2024届四川省绵阳巿三台中学高三调研考试(数学试题)试卷

绵阳市高中2021级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBACBDDCBCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．101415．45π16．2三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由列联表可计算()2210024124816 4.762 3.84140607228K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，········4分∴有95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率．···························5分（2）根据题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2．········6分可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，···············8分设X 表示这6件产品中淘汰品的件数，则(60.2)X B ，~，·······················9分可得：60166015(1)C 0.80.2C 0.80.2p P X =≤=⨯⨯+⨯⨯·································10分50.8(0.8 1.2)0.65536=⨯+=．······················································12分18．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则1，1+d ，2+2d 成等比数列，·················1分∴2(1)1(22)d d +=⨯+，解得：d =1或d =−1，·····································3分而d =−1，不满足1a ，2a ，31a +成等比数列，∴d =1，·······················································································4分∴数列{}n a 的通项公式n a n =．······················································5分（2）令121112 31n n n n n n a b a b a b a b D --=++++=- ，·······························6分∴1112112131 31n n n n n n n a b a b a b a b a D b ++-++++++==+- ，·······················7分两式相减有：11111(2) 3n n n n n n a b b b b D D +-+-=++++=⋅ ，····················8分∴数列{}n b 的前n +1项和为23n ⋅，即123n n T +=⋅，·································9分又1112D a b ==，所以12b =，··························································10分∴112123n n n b b b b --++++=⋅ ，·····················································11分∴123n n T -=⋅．·············································································12分19．解：（1）过C 作CH ⊥1BB 交1BB 于H ，·············································1分∵C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，∴CH ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，···································2分∴CH AB ⊥，··············································································3分又1AB B C ⊥，且1B C CH C = ，····················································4分∴AB ⊥平面11BCC B ；···································································5分（2）∵1111112ABC A B C ABB A V S CH -=⋅，则32213CH ⨯==，·························6分过C 作1CQ AA ⊥交1AA 于Q ，连结HQ ，∵AA 1与CC 1则CQ =，又∵CH ⊥平面11ABB A ，则CH HQ ⊥，···········································7分在Rt △CHQ 中：222211HQ CQ CH =-=-=，则1HQ =，又1AA CH ⊥且1AA CQ ⊥，∴1AA ⊥平面CHQ ∴1AA HQ⊥又由（1）知：AB ⊥平面11BCC B ，∴AB ⊥1BB ，∴1AB AA ⊥，则四边形ABHQ 为矩形，∴1AB HQ ==，又四边形ABB 1A 1的面积为3，则BB 1=3，···········································8分分别以HB HQ HC ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设(0)BH x x =>，∴(00)，，B x ，(10)A x ，，，1(301)C -，，，∵1AC =∴22221(3)1127AC x =+++=，解得2x =，············································9分∴B (2，0，0)，1(110)A -，，，(001)C ，，，∴1(310)A B =- ，，，(201)BC =- ，，，设平面1A BC 的法向量为n 1()x y z =，，，∴1113020A B n x y BC n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则n 1(132)=，，，·········易知平面11ABB A 的法向量n 2(001)=，，，·······································11分∴12cos 7n n <>=，，∴平面1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为147． (12)分20．解：（1）离心率3e 2=，则12b a =，①································1分当x =1，y =±||=2AB ，②····························3分联立①②得:21，a b ==，···························································4分故椭圆C 方程为：2214x y +=；·······················································5分（2）设过F ，A ，B 三点的圆的圆心为Q (0，n )，1122()()A x y B x y ，，，，又(0)F ，则22||=||QA QF，即222211(0)()(0(0)x y n n -+-=++-，·················6分又11(,)A x y 在椭圆2214x y +=上，故221114x y +=，带入上式化简得到：2113210y ny +-=，③··········································7分同理，根据22=QB QF 可以得到：2223210y ny +-=，④···················8分由③④可得：12,y y 是方程23210y ny +-=的两个根，则1213y y =-，·····9分设直线AB ：1x ty =+，联立方程：22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：22(4)230t y ty ++-=，⑤················································10分故1223143y y t -==-+，解得：25t =，∴t =，···············································································11分∴直线AB的方程为：10x ±-=．············································12分21．解：（1）当1=a 时，x x x x x x f --+=2241ln )21()(，∴x x x f ln )1()(+='，则切线斜率1e +=k ，······································2分∴曲线)(x f 在(e ，(e)f )处的切线方程：)e )(1e (e 412-+=-x y ，···········4分即：0e e 43)1e (2=---+y x ，························································5分（2）证明方法一：因为)ln )(ln ()(a x a x x f -+='，·····························6分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：212ln 20ea a a --->(12)a <<（*）·········································8分设)21(2ln e2)(12<<--=-x x x x g x ，则22311142142e ()e e x x x x x x x g x x x ------'=-=，···········································9分设23142()1(12)e x x x h x x --=-<<，则321121082(1)(4)()e e x x x x x x x x h x ---+--'==，易知：()h x 在(1，2)上单调递减，而(1)10h =>，(2)10h =-<，故必存在唯一)21(0，∈x ，使得0()0h x =，·······································10分∴当)1(0x x ，∈时，()0h x >，即()0g x '>；当)2(0，x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，∴()g x 在0(1)x ，上单调递增，在)2(0，x 上单调递减．························11分而0)1(=g ，022ln e8)2(>--=g ，∴()0g x >在(1，2)上恒成立，即（*）式成立，原命题得证．··············12分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：122ln 0(12)e a a a a a -+-><<，················································8分设122ln ()(12)e x x xg x x x -+=-<<，即证()0g x >在x ∈(1，2)恒成立.则12221ln ()(12)e x x xg x x x --+'=+<<，令()()h x g x '=，则132(2)12ln ()(12)e x x xh x x x --+'=-<<，························9分又∵12x <<，∴132(2)12ln 00e x x xx --+<-<，，∴132(2)12ln ()0e x x xh x x --+'=-<在(1，2)上恒成立.······························10分∴()g x '在(1，2)单调递减，又8e(1+ln 2)(1)10(2)04eg g -+''=>=<，，∴存在0(12)x ∈，，使得()g x 在0(1)x ，单调递增，在0(2)x ，单调递减.又8e(2ln 2)(1)0(2)02eg g -+==>，，·············································11分∴()0g x >在x ∈(1，2)恒成立，得证．··········································12分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：12(2ln )e 1(12)2a a a a -+<<<，，··············································8分令12(2ln )()e (12)2a a g a a a-+=<<，则13(2ln )32ln ()(12)2a a a a g a a a -+--'=<<，设()(2ln )32ln (12)h a a a a a =+--<<，··········································9分∴'2()3ln (12)h a a a a=+-<<，易知()h a '在(1，2)单调递增．∴''()(1)10h a h >=>，·································································10分∴()h a 在(1，2)单调递增，又(1)10(2)10h h =-<=>，，∴存在唯一0(12)a ∈，，使得当0(1)()0a a h a ∈<，，，()0()g a g a '<，单调递减，当0(2)()0a a h a ∈>，，，()0()g a g a '>，单调递增，···························11分又(22ln 2)e(1)1(2)18g g +==<，，∴()1g a <在(12)a ∈，恒成立，原不等式得证．·································12分22．（1）方法一：令0=x ，即0sin 3cos =+αα，解得33tan -=α，···························1分∴ππαk 265+=或Z k k ∈+=，ππα2611，···········································2分当ππαk 265+=时，4)23(3212=-⨯-+=y ；···································3分当ππαk 2611+=时，0233212=⨯--=y ，······································4分∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．