浅谈解析几何中的对称问题

高中数学解析几何部分对称问题的研究高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。

所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x 轴、y 轴、直线y=±x ）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称1.1、 关于坐标原点中心对称理论推导：如图，点),(000y x P 关于坐标原点O （0，0）的对称点P （y x ,）。

⎪⎩=+020y y ⎩-=0y y 引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线'L ：F(-x ，-y)=0。

1.1.1、点关于坐标原点中心对称例如，点A （-3，2）关于坐标原点的中心对称点'A （3，-2）。

1.1.2、 线关于坐标原点中心对称例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：Ax+By-C=0。

1.2、 关于任意点中心对称理论推导：如图，点),(y x P P （y x ,）。

M 为线段P 0由中点坐标公式⎪⎩⎪⎨=+=n y y m 2200得：⎩⎨⎧-=-=0022y n y x m x引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于任意点M ),(n m 中心对称的曲线'L ：F(2m-x ，2n-y)=0。

1.2.1、点关于任意点中心对称例1 （1996年上海）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又知P 是线段OB 的中点，则B 的坐标为 。

解析几何中的对称及其所在平面几何学是一门研究形状、大小、距离等等的学科，在视觉上较为直观。

在几何学中，对称是一个重要的概念，它不仅在解决几何学问题时起着关键作用，而且在各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将重点讨论解析几何中的对称及其所在平面。

一. 解析几何中的对称在解析几何中，对称是指一个函数关系，它能够将一点映射到与其关于某个轴对称的位置。

例如，对于点P(x,y)，以x轴为对称轴的对称点为P'(x,-y)。

在这种情况下，将点P转化为它的对称点P'所需的变换是y轴翻转变换。

此外，我们可以定义一个x/y轴的对称关系，类似于上述y轴对称，只不过此时改为以x/y轴为对称轴。

通过这些简单的对称变换，我们可以在解析几何中解决许多问题。

二. 对称性对称性是指一个图形可以保持不变的性质，即它与自己的对称副本在某些方面是相似的。

在解析几何中，对称性的重要性不言而喻。

一个图形的对称性可以使我们更容易地确定它的性质，并以此推导出更多的结论。

在很多情况下，我们可以通过对称性将一个几何问题转化为另一个等效问题。

例如，不规则图形可以通过分解成对称图形的组合来解决。

此外，在进行几何证明时，我们也可以利用一个图形的对称性，将其转化为一个相似的但更便于处理的图形。

三. 所在平面在解析几何中，所在平面指的是一个坐标系，它包含我们所关注的所有点和直线。

所在平面通常会引入一个或多个坐标轴，用于测量方向和距离。

世界上有许多种不同的坐标系，但在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系、极坐标系或红外线坐标系。

无论使用哪种坐标系，我们都可以进行几何变换，如平移、旋转和缩放，以及对称变换等。

这些变换将会改变图形在坐标系中的位置，并可能会影响其形状和大小。

四. 解析几何中的应用在解析几何中，对称性和所在平面是非常有用的工具，它们可以帮助我们解决许多几何问题。

例如，我们可以通过对称性来求解几何图形的面积、周长等等。

我们还可以使用对称性和所在平面来帮助理解三角函数、向量和矩阵等数学概念。

解析几何中的对称问题武汉市第二十三中学 黄琼艳学生初学解析几何时，在直线这一章会遇到对称问题。

图形的对称，说到底是点的对称和直线的对称。

只有将各种对称给学生罗列并梳理，才能让学生心中里有底，遇题不慌。

关于对称，无非有如下四种情况：⑴已知点A 关于直线L 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点线,图1-1）； ⑵已知直线L 关于点A 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线点,图1-2）； ⑶已知点A 关于点A 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点点, 图1-3）； ⑷已知直线L 关于直线L 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线线,图1-4）。

难点在第⑴⑷种类型。

关于第⑴种类型，它最为常见。

因为对称轴是连接两对称点的线段AA ′的中垂线，在设出对称点A ′的坐标后，则AA ′的中点在对称轴上（利用“中”），直线AA ′与对称轴互相垂直（利用“垂”），列出两个方程，就能求得A ′的坐标。

