吉林省通化市第十四中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文2019010903119

2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高二第一学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知命题p：，，则是A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，，则是：，．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】C【解析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【详解】由题意得：直线的斜率，故倾斜角是，故选：C．【点睛】本题考查了直线斜率，倾斜角问题，考查转化思想，是一道基础题．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为【考点】三视图，空间几何体体积4．已知命题p：，使得，命题q：，使得，则下列命题是真命题的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由配方法得：，即命题p为真命题，，即命题q为假命题，得解.【详解】由，，即命题p为真命题，由，即无解，即命题q为假命题，故选：D．【点睛】本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题.5．“”是“方程表示椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由椭圆的性质得：，解得m 范围，又“”范围小，“或”范围大，根据小范围推大范围，故得解。

【详解】“方程表示椭圆”，解得：或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查了椭圆的性质、充分条件，必要条件，充要条件，属简单题 6．已知双曲线的离心率为2，焦点是()40-，， ()40，，则双曲线方程为 （ ）A ．22x y 1412-= B ．22x y 1124-= C ．22x y 1106-= D ．22x y 1610-= 【答案】A【解析】由题意e=2，c=4， 由e=ca，可解得a=2， 又b 2=c 2﹣a 2，解得b 2=12所以双曲线的方程为22x y 1412-=。

2018-2019学度吉林吉林高二上年末数学试卷（理科）含解析解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

【一】选择题〔共12个小题，每题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！〕1、〔5分〕在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，那么b＝〔〕A、6B、9C、4D、92、〔5分〕不等式〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8的解集是〔〕A、｛x｜x≤1或x≥﹣5｝B、｛x｜x≤﹣3或x≥﹣1｝C、｛x｜﹣5≤x《1｝D、｛x｜﹣3≤x≤﹣1｝3、〔5分〕焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，那么该椭圆的标准方程为〔〕A、B、C、D、4、〔5分〕等比数列｛an ｝中，a1a2a3＝3，a10a11a12＝24，那么a13a14a15＝〔〕A、48B、72C、144D、1925、〔5分〕在△ABC中，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C，那么角C等于〔〕A、30°B、60°C、120°D、150°6、〔5分〕x》0，y》0，且＋＝2，那么x＋y的最小值为〔〕A、6B、7C、8D、97、〔5分〕两定点F1〔0，﹣5〕，F2〔0，5〕，平面内动点 P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，那么点P的轨迹方程为〔〕A、B、C、D、8、〔5分〕在△ABC中，A＝60°，AB＝4，S△ABC＝2，那么BC边等于〔〕A、2B、2C、D、39、〔5分〕数列｛an ｝满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，那么a10＝〔〕A、1024B、1023C、2048D、2047A、¬p：∃x∈R，使tanx≠1B、¬p：∃x∉R，使tanx≠1C、¬p：∀x∈R，使tanx≠1D、¬p：∀x∉R，使tanx≠111、〔5分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，沿x轴把直角坐标系折成60°的二面角，那么AB的长为〔〕A、B、2C、3D、4【二】填空题〔共4个小题，每个小题6分，合计24分，要求：答案书写时规范、标准、〕12、〔5分〕x、y满足约束条件，那么z＝2x＋4y的最小值是、13、〔5分〕函数y＝的定义域为R，那么k的取值范围、14、〔5分〕点P到点F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，假设点P 的轨迹与直线x﹣4y＋2＝0的交点为A、B，那么线段AB的中点坐标为、15、〔5分〕①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件、③是的充要条件；④“am2《bm2”是“a《b”的充分必要条件、以上说法中，判断正确的有、【三】解答题〔共6个小题，每题10分，合计70分、要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分〕16、〔10分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2＝c〔b ﹣c〕，a＝4，〔1〕假设b＝，求B；〔2〕假设△ABC面积为4，求b与c的值、17、〔12分〕命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0，假设￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围、18、〔12分〕等差数列｛an ｝中，a7＝9，S7＝42〔1〕求a15与S20〔2〕数列｛cn ｝中cn＝2n an，求数列｛cn｝的前n项和Tn、19、〔12分〕数列｛an ｝的前n项和为Sn，假设Sn＝n2＋5n、〔1〕证明数列｛an｝是等差数列；〔2〕求数列｛｝的前n项和Tn、20、〔12分〕椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，假设抛物线y2＝4x的焦点与椭圆一个焦点重合、〔1〕求椭圆的标准方程、〔2〕假设直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长｜AB｜、21、〔12分〕如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：〔1〕证明：直线MN∥平面OCD；〔2〕求异面直线AC与MD所成角的大小；〔3〕求直线AC与平面OCD所成角的余弦值、2017－2018学年吉林省吉林高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔共12个小题，每题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！〕1、〔5分〕在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，那么b＝〔〕A、6B、9C、4D、9【解答】解：∵在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，∴A＝45°，由正弦定理＝得：b＝＝＝9，应选：C、2、〔5分〕不等式〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8的解集是〔〕A、｛x｜x≤1或x≥﹣5｝B、｛x｜x≤﹣3或x≥﹣1｝C、｛x｜﹣5≤x《1｝D、｛x｜﹣3≤x≤﹣1｝【解答】解：∵〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8，∴〔x＋3〕〔x＋1〕≤0，解得：﹣3≤x≤﹣1，应选：D、3、〔5分〕焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，那么该椭圆的标准方程为〔〕A、B、C、D、【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为3，焦距为4，即b＝3，2c＝4，解可得b＝3，c＝2；那么a＝＝，又由椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆的方程为＋＝1；应选：D、4、〔5分〕等比数列｛an ｝中，a1a2a3＝3，a10a11a12＝24，那么a13a14a15＝〔〕A、48B、72C、144D、192【解答】解：设等比数列｛an ｝的公比为q，∵a1a2a3＝3，a10a11a12＝24，∴〔q 9〕3＝＝8，解得：q 9＝2、那么a 13a 14a 15＝q 36•a 1a 2a 3＝24×3＝48， 应选：A 、5、〔5分〕在△ABC 中，sin 2A ＋sin 2B ＋sinAsinB ＝sin 2C ，那么角C 等于〔〕 A 、30° B 、60° C 、120° D 、150°【解答】解：∵sin 2A ＋sin 2B ＋sinAsinB ＝sin 2C ， 由正弦定理可得，a 2＋b 2＋ab ＝c 2， 由余弦定理可得，cosC ＝＝＝﹣，∴由C ∈〔0°，180°〕，可得：C ＝120°、 应选：C 、6、〔5分〕x 》0，y 》0，且＋＝2，那么x ＋y 的最小值为〔〕 A 、6B 、7C 、8D 、9【解答】解：∵x 》0，y 》0，且＋＝2， ∴＋＝1，∴x ＋y ＝〔x ＋y 〕〔＋〕＝5＋＋≥5＋2＝5＋3＝8，当且仅当y ＝3x ＝6时取等号、 应选：C 、7、〔5分〕两定点F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕，平面内动点P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，那么点P 的轨迹方程为〔〕 A 、B 、C 、D 、【解答】解：根据题意，两定点F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕，那么｜F 1F 2｜＝10， 假设动点P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，那么有6《10， 那么P 的轨迹是以F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕为焦点的双曲线，其中c ＝5，a ＝3， 那么b ＝＝4，那么双曲线的方程为：﹣＝1；应选：C 、8、〔5分〕在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝4，S △ABC ＝2，那么BC 边等于〔〕A 、2B 、2C 、D 、3【解答】解：∵A＝60°，AB＝4，S△ABC＝2＝AB•AC•sinA＝，∴AC＝2，∴由余弦定理可得：BC＝＝＝2、应选：B、9、〔5分〕数列｛an ｝满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，那么a10＝〔〕A、1024B、1023C、2048D、2047【解答】解：∵数列｛an ｝满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，∴an ＝a1＋〔a2﹣a1〕＋…＋〔an﹣an﹣1〕＝1＋21＋22＋…＋2n﹣1＝＝2n﹣1、〔n∈N×〕、∴a10＝210﹣1＝1023、应选B、10、〔5分〕命题p：∃x∈R，使tanx＝1，其中正确的选项是〔〕A、¬p：∃x∈R，使tanx≠1B、¬p：∃x∉R，使tanx≠1C、¬p：∀x∈R，使tanx≠1D、¬p：∀x∉R，使tanx≠1【解答】解：∵命题“∃x∈R，使tanx＝1”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，使tanx≠1、应选C、11、〔5分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，沿x轴把直角坐标系折成60°的二面角，那么AB的长为〔〕A、B、2C、3D、4【解答】解：如图，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，那么C〔﹣2，0〕，D〔3，0〕，∴，，，沿x轴把坐标平面折成60°的二面角，∴《，》＝60°，且，∴＝＝＝32、∴、即AB的长为、应选：D、【二】填空题〔共4个小题，每个小题6分，合计24分，要求：答案书写时规范、标准、〕12、〔5分〕x、y满足约束条件，那么z＝2x＋4y的最小值是﹣6、【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋4y得y＝﹣x＋，平移直线y＝﹣x＋，由图象可知当直线y＝﹣x＋经过点A时，直线y＝﹣x＋的截距最小，此时z最小，由，解得，即A〔3，﹣3〕，此时z＝2×3＋4×〔﹣3〕＝﹣6，故答案为：﹣6、13、〔5分〕函数y＝的定义域为R，那么k的取值范围【0，2】、【解答】解：要使函数y＝的定义域为R，那么kx2﹣4kx＋6≥0对任意x∈R恒成立、当k＝0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，那么，解得0《k≤2、综上，k的取值范围是【0，2】、故答案为：【0，2】、14、〔5分〕点P到点F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，假设点P 的轨迹与直线x﹣4y＋2＝0的交点为A、B，那么线段AB的中点坐标为〔，〕、【解答】解：∵点P到F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，∴点P在直线l的上方，点P到F〔0，1〕的距离与它到直线y＝﹣1的距离相等∴点M的轨迹C是以F为焦点，y＝﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为x2＝4y，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB的中点为〔x，y〕将直线x﹣4y＋2＝0代入x2＝4y，可得x2＝x＋2，解得x1＝2或x2＝﹣1，那么y1＝1或y2＝，∴x0＝〔2﹣1〕＝，y＝〔1＋〕＝，∴AB的中点为〔，〕，故答案为：〔，〕15、〔5分〕①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件、③是的充要条件；④“am2《bm2”是“a《b”的充分必要条件、以上说法中，判断正确的有①②、【解答】解：对于①，∵一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，它们同真同假，故①正确；对于②，在△ABC中，假设∠B＝60°，那么∠A＋∠C＝120°＝2∠B，即∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，充分性成立；反之，在△ABC中，假设∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，那么2∠B＝∠A＋∠C，即3∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠B＝60°，必要性成立；∴在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，即②正确；对于③，假设，那么，即是成立的充分条件；反之，不成立，如x＝，y＝10，满足，但不满足，即不能⇒，必要性不成立，故③错误；对于④，④am2《bm2⇒a《b，即“am2《bm2”是“a《b”的充分条件；反之，假设a《b，m＝0，那么不能⇒am2《bm2，即必要性不成立，故D错误；综上所述，以上说法中，判断正确的有①②、故答案为：①②、【三】解答题〔共6个小题，每题10分，合计70分、要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分〕16、〔10分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2＝c〔b ﹣c〕，a＝4，〔1〕假设b＝，求B；〔2〕假设△ABC面积为4，求b与c的值、【解答】解：〔1〕由b2﹣a2＝c•〔b﹣c〕得：a2＝b2＋c2﹣bc根据余弦定理：a2＝b2＋c2﹣2bccosA得：又：△ABC中，0°《A《180°，那么A＝60，由正弦定理：结合解出：又：△ABC中，0°《B《180°﹣60°，那么B＝45，〔2〕由a＝4，A＝60°写出余弦定理：a2＝b2＋c2﹣2bccosA得：b2＋c2﹣bc＝16①再由面积公式：及得：bc＝16②联立①②，且b》0，c》0解得：b＝4，c＝4、17、〔12分〕命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0，假设￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围、【解答】解：命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0，解得：3a《x《A、命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，解得：﹣2≤x≤3、∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件、∴，a《0，解得≤a《0、∴实数a的取值范围是、18、〔12分〕等差数列｛an ｝中，a7＝9，S7＝42〔1〕求a15与S20〔2〕数列｛cn ｝中cn＝2n an，求数列｛cn｝的前n项和Tn、【解答】解：〔1〕设等差数列｛an ｝的公差为d，那么由a7＝9，S7＝42联立：，解得：，那么数列的通项公式为：an＝n＋2∴、〔2〕由〔1〕知：，那么：①∴②，①﹣②得：，，﹣﹣〔n＋2〕•2n＋1，整理得：、19、〔12分〕数列｛an ｝的前n项和为Sn，假设Sn＝n2＋5n、〔1〕证明数列｛an｝是等差数列；〔2〕求数列｛｝的前n项和Tn、【解答】证明：〔1〕当n＝1时，S1＝1＋5＝6＝a1当n≥2时，化简，得：an＝2n＋4检验，n＝1时，代入上式符合、那么；解：〔2〕由题意知：＝，＝，解得：、20、〔12分〕椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，假设抛物线y2＝4x的焦点与椭圆一个焦点重合、〔1〕求椭圆的标准方程、且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长｜AB｜、〔2〕假设直线m椭圆左焦点F1【解答】解：〔1〕由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c∵抛物线y2＝4x的焦点为F〔1，0〕，∴c＝1，又离心率，那么：再由b2＝a2﹣c2得：b2＝4；所求椭圆标准方程为：，〔﹣1，0〕，直线m的方程为：y﹣0＝1〔x＋1〕即〔2〕由〔1〕知，左焦点为F1y＝x＋1联立：消去y得：9x2＋10x﹣15＝0，那么，由弦长公式｜AB｜＝•＝•＝21、〔12分〕如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：〔1〕证明：直线MN∥平面OCD；〔2〕求异面直线AC与MD所成角的大小；〔3〕求直线AC与平面OCD所成角的余弦值、【解答】证明：〔1〕如图，分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，那么A〔0，0，0〕B〔i，0，0〕C〔I，I，0〕D〔0，1，0〕M〔0，0，1〕N〔1，，0〕，O〔0，0，2〕＝〔1，，﹣1〕，＝〔1，1，﹣2〕，＝〔0，1，﹣2〕设平面OCD的法向量为＝〔x，y，z〕，那么，取z＝1，解得＝〔0，2，1〕，＝0，又MN⊄平面OCD，∴直线MN∥平面OCD、…〔6分〕解：〔2〕设AC与MD所成的角为θ，∵＝〔1，1，0〕，＝〔0，1，﹣1〕，∴cosθ＝＝，∴，∴AC与MD所成角为、〔3〕设直线AC与平面OCD所成角为α，那么sinα＝＝，∴cosα＝＝，∴直线AC与平面OCD所成角的余弦值为、…〔12分〕。

2018~2019学年度第一学期高二文科数学期末联考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求。

请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）第I卷（选择题)1.在平面直角坐标系中，点P的直角坐标为。

若以圆点O为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是A．B．C．D．2．双曲线的渐近线方程是（）3．条件，且是的充分不必要条件，则可以是（）A． B． C． D．4.已知函数的导函数的图象如图2所示，那么的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．若实数满足，则的最大值是（）A.9B.10C.11D.126．下列说法不正确的是（）A．若“且”为假,则,至少有一个是假命题.B．命题“”的否定是“”.C．设是两个集合,则“”是“”的充分不必要条件.D．当时,幂函数在上单调递减.7．函数在区间(-1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( ) A． B． C．(-3 ，＋∞) D．8．函数的部分图像大致为（）A． B． C． D．9．已知函数,若方程有一个根,则实数m的取值范围是A． B． C． D．10．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则＝( ) A． 0 B．-4 C．4 D．811．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.给出下列四个函数：①，②，③，④，其中有“巧值点”的函数的个数是A．1 B．2 C．3 D．4则不等式的12．已知函数是定义在R上的函数，,解集为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若命题，，则为__________．14．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的_________（填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）15．已知椭圆的离心率为，则m=16．点p是曲线上任意一点，则点p到直线y=x-3的距离最小值是_________.三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．设：函数在是增函数；：方程表示焦点在x轴上的双曲线．(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数m的取值范围18．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（1）求导函数f′（x）；（2）当k=﹣时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程.19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.20．设函数.（1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围；（2）若是函数的极值点，求函数在上的最小值.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当m=1时，若方程在区间上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；22．已知抛物线的焦点坐标为（1）求抛物线的标准方程.（2）若过的直线与抛物线交于两点，在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点.若存在，求出点,若不存在，说明理由.高二文科数学期末联考参考答案第I卷（选择题）一、选择题1-12 DADBC CAAAB BB二、填空题13 14充分不必要 1516三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）对函数求导，根据函数在上递增可知，导函数恒为非负数，结合二次函数判别式列不等式，可求得的取值范围.（2）先求得真时，的范围.“且”为假命题，“或”为真命题，也即一真一假，故分为“真假”和“假真”两类，求得实数的取值范围.【详解】（1）易知的解集为R，则，解之得。

