高中文科数学练习第2章第11节第1课时函数的导数与单调性含解析人教版A版.docx

§1.3 导数在研究函数中的应用§1.3.1 函数的单调性与导数(1)学习目标：1. 会用导数，求函数的单调区间；2. 会用单调性，证明不等式；3. 会用求导法则，构造函数，得单调性.一．选择题：1.下列函数中，在区间），（∞+0上单调递增的是（） A.2x y -= B.x y 2sin =C.x xe y =D.x x y --=32.若在区间),b a （内有0)(/>x f ，且0)(≥a f ，则在),(b a 内有（ ）A.0)(>x fB.0)(<x fC.0)(=x fD.不确定3.已知函数)(x f y =,)(R x ∈在点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调减区间为（ ）A.),1+∞-（B.)3,(-∞C.)1,(--∞D.），（∞+3 4.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)(/>x f ，则42)(+>x x f 的解集为（）A.)1,1(-B.),1(+∞-C.)1,(--∞D.),3(+∞5.已知函数)(x f 的定义域是),3[+∞-，且=)6(f2)3(=-f ，)(/x f 为)(x f 的导函数，函数)(/x f 的图像如图所示. 若正数b a ,满足2)2(<+b a f则23-+a b 的取值范围是（ ） A.）3,23(- B.),3()29,(+∞⋃-∞ C.）3,29(- D. ),3()23,(+∞⋃--∞二．填空题：6.函数x e x y -⋅=的单调增区间是7.如果函数a ax x x f (,12)(23++=为常数）的递增区间是)0,(-∞及),2(+∞，递减区间是)2,0(，则=a8.给出下列区间：①）23,2(ππ ②)2,ππ（ ③ )25,23(ππ ④)3,2(ππ 其中是函数-=x x y cos x sin 的单调递增区间的是9.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且,0)1(=-f 当0>x 时，0)(2)()1(/2<-+x xf x f x ，则不等式0)(>x f 的解集为三．解答题：10.求函数221)1()(x e x x f x --=的单调区间.11.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ，讨论函数)(x f 的单调性。

第1课时函数的单调性定义域为I的函数f(x)的增减性,有以下3个特征任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；有大小，通常规定x1<x2；属于同一个单调区间．单调性与单调区间在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数(－5，－3)∪(－1,1)D．(－5，－3)，(－在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象如图所示，则上是增函数B．函数上是减函数D．函数函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，利用定义证明函数单调性的步骤利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在，x 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且的增区间是(－∞，1]，[2上为增函数，且f(2m8．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下： 设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[能力提升](20分钟，40分)11．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (1)<f (2)<f (3)，则函函数的大致图象如图所示，单调增区间为)．－1,1]上的增函数，且。

第2讲函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[注意]有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、习题改编1．(必修1P39A 组T1改编)函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数解析：选C.作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2．(必修1P31例4改编)函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错； (3)自变量的系数影响函数的单调性．1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B.设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 ．解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，所以m ≤2. 答案：(－∞，2]3．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则m 的取值范围为 ． 解析：要使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1， 所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意]判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2 ]和(1，1＋ 2 ]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x 在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．函数的最值(值域)(师生共研)(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为 ．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1，的最大值为 ．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：22．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝ ．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：6函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为 ．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1， 所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 ．【解析】 由题意知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，（a －2）×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，138利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D.2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B.因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2， f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为 ．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6核心素养系列3 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养以函数的单调性为出发点，以增函数、减函数的定义为依据，通过数学运算、比较、分类讨论、综合分析，提高逻辑推理的能力，迅速解题．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.【解】(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.令f(x)在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．抽象函数问题中需注意以下三点：(1)注意函数的定义域，树立定义域优先的观念．(2)注意函数性质的综合应用，如函数的奇偶性、周期性等．(3)利用“抽象函数具体化”，列举出符合条件的具体函数或画出其图象来分析求解．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，则x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．[8，9]D ．(0，8)解析：选B.2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9.[基础题组练]1．(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B. y ＝2－x C ．y ＝log 12xD ．y ＝1x解析：选A.对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，因此函数y ＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A.32 B ．－83C ．－2D ．2解析：选A.函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x＜0或0＜x ＜1.故选C.4．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是 ．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝ ．解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a ]⊆(0，＋∞)，所以f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a，所以12＋1a ＝34，所以a ＝4.答案：48．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为 ．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为0<x 2<x 1≤1，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0. 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，当x ＝1时取得最大值1. 所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a <0时，f (x )＝2x ＋－ax ，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D.由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D.2．(创新型)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时，取得最大值，h (2)＝1. 答案：13．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2.。

