2020年高三数学一模二模试卷分析

2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 2，则S 6a 2=（ ）A ．4B ．162C ．9D ．126．若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√3311．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π1212．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 ． 14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 ． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 ．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2．∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，且AE =√6． （1）求∠BEA 及AC ；（2）若∠ADC ＝60°，求四边形ABCD 周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t)25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ n i=1(ωi −ω)(v i −v)∑ ni=1(ωi −ω)2，α=v −βω．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝120°，三角形SAB 是等边三角形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．（1）求证：平面SCD ⊥平面SEF ；（2）若AB ＝2，求直线SF 与平面SCD 所成角的正弦值．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=2+i1−i=(2+i)⋅(1+i)2=12+32i，∴z=12−32i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为C53•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则S6a2=（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a ＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x |≥0，∴若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}， ∴0＜a ＜1，当x ＞0时，数y ＝log a |x |＝log a x ，为减函数，当x ＜0时，数y ＝log a |x |＝log a （﹣x ），为增函数，且函数是偶函数，关于y 轴对称， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C ：x 2a +y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|BF 1|+|BF 2|＝2a ，即可得出答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ．∴△ABF 2的周长＝|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝8＝4a ．解得a ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 n ＝1，得a ＝8， 不满足a−221∈Z ，n ＝2，得a ＝13，不满足a−221∈Z ，n ＝3，得a ＝18，不满足a−221∈Z ，n ＝4，得a ＝23，此时，满足a−221∈Z ，退出循环，输出a 的值为23．故选：C ．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√33【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率tan∠MOF=ba=√33，所以离心率为e=√1+(ba)2=2√33．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由π6−π24=2k+14T，则T=π4k+2，k∈Z，当k＝0时，T=π2．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点x1=−1k，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B ．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 150° ．【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出a →⋅b →，|a →|和|b →|的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞=−√32，从而可得出a →，b →夹角的大小．解：∵cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√3−√32×2=−√32，且0≤＜a →，b →＞≤π， ∴a →与b →的夹角为150°． 故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 ． 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可． 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 a n =2n ．【分析】利用数列的递推关系式，通过m ＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，令m ＝1，得a n +1＝2a n ，则{a n }是首项和公比均为2的等比数列，则a n =2n ． 故答案为：a n =2n ．【点评】本小题主要考查数列以及前n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1， 设正方形边长为a ，内切球半径为r ， 则AG ＝a ，EG =FG =a2； 记四面体内切球球心为O ，如图2，则V A ﹣EFG ＝V O ﹣EFG +V O ﹣AEF +V O ﹣AEG +V O ﹣AFG ，即V A−EFG =13(S △EFG +S △AEF +S △ABG +S △AFG )⋅r ，即13×12×a 2×a 2×a =13×a 2×r ，所以a ＝8r ；又4πr 2=π4，即r =14，所以a ＝2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=√6．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n≤4√3，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：sin∠AEB=ABsinBAE=6=√22．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以AC=2√3．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得(2√3)2=m2+n2−2mncos60°=(m+n)2−3mn，即有(m+n)2=12+3mn≤12+3×(m+n2)2，即(m+n)24≤12，所以m+n≤4√3，当且仅当m=n=2√3时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为4+4√3．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t) 25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑n i=1(ωi−ω)(v i−v)∑n i=1(ωi−ω)2，α=v−βω．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，b=∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(x i−x)2=48.48168≈0.289，∴a=z−b x=2.89−0.289×25≈−4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x−4.34．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x−4.34．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与SF→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ， SE ⊂平面SAB ，SE ⊥AB ，∴SE ⊥平面ABCD ． 又∵CD ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥CD ．连接BD ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BD ∥EF ． ∵AD ＝DC ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ．又∵∠BAD ＝∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝30°， ∴∠BDC ＝90°，得BD ⊥CD ． 又∵BD ∥EF ，∴CD ⊥EF ． 又SE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面SEF ．又∵CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SEF ；（2）解：过E 作EN ∥CD ，则ES ，EF ，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC 中，求得BD =2√3，CD ＝2，BC ＝4． 则E （0，0，0），F(0，√3，0)，S(0，0，√3)，C(52，3√32，0)，D(12，3√32，0)．故SD →=(12，3√32，−√3)，SC →=(52，3√32，−√3)，SF →=(0，√3，−√3)．设平面SCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅SD →=12x +3√32y −√3z =0n →⋅SC →=52x +3√32y −√3z =0，可取n →=(0，2，3)． 则|cos〈n →，SF →〉|=|n →⋅SF→n →|⋅|SF →||=√3√6⋅√13=√2626．故SF 与平面SCD 所成角的正弦值为√2626．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ，再利用导函数f '（x ）的正负性与函数f （x ）的单调性之间的联系即可得f （x ）的单调性，从而确定f （x ）min ＝f （1），而f （1）＝0，进而得证；（2）构造函数g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g '（x ），令h （x ）＝g ′（x ），再求导h '（x ），从而可确定g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，由于g ′（0）＝2﹣2a ，于是分a ≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g （x ）的单调性，以便求证g （x ）min 与0的关系． 