初二数学整式的乘法12.13

注意：(1) 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式； (2) 运用单项式乘法法则进行计算时,不能与合并同类项混淆; (3) 只在一个单项式里面含有的字母，计算时不要遗漏.
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例1 计算： (1) (－5a2b)(－3a)；
(2) (2x)3(－5xy2)．
解：(1) (－5a2b)(－3a)
解：(1) (－5a2b)(－3a) = 16ab2-4b3 ; (1) 对于三个或三个以上的单项式相乘，单项式乘法法则同样适用；
= x -2x+2x-4+x-x 2 2 如图把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
你能总结出多项式与多项式相乘的运算法则吗？ 注意：多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏. =3x2+6x+x+2
(2) 单项式乘以单项式，若有乘方、乘法混合运算，应按“先乘方再乘法”的运算顺序进行； (1) (3x+1)(x+2)；
ac ∙bc =(a∙b)(c ∙c )=abc =abc . 你能总结出多项式与5多项式2相乘的运算法则吗？5 2
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
5+2
7
连同它的指数直接作为积的因式
课堂导入
光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的 时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少 吗？
地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102) .
新知探究 知识点1 单项式与单项式相乘
怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用
到哪些运算律及运算性质？ (3×105)×(5×102)

整式的乘除第13章（二）整式的乘法：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数①同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：a m×a n＝a m+n（m、n都是正整数）.（都是正整数）使用同底数幂的乘法法则时，应注意：（1）公式中的字母a既可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；（2）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍成立，即（m，n，p都是正整数）；（3）只有“同底数”的幂相乘才能用这个法则.底数是相反数的幂相乘时，应先化为同底数幂的形式，再用同底数幂的乘法法则，转化时要注意符号问题。

-a2n+1与（-a）2n+1：-a2n 与（-a）2n 的区别（4）注意逆用公式:（m，n都是正整数）.②幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（a m）n＝a mn（m、n都是正整数）．③积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积．即：（ab）n=a n·b n（是正整数）幂的运算有四个重要公式：①a m a n=a m+ n② (a m)n=a m n③( a b)n=a n b n ④a m÷a n=a m－n。

逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：①a m+ n = a m a n②③a n b n=( a b) n ④a m-n= a m÷a n。

相同点幂运算种类指数运算种类公式诊断幂运算的“弊病”①用错同底数幂乘法法则；a m a n=a m+ n②用错幂的乘方法则；a m n= (a m)n③用错积的乘方法则；( a b)n=a n b n④用错同底数幂除法法则；a m÷a n=a m-n⑤错误地逆用法则。

①a m+ n= a m a n②③a n b n=( a b) n ④a m-n= a m÷a n。

整式乘法的几何意义一、正确理解单项式乘以单项式的运算法则观察图1可知，大长方形是由9个形状、大小相同的小长方形组成，其面积为3a×3b＝9ab，可见两个单项式3a与3b相乘，只要把这两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a与b相乘.从而验证了单项式与单项式相乘的法则.二、正确理解单项式乘以多项式的运算法则观察图2可知，大长方形是由三个小长方形组成，其长是b+c+d，宽是a，那么其面积为a（b+c+d），又这三个小长方形的面积和是ab+ac+ad，则有a（b+c+d）＝ab+ac+ad，可见这个结果是运用乘法的分配律即可得到.从而验证了单项式与多项式相乘的法则.三、正确理解多项式乘以多项式的运算法则观察图3可知，大长方形是由四个小长方形组成，其长是a+b，宽是c+d，那么其面积为（a+b）（c+d），又这四个小长方形的面积和是ac+ad+bc+bd，则有（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，可见这个结果是把a+b（或c+d）看成一个整体，利用单项式乘以多项式的法则得到的.从而验证了多项式与多项式相乘的法则④单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘单项式的运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②相同字母因式，利用同底数幂的乘法相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；④单项式与单项式相乘，积仍是一个单项式；⑤单项式乘法法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．（都是正整数）⑤单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式．2．利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号，运用法则计算时，一定要强调积的符号．（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号；4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．⑥多项式与多项式相乘1．多项式乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式每一项，再把所得的积相加。

第11讲整式的乘法1、同底数幂的乘法：a m·a n＝a m+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、幂的乘方法则：（a m）n＝a mn（m，n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘方法则：（ab）n ＝ a n·b n（n为正整数）积的乘方=乘方的积4、单项式与单项式相乘法则：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指数不变作为积的因式注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式（3）要注意运算顺序5、多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（注意：项是包括符号的）注意点（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。

6、乘法公式一：平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。

乘法公式二：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾27、a m÷a n==a m－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