·······························5分方法二：消参：由C 1的参数方程得：431)cos 3(sin )sin 3(cos )2(2222=+=-++=-+ααααy x ，··············1分即曲线C 1的普通方程为：4)2(22=-+y x ，······································2分令0=x ，得0=y 或4，·································································4分∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．·······························5分（2）方法一：将曲线C 1：4)2(22=-+y x 化为极坐标方程，得：θρsin 4=，···········································································6分联立C 1，C 2的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧==+θρπθρsin 42)3sin(，得θsin 42)3sin(=+⋅πθ，从而12sin 2322cos 11)cos 3(sin sin =+-⇒=+θθθθθ，····················7分整理得：21)62sin(=-πθ，所以65662πππθ或=-，····························8分即26ππθ或=，············································································9分∴∠AOB 362πππ=-=．······························································10分方法二：将C 2的极坐标方程2)3sin(=+πθρ，化为直角坐标方程：043=-+y x ，················································6分∴C 2是过点（0,4）且倾斜角为32π的直线，······································7分不妨设B （0,4），则∠OBA 6π=，因为BO 为直径，所以∠BAO 2π=，····9分∴∠AOB 362πππ=-=．································································10分23.（1）由b a b a 33+=+得3)(3=⇒+=+ab abb a b a ，①·····························1分又由2)())(=-=---≥-+-=a b b x a x b x a x x f （，························3分且0>>b a ，所以2=-b a ，②······················································4分由①②得：1,3==b a ；··································································5分（2）t t t t bt at +-=+-=+-13333，································6分令20sin πθθ≤≤=，t ，则θcos 1=-t ，········································7分∴3sin(2sin cos 313πθθθ+=+=+-t t ，··································9分∴当6πθ=时，即41=t 时，bt at +-3的最大值为2．·····················10分。

一、单选题二、多选题1. 设椭圆的两个焦点分别为F 1､､F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．2. 若全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 设复数z 满足，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知锐角满足，则（ ）A．B．C．D．6.双曲线的渐近线于圆相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（ ）A．B．C．D．7. 我们平时学习的“对勾函数”（形如，ab 同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲线.根据双曲线的相关定义，“对勾函数”的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于x 轴上）的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 已知一组数据：2，3，4，6，m ，则下列说法不正确的是（ ）A ．若m ＝7，则平均数为4.4B ．若m ＝4，则众数为4C ．若m ＝6，则中位数为4D ．若m ＝10，则方差为409. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，平面是底面C．D ．平面与平面的夹角为10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B ．若函数的值域为，则实数四川省绵阳市三台中学校2024届高三一模数学（理）试题四川省绵阳市三台中学校2024届高三一模数学（理）试题三、填空题四、解答题C ．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为11. 在正方体中，，点P 满足，其中，则下列结论正确的是（ ）A ．当平面时，与所成夹角可能为B．当时，的最小值为C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D ．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为12. 已知方程（）有两个不同的根，，若，则（ ）A．B．C．D．13. 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用表示该有机体死亡年后体内碳14的含量，则与的关系式可以表示为______.14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M 是的中点，，N ，G分别在棱，上，且，，平面与交于点H，则=__________.15. 如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则________.16. 已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．17.已知函数（e 是自然对数的底数）.(1)若（）是函数的两个零点，证明：；(2)当时，若对于，曲线C ：与曲线都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围.18.如图所示，四边形为菱形．，，，，平面．（1）若平面平面，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值．19. 如图，四棱柱的棱长均为2，点是棱的中点，.（1）证明：平面；（2）若，，求直线与底面所成角的正切值.20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，左顶点为A，上顶点为B，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k 1，k2，若．证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．21. 如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上.(1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.。

2022年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.若复数，则z的共轭复数为( )A. B. C. D.3.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A.B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为4.已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知函数，则( )A. 为奇函数B.C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称6.已知曲线在处的切线为l，若l与：相切，则实数( )A. 2或B. 或3C. 2D. 37.函数的部分图象如图所示，则( )A.B. 1C.D.8.在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为尺，立冬的晷长为尺，则冬至所对的晷长为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9.若抛物线的焦点为F，直线l：与抛物线交于A，B两点，且，则( )A. B. C. 2 D. 410.今4名医生分别到A 、B 、C 三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为( )A.B.C.D.11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 已知点的坐标为，点的坐标为.若对任意经过，两点的，该圆总与直线（）有两个公共点，则必有（ ）A．B．C．D．2. 对于函数，下列结论中正确的是A ．有最大值无最小值B ．有最大值且有最小值C ．有最小值无最大值D ．既无最大值又无最小值3. 组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是A ．，B．，C ．，D ．，4. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A．B．C．D．5. 已知集合，集合，那（ ）A．B．C．D．6. “”是“直线与直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）A．B．C．D．8. 在△中，为的中点，点满足，则A．B．C．D．9. 刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次四川省绵阳市三台县三台中学校2024届高三一模数学（理）试题（二）(高频考点版)四川省绵阳市三台县三台中学校2024届高三一模数学（理）试题（二）(高频考点版)三、填空题四、解答题款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）A ．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B ．小明选择的还款方式为“等额本息还款法C ．小明第一个月还款的现值为元D．10.已知函数，则下列四个命题正确的是（ ）A．的最小值为B．向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数C ．在上为增函数D ．关于直线对称11. 已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（ ）A．的准线方程为B．C ．直线的斜率为D．12. 为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A ．这五个社团的总人数为100B ．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C ．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%D ．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%13.的展开式中的系数为______（用数字作答）．14. 已知导数为，且，则____________．15. 一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________．16. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.17. 如图所示，正方体中，棱长为2，且分别为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求四面体的体积.18. 设函数．（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间[t ，t+3]上的最大值．19. 在中，角所对的边分别为，且满足.(1)求的大小；(2)求的最大值.20. 运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元（），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.每千米每小时21.如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在之间），若为上的点，且满足，证明：．线段。