解：（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ， 当x ＝1时，f ′（x ）＝0；当x ∈（﹣∞，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 所以f （x ）在x ＝1时取得极小值，也是最小值．所以f （x ）≥f （1）＝0．（2）令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2a ，令h （x ）＝g ′（x ），则h′(x)=e 2x −1ex ≥0在[0，+∞）上恒成立，所以g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝2﹣2a ，①当a ≤1时，g ′（x ）≥g ′（0）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0，即f （x ）≥f （﹣x ），满足题意．②当a ＞1时，因为g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）min ＝g ′（0）＝2﹣2a ＜0，所以存在t ∈（0，+∞），使得当x ∈（0，t ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，t ）上单调递减，此时g （x ）＜g （0）＝0，这与g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾． 综上所述，a ≤1，故实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．【分析】（1）两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．求出直线EF 的斜率，得到直线EF 的方程，即可求解直线EF 恒过的定点． 解：（1）由题意可知两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．因为联立直线l 1与抛物线的方程，有{y =k(x −1)+1#/DEL/#x 2=2y #/DEL/#⇒x 2−2kx +2k −2=0，其中△＝4k 2+8＞0，由韦达定理，有{x 1+x 2=2kx 1x 2=2k −2．由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2)，同理|MN|=√(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k2)(80+32k 2+32k2)．令k 2+1k2=t ≥2．则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40．所以，当且仅当t ＝2，即k ＝±1时，S 取得最小值12，且当t →+∞时，S →+∞． 故四边形MPNQ 面积的范围是[12，+∞）． （2）由（1）有x 1+x 2＝2k ，y 1+y 2=2k 2+2，所以PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．于是，直线EF 的斜率为k EF =k 2+1−(1k2+1)k+1k=k 2−1k 2k+1k=k −1k ，则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，所以直线EF 恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，求动点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ）． 因为点P 为曲线C 1与C 2的公共点， 所以点P 同时满足曲线C 1与C 2的方程． 曲线C 1消去参数可得tanθ1=yx+2， 曲线C 2消去参数可得tanθ2=y x−2． 由tan θ1tan θ2＝﹣1，所以yx+2⋅yx−2=−1．所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ≠±2）．（2）由已知，直线l 的极坐标方程2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为d=5=2√5，所以点P到直线l的距离的取值范围为[2√5−2，2√5+2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）(√2a+1+√2b+1+√2c+1)2=2(a+b+c)+3+ 2√(2a+1)(2b+1)+2√(2b+1)(2c+1)+2√(2c+1)(2a+1)≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得(1a−13)(1b−13)(1c−13)=(a+b+c3a−1 3)(a+b+c3b−13)(a+b+c3c−13)=b+c3a ⋅a+c3b⋅a+b3c≥127⋅2√bca⋅2√acb⋅2√abc=827（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。

绝密★启用前2020届上海市浦东新区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.解：由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B点评：本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在答案：C 易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.解：若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C点评：本题考查了线面平行的判定，属于基础题.3．已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈； ④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 则正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④答案：D 由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题. 解：()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确； 当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+ 当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=-- 可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确； 函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.点评： 本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.4．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅ 答案：C先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.解：当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况； 集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况； 以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况. 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ②707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C点评：本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.二、填空题5．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．答案：{}2由补集的运算法则可得解.解：{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2点评：本题考查了补集的运算，属于基础题.6．某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．答案：100数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.解：5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100点评：本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.7．若函数()12f x x =，则()11f -=__________． 答案：1由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解. 解：由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1。

天津市河西区2020届高三数学二模试题（含解析）一､选择题1.设集合{}24M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则MN =（ ）A. {}21x x -≤< B. {}2,1,0-- C. {}2x x ≤- D. {}02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据补集运算求解即可. 【详解】{}24[2,2]M x x =≤=-，{}12N x x =≤≤，[2,1)MN ∴=-，故选：A【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.2.设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分而不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性. 【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 3.已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95yx a =+，则 a 的值为（ ） A. 0.325 B. 0C. 2.2D. 2.6【答案】D 【解析】 【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，【详解】解：由题意，013424x +++==，2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，∴样本中心点为()2,4.5，数据的样本中心点在线性回归直线0.95y x a =+上，4.50.952a ∴=⨯+，∴ 2.6a =，故选：D【点睛】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 221916y x -=D. 221169y x -=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 【详解】因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.5.