f(x),对任意X 1, [0 , +^心产x ?),有匚 1x 2 — X 1<0,则( )A . f(3)<f( — 2)<f(1)B . f(1)<f( — 2)<f(3)C . f(— 2)<f(1)<f(3)D . f(3)<f(1)<f(— 2) 解析对任意 x1 , X 2€ [0 ,+3)(x1-x2),有f(x J^<0 ,则X 2— X 1与f(X 2)— f(X 1)异号,因此函数[0 , + 3)上是减函数.又 f(x)在R 上是偶函数’故 f(— 2) = f(2),由于3>2>1 , 故有 f(3)<f(— 2)<f(1). 答案 A 5. (2009湖南示范性高中一模)函数y = f(x)与 y = g(x)有相同的定义域’且都不是常数函数’ 2f(x) 对定义域中任意 x ,有 f(x) + f( — x) = 0 , g(x)g(— x)= 1,且 X M 0 , g(x)z 1,贝 U F(x)= ［丿 g(x)— 13. (2009辽宁理, 9)已知偶函数 f(x)在区间［0 ,+3)上单调递增，则满足 B /1 D.f(x)在+ f(x)A •是奇函数但不是偶函数B •是偶函数但不是奇函数C •既是奇函数又是偶函数D •既不是奇函数也不是偶函数由条件知f( —x) = - f(x), g( —x)=2f( —x) —2f(x)••• F(—x)= + f( —x) = -7 —f(x)g(—x)—1 丄—1g(x)—f(x) g(x)—f(x) f(x)g(x) + f(x)= = =F(x) •1—g(x) g(x)—1答案B― 16. (2009丽水模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = 1 —2—：则不等式f(x)< —?的解集是A • ( — 3 —1)C • (1 ,+s )( )B. ( — 3,—1]D. [1 , )1解析当x>0时，1 —2-x= 1 —尹0与题意不符,当x<0 时，一x>0, • f(—x) = 1—2x,又••• f(x)为R上的奇函数，•f(—x)= —f(x),——f(x) = 1—2x,• f(x) = 2x—1,•- f(x)= 2 —〔< —2，• 2 <2，• x< —1,•不等式f(x)< —1的解集是(一「一1)・答案A二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2010福州模拟)已知函数y= f(x)为奇函数，若f(3) —f(2) = 1，贝U f(—2) —f( —3) = _____解析••• f(x)为奇函数且f(3) —f(2) = 1,• f( —2) —f( —3)= f(3) —f(2) = 1.答案1& (2010温州一模)设奇函数f(x)的定义域为［—5,5］，当x€ ［0 , 5］时，函数y = f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_____________ •解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在［-5,5］上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在［0,5］上的图象，得它在［-5,0］上的图象，如图所示•由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0) L(2,5) •解析答案(-2,0) U (2,5)9. (2009山东理，16)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4) =-f(x),且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(X)= m(m>0)，在区间［—8,8］上有四个不同的根X i ,X2,X3,X4,则X i+ X2 + X3+ X4= ___________ .解析因为定义在R上的奇函数，满足f(X—4) = —f(X),所以f(4 —X) = f(X) •因此，函数图象关于直线X =2对称且f(0) = 0,由f(x—4) =—f(x)知f(x—8)= f(x).又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(x)在区间［—2,0］上也是增函数，如图所示，那么方程f(x) = m(m>0)在区间［—8,8］上有四个不同的根X i, x?, X3, X4，不妨设X i<X2<X3<X4.由对称性知X1 + X2=—12, X3 + X4= 4，所以X i + X2 + X3 + X4=—12 + 4=一8.答案—8三、解答题(共40分)10. (13 分)(2010 杭州模拟)设函数f(x) = x2—2|x— 1 (—3< x< 3),(1) 证明f(x)是偶函数；(2) 画出这个函数的图象；(3) 指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(4) 求函数的值域.(1) 证明••• x€ ［—3,3］, A f(x)的定义域关于原点对称.2f( —x) = (—x) —2|—x|—1=x2—2|x| — 1 = f(x),即f( —x)= f(x) , A f(x)是偶函数.(2) 解当x> 0 时，f(x)= x2—2x— 1 = (x—1)2—2,当x<0 时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=厂2\ 爪 /(x -1) =2 (0 兰X 兰3)2丄x +1)2—2 (—3 Ex 兰0)根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.(3) 解函数f(x)的单调区间为[-3 , -1), [-1,0), [0,1), [1,3].f(x)在区间[-3 , -1)和[0,1)上为减函数，在[-1,0), [1,3]上为增函数.(4) 解当x> 0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2 ;当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].11. (13分)(2010湖州联考)已知f(x)是R上的奇函数，且当x€ ( —a, 0)时，f(x)=—xlg(2 —x)，求f(x)的解析式.解•/ f(x)是奇函数，可得f(0) = —f(0), A f(0) = 0.当x>0 时，一x<0,由已知f(—x)= xlg(2 + x),A— f(x) = xlg(2 + x), 即卩f(x) =—xlg(2 + x) (x>0).[—xlg(2 —x) (x<0),A f(x)=I— xlg(2 + x) (x> 0).即f(x) = —xlg(2 + |x|) (x€ R).2 a12. (14分)(2010舟山调研)已知函数f(x) = x + - (X M 0,常数a € R ). X (1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在[2 ,+^ )上为增函数，求实数 a 的取值范围. 