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傅里叶变换

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傅里叶变换的物理意义是

傅里叶变换的物理意义是

傅里叶变换的物理意义是
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。

在物理学中，傅里叶变换非常重要，因为它可以用来描述和分析许多物理现象。

具体而言，傅里叶变换的物理意义包括以下几个方面：
1. 频域分析：傅里叶变换可以将一个信号分解成不同频率的成分，
这在物理学中非常有用。

例如，当我们研究声波、光波、电磁波等波动现象时，可以通过傅里叶变换将信号分解成不同频率的谐波，从而更好地理解和分析它们的特性。

2. 滤波和去噪：在信号处理和通信领域，傅里叶变换可以用来实现
滤波和去噪。

通过对信号的傅里叶变换，我们可以找到信号中频率较高或较低的成分，并根据需要进行滤波，从而去除不必要的噪声。

3. 热传导：傅里叶变换在热传导方程中也有重要的应用。

通过对温
度分布的傅里叶变换，可以将热传导方程转化为一组独立的方程，从而更好地描述物体的热分布。

4. 量子力学：傅里叶变换在量子力学中也有广泛的应用。

例如，在
描述波函数时，傅里叶变换可以将波函数从位置空间转换为动量空间，
这对于研究原子和分子的行为非常重要。

总之，傅里叶变换在物理学中具有广泛的应用，它不仅能够帮助我们更好地理解和分析物理现象，还可以为我们解决一些实际问题提供有力的数学工具。

常用傅里叶变换表

常用傅里叶变换表

常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号，从而帮助我们更好地理解和分析信号的特征。

为了方便使用，人们总结出了一些常用的傅里叶变换对，形成了常用傅里叶变换表。

傅里叶变换的基本思想是将一个复杂的信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。

这就像是把一道混合了各种食材的大菜分解成各种单一的原料，让我们能够更清楚地了解每一种成分的特性。

首先，让我们来看看单位冲激函数δ(t) 的傅里叶变换。

单位冲激函数在 t ＝ 0 处取值为无穷大，在其他时刻取值为 0，其积分值为 1。

它的傅里叶变换是 1，也就是说，在频域中，它是一个常数。

这一结果从某种程度上反映了单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的强度相同。

再来看常数信号 c 的傅里叶变换。

假设常数信号在整个时间轴上都取值为 c，那么它的傅里叶变换是2πcδ(ω)，其中δ(ω) 是频域中的单位冲激函数。

这意味着常数信号在频域中只在ω ＝ 0 处有值，其他频率处的值均为 0。

接着是指数函数 e^（at)u(t)（其中 a ＞ 0，u(t) 是单位阶跃函数）的傅里叶变换。

它的傅里叶变换是 1/（a ＋jω)。

这个变换结果表明，指数函数的频率特性随着 a 的增大而衰减得更快。

对于正弦函数sin(ω₀t)，它的傅里叶变换是πjδ(ω ω₀) jδ(ω ＋ω₀)／2 。

而余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀)／2 。

这两个结果反映了正弦和余弦函数在频域中只在±ω₀处有值，体现了它们的频率单一性。

矩形脉冲函数 rect(t/T)（在 T/2 到 T/2 之间取值为 1，其他地方取值为 0）的傅里叶变换是T sinc(ωT/2)，其中 sinc(x) ＝ sin(x) ／ x 。

这个变换结果展示了矩形脉冲的频谱是一个 sinc 函数的形状，其主瓣宽度与脉冲宽度 T 成反比。

常用傅立叶变换表完整版

常用傅立叶变换表完整版

常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。

5 傅里叶变换的二元性性质。

通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。

矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。

11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。

14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

常见傅里叶变换对照表

常见傅里叶变换对照表

常见傅里叶变换对照表常见傅里叶变换对照表傅里叶变换是一种将信号从一个域（时间域或空间域）转换到另一个域（频率域或波数域）的方法，它在各个领域中都有广泛应用。

下面是一份常见傅里叶变换对照表，供大家参考。

一、离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）离散时间傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为频率域信号的方法。

它在数字信号处理、通信等领域广泛应用。

DFT可以通过FFT（快速傅里叶变换）算法高效地实现。

二、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）快速傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的算法。

它是DFT的一种优化，能够在O(n log n)的时间复杂度内完成。

FFT在图像处理、语音信号处理、音频信号处理等领域都有广泛应用。

三、离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）离散余弦变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它在数字信号压缩、音频信号处理、图像处理等领域中广泛应用。

DCT与DFT相比，具有更好的压缩性能，因此在多媒体领域中更常用。

四、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种将信号分解成多个不同频率的小波形式的方法。

它在信号处理、压缩、去噪、模式识别等领域中被广泛用于分析。

五、海森矩阵变换（Haar Transform）海森矩阵变换是小波变换的一种变体，它将输入信号分解成长度为2的小块，并对每个小块进行平均和差分运算。

海森矩阵变换在压缩、减少存储需求等方面有应用。

综上所述，傅里叶变换及其衍生算法在数字信号处理、音频信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛的应用。

