电路中的谐振讲解

L C
Im
cos
t
电场能量
wC

1 2
CuC2

1 2
CU
2 Cm
cos
2

t

1 2
LI
2 m
cos 2
t
W总

wL
wC

1 2
LI
2 m

1 2
CU
2 Cm
wL
wC
W总
i
uC
电感电容储能的总值与品质因数的关系：
W总

1 2
CU
2 Cm

1 2
CQ
2U
2 m
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量
I( )

0 0

= 0， UL= QU
UC=0
根据数学分析，当 Q 1 / 2 才会出现UC() ，UL() 最大 值。且UC( CM)=UL( LM)。
ωCM ω0
1
1 2Q 2
ω0
2Q 2 ωLM ω0 2Q2 1 ω0
UC (ωCM ) U L (ωLM )

UL


UR I

UC
谐振时的相量图
五、串联谐振时的电磁场能量
i LC
设 u Um sin t
+
u
则
i

Um R
sin
t

Im
sin
t
_
Q + uC -
R P
磁场能量
wL

1 2
Li 2

1 2
LI
2 m
sin2
t
uC
UCm
sin(
t
90o )

Im
C
sin(
t
90o )
2. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )，使 XL=|XC| 。
二、RLC串联谐振的特征
X=0
Z=R
Z R2 X 2 R
三、参数
I U U ZR
最大
1. 特性阻抗 (characteristic impedance)
最小

0L

1
0C

L C
2. 品质因数(quality factor)
单位：
Q ω0 L 1 1 L
R R ω0 RC R C
无量纲
四 . 谐振时元件上的电压
U U R IR
U L Ij0 L jUQ
U C

I
j 0C

jUQ
串联谐振又称电压谐振

IR
+

U _
+
U R
U+-U+C-L
j L
1 jω C
若1 >2， 仍要得到 u11(1)，如何设计电路?
说明 电压、电流同相时
1.谐振的不同定义： 电容上电压最大时
一般所得谐振频率不一样，在Q值较大时差别较小。 2. 本章讨论改变频率实现谐振的情况。若改变电路
参数实现谐振，所得到的变化规律与改变频率实 现谐振不一样的。
第10章 电路中的谐振

1
jL1

jC 2

j(C 2
1 )
L1
C2
L1
jX 2

1 jB2

j(-wenku.baidu.com
1 )
B2
B2
C2
X2
0
0 2
1
-
L1
2
1 L1C2
2

C3 L1
jX

1
jC 3

jX 2

j(-
1
C3

X2)
C2
jX2
X( )
X2
0
1 2

X
1
C3
LC串并联电路的应用： 可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。

UL


UR I

UC
谐振时的相量图
五、串联谐振时的电磁场能量
i LC
设 u Um sin t
+
u
则
i

Um R
sin
t

Im
sin
t
_
Q + uC -
R P
磁场能量
wL

1 2
Li 2

1 2
LI
2 m
sin2
t
uC
UCm
sin(
t
90o )

Im
C
sin(
t
90o )
= 0， UL= QU > 0 ， LM ，ULM UL=U
UC (ω)

I
C

C
U
R2

(L

1
C
)2
UCM QU U

IR
+

U
_
j L
1 jω C
1/( C)
UC( )
0
CM 0
=0， UC = U
0< < 0 UC , CM ，UCM , UC
I0
0 1 1 2
Q=1
Q=10
0

五. UL( )与UC( )的频率特性
IR
U
L
(ω)