2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题p：∀x＞0，|x|=x，则￢p为（）A. ∀x＞0，|x|≠xB. ∃x0≤0，|x0|=x0C. ∀x≤0，|x|=xD. ∃x0＞0，|x0|≠x0【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|=x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．利用全称命题的否定是图象命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.双曲线x2-3y2=3的右焦点坐标为（）A. （1，0）B.C. （2，0）D. （3，0）【答案】C【解析】解：将x2-3y2=3整理得，所以c=2．可得双曲线的右焦点坐标：（2，0）．故选：C．化简双曲线方程为标准方程，然后求解c即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查．在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）A. 10B. 12C. 18D. 20【答案】B【解析】解：设该样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点得，解得x=12．故选：B．设该样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点列方程能求出结果．本题考查样本中的老年教师人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.命题“若x≠2，则x2≠4”的逆否命题是（）A. “若x=2，则x2=4”B. “若x2=4，则x=2”C. “若x≠2，则x2=4”D. “若x2≠4，则x≠2”【答案】B【解析】解：命题“若x≠2，则x2≠4”的逆否命题是“命题“若x2=4，则x=2”．故选：B．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶6次，两人成绩的条形图如图所示，则甲的成绩的众数与乙的成绩的中位数分别是（）A. 2，2B. 2，5.5C. 7，5D. 7，5.5【答案】D【解析】解：根据成绩统计图，得甲的成绩的众数为7，乙成绩的中位数是．故选：D．利用条形图能求出甲的成绩的众数与乙的成绩的中位数．本题考查众数的求法、中位数的求法，考查条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6.“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．本题考查了等差数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，=，O为坐标原点，若|PF1|=10，则|OQ|=（）A. 10B. 1或9C. 1D. 9【答案】D【解析】解：双曲线C：-=1可得a=4，b=4，c=8，c-a=4，由双曲线的定义可知：||PF1|-|PF2||=2a=8，因为|PF1|=10，所以|PF2|=18或|PF2|=2（舍去），P为C上一点，=，所以Q为线段PF1的中点，所以|OQ|=|PF2|=9．故选：D．利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8.如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是（）A. i＜2018，B. i≤2018，C. i＜2019，D. i≤2019，【答案】B【解析】解：由题意得执行框内应填，所以排除A，C；若判断框内填i≤2018，则计算结果为，符合题意；若判断框内填i≤2019，则计算结果为，不符合题意，故选：B．由已知得本程序的作用是计算，根据利用循环结构进行累加的方法，由题意得执行框内应填，分析不难给出结论．本题考查的知识点是程序框图与算法，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9.已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-ey+2=0平行，则a=（）A. 1B. -eC. eD. -1【答案】D【解析】解：函数，可得，函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-ey+2=0平行，，所以a=-1．故选：D．求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求解a即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．10.已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5表示命中；6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：）A. 0.15B. 0.2C. 0.25D. 0.35【答案】B【解析】解：由题意，在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮都命中的数据有：151，525，333，554，共4组数据，故该运动员三次投篮都命中的概率为p=．故选：B．在20组模拟数据中，利用列举法求出表示该运动员三次投篮都命中的数据有4组数据，由此能求出该运动员三次投篮都命中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|•|BF|=8，则p的值为（）A. 4B.C. 1D. 2【答案】D【解析】解：抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=-，设A（x1，y2），B（x2，y2）∴直线AB的方程为y=x-，代入y2=2px可得x2-3px+=0∴x1+x2=3p，x1x2=，由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，∴|AF|•|BF|=（x1+）（x2+）=x1x2+（x1+x2）+=+p2+=2p2=8，解得p=2．故选：D．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可x1+x2=3p，x1x2=，由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，即可得到p．本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．12.已知函数f（x）=-2x lnx，g（x）=-x3+3xm，方程f（x）=g（x）在内有两个不同的实根，则m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由f（x）=g（x），得3m=x2-2ln x，令h（x）=x2-2ln x，，所以h（x）在上单调递减，在（1，e]上单调递增，故h（x）min=h（1）=1，，则，即．故选：C．利用f（x）=g（x），得3m=x2-2ln x，令h（x）=x2-2ln x，，利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到结果．本题考查函数与方程的应用，导函数的应用幂函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从区间（-2，3）内任选一个数m，则方程mx2+y2=1表示的是双曲线的概率为______．【答案】【解析】解：当m∈（-2，0）时，方程mx2+y2=1表示的是双曲线，所以所求的概率为P==．故答案为：．根据题意，求出方程mx2+y2=1表示双曲线的条件即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．14.函数的最小值为______．【答案】【解析】解：因为，易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以．故答案为：．求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．15.过椭圆4x2+3y2=12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是______．【答案】8【解析】解：将方程4x2+3y2=12整理得，故a=2，所求三角形的周长为4a=8．故答案为：8．化简椭圆方程为标准方程，求出a，利用椭圆的定义求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．16.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录．根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为______．（该年为366天）【答案】244【解析】解：设此地该年空气质量为优或良的天数为n，由茎叶图可知AQI不超过100的天数为10，所以，解得n=244．故答案为：244．设此地该年空气质量为优或良的天数为n，由茎叶图可知AQI不超过100的天数为10，列方程能估计此地该年空气质量为优或良的天数．本题考查此地该年空气质量为优或良的天数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，且经过点（0，1）和（3，0）；（2）离心率为，短轴长为8．【答案】解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．由于椭圆经过点（0，1）和（3，0），则，故所求椭圆的方程为．（2）由，得，若椭圆焦点在x轴上，则方程为；若椭圆焦点在y轴上，则方程为．【解析】（1）设出方程，利用已知条件求解即可．（2）通过椭圆的离心率以及短轴长，求出a，b然后求解椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．18.已知函数f（x）=x2+2ln x-5x．（1）求f'（1）；（2）求f（x）的极值点．【答案】解：（1）函数f（x）=x2+2ln x-5x，可得，f'（1）=-1．（2）f'（x）=0，可得导函数的零点为x=2或，当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在，（2，+∞）上单调递增，所以f（x）的极大值点为，极小值点为x=2．【解析】（1）求出函数的导数，代入求解即可．（2）利用导函数为0，通过导数的符号，判断函数的单调性，得到极值点即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的关系，是基本知识的考查．19.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a和b，求a+b ＞5的概率．【答案】解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，取出球的编号之和为6的有（1，5），（2，4），共2种取法，故取出的球的编号之和为6的概率．（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，两次取的球的编号之和大于5的有26种，分别为：（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），故a+b＞5的概率．【解析】（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，利用列举法求出取出球的编号之和为6的有2种取法，由此能求出取出的球的编号之和为6的概率．（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，利用列举法求出两次取的球的编号之和大于5的有26种，由此能求出a+b＞5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．根据统计资料发现，某地区城乡居民的人民币储蓄存款年底余额y（单位：千亿元）与年份代码x的关系可用线性回归模型拟合．如表给出了年份代码x与对应年份的关系．已知，．（1）求y关于x的回归方程=x+；（2）用所求回归方程预测该地区2018年（x=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程=x+中=，=-．【答案】解：（1）由题意：，，=，．∴线性回归方程为；（2）当x=6时，．因此，可以预测2018年该地区人民币储蓄存款为3.66千亿元．【解析】（1）由已知表格中的数据求得的值，则线性回归方程可求；（2）在所求回归方程中，取x=6，求得y值即可．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21.已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．