四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期三诊模拟数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|ln 0M x x =>，{}|15N x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{|0}x x >B ．{|05}x x <<C ．{|15}x x <<D ．{}5|x x ≥2．已知复数()i ,,i z a b a b =+∈R 是虚数单位，若22z z -=+，则复数z 的虚部为（ ）AB ．CD ．3．命题“*2N ,20x x x ∀∈-≤”的否定是（ ）A ．0*200,20x x x ∃∈-≥N B ．0*200,20x x x ∃∈->N C ．*2,20x x x ∀∈-<N D ．*2,20x x x ∀∈-≤N4．在ABC V 中，2π3,5,3BC AC C ===，则AB =（ ）A B C D ．75．高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少0.5小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）A ．减负后完成作业的时间的标准差减少0.5B ．减负后完成作业的时间的方差减少0.25C ．减负后完成作业的时间在4小时以上的概率大于10%D ．减负后完成作业的时间的中位数在2至2.5之间6．设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在区间()0,1与()1,2中各随机取1个数，则两数之和大于32的概率为（ ）A ．18B ．34C ．78D ．23328．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（ ）A ．5B ．CD ．9．已知直线:210l kx y k +--=与圆22:8O x y +=交于,A B 两点，则弦AB 最短时，k =（ ） A ．2B ．1C ．12-D ．2-10．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+π02ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，其中π,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,224B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，现有如下说法：①函数()f x 在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；②将函数()f x 的图象向右平移π24个单位长度后关于y 轴对称；③当5ππ,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(f x ∈，则正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:143x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则12PF PF ⋅=u u u r u u u u r （ ）A ．94B ．74C ．2D ．7212．对于实数()0,x ∈+∞，不等式()()e ln 10xmx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．01m <≤B ．1m £C ．0e m <≤D ．e m ≤二、填空题13．已知x ，y 满足02010x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数22024z x y =-++的最大值是.14．已知向量()1,2a =r ，(),1b x =-r ，若()2a a b ⊥-r r r ，则⋅=rr a b .15．已知函数()f x 的定义域为R 的奇函数，()30f =，对任意两个不等的正实数,a b 都有()()0f a f b a b->-，则不等式()210xf -<的解集为.16．已知球O 的表面积为36π，正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，则该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为.三、解答题17．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足24n n S a n =+-． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()21log 1n n b a +=-，求数列(){}1n n b a -的前n 项和n T ．18．防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据：(1)求y 关于x 的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数； (2)求相关系数r （精确到0.01），说明y 与x 之间具有怎样的相关关系. 参考数据：51175i i y ==∑，51608i i i x y ==∑，()521700i i y y=-=∑ 2.646 3.162≈.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑；回归直线的方程是y bx a =+，其中1122211()()()ˆˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求点P 到平面AEF 的距离.20．抛物线()21:20C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长．(1)求抛物线1C 的方程；(2)设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作()222:2E x y r -+=（其中01r <<）的两条切线，分别交抛物线1C 于点M ,N ,证明：直线MN 经过定点．21．已知函数()e 1x a f x x -=的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,e .(1)求a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若关于x 的不等式()2ln 1e ln 0exx x x x λλλ++---≥在区间()1,+∞上恒成立，求正实数λ的取值范围.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为2x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C ：2212x y +=．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程；(2)求曲线C 上一点N 到直线l 距离的最小值，并求出此时N 点的坐标．23．已知函数()()23,32f x x g x x =-=-- (1)求不等式()()f x g x ≤的解集N ；(2)设N 的最小数为n ，正数,a b 满足32n a b +=，求223b aa b++的最小值.。

三台2021级高三上期数学二诊模拟（一）理科数学（答案在最后）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（）A.()U A B∩ð B.()U A B ðC.()U A B ⋂ð D.()UA B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.2.已知复数3iiz +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算化简z ，进而求得z ，从而确定正确答案.【详解】()()()3i i 3i 13i,13i i i i z z +⨯-+===-=+⨯-，所以z 对应点()1,3在第一象限.故选：A3.根据表中的数据，用最小二乘法得到y 与x 的线性回归方程为 1414y x =-，则表中n 的值为（）x23456y20n406070A.15.5B.20C.20.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先求出样本中心点，然后代入回归方程计算即可.【详解】由表中数据，计算可得2345645x ++++==，2040607019055n n y +++++==，因为回归直线 1414y x =-过样本中心点，所以有190144145n+=⨯-，解得20n =．故选：B.4.已知2212sin cos 1cos sin 3αααα-=-，则tan α=（）A.13B.12C.13或1 D.12或1【答案】B 【解析】【分析】利用弦化切可得出关于tan α的等式，即可求得tan α的值.【详解】因为()()()2222222cos sin 12sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααα--+-==--+-cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--===++，解得1tan 2α=.故选：B.5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A.1120B.7200C.8640D.14400【答案】B 【解析】【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有22A 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有66A 种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有15C 种不同的排法，所以共有261265A A C =7200种不同的排法．故选：B .6.设x ∈R ，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b b += （）A.10B.2C.10D.5【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出2x =，从而可得出(3,1)a b +=-，再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为(,1)a x = ，(1,2)b =- ，又a b ⊥ ，所以20x -=，得到2x =，所以(2,1)a = ，得到(3,1)a b +=-，所以()cos ,2a b b a b b a b b+⋅+==+ ，故选：B.7.已知命题p ：若a b >，则33a b >；命题():0,1q x ∀∈，不等式23log log x x <恒成立，则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.()p q⌝∧C.()()p q ⌝∨⌝ D.()p q ∧⌝【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断出命题p 是真命题，命题q 是真命题，再由复合命题的真值表判断可得选项.【详解】若a b >，则33a b >，所以命题p 是真命题，p ⌝是假命题；又(0,1)x ∀∈，所以不等式23log log x x <恒成立，所以命题q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∨⌝是假命题，()p q ∧⌝是假命题，故选：A8.已知1F ，2F 分别是椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，P 是椭圆C在第二象限内的一点，且PO =（O 为坐标原点），则12tan PF F ∠=（）A.2B.12C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的方程求出,,a b c，由PO =可知1290F PF ∠=︒，再由椭圆的定义及勾股定理可得122,4PF PF ==，再求出12tan PF F ∠的值.【详解】由椭圆22:194x y C +=的方程可知：3,2,a b c ===，又因为PO =，所以在12PF F △中，1290F PF ∠=︒，设1PF r =，则226PF a r r =-=-，因为P 是椭圆C 在第二象限内的一点，所以12PF PF <，即6r r <-，即3r <，因为1290F PF ∠=︒，所以2221212PF PF F F +=，则()(2226r r +-=，整理可得：2680r r -+=，解得：2r =或4r =（舍去），即122,4PF PF ==，所以21214tan 22PF PF F PF ∠===.故选：A .9.当2x =时，函数()3212f x x bx x =+-取得极值，则()f x 在区间[]4,4-上的最大值为（）A.8B.12C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据极值点与导数之间的关系求得0b =，利用导数判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性和最值.【详解】因为()3212f x x bx x =+-，所以2()3212f x x bx '=+-，又因为()f x 在2x =取极值，所以(2)124120'=+-=f b ，解得0b =，若0b =，则3()12f x x x =-，2()312f x x '=-，令()0f x '>，得<2x -或2x >；令()0f x '<，得22x -<<；所以()f x 在(),2∞--和()2,∞+上单调递增，在()2,2-上单调递减，可知()f x 在2x =取极值，故0b =满足题意，若[]4,4x ∈-，则()f x 在[4,2]--和[2,4]上单调递增，在()2,2-上单调递减，且(2)82416,(4)644816f f -=-+==-=，所以()f x 在区间[]4,4-上的最大值为16.故选：C ．10.函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则9n mmn+的最小值为（）A.9B.8C.92D.52【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数性质求得1,3k b ==，然后妙用“1”可得.【详解】当1x =时，11log 123a y a -=++=，所以，函数1log 2x a y x a-=++过定点()1,3，得1,3k b ==，所以，312m n +=-=，因为0m >，0n >，所以，()(99119119110108222n m n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当92n mm n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即31,22m n ==时，等号成立，所以，9n mmn+的最小值为8.故选：B11.已知函数())5log 2f x x =-，实数m ，n 满足()()420f m f n -+=，则4m n +=（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此化简()()420f m f n -+=，进而求得正确答案.22x x >=≥，所以()f x 的定义域为R ，()()))55log 2log 2f x x f x x-+=++-)5522log log 10xx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦-，所以()f x 是奇函数，由()()420f m f n -+=可得420,42m n m n -+=+=.故选：B12.双曲线22221x y a b-=左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 直线1l 与双曲线右支交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于P ，若2AB PF =，则该双曲线渐近线方程为（）A.20x y ±=B.20x y ±=C.y ±=D.0x =【答案】C 【解析】【分析】设直线1l 的方程，与双曲线联立，求AB 的中垂线方程，得到P 点坐标，利用2AB PF =得到离心率，进而求得渐近线方程.【详解】设直线1l 的方程为x my c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2222242222201x my c b m a y mcb y b x y ab =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩，判别式()()()2222242422441mcb b m a b a b m ∆=--=+，韦达定理2122222mcb y y b m a+=--，412222b y y b m a ⋅=-，所以中点纵坐标21202222y y mcb y b m a +==--，横坐标200222ca x my c b m a=+=--，则中点坐标为22222222,ca mcb b m ab m a ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为222222221ca mcb x y b m a m b m a ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =得，3222c x b m a -=-，即P 的坐标为3222,0c b m a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以32222222222c b m c cb PF c b m a b m a -+=-=--，由弦长公式可知，AB =，将韦达定理代入得，()2222212ab A m B b m a=-+，因为2AB PF =，所以()2222222222221ab b m c cb b m a a m b m +=--+，整理得，2a c =，所以22223b c a a =-=，即223b a=，所以渐近线方程为b y x a=±=.