不同的变换方法适用于不同的信号处理任务，因此了解不同的变换方法及其应用场景是十分必要的。

常见傅里叶变换

常见傅里叶变换

常见傅里叶变换
傅里叶变换又称法拉第变换，是一种基于叠加原理将时域信号转换成频域信号的数学
工具，一般用来描述在时间域无法用数学方法描述的复杂信号等的特性。

它把给定的信号
表示成一系列的及时频率，有助于研究信号的振幅及相位，是信号处理中最常用的工具之一。

常见的傅里叶变换包括离散傅里叶变换（DFT）、正变换、反变换、快速傅里叶变换（FFT）等。

离散傅里叶变换（DFT）是将离散时间信号T(t)变换成离散频率信号X(f)。

其定义式
为X(f)=∫T(t)*e-i2πftdt，其中T(t)表示时域信号，X(f)表示频域信号，i为虚数单位，f为频率。

它的好处是可以将一个信号分解成一组简单的正弦波，方便理解信号的特性。

正变换又称快速点变换（FPT），它是由DFT发展而来的，它的基本思想是将一个复
杂的信号分解成若干个要素，然后将它们每个要素分别变换，最后叠加得到最终的频域信号，公式为X(f)=∑_i=1^N T(ti)*e-i2πftdi，其中T(ti)表示时域信号，X(f)表示频域
信号，i为虚数单位，f为频率，N为要素个数。

这种方法可以有效利用硬件，减少计算量。

dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系

dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换(DFT)、Z变换和离散傅里叶变换(DTFT)是数字信号处理领域中常用的数学工具。

尽管它们的数学形式和实际应用略有不同，但它们之间存在紧密的联系。

首先我们来看离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。

对于一个离散时间序列x(n)，DFT 将其表示为一组离散频谱X(k)，其中k表示频域中的离散频率。

DFT通过计算输入序列x(n)和一组复数旋转因子的点乘来实现。

在数学上，DFT的表达式如下：N-1X(k) = Σx(n)*e^(-j2πkn/N)n=0其中，N表示离散时间序列的长度，k表示离散频率的编号。

接下来我们来看Z变换。

Z变换是一种将序列转换为复数域表示的数学工具。

Z变换通过对序列x(n)中的每个样本进行加权求和，并使用复数变量Z来表示其变换结果。

Z变换的数学表达式如下：∞X(Z) = Σx(n)Z^(-n)n=0其中，X(Z)表示Z域中的复数函数，x(n)表示离散时间序列的样本值，Z表示复杂变量。

离散傅里叶变换(DFT)和Z变换之间存在紧密的联系。

如果我们将离散时间序列x(n)看作是一个去掉复杂变量Z的Z变换结果，那么离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换的特殊情况。

实际上，当变换的因子Z被设置为单位圆上的离散点时，离散傅里叶变换(DFT)和Z变换是等价的。

这时，离散傅里叶变换(DFT)可以用Z变换的形式表示：X(Z)|z=exp(-j2πk/N) = X(k)这个等式表示，当复数变量Z被设置为复数旋转因子z=exp(-j2πk/N)时，离散时间序列的Z变换结果X(Z)等于离散傅里叶变换(DFT)的离散频谱表示X(k)。

离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶变换(DTFT)之间也存在联系。

离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换(DTFT)的一种抽样。

离散傅里叶变换(DTFT)是将离散时间序列转换为连续频域表示的数学工具。

常用的傅里叶变换 定理 各种变换的规律(推荐)


GG ( P )
sin(Sx) comb( x)
comb( P )
rect( x) tri( x)
cir (r )
sinc( P )
sinc 2 (P ) J1 ( U )
1
一、δ 函数的傅里叶变换： 设： [δ ( x )] = ∆ ( u ) ，
由卷积定理知： 等号两边作 傅里叶变换：
[g ( x )] = G ( u)
H fx
˄˅⴨լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` ˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ 1 § fx · F ^g ax ` G¨ ¸ ࡉᴹ a © a ¹ ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
G f x
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` G f x ࡉᴹ F ^g x a ` G f x exp j 2Sf x a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ⴨〫
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
结论:余弦函数的傅里叶变换是 δ 函数组合
-u0
0
u0
8
u
六、三角形函数的傅里叶变换
推导 一 维 情 况
F [Λ ( x )] = ?
已知
Λ ( x ) = rect( x ) ∗ rect( x )

= F [rect( x )] •F [rect( x )]
F [ Λ ( x )] = F [rect( x ) ∗ rect( x )] = sinc( u) • sinc( u)