解(1)当a = 0时，f(x)= x 2对任意 x € (—a, 0) U (0, + a ),有 f( — x)= (— x)2= x 2= f(x), ••• f(x)为偶函数.2 a当 a M 0 时，f(x) = x + X (X M 0，常数 a € R ), 若 x = ±1,贝y f(— 1)+ f(1) = 2M 0 ； • f( — 1) M — f(1), f( — 1) M f(1). •函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a = 0时，f(x)为偶函数； 当a M 0时，f(x)为非奇非偶函数. (2)设 2< X 1<x 2,2 a 2 a_f(X 1) — f(X 2)= X 1+ — — X 2 — ~X 1 — X 2要使函数f(x)在x € [2 , + a )上为增函数, 必须f(X 1)— f(X 2)<0恒成立.T X 1 — X 2<0 , X 1X 2>4 , 即 a<X 1X 2(X 1 + X 2)恒成立.又••• X 1 + X 2>4 , • X 1X 2(X 1 + X 2)>16 , • a 的取值范围是(一a , 16].X 1X 2[X 1X 2(X 1 + X 2)— a],§ 2.4 指数与指数函数定时检测练技巧练规范练速度、选择题（每小题7分，共42分） 1. （2010滨州一模）下列等式3 6a 3 = 2a ; C . 2个—34 2= 4 (— 3)4 云2中一定成立的有( )D . 3个=—32<0, 解析^6a 3 =館a 工2a ; ^（ — 2）2 =體=紡>0 , • 2 丰勺（—2）2; —34 2<0 , 4 （— 3）4x 2>0 , • 答案A—342工 4 (— 3)4x 2.2. （2009新乡模拟）函数f （x ）=ax-b 的图象如右图，其中 列结论正确的是 A . B . C . D . a >l , b <0 a>1, b>0 0<a<1, b>0 0<a<1, b<0 a、解析 由图象得函数是减函数， .'0<a<1. 又分析得，图象是由 y=ax 的图象向左平移所得， •b>0,即b<0.从而D 正确. 答案 D 3. （2010 •泽联考）已知函数y = 4x — 3X 2x + 3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是（A . [2,4]C . （0,1] U [2,4]解析 y =好—3 x 2x + 3= 2x — • 2x—严 • 2x 3 € •-2 —2 €B . ( —R, 0]D . (— R, 0] U [1,2]22+去⑴7】，1 25 | j4， 4 J5 11 -2， 2_ • 2x € [ — 1,1] U [2,4] , • x € 答案 D —T U "1(—R, 0] U [1,2].4. （2009温州模拟）定义运算: a*b =(a < b) (a>b)' 如1]A . R C . (0,1]B . (0 ,+R ) D . [1 ,+R )解析 f(x) = 2x *2 - x = 2x (x w 0).2 - x(x>0),.f （x ）在（—R, 0]上是增函数，在（0, +R ）上是减函数，• • 0<f(x )w1.答案 C15. (2009珠海模拟)若函数f(x) = 2x ^1，则该函数在(―汽+^ )上是 ( )A .单调递减无最小值B .单调递减有最小值C .单调递增无最大值D .单调递增有最大值1 1解析 令u(x) = 2x + 1,贝U f(u)=因为u(x)在(—8,+^)上单调递增且 u(x)>1，而f(u)=j 在(1,1上单调递减，故f(x) = -^ 在(—8, + 8)上单调递减，且无限趋于 0，故无最小值.2x + 1 答案 A1x 26. (2010湖州联考)函数y = 2n (2a — 3)—-的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个，根据你的判断, a可能的取值是1 A .2解析函数为偶函数，排除据图象先增后减的特征可知 2a — 3>1，即a>2，符合条件的只有 D 选项，故选D. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2009青岛一模)若f(x)= a —x 与g(x) = a x —a (a>0且a ^ 1)的图象关于直线 x = 1对称，则a = 解析 g(x)上的点P(a,1)关于直线x = 1的对称点P ' (2 — a,1)应在f(x)= a —x 上， --1 = a—. — a — 2 = 0,即 a = 2. 答案 2& (2010济宁调研)设函数f(x) = a —xi (a>0且a ^ 1)，若f(2) = 4,贝U f( — 2)与f(1)的大小关系是1解析 由f(2) = a- = 4，解得a = ,••• f(x) = 2|x|, ••• f( — 2) = 4>2 = f(1). 答案 f(— 2)>f(1)x/5 一 19. (2009江苏)已知a = 2—，函数f(x) = a x ,若实数 m 、n 满足f(m)>f(n),则m 、n 的大小关系为 _________ . 解析 ■/ 0<a = 5—1<1 , 函数 f(x)= a x 在 R 上是减函数.又 ；f(m)>f(n), • m<n.答案 m<n三、解答题(共40分)10. (13分)(2010临沂月考)已知对任意x € R ，不等式 实数m 的取值范围.解 由题知：不等式 2 x 2 + x> 2 2x 2— mx + m + 4 对 x € R 恒成立，• x 2 + x<2x 2— mx + m + 4 对 x 成立.• x 2— (m + 1)x + m + 4>0 对 x € R 恒成立. --△= (m + 1) — 4(m + 4)<0.23 B.2①②，又函数值恒为正值, 则排除④，故图象只能是③，再根C . 2D . 41>2x 2+ x—mx + m + 4恒成立，求--m —2m —15<0. - - —3<m<5.11. (13分)(2009中山一模)若函数y = a 2x + 2a x - 1(a>0且a 丰1)在x € [ — 1,1]上的最大值为14, 求a 的值. 解 令 a x = t ,「. t>0，贝U y = t 2 + 2t — 1= (t + 1)2— 2,其对称轴为 t =— 1•该二次函数在[—1, + g )上是增函数.① 若 a>1, T x € [ — 1,1] t = a x € 孑 a I,故当 t = a , 即卩 x = 1 时，y max = a 2 + 2a — 1 = 14, 解得a = 3(a =— 5舍去). ② 若 0<a<1, •/ x € [ — 1,1],_ 11 1二 t = a x € a , §，故当 t =舌，即 x =— 1 时， y max = 7+ 1— 2= 14.「. a = §或一5(舍去).1综上可得a = 3或§.(1) 求常数c 的值；x[2(2) 解不等式f(x)>§ + 1. 