【全国百强校】江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义-映射与函数的最值

第三讲映射与函数一映射设A、B是两个集合，如果按照某个对应法则，，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射．记为f：A→B．如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，记作b=f(a)，a叫做b的原象．A的象记为f(A)．对映射定义的理解要注意以下几点：(1)A，B是两个集合，可以是数集也可以不是数集，并要注意先后次序，即从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的．(2)存在从A到B的对应法则，这个法则可以是解析的，也可以是表格的、图象的及其他形式．(3)集合A中的元素的任意性与集合B中元素的唯一性构成映射的核心．(4)A中的每一个元素都有象，且唯一，不要求集合B中每一个元素都有原象，即使有原象也不要求唯一．因此，“多对一”、“一对一”是映射，“一对多”不是映射．(5)如果对于集合A中的任意两个元素x1，x2，当x1≠x2时，若必有f(x l)≠f(x2)，则称该映射为从A到B的单射．(6)如果集合B中的每一个元素都有原象，就称f是A到B上的映射，也称为满射．(7)如果f既是单射又是满射，则称f是一一映射．例1 设A ={4321,,,a a a a }，},,,,{54321b b b b b B =（1）写出一个f ：A →B ，使得f 为单射，并求所有A 到B 的单射的个数。

（2）写出一个f ：A →B ，使得f 不是单射，并求所有这些映射的个数。

（3）A 到B 的映射能否是满射？解：（1）作映射f ：A →B ，使得4,3,2,1 ,)(==i b a f i i则此映射即为A 到B 的一个单射，这种单射的个数为12045=P 。

（2）作映射f ：A →B ，可以先求A 到B 的映射的个数：分四步确定4321,,,a a a a 的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为45个，因此满足条件的映射的个数为45－45P =505。

第三课时 数列的递推一、知识回顾本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ，a n ＝qa n ；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a n n +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)n n n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-L L ③形如)1()(1≠+=+p n q pa a n n 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令nnnb p a =则句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,．①若p+q=1时，有q a a n n -=-+1)(1--n n a a 可知}{1n n a a -+是等比数列，先求得n n a a -+1，再求出n a .②若p+q ≠l ，则存在α，β满足=α-+n n a a 1)(1--βn n a a 整理得11)(-+αβ-β+α=n n n a a a 从而α+β=p ， αβ=q ，可解出α、β，这样可先求出}{1n n a a α-+的通项表达式，再求出n a . 注意α、β实质是二次方程q px x +=2的两个根，将方程q px x +=2叫做递归式n n n qa pa a +=++12的特征方程．在数列{n a }中，给出a 1, a 2，且n n n qa pa a +=++12 ，它的特征方程q px x +=2的两根为α与β．如果α≠β，则n n n B A a βα+=；如果α=β则n n B An a α+=)(，其中A 与B 是常数，可由初始值a 1,a 2 求出．类型Ⅲ. 如果递归数列{a n }满足 a n+1dca baa n n ++=,其中c ≠0,ad －bc ≠0,以及初始值a 0≠f (a 1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程dcx bax x ++=的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点p 、q ，则 }{q a p a n n --为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p ，则}1{pa n -是等差数列·形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求c 值。

函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

不定方程（一）知识、技能、方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.一、二元一次不定方程(组)及解法形如(,,ax by c a b c Z +=∈，,a b 不同时为零）的方程称为二元一次方程. 定理一:如果(,)1a b =，则一定存在两个整数,x y ，使得1ax by +=。

定理二：方程ax by c +=有整数解的充分必要条件是c b a |),(。

定理三:若(,)1a b =，且00,x y 为ax by c +=的一个解，则方程ax by c +=的一切解都可以表示为at y y bt x x -=+=00,（t 为整数). 二、高次不定方程（组）及解法1、因式分解法：对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而求解若干个方程组。

2、同余法：如果不定方程1(,,)0n F x x =有整数解，则对于任意*m N ∈，其整数解1(,,)n x x 满足1(,,)0(mod )n F x x m ≡.3、不等式估计法：先利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解。