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A.23B.32C.43D.34【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.6.已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A. π B. 2πC. 4πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.【详解】因为正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，底面积为()222S ==所以棱锥高3422V h S ===, 即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点， 所以正方形的对角线为圆的直径2=22=2R ⨯，即1R = 所以圆柱的表面积为2222242hS R R πππππ=⨯+=+= 故选：C【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.7.函数()()1e2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 96 D. 144【答案】C 【解析】 【分析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可. 【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有122C =种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=个符合条件的四位数;②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有122C =种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,安排在其他三个位置,有336A =种情况,则有23636⨯⨯=个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有4424A =个符合条件的四位数；则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数. 故选：C【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.9.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键. 二､填空题10.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．5【解析】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． 11.二项式6(2x x的展开式中常数项为 . 【答案】60 【解析】试题分析：二项式6(2x x的展开式的通项公式为()36662166·2?()?2?(1)r rrr r r rr T C x C x x---+==-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为46446·2?(1)60C --=，故答案为60.考点：二项展开式的通项公式.12.若直线34x y m +=与圆22x y m +=相切，则实数m =______.【答案】25 【解析】 【分析】根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可. 【详解】直线34x y m +=与圆()220x y m m +=>相切，∴圆心到直线的距离5m d -===平方可得225m m =，解得25m = 故答案为：25【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x 的期望是______. 【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】 【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得x 的分布列，再求其期望即可.【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有310120C =种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有218256C C ⋅=种可能；故满足题意的概率56712015P ==； （2）根据题意，0,1,2x =，()38567012012015C P x ====；()2182567112012015C C P x ⋅====；()128281212012015C C P x ⋅====，故()72315155E x =+=. 故答案为：715；35.【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.14.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 15.在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.【答案】 (1). 1 (2). 83【解析】【分析】根据点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，可得G 为三角形ABC 的重心，再将AG 、MB 、AC 、用BA 、BC 表示，利用5AB =，1CB =可得答案.【详解】因为点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，所以G 为三角形ABC 的重心， 所以()2233AG AN BN BA ==-=21123233BC BA BC BA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12MB BM BA BC =-=-+， 因为223AG MB CA CB ⋅=+，所以()22121133322BC BA BA BC BA BC CB ⎛⎫⎛⎫-⋅--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以221113636BC BA BC BA ⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭2222BA BC BA BC BC =+-⋅+，所以52BC BA ⋅=252BC ，所以21BC BA BC ⋅==，AG AC ⋅=()1233BC BA BC BA ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭221233BC BA BC BA =+-⋅12851333=+⨯-=. 故答案为：1；83.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题. 三､解答题16.已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【答案】（1）π.（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简()f x 为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()f x 在R 上的单调增区间，结合区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可求得结果. 【详解】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题. 17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值是6，求DF 的长. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE 的法向量，利用10AC n →→⋅=证明即可；（2）利用1//A E n →→即可证明；（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，由线面角公式可求出λ，即可利用向量的模求DF 的长.【详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n →=(x ，y ，z )，DB →=(1，1，0)，DE =(0，1，1)由00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得n →=(1，-1，1)， 又1AC →=(-1，1，2)，因为()11111210AC n →→⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以1AC n →→⊥，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n →=(1，-1，1)，1A E →=(-1，1，-1)，1A E n →→=-，所以1//A E n →→，所以1A E ⊥平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，1A F →=(0，1，2λ-)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为α，则11sin A F nA F nα→→→→⋅===⋅， 解得1λ=，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF →=(1，1，1)，||DF →=所以DF 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*232n n S a n N =-∈，数列{}nb 是公差为0的等差数列，且满足1116b a =，5b 是2b 和14b 的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求10111i i i b b =+∑；（3）设数列{}n c 的通项公式122k n kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，求()()22*11ni i c n N =-∈∑； 【答案】（1）23nn a =⋅，21n b n =-.（2）1021.（3）111392322n n n ++⨯-⨯++ .【解析】 【分析】（1）利用两式()232n n S a =-(*N n ∈)， ()11232n n S a --=-(2n ≥)相减得到13nn a a -=(2n ≥)，再根据等比数列的通项公式可得n a ，根据()25214b b b =⋅求得等差数列{}n b 的公差，再根据等差数列的通项公式可得n b ；（2）根据1111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭裂项求和可得结果； （3）由{}n c 的通项公式分析可知，数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，由此可得()()2221111nni i i i c a ==-=-∑∑，然后利用等比数列的前n 项和公式可得结果.