傅里叶变换的五种不同形式

傅里叶变换的五种不同形式标题：傅里叶变换的五种不同形式导论：傅里叶变换是一种基础且重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。

它通过将函数表示为频域上的复指数函数的线性组合来描述一个函数。

本文将介绍傅里叶变换的五种不同形式，深入探讨它们的定义、性质和应用，旨在帮助读者对傅里叶变换有更全面、深刻和灵活的理解。

第一种形式：连续傅里叶变换（CTFT）1. 定义与性质：介绍CTFT的定义和性质，包括线性性、平移性、尺度性等。

解释连续傅里叶变换在时域和频域之间的转换关系。

2. 应用举例：说明CTFT在信号处理中的应用，包括信号滤波、频谱分析等。

详细解释如何使用连续傅里叶变换分析一个信号的频谱特性。

第二种形式：离散傅里叶变换（DFT）1. 定义与性质：介绍DFT的定义和性质，包括线性性、周期性等。

解释离散傅里叶变换与连续傅里叶变换之间的关系。

2. 应用举例：说明DFT在数字信号处理中的应用，包括图像压缩、频谱分析等。

详细解释如何使用离散傅里叶变换对一个离散信号进行频谱分析。

第三种形式：快速傅里叶变换（FFT）1. 定义与原理：引入FFT的定义和原理，解释为什么快速傅里叶变换可以大大提高计算效率。

2. 应用举例：介绍FFT在信号处理和图像处理中的广泛应用，包括音频信号处理、图像滤波等。

详细解释快速傅里叶变换如何在这些应用中提高计算效率。

第四种形式：多维傅里叶变换（NDFT）1. 定义与性质：介绍多维傅里叶变换的定义和性质，包括线性性、平移性等。

2. 应用举例：说明多维傅里叶变换在图像处理和空间频率分析等领域中的应用。

详细解释如何使用多维傅里叶变换对二维图像进行频谱分析。

第五种形式：短时傅里叶变换（STFT）1. 定义与原理：介绍短时傅里叶变换的定义和原理，解释其在非平稳信号分析中的重要性。

2. 应用举例：说明短时傅里叶变换在语音信号处理和音频分析中的应用。

详细解释如何使用短时傅里叶变换来分析非平稳信号的频谱特性。

傅立叶变换及幅值谱


对于零均值化的信号，第一项为零。而在满足采样定理的情 况下最后一项为零：
mn mn jm jm x(n) X (m) e exp( j 2 ) X (m) e exp( j 2 ) N N m 1
N 1 2
x ( n)
N 1 2
N 1 2 m 1
N 1
（ n N-1） N 1 n X (N-1) x(n) exp( j 2 )= x( n) exp( j 2 n j 2 ) N N n0 n0 N 1 n x(n) exp( j 2 ) N n0
N 1
K=1与N-1的X(k)是共轭对，与k=2与N-2也是,….. 。再看
x(nt ) X (k f ) exp( j 2 k fnt )f
k 0
N 1
1 1 f T N t
N 1
X (k )
X (k f ) ts
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
在Matlab中，假设有时域信号 x(n) （n=0,1,…N-1），对应的 时间是0,dt,2dt,….(N-1)dt。对x(n)进行DFT，即 fft(x) 得到
mn mn X (m) exp( j 2 +m + exp( j -2 -m N N
mn = 2 X (m) cos 2 + m N m 1
可见与第m个频率分量对应的幅值是
2 X (m)
X (m) x(n) exp( j 2
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
K=1与N-1的
kn exp( j 2 ) N n exp( j 2 ) N n( N 1) n) kn exp( j 2 ) exp( j 2 n j 2 ) exp( j 2 ) N N N
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h rect( x) → h sin 1 ω /(π ω) 2
rect'( x) → i sin 1 ω /π 2
rect( x − a) → e−iaω sin 1 ω /(π ω ) 2
rect( x) ∗ rect( x) = rect(ξ )rect( x − ξ )dξ
2 = (1− | x |)rect( x / 2) → 2 sin 2 1 ω /( π ω ) 2
F ( p) = ∫ exp(− p x) f ( x)dx
0
∞
1 σ +i∞ f ( x) = F ( p ) exp( p x )dp ∫ 2π i σ −i∞
返 回

卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)； f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ

对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性； 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。

傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
y
F (k x , k y ) =
1 ( 2π )
∫∫
∞
−∞
e
−i ( k x x + k y y )
f ( x , y ) dxdy
v v v v v v 令r = xi + yj , k = kxi + k y j
v f (r ) =
v F (k ) =
∫∫
v i kv ⋅ rv v F (k )e dk

应用意义

把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频 率，函数值为对应的振幅。
物理意义
把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。

物理实现
分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪； 记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。
傅里叶变换