4、无穷递降法:若关于正整数n 的命题()p n 对某些正整数成立,设0n 是使()p n 成立的最小正整数，可以推出：存在*1n N ∈，使得10n n <,适合证明不定方程无正整数解.三、特殊的不定方程1、(0)ax by cxy abc +=≠的整数解：常利用因式分解法2、勾股方程222z y x =+的正整数解:由方程不难看出,如果d y x =),(,则22|z d ，从而z d |，这样可在勾股方程的两边约去2d ，所以我们只需讨论满足1),(=y x 的解,此时易知z y x ,,实际上两两互素，这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。

定理：方程222z y x =+满足1),(=y x ，y |2的全部正整数解),,(z y x 可表为22x a b =-，2y ab =，22z a b =+,其中b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数。

专题4 导数(2)一、考点展示1.若函数()C e x f x +=（C 为常数），且()(),10e f f ='则函数()=x f .变式:设函数)(x f 满足()x x x f ln ln -=，则)0(f '=2.函数133-)(23+-+=x ax x x f 在()+∞∞-,上是单调函数,则实数a 的取值范围为 .3.函数xe xf x=)(的单调递减区间是 . 4.若函数162)(223-++-=a ax x x x f 恰好在区间[]4,2-上单调递减,则实数a = .5.设直线t x =与函数()()x x g x x f ln ,2==的图象分别交于M ，N 两点，则当MN 取最小值时，t 的值为 . 6.若函数921232)(23++--=a ax ax ax x f 的图象经过四个象限,则实数a 的取值范围 为 二、例题分析例1.已知函数()()x a x x f -+=1ln .(1)当1=a 时，求()x f 的极值；(2)讨论)(x f 的单调性.例2.设函数(),1223+-+=x a ax x x f ()122+-=x ax x g ，其中0>a .⑴当函数()x f y =与()x g y =的图象只有一个公共点时，求正整数a 的取值范围； ⑵若()x f y =与()x g y =在区间()2,+a a 内均为增函数，求a 的取值范围.例3.设函数()R b a xb ax x f ∈+=,)(，已知曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为： 085=--y x .(1)求a 和b 的值；(2)证明；曲线()x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.例4.设函数()()0>-=a ax e x f x .(1)当1=a 时，求()x f 的最小值;(2)若对一切R x ∈，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.三、作业1.函数()()0ln 2>-=a ax x x f 的单调增区间为 .2.已知函数23)(bx ax x f +=当1=x 时有极大值3，则b a -=3.已知函数xe x xf =)( ，则)(x f 的极大值为 . 4.若函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，则正数a =5.已知圆柱形金属钦料罐的表面积为定值S ，则当它的底面半径为 时，其体积最大.6.已知函数3)(x x f =,设曲线)(x f y =在点())(,11x f x P 处的切线与该曲线交于另一点 ())(,22x f x Q ,记)(x f '为函数)(x f 的导数,则)()(21x f x f ''的值为 . 7.若函数()()012ln )(2>+-+=a x a ax x x f 在1=x 处取得极小值,则实数a 的取值范围为 .8.若函数()R a ax x x f ∈+-=12)(23在()+∞,0内有且只有一个零点,则)(x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 .9设点P 在曲线xe y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则PQ 的最小值为10.已知函数bx x ae x f x -+=2)( ，(1)设1-=a ，若函数)(x f y =在R 上是单调减函数，求实数b 的取值范围；(2)设0=b ，若函数)(x f y =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.11.已知函数221)(,ln )(x x g x x f ==. (1)求函数)()()(x f x g x F -=的最小值；(2)若函数)()()(x xf x mg x H -=在定义域上是增函数，求实数m 的取值范围.12.已知函数()R b a xb x x a x f ∈++=,ln )(在()2,0上单调递减,在()+∞,2上单调递增,且在点())1(,1f 处的切线与直线035=+-y x 垂直.⑴求b a ,的值;⑵设()()31ln 1)(+---=x x x x g ,当1>x 时,求证:62ln 2)()(+≥x g x f .。

