CT图像重建技术

CT图像重建技术

CT图像重建技术

000

计算机层析成像(Computed Tomography，CT)是通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术，涉及到放射物理学、数

学、计算机学、图形图像学和机械学等多个学科领域。CT技术不但给诊断医学

带来革命性的影响．还成功地应用于无损检测、产品反求和材料组织分析等工业领域。CT技术的核心是由投影重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的投

影数据反求出成像平面上每个点的衰减系数值。图像重建的算法有很多，本文

根据CT扫描机的发展对不同时期CT所采用重建算法分别进行介绍。 第一代和

第二代CT机获取一个单独投影的采样数据是从一组平行射线获取的，这种采样

类型叫平行投影。平行投影重建算法一般分为直接法与间接法两大类。直接法是直接计算线性方程系数的方法，如矩阵法、迭代法等。间接法是先计算投影

的傅立叶变换，再导出吸收系数的方法，如反投影法、二维傅立叶重建法和滤

波反投影法等[1]。

2.1 直接法

2.1.1 矩阵法

设一个物体的内部吸收系数矩阵为：

(1)

为了求得该矩阵中的元素值，我们可以先计算该矩阵在T个角度下的T组投影值 ,如设水平方向时 ,则：

(2)

同样其它角度下也有类似方程，把所有方程联立得到求解，即可求得

所有u值。

通常情况下，由于联立方程组的数目往往不同于未知数个数，且可能

有不少重复的方程，这样形成的不是方阵，所以一般不满秩，此时需要利用广

义逆矩阵法进行求解。

2.1.2 迭代法

实际应用中，由于图像尺寸较大，联立的方程个数较多，采用直接采用解析法难度较大，因此提出了迭代重建方法。迭代法的主要思想是：从一个

假设的初始图像出发，采用迭代的方法，将根据人为设定并经理论计算得到的

投影值同实验测得的投影值比较，不断进行逼近，按照某种最优化准则寻找最

优解[2]。

通常有两种迭代公式，一种是加法迭代公式[2]：

（3）

另一种是乘法迭代公式[2]：

(4)

两式中 是相邻两次迭代的结果； 是某一角度的实测投影值， 是计算

过程的计算投影值, 是投影的某一射线穿过 点的点数，即计算投影值的射线所

经过的像素的数目， 是松弛因子。

用乘法迭代可能收敛快些，但用得少些，因计算机加法运算的速度比

乘法运算速度快。

当迭代公式采用（3）式时，就是通常所说的代数重建技术（Algebraic reconstruction technique，ART），通常使用的还有其它几种迭

代方法，如同步迭代技术(Simultaneous iterative reconstruction

technique,SIRT)[3]，该方法主要是为了使重建图像对噪声不敏感，它是与

ART并行的一种迭代重建算法，与ART不同的地方在于SIRT算法每次迭代对每个像素的校正值,不是只与一条投影数据有关,而是通过该像素的所有投影数据

的误差值的累加,这是SIRT算法能有效地抑制测量数据中噪声的根本原因，该

算法的另一优点在于算法总是收敛的，但是它的收敛速度比较慢，并且SIRT算

法重建后的图像还存在一定程度的模糊效应。共轭梯度重建(Conjugate

Gradient Method ,CGM)[3]实际上就是利用共轭梯度法求解上述方程，即在用

迭代法求解方程过程中每次都用共轭向量作为搜索方向，从而快速逼近方程的最优解。该方法不需要预先估计任何参数，并且每次迭代所需的计算，主要是

向量之间的运算，便于并行化。另外，相关的的迭代重建算法有：基于最小二

乘法的重建方法[3]，极大似然估计法[3]等。

2.1.3 两种方法优缺点比较

矩阵法是利用线性代数理论来求解吸收系数矩阵，方法比较直观，而

且其求解速度通常要比迭代法要快，但是它最大问题就是适用性差，尤其当图

像尺寸较大时，求解过程变得异常困难。迭代法很好地解决了矩阵法所面临的问题，并且这种方法还有一个优点就是能很容易地把与空间几何相关的、与测

量值条件相关的各种校正因子添加到计算过程中。

2.2 间接法

2.2.1反投影法

经典断层成像中认为，底片上一点的像A全部由该点密度所贡献，而这些贡献与像的值成正比，因此A点的像的值就可认为是该点密度f的量度。

因此反投影算法利用相同的思想，它的基本思想是：断层平面中某一点的密度

值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值[4]。利用（1）（2）

式中所作假设，算法可描述如下：

（5）

式中， 是指在某个角度 下经过像素点 的射线得到的投影值，T为投影角度的个数

反投影算法是一种比较简单，且易于理解的算法，但由于反投影法是

把从各个方向上得到的投影看作为这个方向上的象素具有同等贡献，邻近结构

对反投影图像中所有点的密度都要产生影响，包括原先像素值为零的点，因此会产生星状伪迹。

2.2.2二维傅里叶重建算法

二维傅里叶重建的基本思想是：一个二维图像的一维投影的傅立叶变换精确地等于过该图像的傅立叶变换中心的直线。当旋转投影角度时，其傅立

叶变换的过中心的直线随之旋转[4]。其具体证明如下：

设f(x,y)表示需要重建的图像，用p(t,θ)表示在角度获取的f(x,y)的一个平行投影，t表示投影射线到对称中心（即旋转中心）的距离，设s为

于角度θ下的投影X射线平行的坐标轴，它与t所在的坐标轴垂直，则：

(6)

对p(t,θ)进行一维傅里叶变换

(7)

将（6）代入（7）式得到

(8)

