实验7 杨氏模量的测量
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54 实验7 动态杨氏模量测试
弹性模量包含杨氏模量（E）和切变模量（G）。连同泊松比（μ）共称弹性系数。这三个系数由方程μ＝2G/E-1所联系，故只要测出其中任意二个系数，第三个系数即能推出。弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算，防热和隔热层计算，选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。本实验是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。动态法（又称共振法、声频法），包括：弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度。
【实验目的】
(1)了解用动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；
(2)掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；
(4)了解压电体、热电偶的功能、熟悉信号源及示波器和温控器的使用；
(5)培养使用实验仪器的能力和综合使用知识。
【实验器材】
DCY型动态杨氏模量测试仪，DCY型动态杨氏模量专用信号源，加热炉DCY型动态杨氏模量专用温控器，刻度尺
【实验仪器】
DCY型动态杨氏模量测试仪，DCY型动态杨氏模量专用信号源，加热炉，DCY型动态杨氏模量专用温控器。
【仪器介绍】全套实验装置及连线如图3左所示。
装
55 置各部分叙述如下：
1：DCY型动态杨氏模量专用信号源，可产生250-3000Hz功率(5W)的信号,有粗调及(0.1Hz)微调,石英稳频,有正弦波波形输出,其输出强度连续调节,输出频率数值由4位LED直接显示，本机装有过载保护。一旦超载，6－Ⅰ和6－Ⅱ分别为激发－接收放大器，当感到自备信号源功率不足或感到接收信号微弱时使用，其放大倍率分别为10-100倍，一般情况下采用我厂的信号源及换能器时无需使用放大器。
2：2和5为激发和接收换能器，2将电信号变为机械振动信号输入试样，5为接收换能器用以检测试样振动情况。我厂二种换能器均采用压电换能器。
3：4是试样（圆柱、圆管、矩形均可），对管状或矩形试样计算公式详见GB/T2105-91。但直径必须一致：质量分布必须均匀，试样内部不能有夹渣，气孔及偏析，否则会现多个共振频率。通常采用φ6-8mm,l160-180(200)mm圆柱试样。
4：7为示波器,其灵敏度最好为5mV/div的亦勉为可用。
5：8为加热炉，当需要测定试样不同温度下的弹性模量时使用。温度可达1000℃。
6：9为温控器，是4位数显比例式温度控制器，设有快升温（加热功率800Ｗ可达1000℃）:慢升温(加热功率为400W温度可达600℃)。建议在600℃范围内使用慢升温，注意只有当试样内外温度一致时，测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定”温度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。注意，当屏上出现1— — — 时,说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶。对精确测定,热电偶的冷点应放入0℃冰-水混合液中。
7：10是热电偶,本设备采用K型(镍铬-镍硅)热电偶,理论上测定温度可达1200℃,实际上≤900℃才能长期使用,精确测定时热电偶应作校准。
8:图3右为支撑支架(我厂特有)激发和接收换能器2-5均可沿横杆AB水平调动位置。试样放上,只要二个支持点不正好都在节点,试样无需捆绑就能完成测定。实验发现采用支撑式支架,还能较为方便的测定出一次谐波共振频率。
【实验原理】
1.对一长度Ｌ＞＞直径d条件下的细长棒,当其作微小横振动(又叫弯曲振动)时,其振动方程为:
02244•tyEISxy………… （1）
式中Y为竖起方向位移，长棒的轴线方向为X，E为试棒的杨氏模量，ρ为材料密度，S为棒横截面，Ｉ为其截面的惯性矩，Ｉ＝∫sy2ds。用分离变量法求方程（1）的解，
56 令 ｙ(x,t)=X(x)T(t)…… （2）
代入（1）有224411dtTdTEISdxXdX•••,该等式两边分别是变量ｘ和ｔ的函数，这只有都等于一个任意常数时才有可能，设为Ｋ４，于是有
0;0422444•TSEIKdtTdXKdxXd
设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：
X(x)=B1chKx+ B2shKx+ B3cosKx+ B4sinKx; T(t)=Acos(ωt+ψ)
由(2)横振动方程的通解为:
y(x,t)=(B1chKx+ B2shKx+ B3cosKx+ B4sinKx) ·Acos(ω+ψ)
式中214)/(SEIK………… （3）
该式通称频率公式
推论证明,该式对于任意形状截面,不同边界条件下都是成立的,故我们只要用特定的边界条件下定出常数K,代入特定截面的惯性矩,就可得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力矩均为零，即：
;033xyEIxMF及;022xyEIM
即：;0|;0|;0|;0|122022133033xxxxdxXddxXddxXddxXd
将通解代入边界条件得到：cosKl·chKl=1
可用数值解法求得本征值K和棒长应满足:
Knl=0,4.730,7.583,10.966,14.137………
