巧用类比法解数学题

巧用“类比”的方法解题
屠新民
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1993(000)001
【摘要】某些数学题目,不加深思,直接去解,十分繁冗,但是,若能用“类比”的方法,将之转化为易于求解的形式,则能达到简捷求解之目的,本文略举几例,供读者参考。

例1 求下式的值
【总页数】3页(P18-20)
【作者】屠新民
【作者单位】河南省实验中学 450002
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用类比,化难为易——初中数学类比法解题初探 [J], 吴东敏;
2.巧用类比推理提高解题能力 [J], 刘晓燕
3.巧用类比思维解题 [J], 罗海江
4.巧用类比思维解题 [J], 罗海江;
5.巧用类比解题凸显核心素养 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似，类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。

下面根据自己的教学实践，谈几点运用类比法的做法。

一、解一元一次不等式与解一元一次方程类比在讲解“一元一次不等式”时，学生由于刚刚接触不等式，对不等式本来就不是很熟悉，对不等式的解法也就感到陌生。

如果照着书上的例题直接讲解，学生可能会感到有点模糊，不那么得心应手，不知道为什么要这样来解题，就会照着按部就班的做题，以至于没有掌握解题的方法，思维会有点混乱。

为了让学生一开始就能从根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一种学习的方法，在讲授这节内容时，我类比了解一元一次方程的方法，这样的讲解学生接受起来就容易多了。

例如：解一元一次方程：2x+6=3-x解：移项得： 2 x+ x=3-6合并同类项得： 3 x=-3系数化为1得： x =-1解一元一次不等式： 2x+6＜3-x解：移项得： 2 x+ x＜3-6合并同类项得： 3 x＜-3两边都除以3得： x ＜-1学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。

通过这种类比，学生掌握起来就容易得多了。

二、分解因式与分解因数类比在讲解“分解因式”这节内容时，我先提出两个问题：问题1： 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴一起交流。

解：因为993-99=99×992-99×1 =99×（992-1）=99×9800=98×99×100这里，我们把一个数式化成了几个数的乘积的形式，所以993-99能被100整除。

问题2：你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？解：a3 －a= a×a2－ a×1 = a（a2－1）对问题1，学生做起来不难。

38怎样用数形 类 比法解方程组含根式的二元方程组，一般都是采用代入法消元，然后两端平方，化为一元有理方程来解．本节介绍一种数形类比解法，此种解法在解题时有意识地将几何、三角知识横向渗透到代数之中，数形类比，构造合适的几何图形，通过对图形的研究达到对方程组的求解．例1解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++12x 521y y x 解 将原方程变形成⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++②①222)15()2()1(521y x y x 不难发现,2,1.02,01b y c x y x =-=+>->+、设将b ，c 与线段类比，则式②可与勾股定理类比，故构成Rt△ABC，如图1所示．延长翻至D ，使AD=AB ，联结BD ，由式①可知DC=5，则 .5,40c AC BD -==在Rt△ABC 中，;5cos cc BAC -=∠⋅在△BAD 中，2220cos c c BAD -=∠又 BAD BAC ∠-=∠cos cos即 2225c O c c c --=- 解之得c=4，则.3,12;15,41,1==-==+=y y x x b经检验⎩⎨⎧==315y x 是原方程组的解． 例2解方程组.13511⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++y x y x 解 将原方程组变形为⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++②①.)13()1()1(511222y x y x 不难发现.01,01>->+y x 设,1,1b y a x =-=+作Rt△ABC，使BC=a ，AC=b ，如图2所示．延长AC 至D ，使CD=衄，联结肋，则.2.5a BD AD == 在Rt△ABC 中，;135cos a C R -=∠在△ABD 中，⋅-=∠13519cos 2a BAC 也即51952a a -=- 0652=+-a a,3,221==a a 解之则,2,321==b b 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1033121y x y x或 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5y 82131x y x 经检验 ⎩⎨⎧==103y x 或 ⎩⎨⎧==58y x 均是原方程组的解． 为帮助读者更好地理解上述解题方法，下面再举一个比较复杂的例子．例3正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++16,93253222222x xz z z xy x γγ试求xy+2yz+3xz 截值． 解 将原方程组变形成⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+202222220224120cos 2335150cos 323x z x z z y y x y x 式①可看做以3,γx 为边，夹角为,150 且第三边为5的一个三角形中的关系式；式②可看做以3yz 为直角边，3为斜边的一个直角三角形的关系式；式③可以看做以z ，x 为边，夹角为l200，且第三边为4的第一个三角形中的关系式．注意上述三个三角形的边角特征，故可作几何图形，如图3所示．其中BCD 表示式①，△ABC 表示式②，△ACD 表示式③．在△ABD 中，,222BD AD AB =+所以△ABD 为直角三角形，则 64321=⨯⨯=∆ABD S 又 =++=∆∆∆∆ACD ABC BCD ABD s S s S=⋅++⋅ 120sin .21.321150sin 3..210z x z y y x )32(34143.321.341.xz yz xy xz yz xy ++=++ 故 32434632=⨯=++xz yz xy值得指出的是，上述解法仅当方程组中的未知数是正数时方适用，这点请读者在练习时注意．。

