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南京师范大学电气与自动化工程学院MATLAB结业报告（2014 —2015 学年第一学期）题目：MATLAB与自动控制班级：学号：姓名：专业：设计内容：MATLB与控制系统的稳定性分析指导教师：设计时间：2014—12—5目录一、绪论 (3)二、简述 (3)三、控制系统的稳定性分析 (4)1、直接判定法 (4)2、用根轨迹法判断系统的稳定性 (5)3、用Nyquist曲线判断系统的稳定性 (9)4、bode图法判断系统的稳定性 (11)四、结束语 (13)一、绪论经过一学期MATLAB的学习，已经初步掌握这个软件的操作流程，并运用MATLAB软件做了几次实验。

遂在这里应用MATLAB 对自动控制原理中系统稳定性进行分析。

对于系统稳定性的分析包含又如下几种方法直接判定法、根轨迹法、bode图法以及用Nyquist曲线来判断系统的稳定性。

此文通过实例分别对这几种方法进行讨论。

二、简述控制理论自20世纪40年代作为一门独立的学科出现以来,在工业、农业和国防等领域的应用已经越来越广泛由于最初的控制系统大多比较简单,利用纸笔等工具就可以计算和设计出来随着控制理论的迅速发展,控制效果要求越来越高,控制算法越来越复杂,控制器的设计也越来越困难,这样光利用纸笔以及计算器等简单运算工具难以达到预期效果,计算机技术的迅猛发展使人们很自然想到利用计算机来辅助设计控制系统。

目前,国际上在控制领域最流行的软件当属MATLAB。

借助MATLAB可以使复杂的控制系统设计变得简单、直观和可靠,减少了劳动强度,提高了工作效率。

一般说来,对于自动控制系统的基本要求是:首先,系统必须是稳定的;其次是系统的暂态性能应满足生产工艺所要求的暂态性能指标;其三是系统的稳态误差要满足生产的工艺要求。

其中,稳定性是控制系统的首要条件,一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的。

因此,如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。

在经典控制理论中,对于单输入单输出线形定常系统,应用劳斯判据和胡维茨判据等代数方法间接判定系统的稳定性,而用根轨迹法及频域中的奈奎斯特判据和波德图则是更为有效的方法,它不仅用于判定系统是否稳定,还能指明改善系统稳定性的方向。

但这些方法在绘图和计算时需要花费大量的时间和精力。

MATLAB 是1980年推出的用于工程计算和数值分析的交互式语言。

经过多年的完善,它已成为当前最受流行的软件,集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体。

三、控制系统的稳定性分析1、直接判定法根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性,最简单的方法是求出系统所有极点,并观察是否含有实部大于0的极点,如果有,系统则不稳定.然而实际的控制系统大部分都是高阶系统,这样就面临求解高次方程,求根工作量很大,但在Matlab 中只需分别调用函数roots(den)或eig(A)即可,这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性。

已知控制系统的传递函数为()245035102424723423+++++++=s s s s s s s s G （1） 若判定该系统的稳定性,输入如下程序:G=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]);roots(G .den{1}) 运行结果: ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000由此可以判定该系统是稳定系统.2、用根轨迹法判断系统的稳定性 根轨迹法是一种求解闭环特征方程根的简便图解法,它是根据系统的开环传递函数极点、零点的分布和一些简单的规则,研究开环系统某一参数从零到无穷大时闭环系统极点在s 平面的轨迹.控制工具箱中提供了rlocus 函数,来绘制系统的根轨迹,利用rlocfind 函数,在图形窗口显示十字光标,可以求得特殊点对应的K 值。

例 已知一控制系统,H(s)=1,其开环传递函数为: ()()()21++=s s s K s G (2) 绘制系统的轨迹图. 程序为: G=tf(1,[1 3 2 0]);rlocus(G);[k,p]=rlocfind(G)根轨迹图如图1所示,光标选定虚轴临界点,程序 结果为:图1 系统的根轨迹图selected_point =0 - 0.0124ik =0.0248p =-2.0122-0.9751-0.0127光标选定分离点,程序结果为: selected_point =-1.9905 - 0.0124ik =0.0308p =-2.0151-0.9692-0.0158上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置.由此可得出如下结论:(1)0<k<0.4时,闭环系统具有不同的实数极点,表明系统处于过阻尼状态;(2)k=0.4时,对应为分离点,系统处于临界阻尼状态;(3)0.4<k<6时,系统主导极点为共轭复数极,系统为欠阻尼状态;(4)k=6时,系统有一对虚根,系统处于临界稳定状态;(5)k>6时,系统的一对复根的实部为正,系统处于不稳定状态.例 已知单位负反馈系统的开环传函数为:G1=245035102424723423+++++++s s s s s s s 试判断该系统的稳定性。

