高中数学必修二 期中测试卷02(参考答案)

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二数学期中复习题（第一学年）1、是边长为4的菱形线段到的距离是4，则点到的距离是_______________2、如图，正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的大小是____________________3、设直角三角形所在平面外一点到直角顶点的距离是，到两直角边的距离均为，则点到平面的距离是__________；与平面所成角大小是_____________4、设二面角为，，且与所成角为，，则到平面的距离是_____________5、如图，正方形与正方形所在的平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为__________________6、如图，长方体中，若棱，则直线与平面的距离是_____________7、是边长为正方形，，且，则到侧面的距离等于________________；8、两个等腰三角形与的公共底边，，且二面角为，则点与间的距离为____________9、如图，是二面角棱上一点，分别在上引射线，如果，那么二面角的大小是____________________10、已知长方体的底面是边长为的正方形，高为，求点到平面的距离为__________________11、正三棱柱所有棱长都是3，是的中点，则到的距离是______________12、若斜三棱柱的侧棱长为，侧棱与底面的交角为，则此棱柱的高为________________13、下面四种几何体必为长方体的是（）（A）直平行六面体（B）侧面都是矩形的棱柱（C）底面是矩形的直棱柱（D）两对角面是全等的矩形的直四棱柱14、棱柱成为直棱柱的一个必要而非充分条件是（）（A）棱柱有一条侧棱与底面垂直；（B）棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；（C）棱柱有一个侧面是矩形且它与地面垂直；（D）有二个相邻的侧面垂直于底面。

15、四棱柱为长方体的一个充要条件是（）（A）底面为矩形（B）侧面为正方形（C）底面为菱形（D）侧面、底面都为矩形16、过一长方体同一个顶点的三个面对角线长分别是，那么这个长方体的对角线长是（）（A）（B）（C）（D）17、右图是一个正方体的'表面展开图，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和的夹角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）18、平面则与所成角为19、若长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的叫分别是则20、如图：正方体中，分别为和的中点，那么与所成角的大小为21、已知线段的长为4cm，点到平面的距离为1cm，点到平面的距离为2cm，那么线段所在的直线与平面所成角的大小为22、已知二面角的大小为，垂足为，且那么直线与平面所成角的大小是23、已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，，，求异面直线所成的角的大小。

高一下期数学期中测试题一、选择题（ 12×5 分＝ 60 分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

D.2、下列命题中错误的是： （ ）A. 如果 α⊥β，那么 α 内一定存在直线平行于平面 β；B. 如果 α⊥β，那么 α 内所有直线都垂直于平面 β；C. 如果平面 α 不垂直平面 β，那么 α 内一定不存在直线垂直于平面D. 如果 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝ l, 那么 l ⊥γ .β；D ’C ’’’’’A ’B ’3、右图的正方体 ABCD-A B C D中,异面直线 ’所成的角是（ ）AA 与BCA. 30B.45C. 60D. 90D’’’’C4、右图的正方体 ABCD- A B C D中，’）AB二面角 D -AB-D 的大小是（A. 30B.45C. 60D. 905、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b= 5;C.a= 2,b=5;D.a= 2 ,b=5.6、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点 P(4,-1) 且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为 a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是： （ ）A.a; B.a; C. 2 a ; D. 3 a .329、已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm, 高为 4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗） ，那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm;B.4cm ;C.4cm;D.8cm。