故选：C.第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填写在答题卡的横线上.13.已知lg 2a =，则21log 5+=______（用含a 的代数式表示）．【答案】1a##1a -【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算即可.【详解】2222lg1011log 5log 2log 5log 10lg 2a+=+===.故答案为：1a.14.37(x的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是__________．【答案】-449【解析】【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式求得常数项，然后结合所有项的系数之和即可求得最终结果.【详解】73x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()427732177C 2C rrrr r r r T xx--+⎛==- ⎝，令42702r -=可得r =6，所以常数项为()6672C 448-=，令x =1，得所有项的系数之和是-1，故不含常数项的所有项的系数之和是1448449--=-.故答案为：449-15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，P 为抛物线C 上一点，且满足PF =POF 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用PF ＝，求得P 点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.【详解】由抛物线C ：28y x=得其标准方程为2x =，所以2p =，得2p =，所以焦点为(F ，准线方程为y =，又因为P 在抛物线C 上且PF ＝，由抛物线定义可得p y =4p x =，所以12POF P S OF x ⨯⨯= ＝.故答案为：.16.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是__________．【答案】(3,3]-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定124x x +=-，341x x =，414x <≤，变换()3124234414x x x x x x x ++=-，根据函数的单调性计算最值即可.【详解】画出函数2222,22,02,20()log ,0log ,01log ,1x x x x x x f x x x x x x x --<-⎧⎪⎧+≤+-≤≤⎪⎪==⎨⎨>-<<⎪⎩⎪⎪≥⎩的图象，如图所示：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，由0x ≤时，()2f x x =+，则1x 与2x 的中点横坐标为2x =-，即：124x x +=-，当0x >时，由于2log y x =在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又因为34x x <，2324log log x x =，则3401x x <<<，有2324log log x x -=，341x x =，又24log 2x ≤，414x <≤，()31234234341144x x x x x x x x x ++=-+=-在4(1,4]x ∈上递增，故取值范围是(3,3]-．故答案为：(3,3]-.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性45100女性65100合计（1）完成上表；对于以上数据，采用小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．常用的小概率值和对应的临界值如下表：α0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x α2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】17.列联表见解析，能，理由见解析18.①208285；②()11E X =，()9920D X =【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）①所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知，11~20,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望和方差公式可求得()E X 、()D X 的值.【小问1详解】解：完善列联表如下表所示（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性4555100女性6535100合计11090200零假设0:H 性别与网购之间无关联，由列联表得，()220.01200453565558008.081 6.6351109010010099x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.【小问2详解】解：①由题意可知，所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，所以，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为20828521313713320C C C C P +==；②由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为1101120020=，将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为1120，由题意可知，11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()11201120E X =⨯=，()1199920202020D X =⨯⨯=.18.在等比数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，公比()0,1q ∈，且153528225a aa a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）512n n a -=（2）229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩【解析】【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出35,a a ，进而可求出公比，即可得解；（2）分0n b ≥和0n b <两种情况讨论，结合等差数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为153528225a a a a a a ++=，所以()222335535225a a a a a a ++=+=，又()*0Nn a n >∈，所以355aa +=，因为3a 与5a 的等比中项为2，所以354a a =，则353554a a a a +=⎧⎨=⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩（3514a a =⎧⎨=⎩舍去），所以25314a q a ==，所以12q =（12q =-舍去）所以55512n n n a a q--=⋅=；【小问2详解】由（1）得25log n n b a n ==-+，令0n b ≥，则15n ≤≤，令0n b <，则6n ≥，当15n ≤≤时，()2121245922n n n n nn nT b b b b b b -+-+=+++=+++==，当6n ≥时，()()1212567n n n T b b b b b b b b b =+++=+++-+++ ()()21559401022n n n n --+--+=-=，综上所述，229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩.19.在①向量()m b = ，()sin ,cos n A B =- ，且m n ⊥sin cC=，③2222sin a c b ac A +-+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c -=，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）534【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合正弦定理以及余弦定理，可得答案；（2）利用余弦定理，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】若选条件①，则sin cos 0m n b A B ⋅=-=，根据正弦定理得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A ≠，∴sin B B =，tan B =，∵0πB <<，∴π3B =.sin 1sin CC==，tan B =∵0πB <<，∴π3B =.若选条件③，∵2222cos a c b ac B =+-，∴2cos 2sin ac B ac A +=，∴cos sin a B a A +=，根据正弦定理得sin cos sin sin A B A B A +=，∵sin 0A ≠，∴cos 1B B +=，π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴0πB <<，∴π3B =.【小问2详解】根据余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-+，∴94ac =+，∴5ac =，ABC 的面积为11sin 52224ac B =⨯⨯=.20.已知函数21()ln 2f x ax x =-．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式(x)x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为12，无极大值（2）2a ≥【解析】【分析】（1）对21()ln 2f x x x =-求导得到(1)(1)()x x f x x-+'=，再根据极值的定义即可求出结果；（2）根据条件，分离常量得到21ln 2x x a x +≥，构造21ln ()(0)xg x x x x=+>，将问题转化成求()g x 的最大值，即可解决问题.【小问1详解】当1a =时，21()ln 2f x x x =-，则211(1)(1)()x x x f x x x x x--+'=-==，由()0f x '=，得到1x =，又0x >，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以21()ln 2f x x x =-在1x =处取到极小值，极小值为12，无极大值.【小问2详解】由(x)x f ≥恒成立，得到21ln 2ax x x -≥恒成立，即21ln 2ax x x ≥+恒成立，又0x >，所以221ln 1ln 2x x xa x x x+≥=+恒成立，令21ln ()(0)x g x x x x =+>，则2423312ln 112ln 12ln ()x x x x x x g x x x x x x ---+-'=-+=-+=，令()2ln 1(0)h x x x x =--+>，则2()10h x x'=--<恒成立，即()2ln 1h x x x =--+在区间(0,)+∞上单调递减，又(1)2ln1110h =--+=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以21ln ()(0)xg x x x x=+>在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，故()(1)1g x g ≤=，所以112a ≥，即2a ≥，所以，实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.21.一动圆与圆2217:402M x y x +++=外切，同时与22241:402M x y x +--=内切．（1）求动圆圆心的轨迹方程C ，并说明它是什么曲线；（2）设点()0,1N ，斜率不为0的直线l 与方程C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点．求圆N 的半径r 的取值范围．【答案】（1）圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，22184x y+=（2）(．【解析】【分析】（1）设动圆心为(),P x y ，半径为R ，则12PM R =+，22PM R =-，可得12124PM PM M M +=>=，根据椭圆的定义即可求解；（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设l 为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式可得222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据直线与圆的位置关系可得()2,1M k -，由0∆>得2302k <<，结合r MN ==计算即可求解.【小问1详解】设动圆心为(),P x y ，半径为R ，圆2217:402M x y x +++=可化为()22122x y ++=，22241:402M x y x +--=可化为()224922x y -+=，由题意可得122PM R =+，2722PM R =-，则12124PM PM M M +=>=，所以，圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，且2c =，a =得2844b =-=，则动圆圆心的轨迹方程C 为22184x y +=．【小问2详解】由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，设圆N 的半径为r ，()22222214280184y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()22222216421288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，122421km x x k -+=+，21222821m x x k -=+，所以()212122242222121k m my y k x x m m k k -+=++=+=++，又因为M 为AB 的中点，所以222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，又圆N 与直线l 相切于点M ，所以NM l ⊥，且r MN =，所以1MN l k k ⨯=-，所以2211212021MNmk k km k k -+==---+，解得221k m +=-，所以()2,1M k -，()()()()222222288488214821320k m k k k k ⎡⎤∆=-+=-++=+->⎢⎥⎣⎦，解得：2302k <<，所以2302r MN k ⎫===<<⎪⎭，由251122k <+<⇒<<2r <<，所以圆N 的半径r 的取值范围为(．