(1)用root(G . den{1})命令根据稳定充分必要条件判断程序为：num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24];G1=tf(num,den);G=feedback(G1,1);roots(G .den{1})结果为：ans = -5.5616-2.0000 + 1.4142i-2.0000 - 1.4142i-1.4384由结果根据稳定充要条件：系统闭环特征根实部均在左半S平面，所以可判断该系统是稳定的。

(2)通过绘制系统根轨迹图判别程序为：num=[1 7 24 24]；den=[1 10 35 50 24]；G1=tf(num,den)；rlocus(G1)由此得到根轨迹图为-3-2-1123Root LocusReal Axis I m a g i n a r y A x i s图2 系统根轨迹图由根轨迹曲线可看出：4条根轨迹均在左半平面，所以系统是稳定的。

3、用Nyquist 曲线判断系统的稳定性Matlab 提供了函数Nyquist 来绘制系统的Nyquist 曲线,若式(2)系统分别取k= 4和k= 10(图2为阶跃响应曲线),通过Nyquist 曲线判断系统的稳定性,程序如下:num1=[4];num2=[10];den1=[1,3,2,0];gs1=tf(num1,den1);gs2=tf(num2,den1);hs=1;gsys1=feedback(gs1,hs);gsys2=feedback(gs2,hs);t=[0:0.1:25];figure(1);subplot(2,2,1);step(gsys1,t)subplot(2,2,3);step(gsys2,t)subplot(2,2,2);nyquist(gs1)subplot(2,2,4);nyquist(gs2)奈氏稳定判据的内容是:若开环传递函数在s平半平面上有P个极点,则当系统角频率X由-∞变到+∞时,如果开环频率特性的轨迹在复平面上时针围绕(-1,j0)点转P圈,则闭环系统稳定,否则,是不稳定的。

图2阶跃响应曲线当k=4时,从图3中k=4可以看出,Nyquist曲不包围(-1,j0)点,同时开环系统所有极点都位于平面左半平面,因此,根据奈氏判据判定以此构成闭环系统是稳定的,这一点也可以从图2中k=4系统单位阶跃响应得到证实,从图2中k=4可以看出系统约23 s后就渐渐趋于稳定.当k=10时,从图3中k=10可以看图3 Nyquist曲线出,Nyquist曲线按逆时针包围(-1,j0)点2圈,但此时P=0,所以据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的,图2中k=10的系统阶跃响应曲线也证实了这一点,系统振荡不定。

4、bode图法判断系统的稳定性bode判据,实质上是Nyquist判据的引伸.本开环系统是最小相位系统,即P=0,用Xc表示对数幅频特性曲线与横轴(0dB)交点的频率,Xg表示对数相频特性曲线与横轴(-180o)交点的频率,则对数判据可表述如下：在P=0时,若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴,即Xc<Xg，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即Xc>Xg，则闭环系统不稳定;若Xc=Xg，则闭环系统临界稳定。

num1=[4];num2=[10];den1=[1,3,2,0];gs1=tf(num1,den1);gs2=tf(num2,den1);hs=1;gsys1=feedback(gs1,hs);gsys2=feedback(gs2,hs);t=[0:0.1:25];figure(1);subplot(1,1,1);bode(gs1)图4k=4时开环系统的bode图由图4开环系统的bode图可知,Xc<Xg,故当k=4时,此时的闭环系统必然稳定.实际上,系统的控制bode图还可用于系统相对稳定性的分析。

四、结束语：MATLAB虽然是计算数学专家倡导并开发的，但其普及和发展离不开自动控制领域学者的贡献。

甚至可以说，MATLAB 语言是自动控制领域学者和工程技术人员捧红的，因为在MATLAB语言的发展过程中，许多有代表性的成就和控制界的要求与贡献是分不开的，迄今为止，大多数工具箱也都是控制方面的。

MATLAB具有强大的数学运算能力、方便实用的绘图功能及语言的高度集成性，它在其他科学与工程领域的应用也是越来越广，并且有着更广阔的应用前景和无穷无尽的潜能。

经过半学期跟随老师的学习，已经初步掌握了如何运用MATLAB。

希望以后能够有更多机会接触这个软件。