新人教版高中数学必修第二册期中检测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(－1，3)，若a ∥b ，则m 等于( ) A. 3 B.－ 3 C.33 D.－33 答案 B解析 由题意得1×3－m ×(－1)＝0，∴m ＝－ 3. 2.已知i 为虚数单位，z ＝41＋i ，则复数z 的虚部为( )A.－2iB.2iC.2D.－2 答案 D解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ，则BE →·EA →等于( )A.－2B.－1C.1D.2 答案 B解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0) E (0,1)，BE→＝(－2,1)，EA →＝(0，－1)，BE →·EA→＝－1. 4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i 为虚数单位，在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 由题意可得11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，则其共轭复数为12－12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12位于第四象限.5.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，则BF →等于( ) A.－34a ＋12b B.34a －12b C.12a －34b D.12a ＋34b 答案 A解析 如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12AD →＋14AB →－AB →＝12b －34a .6.在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( ) A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ＝22， ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(2a )2－b 22a ·(2a )＝22，∴a 2＝b 2，则a ＝b ，∴A ＝B ＝π4， ∴C ＝π2，∴△ABC 为等腰直角三角形.7.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|BC →|的最小值是( ) A.2 B.4 C.2 3 D.12 答案 C解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝－12|AB →||AC →| ＝－2⇒|AB→||AC →|＝4， |BC→|＝|AC →－AB →|⇒|BC →|2＝|AC →－AB →|2 ＝|AC→|2＋|AB →|2＋4≥2|AB →||AC →|＋4＝12， 当且仅当|AC →|＝|AB →|时取等号， 所以|BC→|≥2 3. 8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b 在b 上的投影为( )A.2B. 3C.1D.－1答案 A解析 a ＋b 在b 上的投影为 (a ＋b )·b |b |＝a ·b ＋b 2|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＋11＝2.9.已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 答案 A解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ， 因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.10.已知点O 是△ABC 内一点，满足OA →＋2OB →＝mOC →，S △AOBS △ABC＝47，则实数m 为( ) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案 D解析 由OA →＋2OB →＝mOC →得13OA →＋23OB →＝m 3OC →， 设m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →， ∴A ，B ，D 三点共线， 如图所示，∵OC→与OD →反向共线， ∴|OD →||CD →|＝m m －3， ∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →|＝m m －3＝47，解得m ＝－4.11.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状不可能是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案 ABD解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形.12.设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2<0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0答案ABD解析设z＝a＋b i，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2ab i，对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为a sin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B 成立；λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i 是虚数单位，则复数3＋i1－3i ＝________，其实部为________.答案 i 0解析 3＋i 1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝3＋9i ＋i ＋3i 210＝i ，其实部为0. 15.已知向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝3，则θ＝________. 答案 π6解析 由题意，利用向量的夹角公式，得cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，又由θ∈[0，π]，∴ θ＝π6.16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC →＝λAD →＋μAB →，则λ＋μ＝________. 答案 32解析 因为EC →＝ED →＋DC →＝12AD →＋AB →，所以λ＋μ＝12＋1＝32. 17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为___________.答案 80 5解析 由已知，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC ＝15°，由正弦定理，得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)，在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC ＝30°，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，∴BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12 ＝160sin 15°＝40(6－2)；在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12 ＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20， 解得AB ＝805，则两目标A ，B 间的距离为80 5. 三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z ＝3＋m i (m ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数. (1)求复数z ；(2)若z ＝(2－i)w ，求复数w 的模|w |. 解 (1)(1＋3i)·(3＋m i)＝(3－3m )＋(9＋m )i ， ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3m ＝0，且9＋m ≠0， ∴m ＝1，∴z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )·(2＋i )(2－i )·(2＋i )＝5＋5i 5＝1＋i.∴|w |＝12＋12＝ 2.19.(12分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若c 满足c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，求c 的坐标. 解 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). ∴a ＋b ＝(－2,6)，∴a －b ＝(4，－2)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20， ∴|a ＋b |＝(－2)2＋62＝210， ∴|a －b |＝42＋(－2)2＝2 5. 设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝－20210×25＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ∵c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6y ＝0，－3(y ＋2)－4(x ＋1)＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－23，即c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23.20.(14分)在△ABC 中，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围.解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3.∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3， ∴π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1，∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]. 21.(14分)设复数z 1＝2－a i(a ∈R )，z 2＝4－3i. (1)若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2； (2)若z 1z 2是纯虚数，求z 1的共轭复数.解 (1)∵z 1＋z 2＝6－(3＋a )i 是实数， ∴3＋a ＝0，a ＝－3，z 1＝2＋3i ， ∴z 1·z 2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.(2)∵z 1z 2＝2－a i 4－3i ＝(2－a i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝(8＋3a )＋(6－4a )i 25是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋3a ＝0，6－4a ≠0，即a ＝－83，z 1＝2＋83i ， 故z 1的共轭复数为2－83i.22.(15分)已知|a |＝2，|b |＝3，(a ＋2b )·(b －3a )＝9.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)在△ABC 中，若AB→＝a ，AC →＝b ，求BC 边的长度. 解 (1)∵(a ＋2b )·(b －3a )＝－3a 2＋2b 2－5a ·b＝－3×22＋2×(3)2－5a ·b ＝9，∴a ·b ＝－3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×3＝－32， 又θ∈[0，π]，∴θ＝56π.(2)∵BC→＝AC →－AB →＝b －a ， ∴|BC →|2＝(b －a )2＝b 2＋a 2－2b ·a ＝(3)2＋22－2×(－3)＝13，∴BC 边的长度为|BC→ |＝13. 23.(15分)在△ABC 中，已知cos B ＋(cos A －2sin A )cos C ＝0.(1)求角C 的余弦值；(2)若BC ＝5，AB 边上的中线CD ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )，所以－cos(A ＋C )＋(cos A －2sin A )cos C ＝0，sin A (sin C －2cos C )＝0，又sin A ≠0，所以sin C ＝2cos C ，tan C ＝2，因为C ∈(0，π)，所以0<C <π2，由三角函数的基本关系式，可得1－cos 2C ＝4cos 2C ， 解得cos C ＝55.(2)因为CA→＋CB →＝2CD →， 所以|CA →|2＋|CB →|2＋2|CA →|·|CB→|cos C ＝4|CD →|2， 所以|CA →|2＋5＋25|CA →|×55＝4×2，解得|CA→|＝1. 又sin C ＝1－cos 2C ＝255， 所以S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝1.。