8、① a0=1（a≠0）② a－p=1/a p（a≠0，p是正整数）③用科学记数法表示较小的数如：即0.000 ……01=10－n9、单项式相除除以单项式（1）系数相除（2）同底数幂相除（3）只在被除式里的幂不变多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

20米 30米 x 米例1 2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700(a －1)米，三峡坝区的传递路程为(881a ＋2309)米．设圣火在宜昌的传递总路程为x 米．用含a 的代数式表示s ，并求当a=11时s 的值．析解：首先根据题意列出代数式，再去括号合并同类项，最后代入求值．因为s=700(a －1)＋(881a ＋2309)=700a －700＋881a ＋2309=1581a ＋1609，所以当a=11时，s=1581×11＋1609=19000(米)．二、幂的运算在生活中的应用例2 一种被污染的液体中每升含有2.4×1013个有害细菌，为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现一滴杀菌剂可以杀死4×1010个有害细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？（15滴=1毫升）析解：先算出1毫升杀菌剂可杀死有害细菌的数量，再用每升被污染的液体含有的有害细菌个数除以1毫升杀菌剂可杀死有害细菌的数量，即可解决问题．(2.4×1013)÷(4×1010×15)= (2.4÷4÷15)×(1013÷1010)=0.04×103=40（毫升）．答：要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂40毫升．三、整式的乘法在生活中的应用例3 某少年宫准备在一块长为30米，宽为20米的长方形场地上建造一个游泳池，使四周人行道的宽都是x 米，如图所示，请求出该游泳池的面积是多少平方米？析解：观察图形发现，游泳池的面积等于游泳池的长乘以游泳池的宽．而游泳池的长为(30－2x)米，游泳池的宽为(20－2x)米．所以游泳池的面积为：(30－2x) (20－2x)= 30×20－30×2x －2x ×20+2x ×2x=600－60x －40x+4x 2=4x 2－100x+600(平方米)． 答：该游泳池的面积是(4x 2－100x+600)平方米．四、整式的除法在生活中的应用例4 某玩具生产厂有9个生产部门，现在每个部门原来某种玩具一样多，每个部门每天生产的该玩具数量也一样多，有甲、乙两组检验员，其中甲组有检验员8名，他们先用2天将第一、二部门的所有玩具（指原来的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、四部门的所有玩具，有用去了3天时间；同时用5天的时间，乙组检验员也检验完余下的5个部门的所有玩具，如果每个检验员速度一样快，如果每个部门原有玩具a 件，每个部门每天生产玩具b 件．（1）试用a 、b 表示乙组检验员检验的玩具数量；（2）求乙组检验员的人数．析解：要求乙组检验员的人数，可用乙组1天检验的总件数除以1名检验员1天检验的件数．又因为甲、乙两组每个检验员速度一样快，所以可借助甲组计算检验的速度，从而解决问题．（1）乙组检验的5个部门原有玩具5a 件，5个部门5天生产25b 件玩具，所以乙组共检验（5a+25b ）件玩具．（2）甲组前2天检验的总件数为2（a+2b ），后3天检验的总件数为2（a+5b ），因每个检验员速度一样，所以2（a+2b ）÷2=2（a+5b ）÷3，即a=4b ．所以甲组1名检验员1天检验的件数为2（a+2b ）÷（2×8）=12 b ÷16=43b ．根据每个检验员速度一样，得乙组检验员的人数为（a+5b ）÷43b=9b ÷43b=12（人）．例5 计算2)(b a +错解：2)(b a +=22b a +分析：错解的原因是将两数和的平方与两数的积的乘方相混淆。

1. 先化简,再求值: (2a-3)(3a+1)-6a(a-4)，其中a=2
2.化简： (2x-1)(-3x)-(1-3x)(1+2x)
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3.解方程： (x+3)(x-3)-x(x-6)=3
4.若（x+a)(x+b)中不含x的一 次项，则a与b的关系是（ ） （A）a=b=0 （B）a-b=0 （C）a=b≠0 （D）a+b=0
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思考：：
•将（a+b)c=ac+bc中的c 换成（m+n),你看到了什 么？
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计算:
多项式与多项式相 乘的结果中,要把 同类项合并.
(1) (3x+1)(x+2)
(2) (x-8y)(x-y)
（3）(x+y)(x2 –xy+y2 )
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•(2)你能很快说出与 (x+a)(x+b)相等的多项 式吗？
• 先猜一猜，再用多项式相乘的
运算法则验证。
(x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab
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(3)根据(2)中结论计算：
(1) (x+1)(x+2)= x2+3x+2 (2) (x+1)(x-2)= x2-x-2 (3) (x-1)(x+2)= x2+x-2 (4) (x-1)(x-2)= x2-3x+2