例 求点A(2,3)关于直线012=+-y x 的对称点A ′的坐标。

解：设对称点A ′的坐标为（x 0,y 0），由题意可得)2()1(012322212230000⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⋅-=⋅--y x x y ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==5195200y x ，即A ′的坐标为（519,52）。

掌握了这些还不够，换一个场景，换成“意想不到”的环境，你会做吗？下面就是一个例子，颇为有趣。

问题：△ABC 中，A(3,2)，B 在直线x y =上，C 在x 轴上，求△ABC 的周长的最小值。

解：设A 点关于x y =的对称点M(2,3), A 关于直线x 轴的对称点N(3,－2)，连接 MN 分别交直线x y =及x 轴于B,C (图2) ，那么，这时△ABC 的周长为线段MN 的长度，因为两点间线段最短，所以此时△ABC 的周长最小，最小值为| MN|=26.L 0A A ′L ′ L L ′ L 0 图1-3 图1-4 图1-2 图1-1评论：一般学生不会想到，这里的最小值竟成为点点线对称的问题！事实上，按本例的方法，可以推导出对称点坐标公式，结果如下：已知点M(x0,y0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则22000),(2B A y x f A x x +⋅-=22000),(2B A y x f B y y +⋅-=.其中f(x,y)=Ax+By+C关于第⑷种类型，先确定L 与L 0的关系。

解析几何中的对称问题关键词：对称点、对称直线一、中心对称问题 1、点关于点对称 ①点(,)P a b 关于点00(,)M x y 的对称点1P 的坐标是 。

例1、点(3,A 关于点(2,7)M -对称点1A 的坐标是变式 点(13,2)A --关于点(3,5)M 对称点1A 的坐标是②直线0Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线方程是 。

例2、直线:3520l x y -+=关于点(2,7)M -对称的直线方程是变式直线20l y -+=关于点(1,3)M -对称的直线方程是二、轴对称问题1、点关于直线对称 ⑴点(,)P a b 关于直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标是 。

解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP BK A=⇒直线'PP 的方程→()By b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。

解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y Ba x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

对称轴:0L x y C ++=点(,)P a b 关于直线:0L x y C ++=的对称点'P 的坐标是 。

例3、点(2,7)M -关于直线:20L x y +-=点N的坐标是变式 3 点(3,5)P -关于直线:10L x y +-=的对称点'P 的坐标是 。

对称轴:0L x y C -+=点(,)P a b 关于直线:0L x y C -+=的对称点'P 的坐标是 。

例4、点(2,7)M -关于直线:20L x y --=点N的坐标是变式 4 点2(3,)P m-关于直线:30L x y -+=的对称点'P 的坐标是 。

解析几何中关于对称问题的一点探讨解析几何是一门数学分支学科，它是采用数学方法分析和研究中一些基本问题，而其中最重要的一个问题就是对称。

“对称”是一种形式上存在的均衡性现象，也是一种特殊的逻辑性现象，在多种自然界的现象中都能看到类似的现象，而且它也是解析几何中重要的一个概念。

在解析几何学中，“对称”这一概念可以说是最重要的概念之一，它可以被用来描述一个几何体所具有的某些特质。

关于对称的定义可以有多种，一般来说，它指的是一个几何体中的一些特性，比如说它的面积、边角度、关系等，只要有些特性在指定的空间范围内展示出的一种对称性，就可以说它是一个对称的几何体或图形。

而且，对称也可以指特定空间体系中的一种两元关系，比如在二维空间中，两个相邻的点可以构成一条直线，使得这条直线上任意两个点实际上都是对称的。

在解析几何学中，对称有多种不同的类型。

比如说，水平对称，即X轴对称；垂直对称，即Y轴对称；中心对称，即坐标原点对称；曲线对称，即沿着一条曲线进行对称；旋转对称，即沿着某条轴线旋转对称。

此外，还有轴对称、型对称以及投影对称等等。

在解析几何学中，对称可以被用来描述一个几何体所具有的特质，也可以被用来求解一些问题，比如在解决投影问题中，可以利用投影对称的性质来求解测量问题。

同时，对称也可以被运用来求解满足一定条件下的几何体的体积问题。

例如，如果几何体是一个对称的球体，则可以应用关于对称的概念，从而求出球体的体积；而如果几何体是一个对称的六面体，则可以利用关于六面体的对称特性，来求出它的体积。

在解析几何学中，可以将对称分为几种层次来进行分析，其中最基本的就是“轴对称”，即一个几何体可以被沿着一个轴线或轴向旋转，使其在同一个象限或不同象限以达到一定的对称效果。