2020-2021北京苹果园中学高中必修二数学下期中试卷带答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+ 4．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．6 5．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-7．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 8．已知点()1,2-和3⎫⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16011．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83312．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．14．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．15．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点3)A 处的切线的方程是___________. 16．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．17．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V -=，则球O 的体积是______． 19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．函数2291041y x x x +-+_________.三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.(1)证明：1A O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥1C ABC -的体积.23．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 24．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求△ABC 面积的最小值．25．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内；③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为3212+，PAB S ∆最大值为32 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 的距离为322. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222AB ++=⨯⨯=3+2 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．B解析：B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式. 5．C解析：C【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确； 若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 6．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-，又由圆心到直线的距离为11222d -++==，所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又1122MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 8．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<t anθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 9．C解析：C【解析】【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又Q 平面ABE I 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂Q 平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则2AC a =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆Q 是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.Q 平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE I 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄Q 平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT .G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄Q 平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .DE AB D =Q I ，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥Q ，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=o ， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.因此，可能正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.10．D解析：D【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==，因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.12．B解析：B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②E F ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题13．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交 【解析】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>， 则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A＝120°AB＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60【解析】 【分析】 【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求． 由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°． 在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝32．15．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的 33430x y +-=【解析】 【分析】先求出k OA 3，从而圆O 在点(3处的切线的方程的斜率3k = ，由此能出圆O 在点3A 处的切线的方程． 【详解】k OA =3O 在点(3处的切线的方程的斜率3k =， ∴圆O 在点A (3处的切线的方程313y x =-（） ， 33430x y +-=． 33430x y +-=. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.16．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.17．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积． 【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线【解析】 【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 74【解析】 【分析】将2291041y x x x +-+()2222354y x x =+-+()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-++即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-，5 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题. 22．（1）证明见解析；（2）1. 【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1A O AC ⊥，利用面面垂直的性质可得1A O ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11||A C 平面ABC ，可得1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132⨯⨯=. 试题解析：（1）∵11AA A C =，且O 为AC 的中点. ∴1A O AC ⊥.又∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⋂平面ABC AC =，且1AO ⊂平面11AAC C ，∴1A O ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC ， ∴1A O BC ⊥.（2）∵11||A C AC ，11A C ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴11||A C 平面ABC .即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离.由（1）知1A O ⊥平面ABC 且1AO ==∴三棱锥1C ABC -的体积：11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132⨯⨯=.23．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为3）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32．【解析】 【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值. 【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=， 令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==， ∴直线l 过定点A （1，3）；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，43101ACk -∴==--，得1111lACk k --===-， ∴由3111m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=，∴圆心到直线的距离为||d AC ==∴最短弦长为==（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意， 则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，()222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，整理得，()()2222624130t x tλλλ+-+-=，∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，解得 43,32t λ=-=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合），综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32.【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 24．（1）2235()(3)22x y -+-= （2）12【解析】 【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