“类比法”增效初中数学解题教学
我们来了解一下“类比法”的定义。

类比法是一种通过比较相似之处来解决问题的思维方式和方法。

它可以将已经掌握的知识和经验应用到新的问题中，通过类比推理从而解决问题。

通过类比法，学生可以从熟悉的情境中建立对新问题的理解和推理，从而提高解题能力。

我们来探讨一下“类比法”的特点。

“类比法”强调问题的相似性，通过发现问题之间的联系和相似之处，把新问题转化为已解决的旧问题。

这样可以减少问题的难度，提升学生的解题信心。

“类比法”注重问题的转化和变形，通过角度转换、问题重构等方式，将问题解决的路径从困难的方向转向更容易和熟悉的方向。

“类比法”鼓励学生思考、探究和发现，培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

我们来看一下“类比法”在初中数学解题教学中的应用。

教师可以通过讲解已解决的类似问题，引导学生从旧问题中找到解决新问题的启示，培养学生的类比思维。

教师可以通过设计具有相似结构的问题，引导学生将已学知识应用到新问题中去，提高解题效率。

教师还可以通过提供多种解题方法，让学生进行比较和选择，激发学生的思考和创造力。

教师还可以通过启发式问题引导学生进行类比推理，培养学生的解决问题的能力和方法。

初中数学类比法的例子
1. 哎呀，初中数学里的类比法就像是给你一把神奇的钥匙！比如说，把分数类比成切蛋糕，一个蛋糕切成几份，不就和分数表示的意义很像嘛！
2. 嘿，你想想看，类比法是不是超级有趣呀！就像把三角形和三明治类比，三角形有三个角，三明治不通常也有三层嘛！
3. 哇塞，类比法能让数学变得好简单呢！好比说把解方程类比成开锁，找到正确的方法就是找到那把合适的钥匙，不是吗？
4. 哎呀呀，你看正方形和魔方，这多像用类比法联系起来的呀！正方形的四条边相等，魔方的每个面不也是一样的嘛！
5. 哟呵，把正比例函数和汽车的速度类比，速度稳定就像正比例函数的图像一样直直的，这不是很形象吗？
6. 嘿呀，圆和披萨是不是可以用类比法联系起来呀！圆有圆心，披萨也有中心呀，哈哈哈！
7. 哇哦，把对称图形类比成照镜子，镜子里的和外面的是不是一样呀，多有意思！
8. 唉呀妈呀，类比法真的太有用啦！就像把合并同类项类比成整理玩具，把一样的玩具放到一起！
9. 哇，把相似三角形类比成放大缩小的照片，它们的形状一样，就像照片的大小变化但模样不变呀！
我觉得类比法就像是给我们学习数学装上了翅膀，让我们能更轻松有趣地飞在数学的天空中，去探索那些美妙的知识！。