【答案】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2=8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12-y22=8（x1-x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，得，．【解析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x=-2相切，所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22.已知函数．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a≥2时，∀x∈[1，2]，．【答案】（1）解：由题意知，，x∈（0，+∞）．当a＞0时，ax+e x＞0对x∈（0，+∞）恒成立，所以当x＞1时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．（2）证明：由题意知，即证当a≥2时，对任意x∈[1，2]，恒成立，令，x∈[1，2]，所以，x∈[1，2]．因为a≥2，x∈[1，2]，则h'（x）≤0，所以函数h（x）在[1，2]上单调递减，所以，当a≥2时，∀x∈[1，2]，．【解析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性推出结果即可．（2）利用构造法，通过导函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！） 1．（5分）等差数列{a n }中，a 3=4，a 7=10，则a 6=（ ） A ．B ．C ．D ．2．（5分）在△ABC 中，a=18，B=60°，C=75°，则b=（ ） A ．6B ．9C ．4D ．93．（5分）不等式（+5）（1﹣）≥8的解集是（ ） A ．{|≤1或≥﹣5} B ．{|≤﹣3或≥﹣1} C ．{|﹣5≤＜1}D ．{|﹣3≤≤﹣1}4．（5分）已知焦点在y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．B ．C ．D ．5．（5分）等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=3，a 10a 11a 12=24，则a 13a 14a 15=（ ） A ．48 B ．72 C ．144 D ．1926．（5分）在△ABC 中，sin 2A+sin 2B+sinAsinB=sin 2C ，则角C 等于（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．（5分）已知＞0，y ＞0，且+=2，则+y 的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．98．（5分）已知两定点F 1（0，﹣5），F 2（0，5），平面内动点 P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，A=60°，AB=4，S △ABC =2，则BC 边等于（ ）A ．2B ．2C ．D ．310．（5分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 10=（ ） A ．1024B ．1023C ．2048D ．204711．（5分）函数f （）=22﹣4ln 的单调减区间为（ ） A ．（﹣1，1） B ．（1，+∞） C ．（0，1） D ．[﹣1，0）12．（5分）抛物线y=2+b+c 在点（1，2）处的切线n 的倾斜角是135度，则过点（b ，c ）且与切线n垂直的直线方程为（）A．﹣y+3=0 B．﹣y+7=0 C．﹣y﹣1=0 D．﹣y﹣3=0二、填空题（共4个小题，每个小题5分，合计20分，要求：答案书写时规范、标准．）13．（5分）已知、y满足约束条件，则=2+4y的最小值是．14．（5分）函数y=的定义域为R，则的取值范围．15．（5分）已知点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，若点P的轨迹与直线﹣4y+2=0的交点为A、B，则线段AB的中点坐标为．16．（5分）函数f（）=3﹣2﹣+的图象与轴刚好有三个交点，则的取值范围是．三、解答题（共6个小题，第17题10分，第18--22题，每小题10分，合计70分．要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=c（b﹣c），a=4，（1）若b=，求B；（2）若△ABC面积为4，求b与c的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=2a （1）求角B的大小．（2）若b=4，sinAcosB+cosAsinB=2sinA，求△ABC的面积．19．（12分）已知等差数列{an }中，a7=9，S7=42（1）求a15与S20（2）数列{cn }中cn=2n an，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=n2+5n．（1）证明数列{an}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和Tn．21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，若抛物线y2=4的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．（2）若直线m椭圆左焦点F122．（12分）已知函数f（）=ln+2+（2+1）（1）讨论f（）的单调性；（2）当＜0时，证明f（）．吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！）1．（5分）等差数列{an }中，a3=4，a7=10，则a6=（）A． B．C．D．【解答】解：∵等差数列{an }中，a3=4，a7=10，∴，解得，∴a6=1+5×=．故选：C．2．（5分）在△ABC中，a=18，B=60°，C=75°，则b=（）A．6B．9C．4D．9【解答】解：∵在△ABC中，a=18，B=60°，C=75°，∴A=45°，由正弦定理=得：b===9，故选：C．3．（5分）不等式（+5）（1﹣）≥8的解集是（）A．{|≤1或≥﹣5} B．{|≤﹣3或≥﹣1} C．{|﹣5≤＜1} D．{|﹣3≤≤﹣1}【解答】解：∵（+5）（1﹣）≥8，∴（+3）（+1）≤0，解得：﹣3≤≤﹣1，故选：D．4．（5分）已知焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为3，焦距为4，即b=3，2c=4，解可得b=3，c=2；则a==，又由椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的方程为+=1；故选：D．5．（5分）等比数列{an }中，a1a2a3=3，a10a11a12=24，则a13a14a15=（）A．48 B．72 C．144 D．192【解答】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a1a2a3=3，a10a11a12=24，∴（q9）3==8，解得：q9=2．则a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48，故选：A．6．（5分）在△ABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角C等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得，a2+b2+ab=c2，由余弦定理可得，cosC===﹣，∴由C∈（0°，180°），可得：C=120°．故选：C．7．（5分）已知＞0，y＞0，且+=2，则+y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵＞0，y ＞0，且+=2， ∴+=1，∴+y=（+y ）（+）=5++≥5+2=5+3=8，当且仅当y=3=6时取等号．故选：C ．8．（5分）已知两定点F 1（0，﹣5），F 2（0，5），平面内动点 P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，两定点F 1（0，﹣5），F 2（0，5），则|F 1F 2|=10， 若动点 P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，则有6＜10，则P 的轨迹是以F 1（0，﹣5），F 2（0，5）为焦点的双曲线，其中c=5，a=3， 则b==4，则双曲线的方程为：﹣=1；故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，A=60°，AB=4，S △ABC =2，则BC 边等于（ ）A ．2B ．2C ．D ．3【解答】解：∵A=60°，AB=4，S △ABC =2=AB •AC •sinA=，∴AC=2，∴由余弦定理可得：BC===2．故选：B ．10．（5分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 10=（ ） A ．1024B ．1023C ．2048D ．2047【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n ，∴an =a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．11．（5分）函数f（）=22﹣4ln的单调减区间为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[﹣1，0）【解答】解：f（）的定义域是（0，+∞），f′（）=4﹣=，令f′（）＜0，解得：0＜＜1，故选：C．12．（5分）抛物线y=2+b+c在点（1，2）处的切线n的倾斜角是135度，则过点（b，c）且与切线n垂直的直线方程为（）A．﹣y+3=0 B．﹣y+7=0 C．﹣y﹣1=0 D．﹣y﹣3=0【解答】解：令f（）=2+b+c，则f′（）=2+b，∴f（）在（1，2）处的切线斜率为=f′（1）=2+b，∴2+b=tan135°=﹣1，∴b=﹣3．又f（）过点（1，2），∴1﹣3+c=2，即c=4．∴过（﹣3，4）且与n垂直的直线方程为：y﹣4=+3，即﹣y+7=0．故选B．二、填空题（共4个小题，每个小题5分，合计20分，要求：答案书写时规范、标准．）13．（5分）已知、y满足约束条件，则=2+4y的最小值是﹣6 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由=2+4y得y=﹣+，平移直线y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点A时，直线y=﹣+的截距最小，此时最小，由，解得，即A（3，﹣3），此时=2×3+4×（﹣3）=﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）函数y=的定义域为R，则的取值范围[0，2] ．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则2﹣4+6≥0对任意∈R恒成立．当=0时，不等式化为6≥0恒成立；当≠0时，则，解得0＜≤2．综上，的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．15．（5分）已知点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，若点P的轨迹与直线﹣4y+2=0的交点为A、B，则线段AB的中点坐标为（，）．【解答】解：∵点P到F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，∴点P在直线l的上方，点P到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等∴点M的轨迹C是以F为焦点，y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为2=4y，设A（1，y1），B（2，y2），AB的中点为（，y）将直线﹣4y+2=0代入2=4y，可得2=+2，解得1=2或2=﹣1，则y1=1或y2=，∴0=（2﹣1）=，y=（1+）=，∴AB的中点为（，），故答案为：（，）16．（5分）函数f（）=3﹣2﹣+的图象与轴刚好有三个交点，则的取值范围是（﹣，1）．【解答】解：f′（）=32﹣2﹣1，令f′（）=0得=﹣或=1，∴当＜﹣或＞1时，f′（）＞0，当﹣＜＜1时，f′（）＜0，∴f（）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当=﹣时，f（）取得极大值f（﹣）=+，当=1时，f（）取得极小值f（1）=﹣1．