2020-2021北京市高中必修二数学下期中试题含答案一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．643．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=4．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．65．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞6．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥α D ．m ∥n ，且n ⊥β 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( )A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或0 10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD 2a 11．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 15B 5C ．64D 10 12．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,10二、填空题13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________14．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________. 16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r； ②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）17．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________18．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.19．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭.（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）若3πθ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.22．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD 2，AD ＝2，PA ＝PD 5E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ； （2）若二面角P －AD －B 为60°． ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．23．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.24．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .25．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．26．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则22a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

人教A版2019 必修第二册期中测试卷02高一数学参考答案一、选择题13.【60°或120°】由正弦定理得asinA =bsinB，所以sinB=b sinAa=√32，所以B=60°或120°14.【(2√5,√5)或(−2√5,−√5)】设a=(x,y),因为|a|=5,b=(2,1),a//b,所以{x−2y=0,x2+y2=5,解得{x=2√5,y=√5,或{x=−2√5,y=−√5,因此向量a的坐标是(2√5,√5)或(−2√5,−√5)15.【2】因为B=2A,a=1,b=√3,由正弦定理有asinA =bsinB，得1 sinA =√3sinB=√3sin2A=√32sinAcosA,所以cosA=√32，由余弦定理a2=b2+c2−2bc cosA，得c=2或 c=1(舍)，所以c=216.【(0,12)】设△ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，由题意得|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=c=2,由余弦定理得a2=b2+4−2b,在锐角△ABC中，a2+b2>4且a2+4>b2，所以{2b2+4−2b>4,b2+4−2b+4>b2,解得1<b<4，所以CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =ab cosC=a2+b2−42=b2−b=(b−12)2−14∈(0,12)17.(1) a·b=|a|·|b|cos60°=3×2×12=3,(2)因为c⊥d,所以(3a+5b)·(ma−b)=0,即3ma2−5b2+(5m−3)a·b=0，所以3m×32−5×22+(5m−3)×3=0,所以m=2942.18.(1)在△ABC 中，由正弦定理得sinBcosA −sinAsinB =0,∵sinB ≠0，∴tanA =1,∵A ∈(0,π)，∴A =π4.(2)∵AB ⊥AD ，且∠BAC =π4，∴∠CAD =π4.在△ACD 中，AC =2√2,CD =√5, ∠CAD =π4,由余弦定理CD 2=AC 2+AD 2−2AC ·AD ·cos ∠CAD,解得AD=1 或AD=3. 19.(1)证明：∵a 2=|a|2=cos 2α+sin 2α=1,b 2=|b|2=cos 2β+sin 2β=1, 所以(a +b )(a −b )=|a|2−|b|2=0,得证.(2)∵|ka +b |=|a −kb |,两边平方得k 2+1+2kab =1+k 2−2kab,所以 ab =0.∴cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)=cos (β−α)=0. 因为0<β<α<π,∴−π<β<α<0.所以β−α=−π2.20.(1)由余弦定理，b 2=a 2+c 2−2ac ·cosB,得b 2=(a +c)2−2ac (1+cosB ). 因为a +c =6,b =2,cosB =79,所以ac =9，解得a =3,c =3. (2)在△ABC 中，sinB =√1−cos 2B =4√29，由正弦定理得sinA =asinB b=2√23. 因为a =c,所以A 为锐角.所以cosA =√1−sin 2A=13.所以sin (A −B )=sinAcosB −cosAsinB =10√227. 21.(1)根据题意即正弦定理得b 2+c 2=a 2+bc,即a 2=b 2+c 2−bc ,由余弦定理可得cosA =12.∵A ∈(0,π)，∴A =π3.(2)由(1)知A =π3，则sinA =√32,cosA =12.因为cosB =4√37，B ∈(0,π)，所以sinB =√1−cos 2B =17, 所以sinC =sin (A +B )=1314, 由正弦定理得： c =asinC sinA=13.∴S △ABC =12ac sinB =13√32.22.(1)由题意知f (x )=a ·b =msin2x +ncos2x,f(x)过点(π12,√3),(2π3,−2),所以{12m+√32n=√3,−√32m−12n=−2,解得{m=√3,n=1,(2)由(1)得f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin (2x+π6)，由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+π6),设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y=g(x)得sin(2φ+π6)=1,又0<φ<π，所以φ=π6.所以g(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x,由−π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z，得−π2+kπ≤x≤kπ,k∈Z，所以y=g(x)的单调递增区间为[−π2+kπ,kπ],k∈Z附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。