解(1)依题意 0<c<1, ••• c 2<c , f (c 2) = 9, • c 3 + 1 = 9,c =1§ 2.5 对数与对数函数\定时检测L练技巧练规范练速度一、选择题（每小题7分，共42分）1. （2009湖南文，1）log 2 .2的值为( )A . -2B. ,21C . — 21 D.2解析 log 2 .2= logzg =cx +1(0<x<c)12. (14分)(2009宁波模拟)已知函数f(x)=2—总+ 1 (c < x<1)29满足 f(c ) =⑵由(1)得f(x)=12 4x+ 1 矿 x<1)1 1 M2 当 0<x<1 时，jx + 1^^2+ 1, • 当1 w x<1 时，2 — 4x + 1>¥ + 1, 2 8 ._2 1'4 <x <2, c= 2. (°<x<2)由 f(x)>综上可知: • f(x)> + 1的解集为 8<X <J答案D2. (2009 •东文,4)若函数y = f(x)是函数y= a x(a>0,且a丰1)的反函数，且f(2) = 1,则f(x) = ( ) A.p B . 221C. log* D . log 2x解析函数y= a x(a>0，且a丰1)的反函数是f(x)= log a x，又f(2) = 1，即log a2= 1，所以a =2，故f(x) = log z x,故选 D.答案D3. (2009 •宁文，6)已知函数f(x)满足：当x>4 时，f(x) = 1 x；当x<4 时，f(x) = f(x+ 1)•则f(2 + log23)= ( )1 113A・2； B.石 C.8 %解析因为2+ log23<4，故f(2 + log23) = f(2 + log23 + 1) = f(3 + log23).又3+ log23>4, 故f(3 + log23)= ±3+ log23= £ ；卜答案A4. (2009 韶关第一学期期末)已知0<x<y<a<1, m= log a x+ log a y，则有()A . m<0B . 0<m<1C. 1<m<2D. m>2解析m= log a xy, •/ 0<x<y<a<1, /• 0<xy<a2<1.二m>log a a = 2.答案D5. (2010烟台一模)函数y= f(x)的图象如下图所示，则函数y= log^f（x）的图象大致是（）6. (2010绍兴模拟)函数y= log a|x+ b| (a>0, 1, ab= 1)的图象只可能是)A B C D解析由a>0, ab =1可知b>0,又y=log a|x+b|的图象关于x=-b对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B正确.答案B二、填空题（每小题6分，共18分）7. （2009江苏，11）已知集合A= {x|log2x w 2}, B = （—a），若A? B，则实数a的取值范围是（c,+8 ），其中c= ____________________________________________ .解析T log2x w 2, ••• 0<X W 4•又••• A? B, /• a>4,••• c= 4.答案43 1& （2009嘉兴第一学期期末）计算：［（—4） £+ Iog525= _______ .解析原式=（—4）1+ log552=— 4 + 2= — 2.答案—29. （2009台州第一学期期末）已知0<a<b<1<c, m= log a c, n= log b c，则m与n的大小关系是解析T m<0, n<0, m= log a c log c b = log a b<log a a= 1, • m>n.答案m>n三、解答题（共40分）1 1210. （13分）（2010巢湖一模）将下列各数按从大到小的顺序排列: Iog89, Iog79, log?3, log? 9,13 1 n2，2 •解log^29= （—log29）2= log%,在同一坐标系内作出y = log s x , y = log7X , y = log2x的图象如图所示，当x = 9时，由图象知log29>log79>log89>1 = log88 , • Iog29>log 79>log 89>1,2即log j 9 log 79 log 89 1.2•「y =(亍)在R上是减函数，1 31/1>^-) >(；) n >0.2 2又log3<0 ,2 13 1综上：log 19 log79 log 89(一) ( ) n log 13.2 2 2 211. (13分)(2009邵阳模拟)若函数y= lg(3 —4x + x5)的定义域为M.当x€ M时，求f(x)= 2x+ 2 —3 X 4x的最值及相应的x的值.解y= lg(3 —4x+ x2), /. 3—4x+ x2>0 ,解得x<1 或x>3 , ••• M = {x|x<1，或x>3},f(x)= 2x+ 2—3X 4x= 4X 2x—3X (2x)2.令2x= t, •/x<1 或x>3,• t>8 或0<t<2.• f(t)= 4t—3t2= —3(t—3 /+ 3(t>8 或0<t<2).由二次函数性质可知：当0<t<2 时，f(t) € 0, £,当t>8 时，f(x) € (― a,—160),5 4综上可知：当x= Iog2§时，f(x)取到最大值为3,无最小值.12. (14 分)(2009 四平期末)已知函数f(x) = 3x, f(a+ 2) = 18, g(x) = X3ax—4x的定义域为［0,1］.(1) 求a的值；⑵若函数g(x)在区间［0,1］上是单调递减函数，求实数入的取值范围.解方法一(1)由已知得3a+ 2= 18? 3a= 2? a = log32.x x(2) 由(1)得g(x)= X2 —4，设0W XKQ W 1,因为g(x)在区间［0,1］上是单调减函数，所以g(X1) —g(x2)= (2x1 —2x2)( X—2x2—2x”>0 恒成立，即X2x2+ 2x1 恒成立.由于2x2+ 2X1>2°+ 20= 2,所以，实数X的取值范围是X 2.方法二(1)由已知得3a+2= 18? 3a= 2? a = log32.(2)由(1)得g(x)= X2x—4x,因为g(x)在区间［0,1］上是单调减函数，所以有g' (x) = X n 2 2x—ln 4 4x2 2 4 当2x= t = 3，即卩X= log2§时，f(x)max==In 2[ — 2 (2x)2+ 入2x] w 0 成立.设2x= u € [1,2]，上式成立等价于—2u2+入U 0恒成立.因为u€ [1,2]，只需入w2u恒成立，所以实数入的取值范围是疋2.殳・6 —次函数、二次函数与幂函数定时检测一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2009菏泽重点中学阶段性练习)下列函数：①y= ② y= 3x—2;③ y= X4+ X2:④y = 3x2,X其中幕函数的个数为()A . 1B . 2C . 3D . 4解析•••①中y= x—3；④中y= x|符合幕函数定义；而②中y= 3x—2,③中y= x4+ x2不符合幕函数的定义.