（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为2222(1)11t x t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos sin 0θρθ--=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与C 交于MN 两点，求OMN 的面积.【答案】（1）22143x y +=y -=（2）5【解析】【分析】（1）方法一：联立原式，消去t ，即可得到C 的普通方程，利用极直互化公式可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；方法二：结合原式，计算223412x y +=，即可得到曲线C 的普通方程；方法三：由万能公式代入计算，即可得到2cos ,x y θθ==，再由椭圆的参数方程即可得到结果.（2）方法一：求得直线的参数方程，与椭圆方程联立，求解，并利用参数的几何意义即可得到弦长MN ，再由三角形的面积公式得到结果；方法二：联立直线与椭圆的普通方程，利用面积分割法得到结果.【小问1详解】方法一：曲线C :由题意得2421x t =-++，即242,12y x t t x +=∴=++，然后代入2421x t +=+，即可得到曲线C 的普通方程22143x y +=，而直线l ，将cos ,sin x y ρθρθ==代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程0y -=.方法二：因为()()()()2222422222222212148124341212111tt t t t x y t t t --+++=+=⨯=+++，所以C 的普通方程为22143x y +=，直线l0y -=；方法三：由万能公式：2222tan12tan 22sin ,cos 1tan 1tan 22θθθθθθ-==++，令2tan 2t θ=，则有2cos ,x y θθ=，由椭圆的常用参数方程可得：22143x y +=，直线l0y -=.【小问2详解】解法1：设直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,倾斜角为60︒，所以点O 到直线l的距离sin 602d OF =︒=，设l的参数方程为122m x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（m 为参数）代入22143x y +=，可得：254120m m +-=，得：12216162,,55m m MN m m =-=∴=-=.所以Δ14325OMN Sd MN =⋅=；解法2：设()()1122,,,M x y N x y，联立22341201)x y y x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩得2590y +-=.解得125y y ==，又因为直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,则1OF =，所以(12111225OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯= .[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2124f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式2()42230f x x m m +--+≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）5(,1][,)2-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）通过两边平方的方法求得不等式()0f x >的解集.（2）先求得()4f x +的最小值，由此列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】由()0f x >得：2124x x +>-，两边平方得，2244141616x x x x ++>-+，所以2015x >，解得34x >，所以不等式的解集为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()42212421425f x x x x x x +-=++-≥++-=，当且仅当()()21240,x x +-≤即122x -≤≤时等号成立，由题意得：2523m m ≤-，即()()22351250m m m m --=+-≥，。

2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7D ．22．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．4510． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．8312．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届绵阳市三台中学高三数学（理）上学期11月一诊模拟卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5A x x =<，{}2log 1B x x =>，则A B = （）A ．{}05x x <<B ．{}15x x <<C ．{}25x x <<D ．{}45x x <<2．已知a b <，则（）A ．22a b<B ．ee ab --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b<3．已知等差数列{}n a ，其前n 项和n S 满足7412S a -=，则26a a +=（）A ．4B ．72C ．52D ．34．如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE =（）A ．1136BA BC --B ．1163BA BC -- C ．5163BA BC--D ．5163BA BC-+5．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T（℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A ．3.048分钟B ．4.048分钟C ．5.048分钟D ．6.048分钟6．已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A ．()1,0-B ．[]0,1C ．(]()10,-∞-+∞ ,D ．(](),11,-∞-⋃+∞7．函数()2ln 1cos x y x+=的图象可能是（）A ．B．C．D ．8．已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极小值10，则ba 的值为（）A ．－1B ．411-C ．114-D ．114-或1-9．计算)tan 70cos10201︒︒︒-=（）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-10．若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中a ，b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[),e +∞C ．[)2,e D ．2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭11．若函数()()R y f x x =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数lg ,0()e ,0xx x g x x ⎧>=⎨<⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]6,6-内的零点个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．1112．函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20f x f x x '+>，若不等式()()ln ln ln ax f ax f x xx ax ⋅⋅≥在()1,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎤ ⎝⎦B ．1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．(]0,e D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．若实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值是.14．已知向量(2,3),(3,1)a t b =-=- ，且(2)a b b +⊥ ，则a =r ．15．设函数2()ln(1)f x x x =++，则使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是．16．已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数()22sin cos 2cos π4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间及对称中心；(2)当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π365f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求cos 2x 的值．18．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，1n a +-，n a ，2n a +成等差数列．等差数列{}n b 满足121b a =+，523233b b a -=-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列()121n n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ．19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，其中b =，且(sin )cos sin cos a C B B C -=.(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的取值范围.20．已知函数()()322316f x x a x ax=-++，其中a 是正数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()y f x =在闭区间[]0,1a +上的最大值为()1f a +，求a 的取值范围．21．已知函数()e ax f x x=-（,e a R ∈为自然对数的底数），()ln 1g x x bx =++.(1)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()[)0,,1,x a ∞∞∀∈+∀∈+恒成立，求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分．考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.23．已知函数()211f x x x =--+.（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，试求1412a b +++的最小值.1．C【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得{}2B x x =>，即可求交集.【详解】由2log 1x >解得2x >，所以{}2B x x =>，所以A B ={}25x x <<，故选:C.2．D【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e xy =为单调递增函数，所以e e ab -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则22,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以22a a a b b b =-<=-，当0a b ≤<，则22,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以22a a a b b b =<=，当0a b <≤，则22a a ab b b =-<=，综上可知D 正确，故选：D 3．A【分析】由等差数列的前n 项和公式，与等差中项易得42a =，由等差中项易得264a a +=.【详解】 {}n a 是等差数列，其前n 项为n S，()177********a a S a a a +∴-=-==，42a ∴=，26424a a a +==.故选：A.4．B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC=+=+=+-=--.故选：B5．C【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦33804lg 44log 4log 420lg3===8lg 280.301 5.048lg30.477⨯=≈≈（分钟），故选：C.6．A【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则21440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A7．A【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B ；计算()00f =排除C ；根据0x +→时，()0f x >；排除D.即可得到答案.【详解】对于()()2ln 1cos x f x x+=，定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称.因为()()()()()()22ln 1ln 1cos cos x x f x f x x x+-+-===-，所以()f x 是偶函数，排除B.当0x =时，()2ln 1000cos 01y +===，排除C ；当0x +→时，()2ln 10x+>，cos 0x >，()0f x >；排除D.故选：A.8．C【分析】题意说明()01f '=，1(1)0f =，由此可求得,a b 的比值．然后代入检验1是极小值点．【详解】2()32f x x ax b '=++，由题意2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩，若3,3a b =-=，22()3633(1)f x x x x '=-+=-，1x =不是极值点，舍去．