LI

L

|
U Z
|

UL( )
LU
R2

(L

1
C
)2
+

U
_
j L
1 jω C
ULM
QU
UL ( )
U
XL ( ) I( )
0
0 Lm

0 0

=0， UL = 0 0< < 0， UL
QU QU
1

1 4Q
2
Q越高，LM和CM 越靠近 0
10. 3 并联电路的谐振
一、简单 G、C、L 并联电路
+

IS

UG
CL
_
对偶：
R L C 串联
Z

R

j(L

1
C
)
ω0
1 LC
G C L 并联
Y

G

j(C

1
L
)
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z|
R
O
0

|Z|最小 ( R )
2. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )，使 XL=|XC| 。
二、RLC串联谐振的特征
X=0
Z=R
Z R2 X 2 R
三、参数
I U U ZR
最大
1. 特性阻抗 (characteristic impedance)
最小

0L

1
0C

L C
2. 品质因数(quality factor)


L C
Im
cos
t
电场能量
wC

1 2
CuC2

1 2
CU
2 Cm
cos
2

t

1 2
LI
2 m
cos 2
t
W总

wL
wC

1 2
LI
2 m

1 2
CU
2 Cm
wL
wC
W总
i
uC
电感电容储能的总值与品质因数的关系：
W总

1 2
CU
2 Cm

1 2
CQ
2U
2 m
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量
单位：
Q ω0 L 1 1 L
R R ω0 RC R C
无量纲
四 . 谐振时元件上的电压
U U R IR
U L Ij0 L jUQ
U C

I
j 0C

jUQ
串联谐振又称电压谐振

IR
+

U _
+
U R
U+-U+C-L
j L
1 jω C

1
C
)2
幅频 特性
φ
(ω)

tg1
L

1
C
R
相频 特性
| Z ( ) |
|Z( )| XL( ) X( )
( )
/2
R
0
0
XC( )
0
0

–/2
阻抗幅频特性
阻抗相频特性
二. 电流谐振曲线 谐振曲线：表明电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I( )
U/R 1/R

R2
ω0 L (ω0 L)2

0
谐振角频率
ω 0

1 ( R)2 LC L
当 1 ( R )2 , 即 R L时, 可以发生谐振
LC L
C
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
Y (0 )
R2
R
(0 L)2
Z(ω0 )
R2
(ω0 L)2
R

L RC
I
+
IL R
Q ω0L
R

ω 0

1
2 1
2
LIm2
RI
2 m

2
1 2
LI
2 m
RI 2T0
谐振时电路中电磁场总能量
2 谐振时一个周期内电路消耗的能量
10.2 RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
一. 阻抗频率特性
Z

R

j(ωL

1 ωC
IC
U
C
L
-
I
U
IC
IL
等效电路：
R C
L
Ge Le
C
Y

R2
R
(
L) 2

j(C

R2
L (
L) 2
)
其中：C不变。
R
Ge R2 ( L)2
1
L
R2 ( L)2
Le R2 ( L)2 , Le 2L
ω 0

1 ( R)2 LC L
Q ω0L
R

ω 0

1
2 1
2
LIm2
RI
2 m

2
1 2
LI
2 m
RI 2T0
谐振时电路中电磁场总能量
2 谐振时一个周期内电路消耗的能量
10.2 RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
一. 阻抗频率特性
Z

R

j(ωL

1 ωC
)
|
Z(ω) | φ(ω)
| Z(ω) |
R2

(L
I( ) I (0 )
1
0
1
Q=0.5
Q=1 Q=10
Q越大，谐振曲线越尖。 电路对非谐振频率下的 电流具有较强的抑制能 力，所以选择性好。
0
Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。
I(ω) U / | Z | I (ω0 ) U / R
R

R2 (L 1 )2
C
1
1 (L 1 )2 R RC

1

1
1 (ω0L ω 1 ω0 )2 R ω0 ω0 RC ω
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
I (0 ) I0
0
I( )
I0
1 1 Q2 (η 1 )2
η
I( ) I(0 )
1
0.707
Q=0.5
Q 当不变 I( ) 曲线越尖
第10章 电路中的谐振
10. 1 串联电路的谐振 10. 2 RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性 10. 3 并联电路的谐振 10. 4 串并联电路的谐振
10. 1 串联电路的谐振