∵f（）的图象与轴刚好有三个交点，∴，解得：﹣＜＜1．故答案为：（﹣，1）．三、解答题（共6个小题，第17题10分，第18--22题，每小题10分，合计70分．要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=c（b﹣c），a=4，（1）若b=，求B；（2）若△ABC面积为4，求b与c的值．【解答】解：（1）由b2﹣a2=c•（b﹣c）得：a2=b2+c2﹣bc根据余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA得：又：△ABC中，0°＜A＜180°，则A=60，由正弦定理：结合解出：又：△ABC中，0°＜B＜180°﹣60°，则B=45，（2）由a=4，A=60°写出余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2﹣bc=16①再由面积公式：及已知得：bc=16②联立①②，且b＞0，c＞0解得：b=4，c=4．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=2a （1）求角B的大小．（2）若b=4，sinAcosB+cosAsinB=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）化为：，由正弦定理，得：，又三角形中，sinA＞0，化简，得：即：，又：△ABC中，0°＜B＜180°，得：B=60°；（2）把sinAcosB+cosAsinB=2sinA化为：sin（A+B）=2sinA，由三角形内角和定理A+B+C=180°，得：sin（A+B）=sinC=2sinA，根据正弦定理，得：c=2a，又，结合余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即为48=5a2﹣4a2•，解得：a=4，c=8，由面积公式：=×4×8×，得：．19．（12分）已知等差数列{an }中，a7=9，S7=42（1）求a15与S20（2）数列{cn }中cn=2n an，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an }的公差为d，则由a7=9，S7=42联立：，解得：，则数列的通项公式为：an=n+2∴．（2）由（1）知：，则：①∴②，①﹣②得：，，﹣﹣（n+2）•2n+1，整理得：．20．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=n2+5n．（1）证明数列{an}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和Tn．【解答】证明：（1）当n=1时，S1=1+5=6=a1当n≥2时，化简，得：an=2n+4检验，n=1时，代入上式符合．则；解：（2）由题意知：=，=，解得：．21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，若抛物线y2=4的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．（2）若直线m椭圆左焦点F1【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c∵抛物线y2=4的焦点为F（1，0），∴c=1，又离心率，则：再由b2=a2﹣c2得：b2=4；所求椭圆标准方程为：，（﹣1，0），直线m的方程为：y﹣0=1（+1）即y=+1（2）由（1）知，左焦点为F1联立：消去y得：92+10﹣15=0，则，由弦长公式|AB|=•=•=22．（12分）已知函数f（）=ln+2+（2+1）（1）讨论f（）的单调性；（2）当＜0时，证明f（）．【解答】（1）解：，化为：，由于原函数定义域为（0，+∞）．∴≥0时，f'（）＞0恒成立，则原函数在定义域内为单调增函数．当＜0时，令f'（）=0有正数解：；∴在区间上时，f'（）＜0，此时，原函数为减函数．在区间上时，f'（）＞0，此时，原函数为增函数．综上：≥0时，原函数为增函数，增区间为（0，+∞），＜0时，原函数的增区间为：减区间为：．（2）证明：由（1）知，当＜0时，在时，原函数有极大值，且为最大值．要证明，只需证明：，作差：=，设：，则：，令：ϕ'（t）=0，解得：t=1，且t＞1时，ϕ'（t）＜0，原函数为减函数，t＜1时，ϕ'（t）＞0，原函数为增函数，则：ϕ（1）=ln1﹣1+1=0为函数最大值，∴，即．。

高二数学（文）试题本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷 （选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1、已知命题p ：0,2<+∈∃x x R x ，则p ⌝是 （ ）A ．R x ∈∃，02>+x xB ．R x ∈∀，02≥+x xC ．R x ∈∀，02>+x xD ．R x ∈∃，02≥+x x2、若直线过点)3,1(，)33,2(+，则此直线的倾斜角是 （ ） A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒903、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．π231+B ．613πC ．37πD ．25π4、已知命题p ：R y ∈∀，使得1542≥+-y y ，命题q ：R x ∈∃0，使得022020=++x x ，则下列命题是真命题的是 （ ） A ．p ⌝B ．q p ∨⌝C ．q p ∧ D ．q p ∨5、“4=m ”是“方程13522=++-m y m x 表示椭圆”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图6、已知双曲线的离心率为2，焦点坐标是)0,4(),0,4(-，则双曲线的方程为 （ ）A ．161022=-y x B ．141222=-y x C ．112422=-y x D ．110622=-y x 7、以)1,2(-为圆心，4为半径的圆的标准方程为 （ ） A ．4)1()2(22=-++y x B ．16)1()2(22=-++y xC ．16)1()2(22=++-y x D ．4)1()2(22=++-y x 8、在正方体1111D C B A ABCD -中，1AA 与D B 1所成角的余弦值是 （ ）A ．23 B ．22C ．21D ．339、曲线123+-=x x y 在点)0,1(处的切线方程为 （ ） A ．1-=x y B ．1+-=x y C ．22-=x y D ．22+-=x y10、在平面内两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的 轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．线段11、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于B A ,两点，若B AF 1∆的周长为34，则C 的方程为 （ ）A ．12322=+y xB ．1322=+y x C ．181222=+y x D ．141222=+y x 12、函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围是 （ ）A ．31>a B ．31<a C ．31≤a D ．31≥a第Ⅱ卷 （非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x02．直线l过点（1，0），且斜率为2，则l的方程是（）A．2x﹣y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+2＝03．已知双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B．C．D．24．下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（）A．B．C．D．5．已知向量，平面α的一个法向量，若AB⊥α，则（）A．x＝6，y＝2B．x＝2，y＝6C．3x+4y+2＝0D．4x+3y+2＝06．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF 1|＝10，则|OQ |＝（ ） A ．10B ．1或9C ．1D ．98．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若，且G ，M ，N三点共线，则x +y ＝（ ）A ．．B ．C ．.D ．．10．一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为（ ）A ．B ．16C ．D ．6411．已知点A 在直线x ﹣y +5＝0上，过点A 作直线与圆C ：（x ﹣3）2+（y +2）2＝18相切于点B ，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．12B ．C ．15D ．12．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q ．下列说法不正确的是（ ）A．B．FN⊥ABC．Q是线段MN的一个三等分点D．∠QFM＝∠QMF二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，则它们之间的距离为．14．过椭圆4x2+3y2＝12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是．15．直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．16．已知直线l：kx﹣y+k﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝10相交于P，Q两点，若，则实数k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：∀x∈R，ax2﹣x+3＞0，q：∃x∈[1，2]，a•2x≥1．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p∧q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．18．（12分）已知直线l：（2m﹣3）x+（m﹣1）y+4﹣2m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0．（1）证明：直线l恒定点；（2）当直线l与圆C相切时，求m．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，AC＝BC＝CD＝2，AB＝AD＝．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与M相切于点P．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l′：x+2y+n＝0与椭圆M交于不同的两点A，B，与直线l相交于Q（P，Q，A，B均不重合）．证明：为定值．2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x0【分析】利用全称命题的否定是图象命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．直线l过点（1，0），且斜率为2，则l的方程是（）A．2x﹣y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+2＝0【分析】代入直线的点斜式方程整理即可．【解答】解：由点斜式得y＝2（x﹣1），化为一般式得2x﹣y﹣2＝0，故选：A．【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线方程的几种形式，是一道常规题．3．已知双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据焦点坐标得c＝2，再用平方关系得a2+1＝4，解出a值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），∴a2+1＝22＝4，可得a＝（舍负）因此双曲线的离心率为e ＝＝＝故选：A ．【点评】本题给出含有字母参数的双曲线的焦点坐标，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 4．下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据曲线与方程之间的关系进行判断即可．