答案B9 *2. (2010淄博一模)函数f(x) = xin (n € N , n>9)的图象可能是9 9解析•/ f(—x)= |—xi；= x|n=f(x),•••函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、B.1 1令n = 18,则f(x)= |x|p当x>0时，f(x)= x》由其在第一象限的图象知选答案C3. (2009湖北理，9)设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度长速度与球半径(A •成正比，比例系数为cB •成正比，比例系数为2cC •成反比，比例系数为cD •成反比，比例系数为2c4 3 2C.c增长，则球的表面积的增)C D解析••• V = 3 n R(t)，••• V' (t) = 4 TR(t)R' (t) = c.c 2:R⑴=瑜二収皆4n R(t)，c 2c••• S' (t) = 8 冈t)R' (t) = 8刑)甸=丽答案D4. (2009云浮联考)函数f(x) = -x2+ (2a—1)|x|+ 1的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数a的取值范围是（）2 1 3A . a>3 B."2<a<21 1C. a>2D. a<2解析f(x) = —x2+ (2a —1)|x|+ 1是由函数f(x)=—x2+ (2a—1)x+ 1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象•因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)=—x2+ (2a—1)x+ 1的对称2a —1 1轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间•所以—>0，即a>&答案C5. (2009 •东实验中学第一次诊断)若0<a<1 , x>y>1，则下列关系式中正确的个数是()①a x> a y② x a>y a③ log a x>log a y ④ log x a>log y aA . 4B . 3 C. 2 D . 1解析■/ 0<a<1, x>y>1,二y= a x递减，故①不正确；y= x a递增，故②正确；y= log a x递减，故③不正确.log x a<0 , log y a<0,log x a>log y a? log a x<log a y，正确.综上，②④正确.答案C6. (2010莆田调研)已知函数y= log2(x2—2kx+ k)的值域为R，则实数k的取值范围是()A . (0,1) B. ( — 3 0] U [1 ,+s )C. [0,1)D. k= 0或k> 1解析要满足题意，t= x2—2kx+ k要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，••• A= 4k2—4k> 0.解得k> 1 或k< 0.答案B二、填空题(每小题6分，共18分)7. ___________________________________________________________________________ (2010临沂一模)当％€ {— 1, 1, 1, 3时，幕函数y= x a的图象不可能经过第 ______________________________ 象限.解析当x>0时，y>0,故不过第四象限；当x<0时，y<0或无意义.故不过第二象限.综上，不过二、四象限.也可画图观察.答案二、四& (2009吉林省实验中学一模)函数y= x+ 2 ,x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和M + N = _________ .解析令t= x€ [0,2] , • y= t2+ 2t = (t+ 1)2—1,在t € [0,2]上递增.•••当t = 0 时，N = 0,当t= 2 时，M = 8.「. M + N= 8.答案89. (2009泰安二模)已知(O.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是______________ . 解析•/ 0<0.71.3<0.7°=1,1.30.7>1.30= 1 ,1.3 0.7 1.3、m 0.7 m…0.7 <1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ),幕函数y= x m在(0 ,+s)上单调递增，故m>0.答案(0,+^ )三、解答题(共40分)10. (13分)(2010新疆和田联考)已知函数f(x) = (m6- m- 1) x「5m「7, m为何值时, f(x)：(1)是正比例函数；⑵是反比例函数；(3) 是二次函数；⑷是幕函数.解(1)若f(x)是正比例函数，4则—5m- 3= 1,解得m= —5,2 4此时m —m —1工0，故m=—.5⑵若f(x)是反比例函数，则—5m—3 =—1,2 2 2则m=—二，此时m—m —1工0,故m=—.5 56⑵当m=—*时，f(x)是反比例函数.⑶当m=—1时，f(x)是二次函数.⑷当m= 2或m=—1时，f(x)是幕函数.11. (13分)(2009汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通.根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数. (注：营运人数指火车运送的人数)解设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，16= 4k+ b, k=—2,则设t = kn+b.由解得、10 = 7k+ b 、b = 24.••• t=—2n + 24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y,贝U y= tn x 110X 2 = 440( —n2+ 12n),当n = 6时，总人数最多为15 840人.答每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人.12. (14分)(2009杭州学军中学第七次月考)已知函数f(x) = x2, g(x) = x— 1.(1) 若存在x€ R使f(x)<b g(x)，求实数b的取值范围；(2) 设F(x) = f(x)—mg(x) + 1 —m—m2,且|F(x)|在［0,1］上单调递增，求实数m的取值范围.⑶若f(x)是二次函数，则—5m —3= 2, 即m=—1，此时m2—m — 1 丰 0,故m=—1,⑷若f(x)是幕函数，贝U m2—m —1= 1, 即m2—m—2= 0，解得m= 2或m=— 1.4综上所述，(1)当m=—5时，f(x)是正比例函数.解⑴？ x€ R, f(x)<bg(x)?? x€ R, x2—bx+ b<0 ? (—b)2—4b>0? b<0 或b>4.2 2(2)F(x)= x —mx+ 1 —m ,2 2 2△= m —4(1 —m ) = 5m — 4.①当0,即一2; 5三m W 2； 5时，则必需5 52、5, ^2,5②当△ >Q 即m<—或m〉2^5时，设方程F(x)= 0 的根为X1, X2(X1<X2).-> 1若罗> 1,贝U x1< 0, 即卩2? m> 2;占(0) = 1 —m2w 0若m W 0,则x2W 0,即j 2F(0) = 1 —m > 05? —1 W n<—■；5综上所述：—1W m W 0或2.