排列与组合一、知识回顾1、排列与组合问题是一类特殊的计数问题，它的解决需要用到以下几个基本工具： ①对应原理； ②分类计数原理； ③分步计数原理； ④容斥原理2、排列与组合问题的求解策略：（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除．（2）分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数．3、圆排列（1）从集合},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个不同元素中取出r 个元素按照某种顺序（如逆时针）排成一个圆圈，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的圆排列．（3）定理：从集合},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中取出r 个不同的元素进行圆排列的圆排列数为!()!r n A n r r n r =-． 4、不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（12s p p p n +++=L ），这n 个元素全部取出的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!!!!21s p p p n ⋅⋅⋅Λ. 5、可重排列与组合（1）定义：元素可以多次重复出现的集合称为重集，元素出现的次数叫做该元素的重数.一般地，重集S 可以表示为1122{,,,}k k S n a n a n a =⋅⋅⋅L ，其中12,,,k a a a L 为S 中k 个不同类型的元素，(1,2,,)i n i k =L 为i a 的重数，i n 是正整数，也可以是∞.若i a 的重数是∞，表示S 中有无限多个i a .重集S 的一个m 排列仍是S 中的m 个元素的一个有序摆放；重集S 的一个m 组合仍是S 中的m 个元素的一个无序选择.（2）重集12{,,,}n S a a a =∞⋅∞⋅∞⋅L 的m 排列的个数为m n .（3）设重集1122{,,,}k k S n a n a n a =⋅⋅⋅L ，且S 的元素个数为12k n n n n =+++L 则S 的全排列数为12!!!!k n n n n ⋅⋅⋅L .（4）重集12{,,,}n S a a a =∞⋅∞⋅∞⋅L 的m 组合的个数为1m n m C +-.（5）设重集12{,,,}n S a a a =∞⋅∞⋅∞⋅L ，要求12,,,n a a a L 至少出现一次的m 组合的个数为11n r C --.（6）方程12k x x x m ++⋅⋅⋅+=(1,,)i i x x Z m Z +≥∈∈的解有11k m C --组；方程12k x x x m ++⋅⋅⋅+=(0,,)i i x x Z m Z +≥∈∈的解有11k m k C -+-组.二、例题分析 例1、有2n 个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？例2、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？例3、数1447，1005和1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？例4、在xOy 平面上，顶点的坐标(,)x y 满足14,14x y ≤≤≤≤，且,x y 是整数的三角形有多少个？例5、（1）有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如果有两人不愿坐在一起，又有多少种就座方式？（2）4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？例6、将r 个相同的小球，放入n 个不同的盒子（n r ≥）．（1）有多少种不同的放法？ （2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？例7、如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足：213a a -≥，323a a -≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种？例8、由数字1，2，3组成n 位数(n ≥3)，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n 位数有多少个？例9、用1，2，3三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？例10、设一个圆分成S 1，S 2，…，S n 共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，那么，共有多少种不同的着色方法？三、课后练习1、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．2、从1到100的正整数中每次取出不同的2个数，使它们的和大于100，则不同的取法有多少种？3、平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合，现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点数最多是________4、如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是__________5、（1）10人围圆桌而做，如果甲、乙二人中间相隔4人，有_______种坐法．（2）圆桌的9个位置上放着9样不同的点心和饮料，6为先生和3为女士共进早餐，3位女士两两不相邻的坐法有多少种？6、由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个五位数？又可组成多少个大于34500的五位数？（数字允许重复）7、由4面红旗、3面蓝旗、2面黄旗、5面绿旗可以组成多少种由14面旗子组成的一排彩旗？8、用字母A、B和C组成五个字母的符合，要求在每个符号里，A至多出现2此，B至多出现1次，C至多出现3次，求此类符号的个数.。