4,11a b ==-时，2()3811(1)(311)f x x x x x '=+-=-+，1113x -<<时，()0f x '<，113x <-或1x >时，(00f x '>，113x =-是极大值点，1x =是极小值点，满足题意．∴114b a=-．故选：C ．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值．掌握导数与单调性的关键是解题关键．有已知极值求出参数时需要进行检验，检验该参数值时题中极值点是否满足．9．B【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值【详解】)))()tan 70cos10tan 201cot 20cos10tan 201cos 20cos101sin 20cos 20cos10sin 20cos1020cos 20sin 20cos102sin10sin 20sin 20sin 201︒︒︒-=︒︒︒-︒⎫=︒-⎪︒⎭⎫︒=︒⎪⎪︒⎝⎭︒=︒-︒︒︒=-︒︒-︒=︒=-故选：B 10．A【分析】先根据已知求出2b ae =-，2a e >，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为()00,x y ，则有()0001,2ln ex a b ae x a ex b⎧=⎪+∴=-⎨⎪+=+⎩，∵0b >，∴2a e >，122e a a b a +=+≥+，（当且仅当1a =时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C【分析】根据给定条件，分析函数()f x 的性质，在同一坐标系内作出函数(),()y f x y g x ==的部分图象，借助图形求出在[]6,6-内两个图象交点个数作答.【详解】函数()y f x =的定义域为R ，而()()2f x f x +=，即()f x 是周期为2的周期函数，函数lg ,0()e ,0xx x g x x ⎧>=⎨<⎩在(,0)-∞上递增，且0()1g x <<，在(0,1]上递减，且()0g x ≥，在[1,)+∞上递增，且()0g x ≥，在同一坐标系内作出函数(),()y f x y g x ==的部分图象，如图，由()0h x =得()()f x g x =，即函数()h x 在[]6,6-内的零点个数是函数(),()y f x y g x ==的图象在[]6,6-内的交点个数，观察图象知，函数(),()y f x y g x ==的图象在[]6,6-内有12个交点，所以函数()h x 在[]6,6-内有12个零点，C 正确.故选：C 12．B【分析】根据题目条件可构造函数()()2g x x f x =，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成()()ln g ax g x ≥，即ln x a x ≥在()1,x ∈+∞上恒成立，求出函数ln xx 在()1,+∞上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设()()2g x x f x =，0x >，()()()()()22220g x x f x xf x x f x f x x '⎡⎤=+=+'⎢'>⎥⎣⎦所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数．由()f x 的定义域为()0,∞+可知0ax >，得0a >，将不等式()()ln ln ln ax f ax f x xx ax ⋅⋅≥整理得()()222ln ln a x f ax f x x ⋅≥⋅，即()()ln g ax g x ≥，可得ln ax x ≥在()1,x ∈+∞上恒成立，即ln xa x ≥在()1,x ∈+∞上恒成立；令()ln xx x ϕ=，其中1x >，所以()max a x ϕ≥()21ln xx x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得e x =．当()1,e x ∈时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()1,e 上单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()e,+∞上单调递减；所以()()max 1e e x ϕϕ==，即1ea ≥故选：B ．13．5-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图，由10220x y x y -+=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得34x y =⎧⎪⎨⎪=⎩，将2z x y =-变形为1122y x z =-，平移直线1122y x z =-，由图可知当直1122y x z =-经过点()3,4时，直线在y 轴上的截距最大，此时最小值3245z =-⨯=-，故答案为：5-.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．3【分析】由向量垂直的坐标运算，得到113t =-，再利用模的坐标公式求||a ．【详解】已知向量(2,3)a t =-，(3,1)b =- ，2(4,1)a b t +=+ ， (2)a b b +⊥，(4)31(1)0t ∴+⨯+⨯-=，解得113t =-，∴17(,3)3a =-，a = ．故答案为：．15．1(,1)3【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】因为2()ln(1)f x x x =++，则x ∈R ，所以2()ln(1)()f x x x f x -=++=，即()f x 为偶函数，当0x >时，2()ln(1)f x x x =++单调递增，根据偶函数的对称性可知()f x 在(,0)-∞上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由()(21)f x f x >-可得|||21|x x >-，两边同时平方可得，22441x x x >-+，解得113x <<，所以x 的取值范围是1(,1)3．故答案为：1(,1)3．16．2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7((43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.17．(1)单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈(2)310+【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算．【详解】（1）由题意得：()πsin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()ππ2π22πZ 22k x k k -+≤≤+∈，可得()ππππZ 44k x k k -+≤≤+∈；所以()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；令2πx k =，Z k ∈，解得：π2k x =，Z k ∈，此时函数值为1-，所以对称中心为π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈．（2）∵ππ32sin 21635f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4sin 235x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∵π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴π2ππ2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵πsin 203x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴ππ0233x <+<，∴π3cos 235x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．18．(1)2nn a =，23n b n =+；(2)69n n +【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【详解】（1）设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，因为1n a +-，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=-即111112n n n a q a q a q -+=-，因为0q >，10a >，所以22q q =-，解得2q =或1q =-（舍去），所以111222n n n n a a q --==⨯=，2121215b a =+=+=，由523233b b a -=-可得()()32543523d d +-+=-，解得2d =，所以()()1152123n b b n d n n =+-⋅=+-=+；（2）因为23n b n =+，所以()()()1111121212322123n n b n n n n ⎛⎫==-⎪+++++⎝⎭，所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111235572123232369n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭19．(1)3π(2)(【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cos sin a B A =，再由正弦定理得到1sin cos b B B =，即可得到tan B ，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到03ac <≤，再根据()222233a c a c ac ac+=++=+求出a c +的取值范围，即可得解；【详解】（1）解：因为()sin cos sin cos a C B B C-=，即cos sin cos sin cos a B C B B C -=，所以()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以1sin cos a A B =，又sin sin a bA B =，b =所以1sin cos b B B =，所以sin tan cos BB b B ===()0,B π∈，所以3B π=；（2）解：因为3B π=、b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac =+-，即2232a c ac ac+=+≥当且仅当a c ==03ac <≤，所以()222233a c a c ac ac +=++=+，所以()2312a c <+≤，a c <+≤ABC C <≤ ，即三角形的周长的取值范围为(20．(1)答案见解析(2)1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【详解】（1）因为()()()3223160f x x a x ax a =-++>，所以()()()()2661661f x x a x a x x a =-++=--'．①当1a =时，()()2610f x x '=-≥，()f x在R 上严格递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>得x a <或1x >，由()0f x '<得1<<a x ，所以()f x 在(),a -∞单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,+∞单调递增；③当1a >时，由()0f x ¢>得1x <或x a >，由()0f x '<得1x a <<，所以()f x 在(),1-∞单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增；（2）由（1）可知①当1a =时，()()2610f x x '=-≥，()f x 在[]0,1a +上严格递增，此时()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +；②当01a <<时，()f x 在()0,a 单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,1a +单调递增；()f x 在[]0,1a +上的最大值只有可能是()f a 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()323213313310f a f a a a a a a a +-=-++---+=-≥，解得13a ≥，此时113a ≤<；③当1a >时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),1a a +单调递增；()f x 在[]0,1a +上的最大值可能是()1f 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()()323221133131330f a f a a a a a a a a +-=-++---=-+=--≥，解得3a ≤，此时13a <£，由①②③得，133a ≤≤，∴满足条件的a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．(1)10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)(],1-∞【分析】（1）()f x 有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成e ln 1xx x bx ≥++恒成立，再通过参变分离转化成()ln 1e (0)x x F x x x x =-->最小值问题.【详解】（1）()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，e 0ax>，∴0,x >()f x \有两个零点即ln xa x =有两个相异实根.令()ln xG x x =，则()21ln x G x x -'=，()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x >()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e e G x G ∴==，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →()f x \有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2） 1,0a x ≥>，所以e eax xx x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，ln 1e x x b x x ∴≤--对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)x x F x x x x =-->，min (),b F x ∴≤()222ln e ln e x xx x xF x x x +=+='令()()2e ln ,0,x h x x x x ∞=+∈+，则()x 212e e 0,x h x x x x+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，又()120e 11e 0,e 1e 10e h h ⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭，01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，即0200e ln 0x x x +=①，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，()00min 000ln 1()e x x F x F x x x ∴==--由①知0200e ln x x x =-，1ln 000000ln 111e ln ln ex x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭，函数()e xx x ϕ=在()0,+∞单调递增，001lnx x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000111()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.22．