§ 2.7 函数与方程定时检测练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2010临沂模拟)设f(x)= 3x—x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A . [0,1]B . [1,2]C. [ —2, —1] D . [ —1,0]解析••• f(—1) = 3 —1—(—1)2= 3 — 1 = —2<0 ,0 2f(0) = 3 —0 = 1>0,••• f( —1) f(0)<0 , •••有零点的区间是[—1,0].答案D2. (2009天津理,A .在区间B .在区间C .在区间D .在区间14)设函数f(x)= 3X- In x(x>0)，则y= f(x) 1 , (1, e)内均有零点1 , (1, e)内均无零点1内有零点，在区间(1, e)内无零点1内无零点，在区间(1, e)内有零点A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根解析 本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根. 本题显然考虑第一种方法•如图，作出函数 y=|x|(x-1)的图象， 1由图象知当k€(,0)时，函数y=k 与y=|x|(x-1)有3个不同的交点, 4即方程有3个实根. 答案 A6. (2009 怀化调研)设 f(x)= x 3+ bx + c (b>0) ( — 1 < x < 1)，且 f — 丁 • 1<0 解析因为f e f(1) =31- J3 e e 因此f(x)在 £ 1内无零点.•3—1 =誌+1 >o ， 又 f(1) f(e)= 卜 1 — |n 1 - 3 e - In e = 1-^3<0.因此f(x)在(1, e)内有零点. 答案 D3. (2009福建文，11)若函数f(x)的零点与g(x) = 4x + 2x - 2的零点之差的绝对值不超过 0.25,则f(x)可以是 ()A . f(x)= 4x - 1 C . f(x) = e x - 12B . f(x) = (x - 1) D . f(x) = In解析•/ g(x)= 4x + 2x -2 在 R 上连续且 g(1) = 2+ 2-2 = 2-1<0, gg)1 1设 g(x) = 4x + 2x - 2 的零点为 x 0,则 4<x 0<2，=2+ 1 - 2 = 1>0.11 o<x 0-4<4，・1 X 。

巩固1．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6解析：选D.由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，故平均分为84×3＋86＋875＝85，方差为15[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.2．(2009年高考福建卷)一个容量为100的样本，其数据的分组A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：选C.由列表知样本数据落在(10,40]上的频数为52，频率为0.52.3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是( )A ．30B ．60C ．70D ．80解析：选C.底部周长小于110 cm 的频率：10×0.01＋10×0.02＋10×0.04＝0.7.周长小于110 cm 的株数为：100×0.7＝70.4．(原创题)在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小方形的面积由小到大构成等差数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．答案：1605．(2009年高考重庆卷)从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为(单位：克)：125 124 121 123 127则该样本标准差s ＝________(克)(用数字作答)．解析：∵x ＝15(125＋124＋121＋123＋127)＝124，∴s 2＝15[(125－124)2＋(124－124)2＋(121－124)2＋(123－124)2＋(127－124)2]＝4，∴s ＝2.答案：26．为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分(1)求出表中m ，n ，M ，N 所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率．解：(1)M ＝10.02＝50，m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N ＝1，n ＝m M ＝250＝0.04.(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图．(3)在153.5～157.5范围内最多，估计身高在161.5以上的概率为P ＝1050＝0.2.练习则该植物一年生长在[30,40)内的频率是()A．0.80B．0.65C．0.40 D．0.25解析：选C.由频率含义可计算其结果．由频率的定义得80÷(20＋30＋80＋40＋30)＝0.40.2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于()A．21 B．22C．23 D．24解析：选A.个数为偶数，因此中位数22＝x＋23 2，∴x＝21.3．在2008年第29届北京奥运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首．如图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图，则这十二个代表团获得的金牌数的平均数与中位数的差m的值为()A．3.5 B．4C．4.5 D．5解析：选B.由茎叶图中的数据可求得这十二个代表团获得的金牌数的平均数为17.5，中位数为13.5，故m＝4.4．如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字)，由图可知()A．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高B．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高C．甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高D．甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高解析：选A.求中位数时，必须先将这组数据从小到大或从大到小排列，数据的个数为奇数，则中位数是最中间的一个，若数据的个数为偶数，则中位数是最中间的两个数据的平均数，据此易知两人中位数和为18.2，又分析茎叶图可知乙数据分布比较集中，即乙的稳定性较高．