【解答】解：A 中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图象不符；B 中方程lnx +lny ＝0表示的曲线是的图象，与对应图象不符；C 中方程表示的是y ＝x 2（x ≥0）的图象，与对应图象不符；D 中方程x ＝|y |表示的曲线是y ＝x （x ≥0）与y ＝﹣x （x ＞0）的图象，与对应图象符合． 故选：D ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合曲线和方程之间的关系是解决本题的关键．5．已知向量，平面α的一个法向量，若AB ⊥α，则（ ） A ．x ＝6，y ＝2B ．x ＝2，y ＝6C ．3x +4y +2＝0D ．4x +3y +2＝0【分析】根据空间向量的共线定理列方程组求出x 、y 的值．【解答】解：因为⊥α，所以，由，解得x ＝6，y ＝2． 故选：A ．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝1，c＝4．即可判断出结论．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝1，c＝4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝（）A．10B．1或9C．1D．9【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．【解答】解：双曲线C：﹣＝1可得a＝4，b＝4，c＝8，c﹣a＝4，由双曲线的定义可知：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，因为|PF1|＝10，所以|PF2|＝18或|PF2|＝2（舍去），P为C上一点，＝，所以Q为线段PF1的中点，所以|OQ|＝|PF2|＝9．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图画出该几何体的直观图，分析可得该几何体是一个球被切掉左上角的八分之一，它的表面积是八分之七的球面面积和三个扇形面积之和，进而得到答案．【解答】解：由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为R，由，得R＝4，所以此几何体的体积为．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．9．在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若，且G，M，N 三点共线，则x+y＝（）A．．B．C．.D．．【分析】若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝成立，求出，从而，由此能求出结果．【解答】解：若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝成立，所以，可得，所以，可得．故选：B．【点评】本题查代数式的和的求法，考查空间向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C，D为其上四个点，则以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为（）A．B．16C．D．64【分析】复原正方体，判断三棱锥，结合图形求解几何体的体积即可．【解答】解：复原正方体，如图所示．故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，表面展开图的应用，考查空间想象能力以及计算能力．11．已知点A在直线x﹣y+5＝0上，过点A作直线与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18相切于点B，则△ABC的面积的最小值为（）A．12B．C．15D．＝【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，连接CA，CB，分析可得S△ABC，结合直线与圆的关系分析|AB|的最小值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18，其圆心为C（3，﹣2），半径r＝，连接CA，CB，因为在△ABC中，CB⊥AB，＝，所以△ABC的面积S△ABC又由＝，当|CA|取最小值时，|AB|最小．又点A在直线x﹣y+5＝0上，则|CA|的最小值即为点C到直线x﹣y+5＝0的距离，即|CA|的最小值为，则|AB|的最小值为，故△ABC的面积的最小值为．故选：A．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析|AB|的最小值．12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q．下列说法不正确的是（）A．B．FN⊥ABC．Q是线段MN的一个三等分点D．∠QFM＝∠QMF【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，判断选项的正误即可．【解答】解：由抛物线的定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|．又，则，A正确．由，可知△ANB是直角三角形，MN是斜边上的中线，所以∠MAN＝∠MNA，而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN．所以△ANC≌△ANF，可知∠AFN＝∠ACN＝90°，所以FN⊥AB，B正确．由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确．在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正确．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查以及数形结合思想的应用．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，则它们之间的距离为．【分析】先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：由直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，可得＝≠，解得m＝﹣4，所以直线2x+my﹣6＝0的方程可化简2x﹣4y﹣6＝0，而直线x﹣2y+2＝0，即直线2x﹣4y+4＝0，∴它们之间的距离为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意直线方程中未知数的系数必需相同，属于基础题．14．过椭圆4x2+3y2＝12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是8．【分析】化简椭圆方程为标准方程，求出a，利用椭圆的定义求解即可．【解答】解：将方程4x2+3y2＝12整理得，故a＝2，所求三角形的周长为4a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．15．直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．【分析】利用空间向量夹角公式直接求解．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，，∴l与n的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知直线l：kx﹣y+k﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝10相交于P，Q两点，若，则实数k的值为．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，变形可得，结合直线与圆的位置关系分析可得|PQ|的长以及圆心C到直线l的距离，又由点到直线的距离公式可得，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，因为，所以，故弦长|PQ|＝，于是圆心C到直线l的距离为，又由，解可得k＝；故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：∀x∈R，ax2﹣x+3＞0，q：∃x∈[1，2]，a•2x≥1．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p∧q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．【分析】（1）分a＝0和a≠0两类求范围取并集即可；（2）由函数单调性求出q真的范围，由已知得p、q一真一假，分p真q假和p假q真两类求范围，取并集即可．【解答】解：（1）①a＝0，x＜3，不合题意，②a≠0，⇒a＞∴a的取值范围为（，+∞）；（2）q真：∵x∈[1，2]，∴2≤2x≤4，∴≤≤，∴a≥，∵p∧q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假，①p真q假⇒＜a＜②p假q真⇒a∈∅∴a的取值范围为（，）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、指数函数、反比例函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．18．（12分）已知直线l：（2m﹣3）x+（m﹣1）y+4﹣2m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0．（1）证明：直线l恒定点；（2）当直线l与圆C相切时，求m．【分析】（1）根据题意，将直线l的方程整理得（2x+y﹣2）m+（﹣3x﹣y+4）＝0，进而可得，解可得x、y的值，即可得答案；（2）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：（1）证明：将直线l的方程整理得（2x+y﹣2）m+（﹣3x﹣y+4）＝0，令，得，所以直线l恒过点P（2，﹣2）．（2）解：将圆C的一般方程化为标准方程得（x﹣3）2+y2＝4，所以圆C的圆心为（3，0），半径为2．因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于半径，即，得4m2﹣16m+15＝（2m﹣3）（2m﹣5）＝0，所以或．当时，直线l的方程为y＝﹣2；当时，直线l的方程为4x+3y﹣2＝0．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，（2）中注意直线l的斜率是否存在．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，AC＝BC＝CD＝2，AB＝AD＝．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．【分析】（1）设O为BD的中点，连接OA，OC．证明AO⊥BD，AO⊥OC．证明AO⊥平面BCD，然后证明平面ABD⊥平面BCD．（2）以O为原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面ACD的法向量，．设直线BD与平面ACD所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：设O为BD的中点，连接OA，OC．∵O是BD的中点，∴在△BCD中，BC＝CD＝BD＝2，即△BCD为等边三角形，∴OC⊥BD，∴．在△ABD中，，BD＝2，∴AO⊥BD，且AO＝1，于是AO2+OC2＝AC2，可知AO⊥OC．∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD，∵AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．（2）解：由（1）知，AO，BD，OC两两垂直，以O为原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z 轴、建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，0，1），B（1，0，0），，D（﹣1，0，0），设平面ACD的法向量，，，则，令，得，又．设直线BD与平面ACD所成角为α，则，即直线BD与平面ACD所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，直线与平面所成角的求法，直线与平面，平面与平面垂直的判断定理的应用．20．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．