式中K0l=0的根对应于静止状态,故将第二个根作为第一个根记作K1l,一般将K1对应的频率叫基频,此时棒上波形分布如图1的左部,而K2=7.853叫一次谐波.对应的波形分布如图1的右部,由图可见,试棒作基频振动时有二个节点,其位置距端面分别为0.224l和0.776l。而对一次谐波（Ｋ２）共有三个节点、其位置分别在0.132l、0.51l和0.868l。实验证明：棒上振动分布确实如此。
57 我们将一个本征值Ｋ１=4.730/l代入频率公式（3）可得到自由振动时的因有频率。
基频：
整 因对圆形棒有: ;)4(22dSdssyl
整理后E(圆) 2436067.1fdml•…… （4）
同理对ｂ为宽度、ｈ为厚度的矩形棒有：
E（矩）23)1(94644.0fbmh••…… （5）
也能推出上述试样切变模量与共振频率关系：
G圆杆=22093.5Gfdml•…… （6）
G矩形=2000.4Gfbhml•…… （7）
式中:长度l、直径ｄ、宽ｂ、厚ｈ等几何尺寸均以ｍ为单位，质量ｍ以kg为单位,频率f以Hz为单位,计算出弹性模量单位Nm-2。
２、悬挂方式：
图２是常用机械耦合法中的悬丝耦合方式，无论采用图中那一种悬挂方法都能满足一次悬吊试样后可相继测出弯曲共振和扭转共振频率的需要，对圆杆，管状试样采用ｂ方式更好。如只测试样的杨氏模量，建议使二根悬丝与试样中轴线处于同一截面内。 214)730.4(SEI
58
可以推出，对一般金属材料几何尺寸为Φ５×150毫米或Φ6×180毫米fG≈10fE,
对2.5×150毫米的矩形杆fG=8fE
注:共振频率f和固有频率f0是相关的二个不同概念,
其关系为:f固有=f共振2411Q
式中Q值远大于30,由上式可知以f共振代替f固有所导致偏差不会大于0.03%,故我们通常忽略两者差别.
需要指出:
(1)上述几个公式都是对“长杆”即l>>d的情况下导出,当此条件不能满足时,上述公式需修正,即:E弹=E测T1,修正系数T1与径长比及材料的泊松比μ有关,当μ≈0.30,d=8mlm,l=180mm时,T1≈1.008。对切变模量Ｇ切＝Ｇ测·Ｒ，Ｒ与形状有关，详见GB2105-91。
(2)当l>>d时,对圆杆各次谐波频率的比值为:(f基∶f1∶f2=1∶2.756∶5.404∶8.933).
当l>>d不能满足时(例如对d=8mm,l=180mm)上述频率比应作修正。
即：f0/f1=1∶2.74,以上修正详见国家标准GB2105-91.
3、共振频率的判断
测定中，激发－接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，都可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号成为关键，可用下述判据作判断。
(1)测试前根据试样的材质、尺寸、质量通过（3）或（4）式估算出共振频率的数值，然后放在支撑支架上，在上述频率附近进行寻找，再上悬挂支加入炉升温。
59 (2)换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。
(3)发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。
(4)试样发生共振需要一孕育过程，切断信号源后信号亦会逐渐衰减，它的共振峰宽度较窄，信号亦较强。试样共振时，可用一细金属丝沿纵向轻碰试样，这时会按表１的规律可发现波腹、波节。对扁平试样用细硅胶粉撤在试样上可在波节处发生明显聚集。也可用听音管沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小并符合图１的规律。对一些细长杆状（或片状）试样，有时能直接看到波腹和波节。
(5)用打火机（火柴）烧悬丝或试样处，属于悬丝共振能很快消失，属于试样的共振频率会发生减少。
(6)频率比法进行判别。对长为160-180mm,直径6-8mm的金属圆杆试样f1≈2.74f0。
(7)如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，只能通过更换合格试样解决。
(8)尽可能采用较小的信号激发，这时发生虚假信号少且弱，采用端点激发－接收方式可极大的提高实验效果。
(9)接收信号在共振点附近相应会发生突变，示波器上椭圆主轴会在Ｙ轴左右偏移，高温时因试样机械品质因素下降，因试样在炉内采用其他判别方法均困难，此成为主要判据。
(10)当输入某个频率在显示屏发现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。
(11)悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。
【实验步骤】
1：将各设备按图3联接好（注意各设备要共地线），启动信号发生器，连续调节输出频率，此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Ｙ轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套装置已处于工作状态。
2：先将二端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于二个节点上），由低到高调节输出频率，直至在某一频率使显示屏上的利萨如图形出现最大值并在Ｙ轴左右摆动，记下这个频率，然后用听声管或细金属物（例如尖咀镊子）沿轴向移动，看声强及振动强度是否按图１发生变化，可以发现，当金属物触及二个节点时，示波器波形变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减少。
3：若示波器显示信号太大或太小时可适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形大小合适，继续升高频率大约在2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率。