5．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是()A．81.2,4.4 B．78.8,4.4C．81.2,84.4 D．78.8,75.6解析：选A.设原来的平均数为x.则x－80＝1.2，∴x＝81.2，方差不变．6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A．0.27,78 B．0.27,83C．2.7,78 D．2.7,83解析：选A.组距＝0.1,4.3～4.4之间的频数为100×0.1×0.1＝1.4．4～4.5之间的频数为100×0.1×0.3＝3.根据前4组频数成等比数列，则4.6～4.7之间的频数为1·(3 1)3＝27.∴最大频率a＝27100＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且有100－13＝87(人)，设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87，∴d ＝－5，所以b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78.7．如图所示是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：(1)样本数据落在[5,9)内的频率是 ；(2)样本数据落在[9,13)内的频数是 .解析：该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力．频率＝频率组距×组距＝0.08×4＝0.32，频数＝频率×样本容量＝0.09×4×200＝72.答案：0.32 728．(2009年高考辽宁卷)某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解析：由于三个厂的产量比为1∶2∶1 ，所以从三个厂抽出产品比例也应为1∶2∶1.所以100件产品的使用寿命平均值为980×1＋1020×2＋1032×14＝1013. 答案：10139．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12，13.7，18.3,20，且总体的中位数为10.5，平均数为10.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．解析：这10个数的中位数为a ＋b 2＝10.5.这10个数的平均数为10.要使总体方差最小，即(a－10)2＋(b－10)2最小．又∵(a－10)2＋(b－10)2＝(21－b－10)2＋(b－10)2＝(11－b)2＋(b－10)2＝2b2－42b＋221，∴当b＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2取得最小值．又∵a＋b＝21，∴a＝10.5，b＝10.5.答案：a＝10.5，b＝10.5(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？解：(1)众数200，中位数220，平均数x＝1×2200＋6×250＋5×220＋10×200＋1×10023＝300.(2)平均数受数据中的极端值的影响较大，这个平均数是从一名工资极高(是工人工资的11倍)的经理和其他四类员工的周工资计算出来的，它不能客观地反映该工厂的工资水平．11．(2009年高考安徽卷)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,42 7,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,40 1,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解：(1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．12．(2009年高考宁夏、海南卷)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.生产能力分组[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P ＝110×110＝1100.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．②x A＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。

巩固1．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A.12B.34C.58D.38解析：选D.cos2α＝1－2sin 2α，∴14＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝38，故选D.2.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2αC ．1 D.12解析：选B.原式＝2sin2α1＋cos2α·1＋cos2α2cos2α＝sin2αcos2α＝tan2α. 3．已知α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于( )A.π3 B ．－π3C ．±π3D ．±π6解析：选B.sin β－sin α＝sin γ＞0，cos α－cos β＝cos γ＞0，则(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，且β＞α，即cos(α－β)＝12(0＜α＜β＜π2)，则α－β＝－π3，故选B.4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 解析：依题意，可知 sin15°cos15°＝sin15°cos 215°＋sin 215°cos15° ＝22sin30°sin(15°＋45°)＝68.答案：685．(原创题)已知sin θ＝45，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________.解析：∵sin θ＝45，cos θ－sin θ＋1<0，即cos θ<－15，∴cos θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.答案：－24256．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )·sin 2(π4＋x ).解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2·sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x )＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x )＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x .