【分析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x＝﹣2相切，所以点C的轨迹是以F 为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x＝﹣2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2＝8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12﹣y22＝8（x1﹣x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k＝4，则直线l的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，与y2＝8x联立得16x2﹣32x+9＝0，得，．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．【分析】（1）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，证明B1C⊥BC1，推出B1C⊥平面ABO，得到B1C⊥AO．然后证明AC＝AB1．（2）以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ABC的法向量，平面B1AB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B1﹣AB﹣C的正弦值即可．【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，又AO⊂平面ABO，所以B1C⊥AO．因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），所以，，，设平面ABC的法向量为，由，令y＝3，得，设平面B1AB的法向量为，由，令x＝1，得，所以，故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与M相切于点P．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l′：x+2y+n＝0与椭圆M交于不同的两点A，B，与直线l相交于Q（P，Q，A，B均不重合）．证明：为定值．【分析】（1）由题意把椭圆M的方程可表示为．联立，得，再由直线l：与M相切，得c2＝2，由此能求出椭圆M的方程．（2）将直线l：与椭圆M方程联立得点P．将直线l：与直线l'：x+2y+n＝0方程联立得点Q，．将直线l'：x+2y+n＝0与椭圆M方程联立得4x2+2nx+n2﹣24＝0，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明为定值．【解答】解：（1）由题意，得．于是椭圆M的方程可表示为．联立，得．因为直线l：与M相切，所以△＝8﹣4（8﹣3c2）＝0，得c2＝2，故椭圆M的方程为．证明：（2）将直线l：，与椭圆M方程联立得，解得，即点P的坐标为．将直线l：与直线l'：x+2y+n＝0方程联立得，解得，即点Q的坐标为，．将直线l'：x+2y+n＝0与椭圆M方程联立得代入化简得4x2+2nx+n2﹣24＝0，△＝4n2﹣16（n2﹣24）＞0，得且．记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，所以＝．同理，，故＝，故，即为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查代数式为定值的证明，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

2018-2019学年度上学期末考试高二理科数学试卷 一、单项选择（每小题 4分）6、已知双曲线 x y2 2 2 2 1( 0, 0) x3 y 9相交于 A , B 两点， 的一条渐近线与圆 2 2 a b a b 若 AB 2 ，则该双曲线的离心率为（ ） 1、直线 的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2、下列命题中，真命题是( )3 A. 8 B. 2 2 C. 3 D. 2 7、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ． x 0∈R ， xe ≤0 B ． x ∈R,2x ＞x 2C ．双曲线 x 2 y 2 1的离心率为 2 2D ．双曲线 x1的渐近线方程为 y 2x 2y 2 y243、抛物线 y x 2 的焦点坐标是（ ）1111 A. 0, B.0, C.,0 D.,0242 A ．60 B ．30 C ．20 D ．10 8、正四棱柱 ABCD A B C D 中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4 ，则 1 1 1 1 距离为 （ ） B 点到平面 1 AD C 的 144、已知条件p：x 12，条件q：x25x 60，则p是q的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5、长方体ABCD A B C D中，1111AB AA12,AD 1，则异面直线BC与AC所成角的1822342343A. B.C.D.39、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为余弦值为（）( )A．B．C．D．10、已知命题p:椭圆x24y21上存在点M到直线l:x 2y 620的距离为1，命题q:椭圆2x227y254与双曲线9x216y2144有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A.1010B.12C.105D.15A. p qB. p qC.p q D. p q二、填空题（每小题4分）1l：x y 50上．11、已知直线l :2m x 12m y 43m 0，则直线恒过一定点M的坐标为___，若（1）求圆C的标准方程；直线l与直线x 2y 40垂直，则m=______. （2）若P(x,y)是圆C上的动点，求3x 4y的最大值．x y2212、已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于为___________.10m2m 17、在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为F (3,0),且过13、若双曲线y x221的离心率e=2，则m=________.16mD(2,0)．（1）求该椭圆的标准方程；14、已知椭圆x y22E:1，直线l交椭圆于A,B两点，若线段AB的中点坐标为42（2）若P是椭圆上的动点，点A(1,0)，求线段PA中点M的轨迹方程1,1，则直线的一般方程为______________．l 2三、解答题（每小题12分）18、已知抛物线x2ay(a 0)，点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点．（1）若直线过点D（0,2）且a 4,求△AOB的面积；（2）若直线过抛物线的焦点且,求抛物线的方程．OA OB 315、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．19、如图，三棱柱ABC A B C的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是1113，D是AC的中点..求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；(III)若PB与底面所成的角为600,AB=2a,求三棱锥E-BCD的体积.16、（本小题满分12分）已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(1,1)，且圆心C在直线2（1）求证：B C平面1//A BD；1（2）求二面角A BD A的大小；1（3）求直线AB与平面1A BD所成角的正弦值.13高二理科数学参考答案一、单项选择1、C2、D3、B4、B5、D6、C7、D8、A9、B 10、B二、填空题11、1,2 0 12、8 13、48 14、 2x 8y90 三、解答题15、（1）见解析；（2） 6 3a .3证明：（I ）∵O 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点，∴OE ∥AP ，又∵OE 平面 BDE ，PA ？平面 BDE ．∴PA ∥平面 BDE ．（II ）∵PO ⊥底面 ABCD ，PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且 AC ∩PO=O∴BD ⊥平面 PAC ，而 BD 平面 BDE ， ∴平面 PAC ⊥平面 BDE.（III ）∵PB 与底面所成的角为 600,且 PO ⊥底面 ABCD ，∴∠PBO=600, ∵AB=2a,∴BO= aPO= a,∴E 到面 BCD 的距离= 6 2a∴三棱锥 E-BCD 的体积 V=1 2 2 6 6 3aaa .3 2 316、 (1)(x 3)2 (y 2)2 25(2)2417、解：(1)由已知得椭圆的半长轴 a 2,半焦距 c 3 ,则半短轴 b 1．又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为 x 2 4 y 21(2)设线段 PA 的中点为 M (x , y ) ,点 P 的坐标是(x , y ) ，0 0 x 由 x 1 0 2 y 02 x 2x1，得y 2yy因为点P在椭圆上,得(2x1)2(2y)12,4∴线段PA中点M的轨迹方程是(1)2421xy ．218、（1）43；（2）x24y19、：（1）设A B与1A B相交于点P，连接PD，则P为1AB中点，1Q D为AC中点，PD//B C.又Q PD 平面1A BD，1B C 平面1A BD1B1C//平面A BD.1（2）Q正三棱柱ABC A BC，111底面ABC.又Q BDAC，AA1A DBD，11就是二面角Q AA1=3，ADAC ，A DA A BD A的平面角.1 112A AA DA1tan 3.，即二面角A BD A的大小是A DA.1131AD3（3）由（2）作AM A D，M为垂足.1Q BD AC，平面A ACC 平面ABC，平面11A ACC 平面ABCAC，11BD 平面A ACC，Q AM 平面11A ACC，BDAM.11Q A D BD D，AM 平面1A DB，连接MP，则APM就是直线1A B与平面1A BD1所成的角.Q A A13，AD 1，在Rt AA D中，1A DA，133AM 1sin60，2AP AB 7. sin APM AMAP AB 7. sin APM AM12AP327221.7A1C1B1DEA CPB直线AB与平面1A BD所成的角的正弦值为1217.另法：建立空间直角坐标系（略）。