而在表面上的对称关系则被称为“型对称”，即一个几何体可以被沿着一个由两个点确定的轴对称地变换，以使其同一部分的形状平行地移动或旋转，而全体的形状不发生变化的状态称为“型对称”状态。

直线中的几类对称问题申老师
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
- 1 -。

解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。

对高中数学解析几何中对称问题浅析摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。

在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。

众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。

不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。

本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。

关键词：高中数学；解析几何；对称问题随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。

数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。

而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。

高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。

尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。

一、解析几何的基本概念几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。

几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。

是整个几何学部分的一个分支学科。

其最早来源于公元前3世纪。

由古希腊数学家欧几里得总结得出。

欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何[1]。

在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。

但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。

如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。

而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。

解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。

平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。

通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。

从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。

解析几何里面的对称性问题1. 点关于点对称的求法直线关于点对称的求法（可转化为点关于点对称求解；注意判断点是否在直线上）点关于直线对称的的求法直线关于直线对称的求法（分平行和相交2种情况讨论）点关于点的对称点A′的坐标是变式1-1点关于点的对称点A′的坐标是变式1-2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y ＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．求直线关于点对称的直线方程.变式2-1求直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．求点关于直线：的对称点的坐标.变式3-1求点关于直线：的对称点的坐标.已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A． x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 变式4-1已知直线，直线，直线与直线关于直线对称，求直线的方程.能力提高已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1） 点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2） 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（3） 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．变式 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( )A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝03.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ( )A．2 B．6C．3 D．24.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.。

高中数学解析几何中的对称问题作者：陈晶来源：《理科考试研究·高中》2014年第07期对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称等几个方面.一、点关于点对称点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).二、直线关于点对称直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.例2求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2方程.方法一分析在l1上找两个点，求出其在l2上的两对称点，确定方程l2.解在l1上任取两点，如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M′,N′均在l2上.得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l2的方程为2x-3y-9=0.方法二分析可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.解因为l1∥l2,所以设对称直线方程l2为： 2x-3y+c=0(c≠1).因为点A到两直线的距离相等,所以由点到直线的距离公式得|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.所以l2的方程为2x-3y-9=0.方法三分析通过点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题.设P(x,y)是l2上任一点，则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y).因为P′在直线l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.三、点关于直线对称在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A(x0,y0)，已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.例3 求点A(-1,-2)关于直线l∶2x-3y+1=0的对称点A′的坐标.分析求解的关键是抓住垂直与平分这两个几何条件上，转化为代数关系列方程求解.解设A′(x,y)，AA′中点坐标为(x-12,y-22).由已知得 y+2x+1·23=-1，2×x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313，y=413.所以A′(-3313,413).四、直线关于直线对称直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.例4求直线m:3x-2y-6=0关于直线l1∶2x-3y+1=0的对称直线l2的方程.分析线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决.解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点M′必在l2上.设对称点M′(a,b).则由2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,得M′(613,3013).设m与l1的交点为N，由2x-3y+1=03x-2y-6=0得N(4,3).又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.五、对称问题与物理知识结合应用由物理光学知识知道，入射光线与反射光线关于法线对称.所以解决光学对称题，经常会利用到点关于线的对称知识.例5从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程.解由题意得，射出的光线方程为y-3=12(x-2),即得x-2y+4=0与y轴的交点为(0,2),又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过(0,2),(-2,3).故方程为x+2y-4=0.例６在直角坐标系中，A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程.解设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),则△PMN的周长=|PM|+|MN|+|PN|=|DM|+|MN|+|NC|.由对称性，D,M,N,C共线，所以|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|=40=210.。