【详解】（1）因为()232n n S a =-(*N n ∈)，所以()11232n n S a --=-(2n ≥)， 两式相减，整理得：13n n a a -=()2n ≥， 又当1n =时，()11232a a =-，16a =，所以13nn a a -=(2n ≥)， 所以{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a q -=⋅=⋅.设等差数列{}n b 的公差为d ，因为11116b a ==，5b 是2b 和14b 的等比中项， 所以()25214b b b =⋅，即()()()2141113d d d +=++， 整理得220d d -=，解得0d =或2d =，因为公差不为0， 所以2d =，故()1121n b b n d n =+-=-.（2）因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以101111111111012335192121i i i b b =+⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭∑. （3）因为122kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，23n n a =⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，所以()()()()222211111123149431nn n niiiiii i i i c a ====-=-=⋅-=⋅-⋅+∑∑∑∑()()111191931313494344923191322n n nni i n n i i n n n ++==--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯++--∑∑.【点睛】本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题. 19.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为)，⎛⎝⎭是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为A ，B ，()()000,0P x y x ≠是椭圆上异于A ､B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点. ①求证：OM MN ⊥； ②若MON △的面积为32，求0y 的值； 【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②45【解析】 【分析】(1)设椭圆方程为22221x y a b +=,由题意,得3c =,再由3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM →→⋅=,可得OM MN ⊥,再利用32MON S ∆=,结合椭圆方程,求解可得结果. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意，得3c =因为222a c b -=，所以223a b -=.又3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点，所以2231413aa +=-， 解得24a =或234a =(舍去)，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）①解：因为()00,P x y ，()00x ≠，则()00,Q y ，且220014x y +=.因为M 为线段PQ 中点，所以00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭. 又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+. 因为00x ≠，∴01y ≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，有()00,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以()0000,1221x x NM y y →⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.因此，()()()2220000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y →→⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭ ()()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫=+-+=-++= ⎪-⎝⎭. 所以OM MN ⊥. ②由①知，OM MN ⊥.因为1OM ==，ON ===所以在Rt MON中，MN =因此12MON S OM MN =⋅=△32=， 解得045y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.20.已知函数()02xxf x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：1213()122x e x ---+＞． 【答案】（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)xe k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令()1213()122x h x ex -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】（1）因为()xxf x e e sinx =-，所以()((1sin cos )1)4cos )x x x xf x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--==+⎢⎥⎣⎦， ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)xe sinx k x x -≥-- …（*）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)xe k x ≥-． 令()xg x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，当0k ≤时，()0xg x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0xg x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0xg x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0xg x e k '=->．所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022ming x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤-综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x ex -=+--，则()132x h x e x -'=+-． 由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 即 01032x ex -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值，故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x ex -=+-->， 即1213()122x e x ---+>．【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。

西城区高三诊断性测试数学2020.5本试卷共6页,150分㊂考试时长120分钟㊂考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共40分)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x||x|<3},B={x|x=2k,kɪZ},则AɘB=(A){0,2}(B){-2,2}(C){-2,0,2}(D){-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足z㊃i=-1+i,则在复平面内z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+¥)上单调递增的是(A)y=-x3(B)y=x|x|(C)y=x-1(D)y=x4.抛物线x2=4y的准线方程为(A)x=1(B)x=-1(C)y=1(D)y=-15.在әA B C中,若aʒbʒc=4ʒ5ʒ6,则其最大内角的余弦值为(A)18(B)14(C)310(D)356.设a=30.2,b=l o g32,c=l o g0.23,则(A)a>c>b(B)a>b>c(C)b>c>a(D)b>a>c7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)6(B)4(C)3(D)28.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(A)(-¥,1](B)(-¥,0](C)[0,+¥)(D)[5,+¥)9.若向量a与b不共线,则 a㊃b<0 是 2|a-b|>|a|+|b| 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.设函数f(x)=(x-1)e x.若关于x的不等式f(x)<a x-1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是(A)(0,e](B)(0,e2](C)(1,e22](D)(1,e2+12]第Ⅱ卷(非选择题共110分)二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量a=(1,-2),b=(k,2)满足aʅb,则|b|=12.若双曲线x2a2-y216=1(a>0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为.13.设函数f(x)=s i n2x+2c o s2x.则函数f(x)的最小正周期为;若对于任意xɪR,都有f(x)ɤm成立,则实数m的最小值为.14.甲㊁乙㊁丙㊁丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中 ɿ 表示猜测某人获奖, ˑ 表示猜测某人未获奖,而 ʻ 则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测ɿˑˑɿ乙的猜测ˑʻʻɿ丙的猜测ˑɿˑɿ丁的猜测ʻʻɿˑ15.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P Aʅ底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,P D的中点,对于平面E F H截四棱锥P-A B C D所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于46;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是.