人教版数学高二B版选修2-2学业测评 3.1.3 复数的几何意义

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学业分层测评

(建议用时：45分钟)

一、选择题

1．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于

( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，

∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.

【答案】 D

2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )

A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1

C．a＝0 D．a＝2或a＝0

【解析】由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.

【答案】 D

3．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB→对应的复数为( )

A．－2－i B．－2＋i

C．1＋2i D．－1＋2i

【解析】因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以OB→对应的复数为－2＋i.

【答案】 B

4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )

A．1个圆 B．线段

C．2个点 D．2个圆【解析】由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1，

∵|z|≥0，

∴|z|＝3，

∴复数z对应点的轨迹是1个圆．

【答案】 A

5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )

【导学号：05410066】

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.

【答案】 B

二、填空题

6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.

【解析】复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i.

【答案】－2＋3i

7．已知在△ABC中，AB→，AC→对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC→对应的复数为________．

【解析】因为AB→，AC→对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以AB→＝(－1,2)，AC→＝(－2，－3)，又BC→＝AC→－AB→＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC→对应的复数为－1－5i.

【答案】－1－5i 8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．

【解析】由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，

得x＝3，y＝－4.

而|1－5i|＝1＋52＝26，

|x－yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，

|y＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20，

∵20<5<26，

∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.

【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|

三、解答题

9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

【解】 ∵复数z对应的点在第一象限．

∴ m2＋m－1>0，4m2－8m＋3>0，

解得m<－1－52或m>32.

所以实数m的取值范围为

－∞，－1－52∪32，＋∞.

10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和z.

【解】若两个复数a＋bi与c＋di共轭，

则a＝c，且b＝－d. 由此可得到关于x，y的方程组 x2＋2x＝3x，2y＋x＝y＋1，

解得 x＝0，y＝1或 x＝1，y＝0，所以 z＝i，z＝－i或 z＝1，z＝1.

1．已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )

A．1＋3i B．2

C．(－1, 3) D．－1＋3i

【解析】设复数z对应的点为(x，y)，则

x＝|z|·cos 120°＝2×－12＝－1，

y＝|z|·sin 120°＝2×32＝3，

∴复数z对应的点为(－1, 3)，∴z＝－1＋3i.

【答案】 D

2．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )

A．e1对应实数1，e2对应虚数i

B．e1对应虚数i，e2对应虚数i

C．e1对应实数1，e2对应虚数－i

D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i

【解析】 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

【答案】 A

3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.

【导学号：05410067】

【解析】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝－52＋－122＝13.

【答案】 13

4．已知O为坐标原点，OZ→1对应的复数为－3＋4i，OZ→2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ→1与OZ→2共线，求a的值．

【解】因为OZ→1对应的复数为－3＋4i，OZ→2对应的复数为2a＋i，所以

OZ→1＝(－3,4)，OZ→2＝(2a,1)．因为OZ→1与OZ→2共线，所以存在实数k使OZ→2＝

kOZ→1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，

所以 2a＝－3k，1＝4k，所以 k＝14，a＝－38，

即a的值为－38.

2、3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、选择题

1．已知：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，若z1＋z2是纯虚数，则有( )

A．a－c＝0且b－d≠0

B．a－c＝0且b＋d≠0

C．a＋c＝0且b－d≠0

D．a＋c＝0且b＋d≠0

[答案] D

[解析] z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

又z1＋z2为纯虚数

所以a＋c＝0且b＋d≠0.

2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )

A．－2b－2bi B．－2b＋2bi

C．－2a－2bi D．－2a－2ai

[答案] A

[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[(a－b)－(a－b)]i＝－2b－2bi.

3．若|z－1|＝1，则|z－2i－1|的最大值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案] C

[解析] |z－1|＝1表示以(1,0)为原心，半径为1的圆，而|z－2i－1|表示圆上的点到点(1,2)的距离故最大距离为(1－1)2＋22＋1＝3故选C.

4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )

A．1＋i B．2＋i

C．3 D．－2－i

[答案] D

[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)

＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0

∴ 2＋a＝0b＋1＝0∴ a＝－2b＝－1

∴a＋bi＝－2－i

5．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i

C．2＋4i D．4＋i

[答案] C

[解析] 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式．

由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，

高中数学选修1-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习题及答案

描述：高中数学选修1-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的引入

一、学习任务

了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．了解复数的

几何意义．

二、知识清单

复数的概念复数的几何意义

三、知识讲解

1.复数的概念

复数的概念

为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②

可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．

我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫

做复数集（set of complex numbers）．

复数通常用字母表示，即（，），这一表示形式叫做复数的代数形式

（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与

分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．

对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当

时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．

复数相等的充要条件

在复数集中任取两个数，（，，，），与

相等的充要条件是且．

复数的分类

复数（，）可以分类如下： i =−1i2

C={a+bi | a,b∈R} a+biab∈R

i C

z z=a+bi ab∈R

z=a+bi ab∈R a

b z

a+bi b=0 a=b=0 0

b≠0 a=0 b≠0

C={a+bi | a,b∈R} a+bic+diabcd∈R a+bi

c+di a=

b=d

z=a+biab∈R

复数a+bi(a,b∈R)⎧

⎩⎨⎪

⎪实数(b=0)

虚数(b≠0){纯虚数(a=0)

非纯虚数(a≠0)

例题：

描述：2.复数的几何意义

根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．因

为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集

人教版高中数学选修(1-2)-3.2复数中的几个结论及共应用

复数中的几个结论及共应用

数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.

一、中点公式：

A点对应的复数为1111()abiabRR，，B点对应的复数为2222()abiabRR，，C点为AB，两点的中点，则C点对应的复数为11222abiabi，即121222aabbi．

例1 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，ABC，，三点对应的复数分别为132iii，，，求D点对应的复数．

解：由已知应用中点公式可得AC，的中点对应的复数为322i，所以D点对应的复数为32[22(1)]352ii．

二、根与系数的关系：

若实系数方程20(0)axbxca的两复根为11abi，22abi，则有1122babiabia，1122()()cabiabia·．

推论：若实系数方程20(0)axbxca有两虚数根，则这两个虚数根共轭．

例2 方程20xaxb的一个根为1i，求实数a，b的值．

解：已知实系数方程的一个根为1i，由推论知方程的另一根为1i，由根与系数的关系可知(11)2aii，(1)(1)2bii·．

三、相关运算性质：

①z为实数2220zzzzz，z为纯虚数200(0)zzzz；

②对任意复数有zz； ③1212zzzz；

④1212zzzz··，特别地有22()zz；

⑤1122zzzz；⑥2zzz·．

例3 设1z，且zi，求证21zz为实数．

证明：由条件可知0z，则21zzz·，

所以11zzz，1212222211()11()11zzzzzzzzzzzz，

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2、3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义

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