二次函数实根分布总结

微专题12 一元二次方程根的分布问题4种常考题型总结

题型1 一元二次方程根在R上的分布

题型2 一元二次方程根的零分布

题型3 一元二次方程根的k

分布

题型4 一元二次方程根在区间上的分布

一、二次函数相关知识

对于形如

2

0=++¹yaxbxca的二次函数，有以下性质：

1、判别式：acb42

=

；求根公式：aacbb

x

242

=

；

2、韦达定理：

ab

xx=+

21，

ac

xx=

21；

3

、二次函数对称轴

ab

x

2=

，定点坐标（

ab

2

，

acbac

442



）．

二、一元二次方程根的0分布

方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零

大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

三、一元二次方程根的k分布

分布情况

两根都小于

k即kxkx

21,

两根都大于k即

k

xkx

21,一根小于k

，一大于k

即

21xkx

大致图象（a>0）

得出的结论

0

2

0b

k

a

fk

ì

ï

ï



í

ï

ï

î0

2

0b

k

a

fk

ì

ï

ï



í

ï

ï

î

0kfkk

k

大致图象（a<0）

得出的结论

0

2

0b

k

a

fk

ì

ï

ï



í

ï

ï

î0

2

0b

k

a

fk

ì

ï

ï



í

ï

ï

î

0kf

综合结论

（不讨论a）

0

2

0b

k

a

afk

ì

ï

ï



í

ï

×ï

î0

2

0b

k

a

afk

ì

ï

ï



í

ï

×ï

î

0×kfa

四、一元二次方程根在区间的分布

分布情况

两根都在





n

m

,内两根仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在

nm,

内，另一根在

qp,

内

，qpnm

大致图象（

0a

）

得出的结论

0

0

0

2fm

fn

b

mn

a

ì

ï



ï

ï



í

ï

ï



ï

î

0×nfmf





0

0

0

0fm

fn

fp

fqì

ï



ï

í



ï

ï



î或

0

0fmfn

fpfqì

ï

í



ï

î

微专题11二次函数根的分布问题

【方法技巧与总结】

1、实系数一元二次方程20(0)axbxca的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

12,xx2

12

1240

0

0bac

b

xx

a

c

xx

a























（2）方程有两个不等负根

12,xx2

12

1240

0

0bac

b

xx

a

c

xx

a























（3）方程有一正根和一负根，设两根为

12,xx

120c

xx

a

2、一元二次方程20(0)axbxca的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴

2b

x

a与区间端点的关系；（4）区间端点

函数值的正负．

设

12,xx为实系数方程20(0)axbxca的两根，则一元二次20(0)axbxca的

根的分布与其限定条件如表所示．

根的分布图像限定条件

12mxx0

2

()0b

m

a

fm

















12xmx()0fm

12xxm0

2

()0b

m

a

fm

















在区间(,)mn内

没有实根0

12

120

xxm

xxm



或

0

2

()0b

m

a

fm

















0

2

()0b

n

a

fn

















()0

()0fm

fn









在区间(,)mn内

有且只有一个实根()0

()0fm

fn









()0

()0fm

fn









在区间(,)mn内

有两个不等实根0

2

()0

()0b

mn

a

fm

fn

























【题型归纳目录】

题型一：正负根问题

题型二：根在区间的分布问题

题型三：整数根问题

题型四：范围问题

【典型例题】

题型一：正负根问题

例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m

为实数，命题甲：关于x

的不

等式2

40mxmx的解集为R；命题乙：关于x

的方程22200xmxm有两个不相等

的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m

 专题复习  一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y=()fx与x轴有交点0xf(0x)=0

若y=f(x)与y=g(x)有交点(0x，0y)()fx=()gx有解0x。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。

【定理1】01x，02x(两个正根)212124000bacbxxacxxa，

推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb

上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101mmmmmmm0

【定理2】01x，02x000421212acxxabxxacb，

推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb

由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次方程0332kkxkx的两根都是负数，求k图2  专题复习  的取值范围。（512k或k>3）

1 / 8

第六讲 一元二次方程的实根分布

【知识要点】已知f（x）＝ax2

＋bx＋c，ax2

＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x

1，x

2.

根的分布 f（x）的图象 等价条件

x

1＜x

2＜k

xy

O

k

k＜x

1＜x

2

kOy

x

x

1＜k＜x

2

kOy

x

m＜x

1＜x

2＜n

nmxy

O

x

1＜m＜n＜x

2

Oy

xmn

m＜x

1＜n≤p＜x

2＜q

qpn

Oy

xm

注意：（1）利用相应二次函数图象与x轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个

方面：①判别式Δ＝b2

－4ac的符号；②对称轴x＝－b

2a的位置分布；③二次函数在实根分

布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的. 2 / 8

一、一点同侧两根

【例1】 若关于x的方程x2

－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围.

【练】 若关于x的方程x2

＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.

【例2】 若关于x的方程kx2

－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.

【练】 若关于x的方程2(k＋1)x2

＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.

【例3】 若关于x的方程x2

－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围.

【练】 若关于x的方程mx2

＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值

范围.

二、一点异侧两根

【例4】 若关于x的方程4x2

＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值

范围.

【练】 若关于x的方程（2m＋1）x2

－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取

值范围.

【例5】 若关于x的方程mx2

＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x

1和x

2，且x

1＜1＜x

2，

求m的取值范围.

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【练】 若关于x的二次方程2mx2

－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实

数m的取值范围.