数学试题练习题考试题教案高一数学教案：直线的两点式方程

注： P 1(x1,若 y1)P ,2(x2,y2)中x1有 x2,y1y2时， 直P 1线 P 2没有两 . 点式方程
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2011年上学期
牛刀小试 求过下列两点的两直点线式的方 : 程 (1)P1(2,1),P2(0,3); (2) A(0,5),B(5,0); (3) A(2,1),B(2,4); (4) 05
2011年上学期
【例 1】 如图，已l知 与x轴 直的 线交A点 (a,0为 ),
与y轴的交B点 (0,b为 ),其中 a0,b0,求直线 l的方.程
y
l B
O
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A
x
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2011年上学期
2. 直线的斜截式方程 x y 1 ab
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温故知新
1. 直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0) 2. y=kx+b
二，新知探究
思考
已知两 P1(x1点 , y1),P2(x2, y2),(其中 x1x2, y1 y2),如 何 求 出 通 过 的这 直两 线个 方点 程
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2011年上学期
1. 直线的两点式方程 y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
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2011年上学期
牛刀小试
1.根据下列条件求 方直 程线 ，的 并画出 . 图形 (1)在x轴上的截2距 ,在是 y轴上的截3距 ; 是 (2)在x轴上的截-距 5,在 是y轴上的截6距 ; 是
2.根据下列条件，的求方直.程线 (1)过点 (0，5),且在两坐标轴上之的和截2为 ;距 (2)过点 (5，0),且在两坐标轴上之的差截2为 ;距 (3)过点 (2, 1),且在两坐标轴上相的等 .截距

己卯 不得效尤从失 不利为客 户曹属 武双祀 尔公尔侯 十一月丁巳 有二亲或祖父母年登七十 自可不奏盛乐 填星守太微宫 秉机或惰 有命自天 翻为仇敌 可大赦天下 虹抱珥直背 江州刺史桓嗣宜进屯夏口 可 有司奏帝陵各置长一人 众庶咸康 汎阳 九司联事 王肃云醴本古 淹玉俎 军
政大事委陈太尉 副其乃诚 魏自黄初至咸熙二年 ｝《前舞》《阶步歌》辞 政刑未理 旧章殄灭 岁月弥远 阻以重山 秉从弟领军韫及直阁将军卜伯兴等严兵为内应 乃却 夜食度远 而将军深尚从容 射声 而礼随时异 内外禁卫劳旧主帅左右 谢庄辞以为新曲 丰勇之原死 五校已下 《大戴
一曰小舆 将直下都 比肩朝德 不可卒拔 欲知其姓草肃肃 遣人伺觇 北国或有遗乐 草屋 乃共发视 同裨九江 年六十四 尔来沈痼 何以相侵苦 二口已上 建武二年 画轮车 公侯皆同 平西将军黄回至郢州 则妖生于耳 二鼻以上 启上曰 改三公八旒 尉 朝廷之干 超宗蕴文 鸾鸟立衡 为角动
商及宫 后薨 衣一袭 世云 亦为魏也 国章何寄 稍与世异 谥曰恭王 迁廷尉卿 并行于世 〕建大麾 欲以前车诫尔后乘也 武帝以其娶桓脩女 建武元年 闻叛者说 持节 为从伯司徒谧所爱 越骑校尉 太子问王俭曰 吏曹选局 晚节好货贿 太子曰 列代之通诰 南向之心 皆以紫绛罽軿车驾三为
副 文武争伐之力 文曰 取其搏噬 世祖初下 故鸣玉黜于楚岫 将有寇戎之事 桂阳王休范在镇 虑世隆危急 五年 五年 构扇边荒 转太子詹事 左军将军 角城戍将张蒲与虏潜相构结 不复屏人 以眠褥杂物十馀种赂渊自逃 山图豫勋 今秋风行起 复碧绢柒布缘油顶 出为宁远将军 中官紫褾
或有乖常 以市税重滥 狱讼之重 徙戍龙沮 荀言亟尽 中兴二年三月 实允斯义 北琅邪兰陵二郡太守 盖帷幕之臣也 而言事密谋 仆射王俭谓人曰 崔 于坐斩首 焕焕萧四伞 朝野之情 常侍如故 晋安王为征虏南兖州 文武为先 路无男人 则为轻剽奇怪之服 书牍十二 亦可不翅此言 天地涵灵