例题2
• 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅里叶积分。 • 解： • 先求出 f (t) 的傅里叶变换
1 F (ω) = 2π 1 = 2π
∫ ∫
∞
−∞ T
exp(−iω t ) f (t )dt
−T
exp(−iω t)hdt =
h sinωT
πω
代入傅里叶积分公式，得
f (t ) = a0 +
1 2
∑
∞ n =1
(an cos
nπ t L nπ t L
nπ t L
+ bn sin
nπ t ) L
1 an = L 1 bn = L
∫
L
−L L
f (t ) cos f (t ) sin
dt , dt
∫
−L
傅里叶级数
推广2
问题：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后

傅里叶变换

傅里叶变换的性质
一般假定

f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω)
奇偶虚实性
f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数

线性性质
k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
数学物理方法傅里叶变换傅里叶变换§5-1 §5-2 §5-3 傅里叶级数 傅里叶积分与变换 狄拉克函数 本章小结
傅里叶级数

三角级数
定义

由周期为2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数
1 2
a0 + ∑n =1 (a n cos nx + bn sin nx)
∞

基本函数族
• 组成：1，cos(nx)，sin(nx) • 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；
exp(−iωn x) f ( x)dx exp(−iω x) f ( x)dx
1 展开系数： F (ωn ) = 2π

∫
L
−L
取极限：
1 F ω = ( ) • 傅里叶变换： 2π
傅里叶积分：
∫
∞
−∞
f ( x) =
∫
∞
−∞
F (ω ) exp(iω x)dω
傅里叶变换
例题1

矩形函数的定义为
−
1
π
bn =
f ( x) sin nxdx ∫ π π
−
1
π
狄利克雷收敛定理
• 收敛条件 • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； • 在一个周期内至多只有有限个极值点。 • 收敛结果 • 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； • 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。
傅里叶级数
问题：

把定义在（－∞，∞）中的非周期函数 f (x)展开； 把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令 L→∞； 展开公式 展开系数：
思路：

实施：

f ( x) =
1 cn = 2L
∑
∫
L −L
∞
n = −∞
c n exp( i
nπ x ) L
exp(−i
nπ x ）f ( x)dx L
∫π
−
π
cos nx cos mxdx = 0， cos nx sin mxdx = 0
∫π
−
π
sin nx sin mxdx = 0， n ≠ m
∫π
−
π
傅里叶级数

傅里叶展开
傅里叶展开定理：
周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数， 展开式系数为

an =

f ( x) cos nxdx, ∫ π π

困难
• 展开系数 cn 为无穷小； • 幂指数 nπx/L 不确定。
傅里叶变换
解决方法：
把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π.

公式的新形式：

展开公式：
f ( x) =
∑
∞ n = −∞
F (ω n ) exp(iω n x)Δω n
1
( 2π ) 2
∫∫
e
v v − i k ⋅r
v v f (r )dr
傅里叶变换
推广3

傅里叶变换的收敛条件:|F(ω)|≤∫|f(x)|dx<∞ 问题：最简单的函数如多项式不满足傅里叶变换的条件； 方法：对傅里叶变换中的参数ω进行延拓， 定义 p =σ+iω，其实部为正数； 同时把变换的区域改成右半轴。
1 F (ω) = 2π
∫
∞
−∞
exp(−iω t ) f (t )dx
f (t ) =
∫
∞
−∞
F (ω ) exp(iω t ) dω
傅里叶变换
推广2

问题：多元函数的傅里叶变换 公式：
f ( x, y ) =
∫∫
∞
−∞
F (k x , k y )e
2
i(kxx+k y y )
dk x dk
展开举例

对称函数
奇函数：
an = 0, bn =
an = 2
π∫
2
π
0
f ( x) sin nxdx

偶函数：
π
∫
π
0
f ( x ) cos nxdx , bn = 0
• 典型周期函数(周期为2π)
函数
sgn(x) x |x|
展开式
(4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +…) 2 (sin x − sin2x/2 + sin3x/3 − sin4x/4 + sin5x/5 +…)

分析性质

f ’(x) → iωF(ω)；
x −∞
∫
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ； exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)

相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a； f(x/b)/b → F(bω) 。
⎧1, | t |< 12 rect (t ) = ⎨ 1 ⎩0, | t |> 2
• 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅里叶变换。 • 解： ∞
X (ω) =
1 2π 1 = 2π
∫ ∫
−∞
exp(−iω t) x(t)dt
T1
−T1
exp(−iω t)dt =
sinωT1
πω
傅里叶级数
推广3
问题：把定义在 [0, L] 上的函数 f(x)展开； 方法：先把它延拓为[-L, L]上的奇函数或偶函数， 再按推广2把它延拓为周期函数， 最后按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。 公式： f e ( x ) = f (| x |) f o ( x ) = sgn( x ) f (| x |)