提分专练(六)与四边形有关的计算与证明
|类型1| 平行四边形背景问题
1.[xx·曲靖]如图T6-1,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上的两点,且EM=FN,连接AN,CM.
(1)求证:△AFN≌△CEM.
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.
图T6-1
2.[xx·贵阳]如图T6-2,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF 关于AG对称.
(1)求证:△AEF是等边三角形;
(2)若AB=2,求△AFD的面积.
图T6-2
|类型2| 特殊四边形背景问题
3.[xx·德阳]如图T6-3,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.
(1)求证:点F为AB的中点;
(2)EF与CB的延长线相交于点H,连接AH,若ED=2,求AH的值.
图T6-3
4.[xx·呼和浩特]如图T6-4,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.
图T6-4
5.[xx·遵义]如图T6-5,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE(1)求证:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
图T6-5
6.[xx·江西]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.
(1)如图T6-6①,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是.
(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图②,图③中的一种情况予以证明或说明理由).
(3)如图④,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2,BE=2,求四边形ADPE的面积.
图T6-6
参考答案
1.解:(1)证明:由于四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠CEM=∠AFN,又AF=CE,EM=FN,所以△AFN≌
△CEM.
(2)因为∠CMF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM,所以∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°.因为△AFN≌△CEM,所以∠NAF=∠ECM=35°.因此∠NAF的度数是35°.
2.解:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵点F是DE的中点,
∴在Rt△AED中,FE=AF.∵AE与AF关于AG对称,
∴AE=AF.
∴AE=AF=EF.∴△AEF是等边三角形.
(2)∵△AEF是等边三角形,∴∠EAF=∠AEF=60°,∴∠EAG=∠EDA=30°.∵AB与AG关于AE对称,∴∠BAE=∠EAG=30°.在Rt△ABE中,AB=2,∴BE=AB=1,∴AE==.∴DE=2,∴AD=3.S△AFD=S△ADE=××AE×AD=×××3=.
3.解:(1)证明:∵EF⊥EC,
∴∠CEF=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DEC.
∵AE=DC,
∴△AEF≌△DCE,∴ED=AF.
∵AE=DC=AB=2DE,
∴AB=2AF,
∴点F是AB的中点.
(2)由(1)得AF=FB,且AE∥BH,
∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF,
∴△AEF≌△BHF,∴AE=HB.
∵ED=2,且AE=2ED,
∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,
∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,
∴AH=4.
4.解:(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=CD,∴AC=DF.
又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)由勾股定理得DF===5,
作EP⊥DF于P,则EP==.
∵四边形BCEF是菱形,∴EF=CE,由勾股定理得FP===,则CP=FP=,
AF=DC=DF-CF=5-2×=.
5.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=BD,所以OA=OB.因为AC⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因为∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以OM=ON.
(2)过点O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE,因为E为OM的中点,所以OE=ME,又因为∠AEM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP.因为OA=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠
OBP=45°,所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE==,所以OM=2OE=2,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.
6.[解析] (1)结论:BP=CE,CE⊥AD.
连接AC,证明△BAP≌△CAE即可解决问题;
(2)结论仍然成立.证明方法与(1)类似;
(3)利用(2)的结论,然后通过解直角三角形求出AP,DP,OA即可解决问题.
解:(1)BP=CE CE⊥AD
连接AC交BD于O点,如图①,
①
∵BA=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,
∠BAC=60°=∠PAE,
∴∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中,