练习1．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝() A.425 B ．－425 C.325 D ．－325解析：选D.∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35，∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2) ＝2cos α＝－325.2．化简2＋cos2－sin 21的结果是( )A ．－cos1B ．cos1C.3cos1 D ．－3cos1解析：选C.2＋cos2－sin 21＝1＋2cos 21－sin 21＝3cos1.3.已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin(x＋y )的值是( )A ．1B ．－1C.13D.12解析：选A.∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角， ∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝π2，∴sin(x ＋y )＝1.4．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210 B.210C.5210D.7210解析：选A.由tan α＋1tan α＝103⇒(tan α－3)(3tan α－1)＝0得tan α＝3或tan α＝13，由α∈(π4，π2)得tan α>1，故tan α＝13舍去，而sin(2α＋π4)＝22×sin2α＋cos2α1＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α，将分式分子与分母同除以cos 2α得sin(2α＋π4)＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－210.5．已知cos A ＋sin A ＝－713，A 为第四象限角，则tan A 等于( )A.125B.512C ．－125D ．－512解析：选C.cos A ＋sin A ＝－713<0，∵cos A >0，sin A <0，∴|sin A |>cos A ，∴|tan A |>1.又∵tan A <0，故选C.6．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( )A ．－13B ．－79C.79D.13解析：选B.∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝1－2×(13)2＝79，∴cos(23π＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－79.7．化简2sin2x ·sin x ＋cos3x 的结果为________．解析：原式＝2sin2x sin x ＋cos(2x ＋x )＝2sin2x ·sin x ＋cos2x cos x －sin2x ·sin x＝cos2x ·cos x ＋sin2x ·sin x＝cos(2x －x )＝cos x .答案：cos x8．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2. 又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)·tan α＝43. 答案：439．在△ABC 中，已知cos(π4＋A )＝35，则cos2A 的值为________．解析：cos(π4＋A )＝cos π4cos A －sin π4sin A ＝22(cos A －sin A )＝35，∴cos A －sin A ＝325>0.① ∴0<A <π4，∴0<2A <π2，①2得1－sin2A ＝1825，∴sin2A ＝725.∴cos2A ＝1－sin 22A ＝2425.答案：242510.已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解：(1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1. (2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310， f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，所以f (x )的最大值为 5.11．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β ＝22cos β＋22sin β＝13.∴cos β＋sin β＝23.∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. ∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.12．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连结BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？解：设∠P AB =α，连结PB . ∵AB 是直径，∴∠APB =90°.又AB =1，∴P A =cosα，PB =sinα.∵PC 是切线，∴∠BPC =α.又PC =1， ∴S 四边形ABCP =S △APB +S △BPC。

解析：由 Iog 2a<0? 0<a<1，由 >1? b<0，故选 D.3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向下平移 3个单位长度，再向下平移x + 3答案：A- 1 b5. (2009 湖南高考)若 log 2a<0, £) >1，则() B . a>1, b<0 D . 0<a<1, b<0对数与对数函数 分值：100分 时间：45分钟 、选择题(每小题5分，共30分) 1.若函数y = f(x)的图象与函数y = Iog 2.x — 1的图象关于直线y = x 对称，则f(x — 1)=( ) B . 4x + A . 4x C . 2x 1 解析： 答案： 2. (2010深圳调研)若函数f(x)= log a (x + b)的图象如图1，其中 致图象是 函数 y = Iog 2 x — 1 的反函数为 y = f(x)= 4x + 二贝U f(x — 1)= 4x ,故选 A. A a , b 为常数，则函数g(x)= a x + b 的大 由题意得0<a<1,0<b<1，则函数g(x) = a x + b 的大致图象是 D. 答案：D 3. (2009北京高考)为了得到函数y = lg x + 3 盍的图象，只需把函数y = Igx 的图象上所有的点 解析：由 y = lg 石得 y = lg(x + 3)— 1, F 平移一个单位得 y = lg(x + 3) — 1的图象.故选 C. 