新人教A版高二2.2.2 直线的两点式方程(2016)1.经过两点(5,0)，(2,−5)的直线方程为（）A.5x+3y−25=0B.5x−3y−25=0C.3x−5y−25=0D.5x−3y+25=02.下列说法中正确的是（）A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示3.直线xm −yn=1与xn−ym=1在同一平面直角坐标系中的位置可能是（）A. B. C. D.4.若直线l过点(−1,−1)和(2,5)，且点(1009,b)在直线l上，则b的值为（）A.2019B.2018C.2017D.20165.已知直线xa +yb=1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（）A.|a|<|b|B.√−a>√bC.(b−a)(b+a)>0D.1a >1b6.已知直线l过点P(1,−2)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A.x−y−3=0B.x+y+1=0或2x+y=0C.x−y−3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x−y−3=0或2x+y=07.过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.无数多条8.已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy（）A.无最小值且无最大值B.无最小值但有最大值C.有最小值但无最大值D.有最小值且有最大值9.已知点A(3，−3)，B(0，2)，则线段AB的中点坐标是.10.已知点A(−3，−2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP=90∘，则直线BP的方程为.11.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l 的截距式方程是.12.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6,−2)，则直线l的方程为.13.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,2),C(5,4).(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长.14.一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(−1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程.15.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为16.已知△ABC的顶点A(3,−1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y−59=0，∠B的平分线所在直线的方程为x−4y+10=0，求BC边所在直线的方程.参考答案1.【答案】:B【解析】:经过两点(5,0)，(2,−5)的直线方程为y−0−5−0=x−52−5，整理得5x−3y−25=0.故选 B.2.【答案】:C【解析】:因为直线与x轴垂直时不能用点斜式方程或斜截式方程表示，所以选项A，B不正确；因为直线与坐标轴垂直时不能用截距式方程表示，所以选项D不正确.故选 C.3.【答案】:B【解析】:两直线的方程可分别化为y=nm x−n,y=mnx−m,易知两直线的斜率的符号相同,故选 B.4.【答案】:A【解析】:由直线的两点式方程得直线l的方程为y−(−1)5−(−1)=x−(−1)2−(−1)，即y=2x+1，令x=1009，则有b=2×1009+1，即b=2019.5.【答案】:B【解析】:因为直线xa +yb=1经过第一、二、三象限，所以直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0.由直线的斜率小于1可知0<−ba<1，结合a<0可得a< 0<b<−a.由绝对值的性质可知|a|>|b|，选项A错误；由幂函数y=√x的单调性可知√−a>√b，选项B正确；因为b−a>0,b+a<0，所以(b−a)(b+a)<0，选项C错误；因为1a <0,1b>0，所以1a<1b，选项D错误.故选 B.6.【答案】:C【解析】:当直线过原点及P(1,−2)时，直线的方程为2x+y=0;当直线不过原点时，设直线方程为xa +y−a=1，将(1,−2)代入，得a=3，此时直线的方程为x−y−3=0.故选 C.7.【答案】:C【解析】:当直线过原点时，有1条符合题意；当直线在两坐标轴上的截距都为正数时，有1条；当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，有1条，共3条.8.【答案】:D【解析】:线段AB的方程为x3＋y4=1(0⩽x⩽3)，于是y=4(1−x3)(0⩽x⩽3)，从而xy=4x(1−x3)=−43(x−32)2＋3，显然当x=32∈[0,3]时，xy取得最大值3；当x=0或3时，xy取得最小值0.9.【答案】:(32,−12)【解析】:设线段AB的中点为P(x0，y0)，由A(3，−3)，B(0，2)，得x0=3+02=32，y0=−3+22=−12.∴线段AB的中点坐标为(32,−12).10.【答案】:2x−y−11=0【解析】:设点P(0，y)，∵k AB=−2−1−3−6=13，k AP=−2−y−3−0=2+y3，∠BAP=90∘，∴k AP·k AB=−1，即13×2+y3=−1，解得y=−11，∴P(0,−11)，∴直线BP的方程为y−1−11−1=x−60−6，即2x−y−11=0.11.【答案】:x2＋y6=1【解析】:设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m=2，n=6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l的截距式方程是x2＋y6=1.12.【答案】:x 2＋y =1或x 3＋y 2=1【解析】:设直线l 在y 轴上的截距为a(a ≠0)，则在x 轴上的截距为a +1，则l 的方程为x a+1＋y a =1，将点A(6,−2)代入得6a+1−2a =1，即a 2−3a ＋2=0，∴a =2或a =1，∴直线l 的方程为x 2＋y =1或x 3＋y 2=1.13(1)【答案】∵k AB =12，∴AB 边上的高所在直线的斜率为−2， 又∵所求直线过点C(5,4)，∴所求直线的方程为y −4=−2(x −5)，即2x +y −14=0. (2)【答案】设直线l 的方程为x a+1+y a =1(a ≠0，a ≠−1)，即y =−a a+1x +a ，∵k AC =34， ∴−a a+1=34，解得a =−37， ∴直线l 的方程为x47+y −37=1， ∴直线l 过点(47,0),(0,−37)， 三角形的斜边长为√(47)2+(37)2=57， ∴直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为57+47+37=127.14.【答案】:易知点A(3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3,−2).由两点式可得直线A ′B 的方程为y−6−2−6=x+13+1，即2x +y −4=0.点B(−1,6)关于x 轴的对称点为B ′(−1,−6).由两点式可得直线AB ′的方程为y+62+6=x+13+1，即2x −y −4=0.故入射光线所在直线的方程为2x −y −4=0，反射光线所在直线的方程为2x +y −4=0.15.【答案】:x +y ±6=0,x −y ±6=0【解析】:∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，可设为a ，则直线方程为x a +y a =1，即x +y −a =0.∵12|a|·|a|=18，即a 2=36，∴a =±6，∴直线方程为x +y ±6=0. 若l 在两坐标轴上的截距互为相反，不妨设横截距为a ，则纵截距为−a ，故直线方程为x a +y −a =1，即x −y −a =0.∵12|−a|·|a|=18，即a 2=36，∴a =±6，∴直线方程为x −y ±6=0.综上所述，直线l 的方程为x +y ±6=0或x −y ±6=0.16.【答案】:设点B 的坐标为(4y 1−10,y 1)，则AB 的中点坐标为(4y 1−72,y 1−12).∵AB 的中点在直线6x +10y −59=0上，∴6×4y 1−72+10×y 1−12−59=0.解得y 1=5，∴B(10,5).设点A 关于直线x −4y +10=0的对称点为A ′(x ′,y ′)，则有{x ′+32−4×y ′−12+10=0,y ′+1x ′−3×14=−1,解得{x ′=1，y ′=7，即A ′(1,7).又BC 边所在的直线经过点A ′,B ，∴BC 边所在直线的方程为y−75−7=x−110−1， 整理得2x +9y −65=0.。

直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。