循序渐进，培养学生的合情推理能力
南平市教师进修学校余辉
教师应如何培养学生的合情推理能力呢？笔者认为，首先要帮助学生养成合情推理意识，其次要让学生经历完整的合情推理过程：第一步，让学生通过解读问题或情境信息，明确要解决的问题，做到思之有“源”；第二步，让学生寻找与当下信息有关的已有数学知识、经验，建立两者之间的联系，并确定哪些可以作为合情推理的基础，做到推之有“据”；第三步，让学生整理思路，利用合情推理知识解决问题，做到言之有“理”；第四步，让学生反思解决问题的途径和结果的合理性，辩证地看待合情推理，做到用之有“忧”。教师只有将培养学生的合情推理能力与具体的学习过程相结合，才能真正循序渐进地提高学生的合情推理能力。
1．让学生思之有“源”
得到数学结论前，合情推理帮助我们猜想和发现；得到数学结论时，合情推理为我们提供证明的思路和方向。合情推理主要有归纳推理、类比推理、统计推断、数学直觉等。合情推理的实质是“发现——猜想”，而培养合情推理能力应以观察为基础，以联想为桥梁，以想象为动力，以创新为目的。教师应为学生营造一个可供猜想的情境，让学生借助有利于萌发猜想的素材，有机可“猜”。
（1）提供关系结构或规律相同的同类型材料，让学生归纳推理。归纳是从特殊到一般，从个别事物中概括出一般规律的思维方法，包括不完全归纳和完全归纳，而小学数学中采用的多是不完全归纳。不少数学知识都是通过“观察—归纳—验证”发现的。针对归纳推理，教师根据需要研究的问题，给学生提供或引导学生搜集材料时，应做到：一是提供一定数量的同类型材料，一般不少于三个；二是提供某些方面结构相同或规律明显的材料；三是提供所蕴涵的关系或呈现出来的规律，学生能够通过自主探索得到，并具有推广价值的材料。通过提供的这些材料，使学生能够从“多”中求“同”，归纳概括出有效结论。例如教学《分数的基本性质》时，某教师根据教学内容的特点，不失时机地创设问题情境，让学生利用三张同样大小的长方形纸条，分别折出长方形纸条的1/2、2/4和4/8，借助纸条直观地比较1/2、2/4和4/8
的大小，组织学生通过观察分析，比较1/2和2/4、2/4和4/8、1/2和4/8各组分数的分子、分母的变化情况，发现这三组分数都具有分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的大小不变的性质，于是猜想所有的分数都可能具有这一性质。
（2）提供具有某些相似性的不同类型材料，让学生类比推理。类比推理是从两个不同对象的某些类似属性，猜测这两个对象在其他方面也可能有类似属性的推理。类比推理的基础是比较，关键是迁移。当我们遇到一个新的问题时，首先想到的是有没有一个类似的、已经解决的问题可以与之对比，因此素材选择的合理性是影响学生类比推理的关键因素。选择类比推理的素材时，教师首先要深入分析需要探究问题的特点，以及所蕴涵的数量关系和结构；其次是寻找学生已有知识中具有相似特点的素材，由这种相似性的分析，类比出他们其他性质的可行性和可靠性；再次是要对可供选择的材料进行适当处理，使之能够凸显有待解决问题的主要性质或关系。根据教师提供的这些学习材料，学生就可以通过具有紧密联系的旧材料、旧知识，根据知识间属性的相同或相似，分析，类比、猜测新知识也可能具有此属性，然后举例验证得出结论。例如，教学《圆柱的体积》时，某教师针对“圆柱体的体积=底面积×高”这一公式的推理是这样处理的：首先，他对小学生已经学过的体积公式进行过滤，得出：长方体、正方体与圆柱体都“比较直”，都是直柱体，外在形式具有相似性；其次，他强调虽然长方体、正方体体积公式的主要表征形式不相同（长方体体积=长×宽×高，正方体=棱长×棱长×棱长），但长方体、正方体的体积都可以用“底面积×高”表示，引导学生猜想：圆柱体的体积公式可能是怎样的，用什么方法可以验证自己的猜想。
（3）提供实验情境或统计数据，让学生统计推理。《数学课程标准》要求让学生从不同层面体会统计对决策的作用：一是对某事件有一个猜测，为了检验这个猜测，学生要自己设计统计活动，动手收集、整理与分析数据；二是面对统计活动得到的大量数据，学生能够根据已有的知识对这些数据进行分析，作出合理的预测（或推测）。教学时，教师应为学生提供有现实意义的统计素材和情境，让学生主动地尝试运用所学的统计知识和方法寻求解决问题的策略。例如，教学北师大版一年级下册《组织比赛》时，某教师通过组织“实验—统计—分析”的数学活动，让每一名学生都参与数据的处理活动，了解数据的来源与内容，学习加工数据的方法，进而让学生说一说同学们最喜欢什么活动、组织什么比赛好，引导学生分析数
据，做出合理的决策。虽然学生根据统计数据决定开展的项目不一定就是比赛的项目，但是进行统计推理的过程有助于学生在纷繁复杂的信息中作出选择、判断、决策，发展合情推理能力。
（4）提供结构化、整体化的素材，培养学生的数学直觉能力。所谓数学直觉，是人脑对数学对象、结构、关系以及规律性的某种直接领悟或洞察。它表现为对数学对象事物的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断、整体的把握，是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性，属于非逻辑的方法论范畴。直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判断的思维形式。一个人的数学思维、判断能力的高低往往取决于直觉思维能力的高低。直觉尽管“突如其来”，但并不是神秘莫测的东西，而是在长期积累起来的知识和经验的基础上形成的。要培养学生的数学直觉能力，关键在于教师要给学生提供结构化、整体化的教材，引导学生开拓思想，大胆猜测，从复杂的问题中寻找内在的联系，特别是发现隐蔽的联系，从而把各种信息做综合考察并做出直觉判断。
2．让学生推之有“据”
《数学课程标准》强调，要让学生“经历观察、实验、证明等数学活动全程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。虽然合情推理受到了教师们的普遍关注，但由于合情推理带有较强的情境性、个体性，因此部分教师认为合情推理只要有道理、说得通就行。其实，合情推理不是无根之本，无源之水，而是立足于学生已有知识经验和数学思考的，是“有一定根据的”。如何让学生在合情推理的过程中，做到推之有“据”呢？教师首先要给学生提供“合情”的情境，让学生经历探索数学的过程后再进行“推理”（或称之为猜测、推测)。其次，要教给学生一定的合情推理方法，让学生猜测或推测出可能的规律、结论。第三，教师要鼓励学生积极寻找猜想的依据，思考猜想的合理性和准确性，而不能满足于已经得出的结论。
例如，教学《13亿粒米有多重》时，教师如果简单地让学生猜测“13亿粒米有多重”。学生根本不需要思考，就可以信口开河报出“15千克”、“100千克”、“200千克”、“1000千克”等五花八门的答案。而这些猜测是没有根据的，没有“合情”的成分，与答案“13亿粒米约有26吨重”这一较科学的结论相差甚远。如何让学生“有根有据”、合理科学地猜测呢，教师首先要组织学生思考：“用怎样的方法才能比