（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A BAB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t =+得0x ≠，将8242x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）.由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠），化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A ρ=2sin4B πρ==所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23．（1）{}26x x -≤≤；（2）32【分析】（1）化简函数()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用绝对值三角不等式求出最小值m ，再利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】（1）依题意得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，因为()4f x ≤，所以124x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或11234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩，或1224x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得21x -≤≤-，或112x -<<，或162x ≤≤.所以26x -≤≤，即不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤.（2）()()()31212221223y f x x x x x x =++=-++≥--+=，当且仅当()()21220x x -+≤，即112x ≤≤-时取等号.则3m =，3a b +=，因为0,0a b >>，126a b +++=，所以()141141212612a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()41125612a b a b +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦13562⎡≥+=⎢⎢⎣，当且仅当()41212a b a b ++=++，且3a b +=，即1a =，2b =时取等号，所以1412a b +++的最小值为32.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.。

绵阳市高中2024届第三次诊断性考试数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数2i z =-，则2z =（ ）A.B. 4C. 5D. 252. 已知集合{}{}216,20A x x B x x ∈=<=-≤N∣∣，则A B = （ ） A. {}2,3B. {}0,1,2C. {}24xx ≤≤∣ D. {24}xx <<∣ 3. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 16B. 24C. 40D. 484. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1431,31a S S ==+，则3a =（ ） A.18B.14C. 9D. 275. 若函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称，下列选项中，（ ）不是()f x 的零点A. 1-B. 12-C. 0D. 26. 已知函数()()3lg 1,0,0x x f x x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，存在0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (),0∞-C. [)0,∞+D. ()0,∞+7. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A.13B.12C.23D.568. 国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量）÷去年同期月发电量100%⨯），如统计图，下列说法不正确的是（ ）A. 2023年第一季度的发电量平均值约为204B. 2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C. 2022年11月发电量也高于该年12月发电量D. 2023年下半年发电量的中位数为245.29. 在半径为r 的O 中，弦AB 的长度为a ，则AB AO ⋅的值为（ ）A. 2arB. 22aC. arD. 与CAB ∠有关10. 在梯形ABCD 中, //,AB CD AB BD ⊥，且4,AB BD BC ===，沿对角线BD 将三角形ABD 折起，所得四面体A BCD -外接球的表面积为32π，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ） A. 30B. 45C. 60D. 9011. 已知函数()31e e3xxf x a x bx -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. 2b a > B. 2b a < C. 2b a =D. 224b a >12. 如图，过点()1,0M -的直线交抛物线2:2C y x =于,A B 两点，点A 在M B ､之间，点N 与点M 关于原点对称，延长BN 交抛物线C 于E ，记直线AN 的斜率为1k ，直线ME 的斜率为2k ，当123k k =时，ABN 的面积为（ ）A. 1B.C.D. 2二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在(52的展开式中，2x 的系数为__________．14. 已知双曲线22:1(0,0)-=>>x y E m n m n，若2m n =，则该双曲线的离心率为__________.15. 底面半径为4圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________.16. 在ABC 中，D 是BC 边上一点，4BD CD =，若2,2AC BC CD BAD DAC ∠∠=⋅=，且21AD =，则BD =______.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后，的分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 产品 合格品 淘汰品 调试前 24 16 调试后 4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p .（参考数据：560.80.32768,0.80.262144==）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥0.05000100.0010k3.841663510.82818. 已知首项为1等差数列{}n a 满足：123,,1a a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：121131nn n n a b a b a b -+++=- ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图，已知三棱柱111ABCA B C -的体积为32，点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，且1AB B C ⊥...的的（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）若四边形11ABB A 的面积为13,AA 与1CC，1AC =1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(10)x y C a b a b +=>>>，过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于点,A B ，且当l x ⊥轴时，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的左焦点为F ，若过,,F A B 三点的圆的圆心恰好在y 轴上，求直线AB 的方程.21. 设函数()()2211ln ln 24f x x ax x a x ax ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程； （2）证明：存在()00,x ∞∈+，使得当12a <<时，()()1052ln e 8a f x a -<-+. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 2sin x y αααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，（1）求曲线1C 与y 轴的交点坐标；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1πsin 2,3C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与2C 交于,A B 两点，求AOB ∠的大小.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知0a b >>，且33a b a b+=+，函数()f x x a x b =-+-的最小值为2. （1）求,a b 的值；（2.参考答案一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数2i z =-，则2z =（ ）A.B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算及模的运算公式即可求解.【详解】因为复数2i z =-，则()222i 34i 5z =-=-==.故选：C2. 已知集合{}{}216,20A x x B x x ∈=<=-≤N∣∣，则A B = （ ） A. {}2,3 B. {}0,1,2C. {}24xx ≤≤∣ D. {24}xx <<∣ 【答案】B 【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算即可求解.【详解】由2160x -<得44x -<<，则{}{}2160,1,2,3A x x =∈<=N∣， 又{}{}20|2B xx x x =-≤=≤∣，所以A B = {}0,1,2. 故选：B3. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 16B. 24C. 40D. 48【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是四棱锥，根据三视图中的数据直接求解.【详解】根据三视图可知该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD -， 且PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 所以1=443163P ABCD V -⨯⨯⨯=. 故选：A.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1431,31a S S ==+，则3a =（ ） A.18B.14C. 9D. 27【答案】C 【解析】【分析】先根据已知条件并结合等比数列的求和公式求得公比q ，再利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】由1431,31a S S ==+，得()2321311q q q q q +++=+++，即()()22131q q q q q ++=++，由210q q++≠得3q =，所以223139a a q =⨯==.故选：C5. 若函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称，下列选项中，（ ）不是()f x 的零点A. 1-B. 12-C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】先根据正弦函数的对称性()3ππ2k k ϕ=-+∈Z ，然后利用余弦函数的零点得()2,x m k m k =+-∈Z ，逐项检验即可求解.【详解】因为函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称， 所以()3ππ2k k ϕ+=∈Z ，得()3ππ2k k ϕ=-+∈Z ， 所以()()3πcos ππ2f x x k k ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，令()0f x =得()3πππππ22x k m m -+=+∈Z ， 所以()2,x m k m k =+-∈Z ，对于A ，当12m k -=+-时，3m k -=-∈Z ，所以1-是()f x 的零点； 对于B ，当122m k -=+-时，52m k -=-∉Z ，所以12-不是()f x 的零点； 对于C ，当02m k =+-时，2m k -=-∈Z ，所以0是()f x 的零点； 对于D ，当22m k =+-时，0m k -=∈Z ，所以2是()f x 的零点. 故选：B6. 已知函数()()3lg 1,0,0x x f x x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，存在0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (),0∞-C. [)0,∞+D. ()0,∞+【答案】D 【解析】【分析】分a ≤0和a ＞0两种情况讨论即可得到答案． 【详解】()32x ax x x a -=-， 当a ≤0时，当x ＞0时，()20x x a ->， f (x )如图：f (x )≥0恒成立，不满足题意；当a ＞0时，()((2x x a x x x -=+⋅⋅-， f (x )如图：当00x <<()00f x <．