1.3.2 导数在研究函数中的应用——极大值与极小值【教学目标】1、理解极大值与极小值的概念；2、掌握求可导函数的极值的方法和步骤 【教学过程】 一、问题情境问题1：方程2332x x =+在)2,0(内有几个解？ 问题2：求函数23)(23+-=x x x f 的单调区间？ 问题3：你会画)(x f y =的草图吗？问题4：)(x f y =在0=x 和2=x 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系？ 问题5：函数()y f x =在极值点的导数值为多少？在极值点附近导数值符号有什么规律？ 二、知识建构1. 极值的概念：设函数)(x f y =在0x x =及其附近有意义，如图（1）所示，函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”到“下降”（函数由单调增变为单调减），这时在点P 附近，点P 的位置最高，即)(1x f 比它附近的函数值都要大，我们称)(1x f 为函数)(x f 的一个极大值；类似地，)(2x f 为函数)(x f 的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值，使)(x f 取到极值的点0x 称为极值点. 说明：1、极值点是区间],[b a 内部的点，不会是端点b a ,；2、极值是一个局部性的概念，一个函数在其定义域内，可以有多个极小值和极大值，且极小值和极大值没有必然的大小关系；3、若)(x f 在),(b a 内有极值，那么)(x f 在),(b a 内绝不是单调函数.反之，在),(b a 内单调的函数在),(b a 内没有极值；4、一般地，函数)(x f 在],[b a 上连续且有有限个极值点时，函数)(x f 在],[b a 内的极大值点、极小值点是交替出现的. 2. 极值点与导数的关系：（如图1）极大值与导数的关系：x 1x 左侧 1x 1x 右侧)('x f)(x fx2x 左侧2x2x 右侧)('x f)(x f01、如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 为极大值； 2、如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 为极小值；o ya b 1x 2x ))(,(11x f x P)(x y =（1）3、如果在0x 的两侧的)('x f 的符号相同，那么0x 不是)(x f 的极值点. 3．求可导函数极值的步骤：1、先求)('x f ；（因式分解，便于求根及判断)('x f 的符号） 2、求0)('=x f 的根，寻找“可疑点”；3、列表，判断符号，求出极值. 三、例题分析：例1. 在下列各命题中，真命题的序号为______________（1）单调递增函数存在着极大值； （2）单调递减函数存在着极小值； （3）由单调递增转化为单调递减的连续函数存在极大值； （4）由单调递减转化为单调递增的连续函数存在极小值.例 2. 已知函数)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，在开区间),(b a 内可导，且0)('>x f ，则在),(b a 上下列各结论中正确的是_________________（填序号）（1）)(a f 是极小值，)(b f 是极大值； （2）)(a f 是极大值，)(b f 是极小值； （3）)(x f 有极值，但极值不是)(a f 、)(b f ；（4）)(x f 既没有极小值，又没有极大值例3. 求下列函数的极值：（1）2)(2--=x x x f ； （2）31431)(3+-=x x x f ； （3）x x x f 1)(+=.例4. 已知bx ax x x f 23)(23+-=在点1x =处有极小值1-，求a ，b ，并求出()f x 的单调区间.变题：已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 时有极值10，求b a ,的值.四、课堂练习：（一）课本P31 1，2，3 （二）补充：1、下列函数有极值的是___________________（填序号）①x y sin = ②2ln =y ③x e y -= ④x y 7-= 2、函数xx x f 3)(+=的极小值为____________ 3、函数)4sin(2π+=x y 在区间)47,4(ππ-上取得极大值时x 的值为__________4、下列说法中正确的是___________________（填序号）①函数的极大值一定大于函数的极小值；②函数在定义域R 上可以有无数个极大值与无数的极小值； ③函数在定义域R 上有极大值时一定有极小值； ④函数在定义域R 上不是单调函数时，一定有极值.5、若函数ax x y +=3在R 上能取到极值，则a 的取值范围是____________6、若函数bx ax x y ++=23在1x =处有极值0，则=a _____________7、①3x y =，②12+=x y ，③||x y =，④x y 2=，在这四个函数中，能在0=x 处取得极值的函数是_____________________8、已知3≠a ，求证：函数b ax x a x x f ++++=2)3(2)(23有两个不同的极值点.9、已知函数x a x y ln 22+-=在区间)2,0(上能取到极值，求a 的取值范围.五、课后作业：数学之友。

第八课时 函数的最值【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数的最大值与最小值概念;2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域．自学评价1．函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0xA ∈,使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max0()yf x =;若存在定值0xA ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min0()y f x =；2．单调性与最值:设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y =，min y =;若()y f x =是减函数，则maxy，miny．【精典范例】一．根据函数图像写单调区间和最值：例1：如图为函数()y f x =,[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】由图可以知道：当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时,函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有２个：(1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个:(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值：例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-；（2）1()f x x=，[]1,3x ∈．【解】 (１)222(1)1y xx x =-=--∴当1x =时，min1y=-；（２）因为函数1()f x x=在[]1,3x ∈上是单调减函数,所以当3x =时函数1()f x x=取得最小值为13．追踪训练一1。

函数2()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4-()C 与m 的取值有关 ()D 不存在2。

函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是32．3。