平面向量与三角形三心

平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。

本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1 课本原题例１、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是123PP P △的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．2 高考原题例２、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||A B A CO P O A A B A C λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析 已知等式即()||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||AB ACAE AF AB AC ==，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC ∠的平分线，选B ．例３、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代入，有[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即22()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，由O 是外心，得(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1()2OM OB OC =+；H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2kOH OA AH OA OB OC =+=++，又()OH m OA OB OC =++，故可得(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102km m -=-=，得1m =．根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均有3OA OB OCOG ++=，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个关键的条件，即2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．例４、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（ ）．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点分析 移项后不难得出，BC图１A0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选D ．3 推广应用题例５ 在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有,A P x a B P x b=-=-． 于是，22222222211()()3[()]()33AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC的重心．例６已知O为△ABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的 心．分析 将2222||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．例７ 已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=． 分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有03302020x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△． 直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△．于是，容易验证，BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△， 1||||sin 2BOAS OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△，又||||||OA OB OC ==，则所证成立．。

运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。

三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。

下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。

首先，我们需要了解什么是三角形的四心。

在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。

在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。

接下来，我们来推导三角形的四心公式。

设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。

那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。

该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。

平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。

三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心OA OB OC 0 ;S BOC S AOC S AOB 1若 O 是 ABC 的重心，则 S ABCOC 0 ;3 故 OA OB PG 1 ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心 .32）O 是 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB ： ：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC 0 3）O 是 ABC 的外心 2 OB 2 OC 2| OA | | OB | | OC | (或 OA )若 O 是 ABC 的外心： ：： ：sin2A : sin2B : sin2C则 S BOCSAOC SAOB sin BOC sin AOC sin AOB故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是OA ( AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0| AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记AB, BC,CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： O A ( e 1 e 3 ) O B ( e 1 e 2 )O C (e 2 e 3 ) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ： b ：cA 故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsinBOB sinCOC 0 ;e 1| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的内心 ;e 2向量 ( ABAC )(0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分 | AB | | AC |C 线所在直线 ) ；B二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1． O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点PP 满足 OP OA ( AB AC ) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）AB AC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB与AC 方向上的单位向量分别为e1和e2，又ABOP OA AP ，则原式可化为AP ABC 中， AP 平分BAC ，则知选( e1B.e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。

平面向量中的四心问题总结平面向量中的四心问题是一个数学问题，涉及到平面上的四种特殊点，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这四个点在平面向量中有着特殊的性质和关系，对于研究平面向量和几何问题有着重要的意义。

首先，三角形的重心是由三角形的三个顶点所确定的三条中线的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的平均值。