三㊁解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D Eʅ平面A B C D, D EʊB F,且D E=2B F=2.(Ⅰ)求证:平面B C Fʊ平面A D E;(Ⅱ)求钝二面角D-A E-F的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前n项和S n=n2+p(pɪR),②a n=a n+1-3,③a6=11且2a n+1=a n+a n+2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中nɪN*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1,a n,a m成等比数列,其中m,nɪN*,且m>n>1,求m的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), ,[0.836,0.886.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为 A级 ,发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为 B级 ,发芽率低于0.636的种子定为 C级 . (Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 C级 种子的概率; (Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份 A级 ㊁ B级 ㊁ C级 康乃馨种子的售价分别为20元㊁15元㊁10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F,点A(a,0),且|A F|=1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线M A,N A分别与直线x=4相交于点P,Q.求øP F Q的大小.北京市西城区诊断性测试高三数学第5页(共6页)20.(本小题满分15分)设函数f(x)=a e x+c o s x,其中aɪR.(Ⅰ)已知函数f(x)为偶函数,求a的值;(Ⅱ)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;(Ⅲ)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(本小题满分14分)设N为正整数,区间I k=[a k,a k+1](其中a kɪR,k=1,2, ,N)同时满足下列两个条件:①对任意xɪ[0,100],存在k使得xɪI k;②对任意kɪ{1,2, ,N},存在xɪ[0,100],使得x∉I i(其中i=1,2, , k-1,k+1, ,N).(Ⅰ)判断a k(k=1,2, ,N)能否等于k-1或k2-1;(结论不需要证明) (Ⅱ)求N的最小值;(Ⅲ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由.西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5.A 6.B7.D8.A9.A10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =±13．π114．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE .………………3分同理，得//BC 平面ADE .又因为BC BF B = ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE .………………6分（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ，所以(2,0,2)AE =- ，(0,2,1)AF =.………8分设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ，由0AE ⋅= n ，0AF ⋅= n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩A BCFED yxz令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-.………………14分17．（本小题满分14分）解：选择①：(Ⅰ)当1n =时，由111S a ==，得0p =.………………2分当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-，………………3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）.………………5分经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分选择②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列．………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(32)1(32)n m -=⨯-.………………9分化简，得22223423(33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分选择③：(Ⅰ)由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列．………………2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =．………………4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，………………1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =.………………2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，…………3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.………………5分（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=.………………7分随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40，且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=，(35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=.………………9分所以X 的分布列为：X 2025303540P0.040.20.370.30.09………………10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.……14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分从而b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =- ，(3,3)FQ = ，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠= ．…………6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分联立22(1), 3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAFNxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分同理可得222(4,2y Q x -．………………12分所以112(3,2y FP x =- ，222(3,)2y FQ x =- ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=，所以90PFQ ∠= ．综上，90PFQ ∠= .………………14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos e xxa =-.设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈，………………10分则sin cos ()e xx xh x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x 3π(0,)43π43π(,π)4()h x '+0-()h x ↗极大值↘所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()e 42h -=，所以当3ππ42[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ42[e ,e )2--.………………15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-.………………3分(Ⅱ)记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥.………………6分又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =， ，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100.………………8分(Ⅲ)N 的最大值存在，且为200.………………9分解答如下：（1）首先，证明200N≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅ .不妨设12n a a a <<<< .如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N = .这与题意不符，故20a >.………………10分如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆ ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ ”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>， ，200198199a a >+>，则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇ .若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i = ”矛盾，所以200N≤.………………12分（2）给出200N =存在的例子.令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k = ，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1k k I I +≠∅ ，则易得122001201[,]22I I I =- ，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>，所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ .（注：100(1)199k -为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. (14)。