构造法在高考数学解题中的应用探究

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构造函数法在高考压轴题中的应用

作者：苏学英

来源：《科学导报·学术》2019年第08期

函数是高中代数内容的主干和核心内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括、提炼，就是用函数与变量去思考问题，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造新的函数，再利用函数的图像或性质去分析问题，转化问题，从而使问题得到解决，其关键是构造函数，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。

一.如何构造函数 ？

构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而达到证明不等式或求最值的目的。

而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估

二.构造函数后分类讨论的依据是什么？

1、导函数零点的存在性

2、导函数零点大小的不确定性

3、函数最值问题取得的可能性

4、导函数零点分布的不确定性

，新课标全国卷压轴题很多题均可用构造函数的方法来解答，下面我们分享一些解法：

类型一 直接作差构造函数

例1（2015新课标Ⅱ卷21）设函数 .

（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；

（2）若对于任意 ，都有 ，

求 的取值范围.

思路：（2） 恒成立，等價于 .由（1）可得最小值为 龙源期刊网

，最大值可能是 ，故需 ，即 .

构造函数 ，可得 的单调性及 ，进而得m的范围.

例2（2013新课标Ⅰ卷21）已知函数 = ， = ，若曲线 和曲线 都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线

压轴题型02构造法在函数中的应用

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有

结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时

的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而

终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．○

热○

点○

题○

型1构造法解决高考函数对称与周期性问题○

热○

点○

题○

型2主元构造法○

热○

点○

题○

型3分离参数构造法○

热○

点○

题○

型4局部构造法○

热○

点○

题○

型5换元构造法○

热○

点○

题○

型6特征构造法○热○

点○

题○

型7放缩构造法

一、单选题

1．若正数x

满足532xxx，则x

的取值范围是（）.

A．3632xB．

6623xC．63xD．

32x

【答案】A

【详解】显然0x

，2

62425311

1112x

xxxxxxxx

xx







.

因为0x

且1x

，所以，61

 124xx

x





，63x.

又由题设，得2

3221

12x

xx

，则32x.

故3632x.选A.

2．设函数()fxlnxxa，若曲线e1e1

sin

22yx



上存在点

0(x

，

0)y

使得

00(())ffyy

成立，则实数a

的取值范围为（）

A．[0

，21]eeB．[0

，21]eeC．[0

，21]eeD．[0

，21]ee

【答案】C

【分析】利用函数()fx

的单调性可以证明

00()fyy

.令函数()fxx

，化为2axlnxx.

令2

()hxxlnxx，利用导数研究其单调性即可得出.

【详解】解：1sin1x󰆅󰆅

，



当

sin1x时，e1e1

sin

22yx



取得最大值11

22ee

ye



，

当sin1x

时，e1e1

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法是一种解决问题的方法，它主要是通过构造出一些特殊的例子或模型，来推导出问题的一般结论。在高中数学中，构造法通常运用于解决代数、几何、概率等方面的问题。以下是构造法在高中数学解题中的应用方法。

1. 代数问题

在解决代数问题时，构造法常常要求我们构造出一些具有特殊性质的数，或者通过构造公式来实现目标。例如，在解决求根式值的问题时，我们可以通过构造一些恰当的分母，使问题化简为有理式，然后再运用有理化技巧解决问题。

同时，在解决分式、数列、函数等问题时，构造法也常常发挥重要的作用。例如，在求分式的极限时，我们可以通过构造一些满足特定条件的分式数列来逼近极限值；在证明柯西-施瓦茨不等式时，我们可以通过构造分母为1的分式来使不等式满足等号条件。

2. 几何问题

在解决几何问题时，构造法常常要求我们构造一些特殊的图形，通过特殊图形的性质来推导出结论。例如，在证明三角形边长之和大于第三边时，我们可以通过构造一条垂足线来将三角形划分成两个直角三角形，然后再应用勾股定理证明结论。

同时，在解决圆的性质、向量运算、解析几何等问题时，构造法也常常发挥重要的作用。例如，在求圆心角所对的弧长、向量的模长、直线的方程等问题时，我们可以通过构造特殊的图形和向量来化简问题。

3. 概率问题

在解决概率问题时，构造法常常要求我们构造一些概率模型，通过模型的性质来推导出结论。例如，在求事件总概率时，我们可以通过构造一个具有完备事件的概率空间，然后应用加法原理求出事件总概率。

而在解决独立、互斥事件发生概率的问题时，我们可以通过构造一个特殊的随机事件集合，然后应用乘法原理和加法原理来求解。

总之，在高中数学解题过程中，构造法是一个非常有用的工具。通过构造出一些特殊的数、图形、概率模型等，我们可以将原问题化为易于解决的子问题，从而实现解题的目的。因此，掌握构造法的应用技巧对于提高数学解题能力和水平，具有重要的意义。

基于“构造法”的高中数学解题思路探索

摘要：构造法是指根据问题的条件和结论特征，从新的角度观察、分析问题，抓住条件与结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等本质特征，构造出满足条件或结论的新的问题形式，从而使问题获解的方法.正确而恰当地运用构造法，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。鉴于此，文章结合笔者多年工作经验，对基于“构造法”的高中数学解题思路探索提出了一些建议，仅供参考。

关键词：“构造法”;高中数学;解题思路;探索

引言

构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法．在高中数学解题指导中，构造法的应用能够激发学生主动调用函数、方程、几何图形、数列等知识，促使学生实现创新思考与逻辑探究，提升学生的解题能力。

一、高中数学解题教学过程中的误区

（一）缺乏创造性解题思路

在多数情况下，高中数学教师在为学生讲解习题时都是直接以课本例题为基础进行单项讲授，让学生掌握了某种题型的解题思路以后，然后去模仿这种方式来解决其他相似的问题。表面看学生已经掌握了如何解决这类题，实际上其只是掌握了一种固有模式，并没有真正理解解题思路，一旦题目发生细微的变化，学生便没有解题思路。

（二）偏离教材内容 很多高中教师在为学生讲解习题时，自己进行题目类型的筛选，再结合自身的教学经验来为学生传授解题方法，让学生用固定的模式去解决问题，虽然能够提高分数，但会让学生的思维拓展受到影响。教师在教学中忽视了对教材内容的渗透，久而久之就会让学生依赖教师传授的方式来学习，而不是通过课本和自身思考去寻找解题思路，难以让学生掌控，对以后的学习也是不利的。

二、基于构造法的高中数学解题思路探索

（一）构造法在函数解题中的运用

运用构造法解决抽象函数的不等式问题，是应用导数研究函数单调性问题的延伸，也是常见的函数性质考察方式．在抽象函数不等式问题中，导数的出现比较隐晦，因为这类问题要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性．通常难点有两个，其一是如何利用已有条件构造可以确定单调性的函数，即构造什么样的函数?其二是导数形式比较明朗，即容易构造，难点在于待求不等式与构造函数的关联。在面对“导函数”这一必学知识点时，运用构造法，帮助学生根据现有的条件使用构造法对函数进行解答，并且找出函数的性质，接着运用图形加以论证结果的正确性。因此，在解决这类问题的过程中，运用构造函数的方法可以帮助化繁为简，而且依靠构造法本身的灵活性和技巧性帮助学生更加直白地明白题目的含义。构造法解决抽象函数不等式的过程关键在于构造，构造的过程类似于积分求原函数的过程，既要满足条件，又要能完成单调性的判断．所以在解决本类问题时应熟练掌握常见函数及其四则运算的导数，能迅速找到还原信息，并能抓住题目给定条件或待求式的自变量特征，将其与构造函数关联，从而完成问题求解。