重心在平面向量中有着重要的作用，它可以表示为三个顶点向量的和的1/3。

重心是三角形的一个重要特征点，具有平衡的作用，对于平面向量的运算和性质有着重要的影响。

其次，三角形的外心是三条外接圆的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的中点。

外心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和的一半。

外心是三角形外接圆的圆心，对于三角形的外接圆方程和性质有着重要的作用。

再次，三角形的内心是三条内切圆的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的加权平均。

内心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和，但需要根据三角形的边长进行加权。

内心是三角形内切圆的圆心，对于三角形的内切圆方程和性质有着重要的作用。

最后，三角形的垂心是三条高的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的加权平均。

垂心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和，但需要根据三角形的边长进行加权。

垂心是三角形的一个重要特征点，对于三角形的高、垂心连线等性质有着重要的影响。

综上所述，平面向量中的四心问题涉及到三角形的重心、外心、内心和垂心，它们在平面向量中有着特殊的性质和关系，对于研究平面向量和几何问题有着重要的意义。

这些特殊的点和它们的性质不仅在数学理论中有着重要的应用，也在实际问题中有着重要的意义。

投稿邮箱：sxjk@ 数学教学通讯（中等教育）试题研究 >试题探究谈平面向量与三角形的“四心”卢杰江丹阳高中学212309￡摘要：近几年在高考中的向量型，常常是以向量形式出一些条件，学生判断其具平面几何的某中种性，如三角形的“四心”. 本文就是型的律行探索，呈解决的方法.等教育关键词：四心；重心定理；垂心定理；欧拉定理三角形的“四心”，即三角形的重心、垂心、外心和内心.将向量与三角形的“四心”结合，是近几年高考的一个热点，也是学生学习的难点. 现结合近几年的高考题，分析向量与三角形的“ 四心”的常见题型和解决方法.三角形的重心，是三角形三条中线的交点，常用的结论：三角形的重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2∶1；三角形的垂心，是三角形三条高的交点；三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的中垂线的交点；三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，是三角形三个角的角平分线的交点.襛将平面向量与三角形的内心相结合考查例1 O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足襛襛襛襛襛襛襛襛襛襛AB ACOP = OA + λ+ ，λ ∈［0，AB ACe1 A e2B CP图1 +∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心% D．垂心襛襛襛襛解析：因AB是向量AB 的位襛襛AB向量设襛襛与襛襛方向上的位向量分，AB AC襛襛襛襛襛襛e1，e2.OP－OA=AP，襛襛由菱形的基本性知AP=λ（e1+e2），，AP平分∠BAC，所以在△ABC中，AP平分∠BAC，知B.点评：这道题给人的印象是既新颖，又陌生，但考的都是最基础的知识. 新在将平面向量与三角形的四心襛襛相合；陌生在AB表示什么，不知襛襛AB道.考的是基本知，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性、角平分的性及位向量等，比如：一个非零向量除以它的模就是一个单位向量，若此知识非常熟悉，又能迅速地将它迁移到一起，解道一点也没有了.襛将平面向量与三角形的垂心相结合考查“垂心定理”例2P是△ABC所在平面上一点，若襛襛襛襛襛襛襛襛则是PA·PB=PB·PC=PC·PA，P△ABC的（）A．外心B．内心C．重心%%% D．垂心解析由襛襛襛襛襛得襛襛襛：PA·PB=PB·PC PA·PB－襛襛PB·PC=0，襛襛襛襛襛襛襛即PB·（PA－PC）=0，所以PB·CA=0，则PB⊥CA. 同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心. 故答案D.点评：本考平面向量有关运算及“若两个非零向量的数量零，则两个向量所在直垂直”、三角形的垂心定等相关知. 它将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及两个向量的数量积为零的充要条件等相关知巧妙合.襛将平面向量与三角形的重心相结合考查“重心定理”例3若O为△ABC内一点，且襛襛OA+襛襛襛襛则O 是△ABC 的（）OB+OC=0，A．内心B．外心C．垂心%%%%% D．重心襛襛襛襛襛襛襛襛襛襛解析：由OA+OB+OC=0，得OB+OC=襛襛－OA，如图以OB、OC 为相邻两边构作平行四形则襛襛襛襛襛襛，OB+OC=OD，59数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：sxjk@试题研究 >试题探究AOCBE D图2由平行四 形性 知AA 1AA所 OE= OD ，2以 OA =2 OE ，同理可 其他两 上的 个性 ，所以O 是△ABC 的重心，故答案 D.点评： 本 需要平面几何的知 ：平行四边形的对角线互相平分及三角形重心的性 ：重心是三角形中 的内分点，所分的比 λ= 2.本 在解 的 1程中，将平面向量的有关运算与平行四 形的对角线互相平分及三角形重心的性 等相关知 巧妙 合.襛将平面向量与三角形的外心相结合考查例4 已知 O 为 △ABC 所在平面内的任意一点 满足AA AA AA AA AA， OA ·AB=OB ·BA ，OB ·AA AA AA 则 O 为 △ABC的（）BC=OC ·CB ，A ． 重心B ． 垂心C ． 内心 %%%D ． 外心AA AA AA AA AA 分析 ： 由OA ·AB=OB ·BA ，得：AB ·AA AAAA AA AA AA（OB+OA ）=0，即：（OB －OA ）·（OB+OA ）=0， 即 ：AA = AA ，同理可得 ：AA =OBOAOBAAOC ，所以O 为△ABC 的外心. 故D.