长 沙 第 七 中 孙贤忠在数学解题中类比法的应用长沙第七中学 孙贤忠“类比是一个伟大的引路人”〔波利亚〕。

“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”〔康德〕。

所谓类比〔即类比推理〕就是依据两个对象的已知相似性，有可能把一个〔数学〕对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去，从而获得对后一个对象的新知识。

在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，“柳暗花明又一村”。

例如：已知：x,y,z 均为正实数求证：x xy y x xz z y yz z 222222+++++>++分析：此题好似无从着手，但我们从整体上观察结论知：“三角形两边之和大于第三边”与其相似，而被开方式与余弦定理相类比，从而设法构造一个三角形，用几何知识证明。

证明：作∆ABC ,如图，∠AOB=∠BOC=∠COA=1200令OA=x, OB=y, OC=z由余弦定理可得:长 沙 第 七 中 孙贤忠AB=x xy y 22++ AC=x xz z 22++ BC=y yz z 22++∴AB+AC>BC 故原式得证。

可见，类比在数学解题中有着十分重要的作用。

类比推理可用如下列图式描述：类比根据()()A类对象模型具有a b c d属性B类对象原型具有a b c 属性,,,,',',',⎧⎨⎪⎩⎪其中a b c ''',,分别与a b c ,,相同或相似， 推论：B 类对象也具有与d 相同或相似的属性d '。

我们知道正三角形内任一点P 到各边距离之和为常数。

分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P 到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P 到各边距离之和为常数”。

可以证明这两个命题都是正确的〔利用面积法证明〕。

常用的类比有：1、平面与空间的类比把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。

例谈类比法解题作者：钱灵动来源：《成才之路》2010年第20期类比推理可以发现新的数学知识的规律,可培养学生的发散性思维、创造性思维及合情的推理能力。

因而,类比推理题已成为近几年来高考新宠,此类试题极富思考性和挑战性,凸现新大纲对思维能力的要求和新课程改革倡导的教育理念。

本文从以下几方面例举类比推理思想的应用。

一、同类事物的类比由于数学具有符号化、特征化和结构化的特点,所以数学中的相关知识具有非常相似的性质,比较他们的结构和性质,可以使很多相关性质得以迁移。

例1:(2000年上海高考题)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…an=a1+a2+…+a19-n(nn,等式右边=(a1+a2+…an)+an+1+an+2+…+a19-n,而an+1+a19-n=0,an+2+a18-n=0…故等式左右两边相等。

若19-n>n,同理可得。

而在等比数列{bn}中,已知b9=1,因而由等比数列的性质有:bm·b18-m=b92=1,可知所求等式左右两边应该都是乘积形式,类比等差数列的等式,可得结论b1、b2…bn=b1b2…b17-n.二、降“次”、降维类比(1)降“次”类比。

欲解决代数中某些高次的问题,可将它与低次问题进行类比,从而寻求解决问题的方法。

例2 :求12+22+…+n2的和。

分析:直接求解难以入手,但是容易想到1+2+…+n的和,将两者进行类比。

由等差数列求和公式易知:Mn+1+2+…+n=,设Sn=12+22+…+n2,则将Mn,Sn的部分值列表比较(图1)。

根据表格观察,不难发现规律:当n=1,2,3,4,5,6……时,Sn与Mn的比值:=,,,,,……,从而归纳出=,即Sn=Mn=·=,故12+22+…+n2=。

由于归纳是不完全归纳,故应进行证明,在这里就不再赘述。

(2)降维类比。

我们研究空间图形,也可以与平面图形进行类比,比如空间中的直线可以与平面内的点进行类比,空间中的面可以与平面内的直线进行类比,空间的长方体与平面的长方形,空间的多面体与平面的多边形等等,都可以进行类比。

如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理——一般到特殊推理归纳推理——特殊到一般推理类比推理——特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。

类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。

数学家乔治·皮利亚相关名言：——“类比是一个伟大的引路人”.—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。

——“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。

但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。

”名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。

”二、平面几何与立体几何类比1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）2、类比构造命题（1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。