IR
+

U _
Z

R

j(L

1
C
)

R

j( X L

XC
)
|
Z
|

j L
1 jω C
当 ，L， C 满足一定条件，恰好使XL=|XC| ， = 0，
电路中电压、电流出现同相，电路的这种状态称为谐振。
一、串联谐振的条件

IR
1. L C 不变，改变
谐振时
0
L

1
0C
+
j L

U _
1
jω C
ω0
1 LC
谐振角频率 (resonant angular frequency)
f0

2π
1 LC
谐振频率 (resonant frequency)
L
令 2
1 LC
C
+ R uo(t)
2信号被断开
_
1信号被分压
(2)
C3
L1
+ u1(t)
_
+ C2 R uo(t)
_
ω2 ω1
1 L1C 2
1 L1 (C 2 C 3 )
并联谐振，开路 串联谐振，短路
1 信号短路直接加到负载上。
该电路 2 >1 ，滤去高频，得到低频。



IG IS U

IL
电流谐振
IL( 0) =IC( 0) =QIS
Q ω0C 1 1 C G ω0GL G L
二 、电感线圈与电容并联
R
Y

jωC

R
1 jωL
C L

R2
R (ωL)2

j(ωC

R2
ωL (ωL)2
)
G jB
谐振时 B=0，即
ω0C
I(ω)
U
| Y (ω) | U
R2

(ω
L

1 ωC
)2
I( ) 电流谐振曲线
|Y( )|
0
0

三. 选择性
I(f ) I0
从多频率的信号中选出0 的
那个信号，即选择性。
I1
I2
Q 对选择性的影响： Q越大，选择性越好
0 640 820 1200 f (kHz)
四. 通用谐振曲线
1
jC2
jL1

1
jC2

1
jC3

1

jL1
ω2 L1C2


j
1 ω2 L1(C2 C3 )
C3 (1 ω2 L1C2 )
C3
分别令分子、分母为零，可得：
L1
C2
ω 1

1
串联谐振
L1 (C 2 C 3 )
ω2
1 L1C 2
并联谐振
ω1 ω2
阻抗的频率特性
jB2
I( )
US/R
O 0

谐振时电流最大
G C L 并联
|Y|
G
O
0

|Y|最小( G)
U( )
IS/G
O 0

谐振时电压最高
R L C 串联
G C L 并联

UL

IC



UR U I

UC
电压谐振
UL( 0)=UC ( 0)=QU
Q ω0 L 1 1 L R ω0 RC R C
10. 1 串联电路的谐振 10. 2 RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性 10. 3 并联电路的谐振 10. 4 串并联电路的谐振
10. 1 串联电路的谐振

IR
+

U _
Z

R

j(L

1
C
)

R

j( X L

XC
)
|
Z
|

j L
1 jω C
当 ，L， C 满足一定条件，恰好使XL=|XC| ， = 0，
电路中电压、电流出现同相，电路的这种状态称为谐振。
一、串联谐振的条件

IR
1. L C 不变，改变
谐振时
0
L

1
0C
+
j L

U _
1
jω C
ω0
1 LC
谐振角频率 (resonant angular frequency)
f0

2π
1 LC
谐振频率 (resonant frequency)
谐振时：Ge

CR L
,
或
Re

L。 CR
10. 4 串并联电路的谐振
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：
L3
C3
L1
C2
L1
C2
(a)
(b)
对(b)电路定性分析
=2 时
并联谐振
2
1 L1C2
<2 时
并联支路呈感性，发生串联谐振
定量分析 Z(ω )
1
jC3

jL1

例： 激励 u1(t)，包含两个频率1、2分量 (1<2)： u1(t) =u11(1)+u12(2) 要求响应uo(t)只含有1频率电压。
如何实现？
+
u1(t)
uo(t)
_
(1) +
u1(t)_
(2) +
u1(t)_
令 2
1 LC
L
+
C
R uo(t) _
2信号被短路