课时作业7 函数的单调性与导数(2)知识点一已知函数单调性求参数的值或取值X 围 1.函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)答案 B解析 ∵f (x )＝x 3＋ax －2，∴f ′(x )＝3x 2＋a . ∵由已知，f ′(x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥－3x 2在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥－3.2．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，则m 的取值X 围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 由题意知f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立．令g (x )＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，则g ′(x )＝14x － 32 .因为g ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有g ′(x )>0， 所以g (x )max ＝g (1)＝－12，所以m ≥－12.故选A.3．已知f (x )＝2ax －1x2，若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值X 围为________．答案 [－1，＋∞)解析 由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立，而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.4．已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，某某数a 的取值X 围． 解 f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a ＞0，解得a ≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增.知识点二利用单调性比较大小5.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3) D ．f (2)<f (e)<f (3)答案 D解析 f ′(x )＝12x ＋1x ，∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 又2<e<3，∴f (2)<f (e)<f (3)，故选D.6．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 C解析 令g (x )＝x ·f (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0, ∴g (x )在R 上是增函数． 又∵a ，b 为常数且a <b ， ∴g (a )<g (b )，即af (a )<bf (b ). 知识点三含参数的函数的单调区间7.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，求b ，c 的值； (2)已知f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，某某数a 的取值X 围．解 (1)∵函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1≤x ≤2是不等式3x 2＋2bx ＋c ≤0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，－1×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程3ax 2＋1＝0有两个不相等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝02－4×3a ×1>0，∴a <0，即实数a 的取值X 围为a <0.一、选择题1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值X 围是( )A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)．令x －9x ≤0，解得0＜x ≤3，即函数f (x )在(0,3]上是减函数，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0.又f ′(x )>2， ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.5．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D 解析 令F (x )＝f xg x，则F (x )为奇函数， F ′(x )＝f ′x g x －f x g ′xg 2x.∵当x <0时，F ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)内为增函数． 又F (3)＝f 3g 3＝0，∴F (－3)＝0.∴当x <－3时，F (x )<0； 当－3<x <0时，F (x )>0. 又F (x )为奇函数， ∴当0<x <3时，F (x )<0； 当x >3时，F (x )>0. 而不等式f (x )g (x )<0和f xg x<0为同解不等式(g (x )恒不为0)， ∴不等式f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 二、填空题6．函数f (x )＝x ln (ax )(a <0)的递减区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e ，0 解析 ∵f (x )＝x ·ln (ax )(a <0)， ∴f ′(x )＝x ′ln (ax )＋x ·[ln (ax )]′ ＝ln (ax )＋x ·1x＝ln (ax )＋1.令f ′(x )<0，得ln (ax )<－1， ∴ax <1e ，又∵a <0，∴x >1a e ，且原函数定义域为(－∞，0)，∴f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e ，0.7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值X 围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知π3<x 0≤π2，因为f (－x )＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以－π2≤x 0<－π3也满足条件． 8．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值X 围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得1≤k <32.三、解答题9．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试某某数a 的取值X 围．解 解法一：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1， 由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0， 即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7. 综上，实数a 的取值X 围为[5,7]． 解法二：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，依题意，得f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，且f ′(x )≥0在[6，＋∞)上恒成立，即a －1≥x 在[1,4]上恒成立，且a －1≤x 在[6，＋∞)上恒成立，解得5≤a ≤7.故所某某数a 的取值X 围为[5,7]．10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值X 围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值X 围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1，所以a >－1. (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)．所以a ≥－716.。