答案：C4. (2009 全国卷 n )设 a = Iog 3 n b = Iog^/3, c = log^2，则 A . a>b>c B . a>c>b C . b>a>c D . b>c>a 1 由y = Igx 图象向左平移3个单位，得y = lg(x + 3)的图象，再向 1 q 解析：a = |og 3 n >1, b = Iog 2 .3 = ?log 23 € ?，1 c = log s ,2 = *log 32 € 0,12，故有 a>b>c.A .向左平移B .向右平移C .向左平移D .向右平移 1个单位长度1个单位长度1个单位长度1个单位长度 A . a>1 , b>0C . 0<a<1, b>0答案：D6. 函数f(x)= log a (x 1 2 — ax + 2)在区间(1 ,+^ )上恒为正值，则实数 a 的取值范围为() A . (1,2)B . (1,2] 5C . (0,1) U (1,2)D . (1 , 2) 2 2 解析：当 a>1 时，x — ax + 2>1，即 x — ax + 1>0 在 x € (1 , + ^ )上恒成立 /• 1— a + 1 > 0二 a < 2./• 1<a < 2;2 2 2当 0<a<1 时，0<x — ax + 2< 1，即 x — ax + 2>0 且 x — ax +1 < 0 在 x € (1, +)上恒成立，无解.综上，1<a < 2,故选 B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)2 7. 方程 Iog 3(x — 10)=34 + |og 3X 的解是 _____________ .解析：log 3(x — 10)= log 33x ,3x>02x — 10>0 ，解得 x = 5 或 x =— 2(舍去).—10= 3xx = 5a>0, a 丰1,函数f(x) = log a (x 2— 2x + 3)有最小值，则不等式log a (x — 1)>0的解集为 ••• x 2— 2x + 3= (x — 1)2 + 2>0 恒成立.—2x + 3开口向上有最小值. • log a (x — 1)>log a 1 , x — 1>0 等价于，• x>2.x — 1>1•••不等式的解集{x|x>2}.1解析：•/ 2x w 256,且 log 2x > 寸，• 2< x < 8, • gxW 3,• f(x) = (log 2x — 1)(log 2X — 2)2=(log 2x) — 3log 2x + 23 2 1=(log 2X — 2) — 4，.1— =1 3-2三 l°g 2x w 3，而 2<2<3,Q•当 log 2x = 2，即卩 x = 2 一2时，1f(x)取得最小值为一4；当log 2x = 3,即x = 8时，f(x)取得最大值为2.1答案：2 —-4答案： &设 解析： 2 y = x•答案：{x|x>2}9 •已知x满足2x w 256，且log2x>扌，则函数f(x)= log z^log 2；的最大值和最小值分别为10. (2009南昌调研)已知函数y= f(x)的图象与函数y= a x(a>0, a丰1)的图象关于y = x对称，记g(x) =1f(x)［f(x) + f(2) - 1］.若y= g(x)在区间［q, 2］上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解.2由已知条件切入,g(x)= log a X(log a X+ log a2 —1) = (log a x) + (log a2 - 1)log a X.1①当0<a<1时，y= u= log a x为减函数，则g(u) = u2+ (log a2- 1)u在［Iog a2, log a?］上也为减函数，于是亠log a2— 1 1 1有- -- 2 ----- 》log a^? °<a W ^.2 1②当a>1时，y= u= log a x为增函数，则g(u)= u + (log a2 —1)u在［log a^, log a2］上也为增函数，于是有log a2 —1 1 1——2 w loga1? a€ ?，由①②得 a € (0, 2］.1答案：(0,才三、解答题洪50分)11. (15分)设P :关于x的不等式2|x|<a的解集为？，Q:函数y= lg(ax2—x+ a)的定义域为R.如果P 和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.解：P: •/ 2x|> 1,且不等式2M<a的解集为？，••• a w 1.Q: ax —x+ a>0 恒成立.①若a= 0，则—x>0(不符合题意，舍去)；a>0, 1②若0，则？ a>》△= 1 —4a2<0 2••• P和Q有且仅有一个正确，• P真Q假或者P假Q真.1若P真Q假，则a w 1;若P假Q真，贝U a>1.1综上可得，所求a的取值范围为(一a, 2］U (1 ,+^).12. (15 分)已知函数f(x)= 3x+ k(k为常数)，A( —2k,2)是函数y = f—1(x)图象上的点.一1(1) 求实数k的值及函数f (x)的解析式；⑵将y= f—1(x)的图象按向量a = (3,0)平移，得到函数y= g(x)的图象，若2f—1(x^. m—3) —g(x)> 1恒成立，试求实数m的取值范围.解：(1) •/ A( —2k,2)是函数y= f— 1(x)图象上的点，• B(2, —2k)是函数y= f(x)上的点.•- —2k= 32+ k, • k= —3, • f(x) = 3x—3.•- y= f- (x)= Iog3(x+ 3)(x>—3).1(2) 将y= f-(x)的图象按向量a= (3,0)平移，得到函数y= g(x)= log3x(x>0),要使2f—1 (x+ . m—3) —g(x)> 1 恒成立，即使2log3(x+ .m) —log3x> 1 恒成立.•••有x+ m+ 2 m> 3在x>0时恒成立，x只要(x+ m + 2 - m) min》3.又x + mm>2 m(当且仅当x= m，即x= 时等号成立)，「.(x+ —+ 2 m)min = 4 m, x x x即4 m》3. ■/ m>磊.q•••实数m的取值范围为【16，+ s)•13. (20分)(2010衡水模拟)已知集合P= ［1, 2］,函数y= Iog2(ax2—2x+ 2)的定义域为Q.(1)若P A Q M ?，求实数a的取值范围；1⑵若方程Iog2(ax2—2x+ 2) = 2在［?, 2］内有解，求实数a的取值范围.解：(1)若P A Q M ?，则在x€ ［1, 2］内，至少有一个值x使得ax2—2x+ 2>0成立，1 —2 2、即在x€ ［-, 2］内，至少有一个值x使得a>—厂+ 2成立.2 x x、九 2 2 112 1设尸—x2+厂—2(x —2) +2，1 1当x€【2, 2］时，让［—4, 2】• • a> — 4.所以实数a的取值范围是{a|a> —4}.2 1⑵方程Iog2(ax2—2x+ 2) = 2在転,2］内有解,2 1则ax2—2x— 2 = 0在纭，2］内有解.1 2 2即在x€ ［-, 2］内有值x使得a = -2+ 2成立，2 x x尸x2+2= 2(-+ 2)2— 2.“XX x 2 213 3当x € 転,2］时，让［2，12］, • a € 転,12］.3所以实数a的取值范围为a€纭,12］.。