在空间中成立。

（2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。

在空间中成立。

（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。

（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。

而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。

（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。

（6）平面上定理——平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

第十一讲类比法解题一、课程引入类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。

类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。

类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。

二、基本理论理论点1类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。

理论点2类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。

三、例题精析【例题1】【题干】1、从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？【答案】18/11分钟【解析】此题与追及问题相类似。

如果把钟面上1分钟的距离作为1格，则1小时分针走60格，时针走5格。

那么分针走1格，经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。

【例题2】【题干】A、B、C、D、E、F、G7个站，每两站间都是相隔600米。

问从A站到G站的路程是多少米？【答案】600×（7-1）=3600（米）【解析】不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200（米）。

此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似，把7个站看成7棵树，根据段数比棵树少1的道理解答此题。

【例题3】【题干】王老师为学校购买音乐器材。

他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴，如果他买了6台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？【答案】20【解析】题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢？可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。

四、随堂练习【基础】1.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，现由甲先做若干天后，乙接着做，共做10天完成。

问甲做多少天？【答案】解：(1-1/12x10)÷（1/8-1/12)=4(天）【巩固】1.从时针指向4点开始，再经过多少分钟、时针正好与分针重合？【答案】解：指向4点时，时针和分针实际相差角度为4×30-0=120度可以当做行程问题，分针每分走360÷12÷5=6度，时针每分走30÷60=0.5度速度差为6-0.5=5.5度，120÷5.5=240/11分钟，在经过240/11分重合【拔高】1.在实验一校五年制小学各年级都参加的书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖中有16人不是四年级的，有14个人不是五年级的，那么该校书法比赛获奖的总人数为多少人？【答案】解：（18+16+14）÷2=48÷2=24（人）五、分层作业【基础】1.从时针指向5点开始，再经过多少分钟、时针正好与分针重合？【答案】解：时针指向5点时，与分针的夹角=5×30=150度，时针每分钟走1/2度，分针每分钟走6度，150÷（6-1/2）=300/11分钟，在经过300/11分钟，时针正好与分针重合【巩固】1.小晶每天下午6点回家吃晚饭，一天她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时，小晶才回家，那么小晶是几点钟回家的？【答案】解：分针60分钟走完360°，每分钟走6°时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°六点时，分针落后时针180°（此处以分针为时间单位）那么分针追上时针的时间=180°÷（6°-0.5°）=360/11（分）这段时间成过一次直角第二次成直角所需时间=90°÷（6°-0.5°）=180/11（分）360/11+180/11=540/11=49又1/11（分）所以小晶是6点49又1/11分回家的【拔高】1.龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？【答案】解：兔子一共跑了：10000-100=9900米，在此期间，乌龟能跑：9900÷5=1980米，兔子睡觉的时候，乌龟跑了：10000-1980=8020米六、课程小结通过本次的学习，我们了解到在解决数学问题是灵活运用类比法，比如，遇到问题A和问题B有许多类似的属性，见到问题B时就会联想到问题A，于是可以用解决问题A的办法去解决问题B，或者用解决问题B的办法去解决问题A。

类比法在数学解题中的应用_数学教育
类比法在数学解题中是一种非常重要的应用方法。

类比法是指将一个问题与已知解决方法相似的问题进行比较，从而推导出未知问题的解决方法。

例如，在解决一个复杂的代数方程的时候，我们可以先寻找类似的已知问题，然后应用相同的解决方法来解决问题。

如果我们已经知道了一个类似的问题的解决方法，那么我们可以将其类比到未知问题上，从而简化并加速解题过程。

类比法在数学教育中也是非常重要的工具，因为它可以帮助学生理解抽象的概念和理论，以及建立重要的数学思考能力。

通过类比法，学生可以将以前学到的知识应用到新的问题中，从而加深对数学概念的理解，并提高数学解题的能力。

总之，类比法在数学解题中的应用非常广泛，不仅可以帮助我们快速解决数学问题，同时也可以帮助我们更好地理解数学概念，提高数学思维能力和解题能力。