由于图像坐标系xoy和投影坐标系tos之间存在以下关系：

t = x cosθ+y sinθ (9)

s = ycosθ - xsinθ (10)

将（9）（10）式代入（8）得到

（11）

图像f(x,y)的二维傅里叶变换为F(u,v)

(12)

令u = w cosθ, v = w sinθ,则

F(wcosθ,wsinθ)=P(w,θ) (13)

u = w cosθ, v = w sinθ即定义了一条通过原点与u轴成θ角的直

线。

如果在0到 之间采集足够多的投影，既可以填满重建图像的傅里叶空间，在通过反傅里叶变换就可以恢复原来图像。

尽管二维傅里叶重建方法为CT成像重建提供了一个直接方案，但是在真正的实现过程中还存在一些难题，首先，离散情况下，所获得的数据为极坐

标形式的离散值，为了执行二维傅里叶反变换，必须将极坐标形式的数据内插

成直角坐标系形式的数据，但是频域空间的插值对图像质量的影响非常大，因

此需要开发出高级的插值算法。另一方面，二维傅里叶重建法不适用于局部目

标进行重建。

2.2.3滤波反投影重建算法

2.2.3.1滤波反投影的原理

滤波反投影实际上是在反投影的基础上先进行卷积运算。采用滤波反

投影重建图像的具体过程是，先把由检测器上获得的原始数据与一个滤波函数

进行卷积运算，得到各方向卷积的投影函数；然后再把它们从各方向进行反投影，即按其原路径平均分配到每一矩阵元上，进行叠加后得到每一矩阵元的CT

值；再经过适当处理后就可以得到被扫描物体的断层图像，卷积反投影可消除

单纯的反投影产生的边缘失锐效应，补偿投影中的高频成分和降低投影中心密

度，并保证重建图像边缘清晰和内部分布均匀[5]。

算法的具体原理如下：

由傅里叶变换知，图像函数f（x,y)可以通过其傅里叶反变换F(u,v)中恢复，即

(14)

令 u = w cosθ, v = w sinθ，并根据(13)式

(15)

利用对称关系P(w,θ+ π) = P(-w,θ),(14)式变为

(16) 如果令 (17)

则(16)式重写为

(18)

上述(17)(18)就是滤波反投影的主要公式，(17)中的|w|表示滤波函数。

2.2.3.2滤波器的设计

在滤波反投影重建算法中，滤波函数的设计是关键。理想的滤波器是

频带无限的V型滤波函数，在无穷积分区间上的积分发散，根据佩利一维纳准则 ，这一理想滤波器是不可实现的。但是如果结合具体的成像过程,则不但能

够实现，而且可以达到足够的精度。为此，需要对理想滤波函数进行加窗处理，

即只保留滤波函数的低频段。常用滤波器如下几种

Ramp-Lak滤波器，它实际上是直接截断V型滤波器高频部分的结果，该滤波函数的特点是形式简单．重建的图像轮廓清楚。缺点是由于在频域中用

矩形窗函数截断了滤波函数，在相应的空域中会造成振荡响应．即Gibbs现象

[5]。

把Ramp-Lak滤波器与sin(x)/x进行卷积，就得到Shepp-Logan滤波器。用Shepp-Logan滤波器重建的图像中振荡相应较小，对含噪声的数据重建

出来的图像质量也较Ramp-Lak滤波函数要好。但是由于该滤波函数在高频段偏

离了理想的滤波函数|w|，因而重建图像在高频段的响应不如R-L滤波函数[5]。

其它常用滤波器还有Hamming滤波器，它是通过Ramp-Lak滤波器与Hamming窗进行卷积而得到。Hanning滤波器，它实际上是Ramp-Lak滤波器与

Hanning窗进行卷积。

2.3 直接法和间接法的比较

直接法适合于不完全投影数据的图像重建，重建质量好。尤其是在投

影数据较少时，重建图像的密度分辨率高，也能保证较好的空间分辨率；其次，

重建算法简单，适用于不同格式的采样数据重建；另外还可以结合一些先验知

识进行求解。但是直接法中迭代法的计算量大，重建时间长，因此限制其在医

学领域的应用。

间接法缺点是对投影数据的完备性要求较高，从数学上讲，只有获得

被检物体的完全投影数据后才能精确重建其切片图像，但是其重建速度较快，

尤其是滤波反投影很容易用软件和硬件实现，而且在数据质量高的情况下可以重建出比较准确清晰的图像，在平行投影时导出的滤波反投影公式可以用不同

的方法修改以适应于扇形扫描投影的情况[6]，由于它具有以上特点，因此广泛

应用于医学领域。在后面的实验中将对上述两种重建方法进行比较。

3.扇形束CT的重建

由于平行束CT装置扫描时间太长，因此这样的扫描方式只能用来进行

断层扫描，不能用来观察动态脏器，而且速度太慢，限制了医学应用，为了提

高扫描数据采集的速度而从第三代以后的CT改用扇束扫描[4]。

扇形束CT投影如图1所示，其中S代表光源， 代表扇束的中间射线

SO与y轴的夹角， 表示扇束内任意与中间射线的夹角，D表示光源到原点O的

距离。扇形束重建公式如下：

（19）

其中 tm对应平行投影中投影射线到即旋转中心的距离

为扇束投影

图1 扇形束CT投影

4.螺旋CT的重建

4.1 螺旋CT介绍

螺旋CT（Spiral CT ,SCT）是指X线球管及探测器在不间断扫描和数

据采集期间，扫描床持续同步前移CT装置，其X线扫描轨迹为一螺旋形曲线，

可以一次收集到扫描范围内全部容积的数据，故又称螺旋容积扫描[7]。