“BEST 合作体”2018-2019学年度上学期期末考试高二数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p 是（ ） A ．∃x ∈R ，x 2+x ＞0 B ．∀x ∈R ，x 2+x ≥0 C ．∀x ∈R ，x 2+x ＞0D ．∃x ∈R ，x 2+x ≥02．若直线过点（1，3），(2，3+√3)，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13+2πB ．13π6C ．7π3D ．5π24．已知命题p ：∀y ∈R ，使得y 2﹣4y +5≥1，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q C ．p ∧q D ．p ∨q5．“m ＝4”是“方程x 25−m+y 2m+3=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．方程x ﹣1=√1−(y −1)2表示的曲线是（ ） A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆7．以（2，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝4 B ．（x +2）2+（y +1）2＝4 C ．（x ﹣2）2+（y +1）2＝16D ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝168．用a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ． 其中真命题的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④9．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =4√33，∠APC =π4，∠BPC =π3，P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面P AC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．8√2π3C ．12√3π3D ．32π310．在平面内两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．线段11．已知双曲线C ：x 2−y 28=1的左右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左右两支分别交于A ，B两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝（ ） A ．2√2B ．3C ．4D ．2√2+112．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．√32B ．√53C ．√63D ．2√55二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ．14．抛物线y ＝10x 2的焦点到准线的距离是 ．15．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 是CD 的中点，沿AE 将△DAE 向上折起，使D 为D ′，且平面AED ′⊥平面ABCE ．则直线AD ′与平面ABC 所成角的正弦值为 ．16．椭圆M ：x 2a 2+y 2b=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上任一点，且PF 1→•PF 2→的最大值的取值范围是[c 2，3c 2]，其中c =√a 2−b 2则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的顶点A （1，3），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣3y +2＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为2x +3y ﹣9＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是线段AB 中点． （1）证明：D 1E ⊥CE ；（2）求二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小的余弦值； （3）求A 点到平面CD 1E 的距离．19．已知圆C 过点M （0，﹣2）、N （3，1），且圆心C 在直线x +2y +1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）设直线ax ﹣y +1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P （2，0）的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面四边形ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面P AD ；（2）求二面角P ﹣AB ﹣D 的平面角的余弦值．21．已知抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）与圆C 2：x 2+y 2＝5的两个交点之间的距离为4． （1）求p 的值；（2）设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为2的直线与抛物线交于A ，B 两点，求|AB |．22．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求△OAD 与△OAC （O 为坐标原点）的面积之差绝对值的最大值． （3）已知椭圆E 上点T （x 0，y 0）处的切线方程为xx 0a 2+yy 0b 2=1，T 为切点．若P 是直线x ＝4上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为N ，M ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．D 9．D 10．A 11．C 12．B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．√3π3． 14．120．15．√22． 16．由题意可知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设点P 为（x ，y ）， 由x 2a +y 2b=1，得x 2=a 2(b 2−y 2)b2，∵PF 1→=（﹣c ﹣x ，﹣y ），PF 2→=（c ﹣x ，﹣y ） ∴PF 1→•PF 2→=x 2﹣c 2+y 2=a 2(b 2−y 2)b2−c 2+y 2=a 2−c 2−c 2y 2b2，当y ＝0时，PF 1→•PF 2→取到最大值a 2﹣c 2，即c 2≤a 2﹣c 2≤3c 2， ∴√2c ≤a ≤2c ， ∴12≤e ≤√22．故椭圆M 的离心率e 的取值范围是[12，√22]，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解（1）由A （1，3）及AC 边上的高BH 所在的直线方程2x +3y ﹣9＝0 得AC 所在直线方程为3x ﹣2y +3＝0又AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣3y +2＝0 由{3x −2y +3=02x −3y +2=0得C （﹣1，0） （2）设B （a ，b ），又A （1，3）M 是AB 的中点，则M （a+12，b+32)由已知得{2a +3b −9=02⋅a+12−3⋅b+32+2=0得B （3，1） 又C （﹣1，0）得直线BC 的方程为x ﹣4y +1＝0 18．（1）证明：DD 1⊥面ABCD ，CE ⊂面ABCD 所以，DD 1⊥CE ，Rt △DAE 中，AD ＝1，AE ＝1， DE =√AD 2+AE 2=√2，同理：CE =√2，又CD ＝2，CD 2＝CE 2+DE 2， DE ⊥CE ， DE ∩CE ＝E ， 所以，CE ⊥面D 1DE ， 又D 1E ⊂面D 1EC ， 所以，D 1E ⊥CE ．（2）设平面CD 1E 的法向量为m →=（x ，y ，z ）， 由（1）得D 1E →=（1，1，﹣1），CE →=（1，﹣1，0） m →•D 1E →=x +y ﹣1＝0，m →•CE →=x ﹣y ＝0 解得：x ＝y =12，即m →=（12，12，1）；又平面CDE 的法向量为DD 1→=（0，0，1）， ∴cos ＜m →，DD 1→＞=m →⋅DD 1→|m →|⋅|DD 1→|=1√14+14+1⋅1=√63，所以，二面角D 1﹣EC ﹣D 的余弦值为√63， （3））由（1）（2）知AE →=（0，1，0），平面CD 1E 的法向量为m →=（12，12，1）故，A 点到平面CD 1E 的距离为d =|m →⋅AE →||m →|=12√62=√66．19．（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0 则有{−D2−E +1=04−2E +F =010+3D +E +F =0（2分）解得{D =−6E =4F =4∴圆C 的方程为：x 2+y 2﹣6x +4y +4＝0； （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心C （3，﹣2）必在l 上． 所以l 的斜率k PC ＝﹣2，而k AB =a =−1k PC，所以a =12．（7分）把直线ax ﹣y +1＝0即y ＝ax +1．代入圆C 的方程， 消去y ，整理得（a 2+1）x 2+6（a ﹣1）x +9＝0． 由于直线ax ﹣y ﹣1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故△＝36（a ﹣1）2﹣36（a 2+1）＞0， 即﹣2a ＞0，解得a ＜0．则实数a 的取值范围是（﹣∞，0）．（9分） 由于12∉(−∞，0)，假设错误，故不存在实数a ，使得过点P （2，0）的直线l 垂直平分弦AB ． 20．（1）连结BD ，由已知得△ABD 与△BCD 都是正三角形．又因为点E 为边BC 的中点，所以DE ⊥BC ． (2)又因为AD ∥BC ，所以DE ⊥AD ．又PD ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DE ．………………4' 又因为AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以DE ⊥平面P AD ．……6'（2）方法一：以点D 为原点，DA ，DE ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系．由（1）知平面BAD 的一个法向量为n 1→=(0，0，2)．……………………………8'B(1，√3，0)，P （0，0，2），A （2，0，0）．所以PA →=(2，0，−2)，PB →=(1，√3，−2)． 设平面PBA 一个法向量为n 2→=(x ，y ，z)， 由{n 2→⋅PB →=0n 2→⋅PA →=0，得{x =z x +√3y −2z =0，{x =z x =√3y ． 取y ＝1，则x =√3，故n 2→=(√3，1，√3)．设n 1→与n 2→的夹角为θ，则cosθ=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=2√32×√7=√217．………………10' 所以平面P AD 与平面PBC 所成角的二面角的平面角的余弦值为√217．……12' 方法二：取AB 中点，连DM ．△ADB 是正三角形，所以DM ⊥AB ． 连PM ，则AB ⊥平面PDM ，从而AB ⊥PM ．………………………………8' ∠PMD 为二面角P ﹣AB ﹣D 的平面角．…………………………………………9' 在△ADB 中，DM =√3．已知PD ＝2，所以PM =√7．……………………10' 在Rt △PDM 中，cos∠PMD =√37=√217．……………………………………12'21．解（1）设交点为E ，F ．易知E （1，2），F （1﹣，2）， 代入y 2＝2px 得2p ＝4，p ＝2，（2）由（1）知，抛物线抛物线C 1：y 2＝4x ． 直线AB 的方程为y ＝2（x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y =2(x −1)y 2=4x 得x 2﹣3x +1＝0，所以x 1+x 2＝3，所以|AB |＝|AF |+|BF |＝x 1+x 2+p ＝3+p ＝5．22．（1）由题意得ca=12．又2a ＝4，c 2＝a 2﹣b 2，所以a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）设△OAD 的面积为S 1，△OAC 的面积为S 2． 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝﹣1．据椭圆对称性，得△OAD ，△OAC 面积相等，所以|S 1﹣S 2|＝0．当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k （x +1）（k ≠0），设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立方程组{x 24+y 23=1y =k(x +1)，消由得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2．所以|S 1−S 2|=12×2×||y 2|−|y 1||=|y 1+y 2|=|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=|k(x 2+x 1)+2k|=6|k|3+4k2=63|k|+4|k|． 又因为3|k|+4|k|≥4√3，当且仅当k =−√32或k =√32时取“＝”． 所以|S 1﹣S 2|的最大值为√32． （3）证明：设P （4，t ），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）．由已知得切线PN：xx44+yy43=1．①切线PM：xx34+yy33=1．②，把P（4，t）代入①②得x4+ty43=1，x3+ty33=1．从而直线MN方程为x+t3y=1，即3x+ty﹣3＝0．对∀t，当y＝0，x＝1时恒成立，恒过定点（1，0）．。