点评：本 将平面向量的数量 及其运算与三角形外心的定义及性质等相关知 巧妙 合 行考 .襛将平面向量与三角形的四心相结合考查例5已知向量AA AA AA满足 OP 1 ，OP 2 ，OP 3条件AA AA AA=0， AA=AA=OP 1 +OP 2 +OP 3OP 1OP 2AA=1， 求证 ：△P 1P 2P 3 是正三角形.OP 3（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）AA AA AA，两证明：由已知OP 1 +OP 2 =－OP 3 AA AA 1平方得：OP 1·OP 2 =－ ， 2AA AAAA AA 1同理 OP 2·OP=OP 3·OP 1=－，32所以AAP 1P 2 =AAP 2P 3 =AAP 3P 1 = 姨% 3 ，所以△P 1P 2P 3是正三角形. 点评：本 可以引申出一个充要条件的命 ：设O 是△ABC 所在平面内一点，AA AA AA =0，且AA=AA=则“OP 1 +OP 2+OPOP 1OP23AA的充要条件是 点 是正三角形OP 3 ”“ OP 1P 2P 3的中心”.例6 若 O ，H 分别是 △ABC 的外心和垂心 求证 AA AA AA AA， ：OH=OA+OB+OC.证明 ：若△ABC 的垂心 H ，外心O ，如 3.连BO 并延长交外接圆于D ， 连结 ADH OBC图3AD ，CD.所以AD ⊥AB ，CD ⊥BC.又垂心 H ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，所以AH ∥CD ，CH ∥AD ，所以四 形AHCD 平行四 形，AA AA AA AA所以AH=DC=DO+OC ，所以AA AA AA AA AA AAOH=OA+AH=OA+OB+OC.点评 ：著名的“欧拉定理” 的是 角三角形的“三心”—外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共 —“欧拉 ”；（2）三角形的重心在“欧拉 ”上，且 外心与垂心的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.平面向量与三角形的 “ 四心 ” 相结合考查时 ，首先要求掌握三角形的 “ 四心 ”的概念及相关性质 ； 其次需要将向量等式进行等价转化，转化为与三角形的 中线、垂线、高或角平分线构成的向量或向量的模；最后需要具备推理论证的 能力和运算求解的能力，借助于数形结 合， 将已知向量等式进行化归与转化，再利用平面几何的性质， 从而解决平面向量与三角形的 “ 四心 ” 相结合的问题.（上接第 42 页）本的教学意义． 笔者认为， 在数学问题情境抛出后应当给学生留有一定的思考时间， 让他们自行探究学习的内容． 在讲授函数单调性这一章节时， 在引出气温变化的函数的图象后， 笔者没有着急将学生引向函数单调性的定义上， 而是给学生留了时间，让他们观察图象，并用自己语言叙述函数图象“在区间（a ，b ）内函数是逐步增加的，在区间（c ，d ）内函数是逐步减小的”，然后基于学生直观感受到的增减性， 向学生提出问题，“如何严格证明函数的单调性”，从而将焦点转向函数单调性的定义上．3. 问题留白：赋予学生怀疑所学习内容的权利学 生可以怀疑教材所编的内容，可以 怀疑教师所讲的内容，这是数学学习的权利．但是怀疑不是无依据的，它必须是 大胆地假设，小心地求证， 这就要求教师在问题上要给学生留白让学生可 以 质疑所学内容. 例如， 在讲解导数证明函数单调性时， 笔者因为思维的惯性， 给学生证明的结论是y ′>0时函数单调增， 同样笔者给学生留了思考的时间， 但学生大胆地质疑了笔者的结论，学生跟笔者讲 ：老师 ，我们发现y=x 3在R 上单调递增 ， 但其导函数在x=0处的函数值为0， 这说明您刚才讲的结论存在着问题． 正是基于学生的质疑， 我们才避免了教学的失误，这充分说明留白能够调动学生思维的积极性和主动性，从而发现学习中存在的问题．60。

平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。

在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。

本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。

1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。

这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。

1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。

重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。

1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。

1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。

1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。

垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。

2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。

2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。

即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。

2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。

则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。

即，OA + OB + OC = 3OO。

2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。

则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。

即，AI + BI = CI = 2II。

2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。