2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则BDECDA；若连结EC，则ABDECD；

2、中点型:如图2，C为AB的中点.

证明思路：若延长EC至点F，使得CFEC，连结AF，则BCEACF;

若延长DC至点G，使得CGDC，连结BG，则ACDBCG.

3、中点+平行线型：如图3, //ABCD，点E为线段AD的中点.

证明思路：延长CE交AB于点F (或交BA延长线于点F)，则EDCEAF.

1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：

如图①：在ABC中，若6AB，4AC，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE，可证ACDEBD△≌△，从而把AB、AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：如图②，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BECF与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，//ABCD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使//CEAB，交AD的延长线于点E，求证：ADED

证明∵//CEAB（已知）∵ABDECD，BADCED（两直线平行，内错角相等）．

在ABD△与ECD中，∵ABDECD，BADCED（已证），BDCD（已知），

∵A.A.SABDECD△△≌，∵ADED（全等三角形的对应边相等）．

（1）【方法应用】如图①，在ABC中，6AB，4AC，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，//ABCD，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知//ABCF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，EDFBAE，若5AB，2CF，求出线段DF的长．

3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a要满足两个条件：①线段a一个端点是图中一条线段b的中点；②线段a与这条线段b不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．

【应用举例】如图（1），已知：AD为ABC的中线，求证：2ABACAD．

简证：如图（2），延长AD到E，使得DEAD，连接CE，易证ABDECD，得AB ，在ACE中，ACCE ，2ABACAD．

【问题解决】（1）如图（3），在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF．

（2）如图（4），在ABC中，90,AD是BC边的中点，EF、分别在边ABAC、上，DEDF，若3,4BECF，求EF的长．

（3）如图（5），AD是ABC的中线，,ABAEACAF，且90BAEFAC，请直接写出AD与EF的数量关系_ 及位置关系_ ．

模型2.截长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。

截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【常见模型及证法】

（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

例：如图，求证BE+DC=AD

方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；①在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE

（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等

例：如图，求证BE+DC=AD

方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；①延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE

1．（2022·安徽淮南·八年级期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．

（1）尺规作图：作AOB的平分线OC．

【模型构造】（2）填空：

①如图．在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，则B______C．（填“”、“”或“”）

方法一：巧翻折，造全等

在AC上截取AEAB，连接DE，则SASABDAED△△．

②如图，在四边形ABCD中，//ABCD，90B，BAD和CDA的平分线AE，DE交BC于点E．若12BCcm，则点E到AD的距离是______cm． 方法二：构距离，造全等

过点E作EFAD，垂足为点F，则AASABEAFE△△．

【模型应用】（3）如图，在ABC中，60A，BE，CF是ABC的两条角平分线，且BE，CF交于点P．

①请直接写出BPC______；②试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由．

2．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∵BAD=120°，∵B=∵ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∵EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE∵∵ADG，再证明△AEF∵∵AGF，可得出结论，他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∵B+∵D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∵EAF=12∵BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

3．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是∵ABC外一点，连接AD，BD，CD，BACBDC＝．

(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∵ADB的度数为 ；

(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∵ADB＝∵BDC；

(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∵ACB+∵BCD＝180°，CE∵BD于点E，AC＝kDE，直接写出CDAB的值（用k的代数式表示）．

课后专项训练：

1．（2022·四川成都·八年级期中）如图ABC中，点D为BC的中点，13AB，5AC，6AD，则ABC的面积是______．

2．（2022·北京·中考真题）在ABC中，90ACB，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得.CEDC(1)如图1，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF，若AFEF，求证：BDAF；

(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若222ABAEBD，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

3．（2022·内蒙古·中考真题）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，90AEF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AEEF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；

(2)如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AEEF；

(3)在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPAC，垂足为P．设BEkBC，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．

4．（2022·江苏·九年级期中）【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，∵ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到∵ADC∵∵EDB，依据是 ．

A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

(3)【初步运用】如图②，AD是∵ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．

(4)【灵活运用】如图③，在∵ABC中，∵A＝90°，D为BC中点，DE∵DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．

5．（2022·山东·九年级专题练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：

如图1，在ABC中，6AB，10AC，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

（1）如图1，延长AD到E点，使DEAD，连接BE． 根据______可以判定ADC≌△ ______，得出AC______．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在ABE△中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．