故选：D ．7. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A.13B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人共有的选择数，再求出甲、乙两人被分到同一个工作岗位的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人， 则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有24C =6种选择， 再进行全排列，有33A =6种选择，故总的方法有2343C A 36=种，其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙， 再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有1232C A 6=种选择，所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为61366=， 故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为151=66-.故选：D8. 国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量）÷去年同期月发电量100%⨯），如统计图，下列说法不正确的是（ ）A. 2023年第一季度的发电量平均值约为204B. 2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C. 2022年11月发电量也高于该年12月发电量D. 2023年下半年发电量的中位数为245.2 【答案】C 【解析】【分析】选项A ：由平均数公式求解；选项B ：由条形图及同比增长率的含义判断；选项C ：由条形图及同比增长率的含义判断；选项D ：利用中位数的定义判断.【详解】选项A ：由图中数据可知，2023年第一季度的发电量平均值约为369.6242.9612.320433+=≈，正确；选项B ：由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数， 故该月发电量低于上一年同期发电量，正确；选项C ：根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为234.6173.210.354≈+，2022年12月发电量为210.5187.910.172≈+，而187.9173.2>，则2022年11月发电量低于该年12月发电量，错误；选项D ：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下，210.5,234.6,244.3,246.1,258.9,269.2， 所以中位数为244.3246.1245.22+=，正确. 故选：C9. 在半径为r 的O 中，弦AB 的长度为a ，则AB AO ⋅的值为（ ） A. 2ar B. 22a C. ar D. 与CAB ∠有关【答案】B【解析】 【分析】取线段AB 的中点D ，得OD AB ⊥，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AB AO ⋅ .【详解】取线段AB 的中点D ，得OD AB ⊥，所以1cos 2AO A AD AB == . 所以221|cos |22a AB AO AB AO A AB ⋅=⋅⋅=⋅= . 故选：B10. 在梯形ABCD 中, //,AB CD AB BD ⊥，且4,AB BD BC ===，沿对角线BD 将三角形ABD 折起，所得四面体A BCD -外接球的表面积为32π，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥A BCD -补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【详解】如下图，将梯形ABCD 补成长方形AECF ，折后得到直三棱柱ABE FDC -，因为4,AB BD BC ===，所以2BE DC ==，异面直线AB 与CD 所成角即为AB 与BE 所成角，即ABE ∠或其补角，又该三棱柱的外接球即为三棱锥A BCD -的外接球，设外接球半径为R ，则24π32πR =，所以28R =，设ABE 外接圆半径为r ，圆心为1O ，FDC △外接圆圆心为2O ，则三棱柱的外接球的球心为12O O 的中点O ，连接AO ，则1,AO R AO r ==，所以12r AO ==，又24sin AE r ABE ==∠，即4sin AE ABE =∠， 又ABE 中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即216sin 164242cos ABE ABE ∠=+-⨯⨯∠，化简得()22cos 10ABE ∠-=，即1cos 2ABE ∠=，所以60ABE ∠= ， 故选：C.11. 已知函数()31e e 3x x f x a x bx -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（ ）A. 2b a >B. 2b a <C. 2b a =D. 224b a >【答案】D【解析】【分析】问题可化为()0f x '=有两个不同的根的问题，参变分离，数形结合法即可求解. 【详解】由题意得()()2e e x x f x a x b -=+'+-， ∵()f x 既有极大值，也有极小值，∴()0f x '=有两个不同的根，即()2e e 0x x a x b -++-=有两个不同的根，显然0ab ≠，故2e e x x b x a-++=有两个不同的根， 令()2e e x x g x x -=++，则()g x 与b y a =图象有两个交点， 因为()e e 2x x g x x -=-+'在R 上单调递增，且()00g '=，所以当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当0x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()min ()02g x g ==； 所以2b a >，即224b a>，即224b a >， 故选：D.12. 如图，过点()1,0M -的直线交抛物线2:2C y x =于,A B 两点，点A 在M B ､之间，点N 与点M 关于原点对称，延长BN 交抛物线C 于E ，记直线AN 的斜率为1k ，直线ME 的斜率为2k ，当123k k =时，ABN 的面积为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】A【解析】【分析】设出直线AB 、BE 的方程，联立曲线，借助韦达定理得到A y 与E y 的关系，从而表示出斜率，再结合条件与面积公式计算出面积.【详解】由题意可得直线AB 斜率不为零，设:1AB l x my =-，:1BE l x ny =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y ，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，2840m ∆=->，即22m ≥，122y y m +=，122y y =，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，2480n ∆=+>，232y y n +=，232y y =-，则31y y =-，则31x x =，故1111y k x =-，3231111k y y x x -==++， 有1111311y y x x -=⨯-+，解得112x =，则21121y x ==，11132x m y +==±，故AB === 点N 到直线AB的距离d ==故11122ABN S d AB =⨯== . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助韦达定理，得到A y 与E y 的关系，从而得出斜率，结合条件计算出面积.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在(52的展开式中，2x 的系数为__________． 【答案】10【解析】【分析】根据二项式定理写出通项公式，令4r =即可求2x 的系数.【详解】(52展开式的第1r +项为(515C 2r r r r T -+=⋅⋅， 令4r =，则42255C 210T x x =⨯=.故答案为：10 14. 已知双曲线22:1(0,0)-=>>x y E m n m n ，若2m n =，则该双曲线的离心率为__________.【解析】分析】利用双曲线离心率c e a ==.【详解】c e a =====. 15. 底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________.【答案】45π【解析】【分析】根据相似可得母线，进而利用圆锥的侧面积公式即可求解.【详解】如图，设原圆锥母线为l ，则134l=，则12l =， 所以圆台的侧面积为：()()π1412345π⨯+⨯-=.故答案为：45π16. 在ABC 中，D 是BC 边上一点，4BD CD =，若2,2AC BC CD BAD DAC ∠∠=⋅=，且21AD =，则BD =______.【答案】2【解析】【的【分析】设CD x =，DAC ∠θ=，根据题意及相似三角形性质得.B θ∠=，π4C θ∠=-，利用正弦定理求得sin sin 2AD BD θθ=及sin 4sin AD CD θθ=，利用长度关系得24sin sin 2sin 4θθθ=⋅，利用二倍角公式及同角三角函数关系化简得424cos 2cos 10θθ--=，求出2cos θ=，代入2cos BD AD θ=求解即可. 【详解】设CD x =，DAC ∠θ=，则4BD x =，2BAD θ∠=，因为2AC BC CD =⋅，所以AC BC CD AC=， 又ACD BCA ∠=∠，所以ACD ∽BCA V ，所以B CAD θ∠=∠=，则π4C θ∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin 2AD BD θθ=，则sin sin 2AD BD θθ=， 在ACD 中，由正弦定理得()sin π4sin AD CD θθ=-，则sin 4sin AD CD θθ=， 又4BD CD =，所以sin 4sin 4sin sin sin 2sin 2BD CD θθθθθθ=⋅=，所以24sin sin 2sin 4θθθ=⋅， 所以()()2221cos 2sin 22cos 221cos 2cos 2θθθθθ-=⋅=-，所以()222cos 2cos 11θθ⋅-=，即424cos 2cos 10θθ--=，则2cos θ==，所以sin 22cos sin AD BD AD θθθ==，所以)2224cos 414BD AD θ=⋅⋅=⨯-=， 所以2BD =.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理及三角恒等变换的应用，解题的关键是在两个三角形中利用正弦定理，结合4BD CD =找到角的关系，另外本题还要注意运算技巧.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 产品合格品 淘汰品 调试前24 16 调试后48 12（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p .（参考数据：560.80.32768,0.80.262144==）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828【答案】（1）有95%的把握认为参数调试改变产品质量（2）0.65536【解析】 【分析】（1）先利用所给数据表完善22⨯列联表，再利用2K 公式求出2K ，利用临界值表进行判定； （2）先求出淘汰品概率0.2，再由二项分布概率公式结合互斥事件加法公式求解概率即可.【小问1详解】补全22⨯列联表如图所示：产品合格品淘汰品 总计 调试前 2416 40 为调试后4812 60总计 72 28 100 22100(24124816) 4.762 3.84140607228K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有95%的把握认为参数调试改变产品质量；【小问2详解】由题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2， 可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的， 设X 表示这件产品中淘汰品的件数，则()6,0.2X B ~，所以()060151661C 0.80.2C 0.80.2p P X =≤=⨯⨯+⨯⨯ ()50.80.8 1.20.65536=⨯+=.18. 已知首项为1的等差数列{}n a 满足：123,,1a a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：121131nn n n a b a b a b -+++=- ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a n =（2）123n n T -=⋅【解析】 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令121131n n n n n D a b a b a b -+=++=- ，得111211131n n n n n D a b a b a b ++++++=+=- ，两式相减得123n n T +=⋅，又111122D a b b ==⇒=，即得123n n T -=⋅【小问1详解】设{}n a 公差为d ，又123,,1a a a +成等比数列，所以()()()22213111121a a a a d a a d =⋅+⇒+=++，又11a =，所以1d =或1d =-， 而1d =-时，不满足123,,1a a a +成等比数列，所以1d =所以()111n a n n =+-⨯=【小问2详解】令121131n n n n n D a b a b a b -+=++=- ， 所以111211131n n n n n D a b a b a b ++++++=+=- ，两式相减有：()1111123n n n n n n D D a b b b b ++--=+++=⋅ ，所以数列{}n b 的前1n +项和为23n ⋅，即123nn T +=⋅， 又111122D a b b ==⇒=，所以11223n n b b b -+++=⋅ ，所以123n n T -=⋅19. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为32，点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，且1AB B C ⊥.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）若四边形11ABB A 的面积为13,AA 与1CC ，1AC =1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作1CO BB ⊥交1BB 于O ,由线面垂直性质可得AB CO ⊥,再利用线面垂直判定定理即可证明; （2）作1OD AA ⊥于D ，连接CD ，证明1AA ⊥平面COD ,进而得1AA ⊥CD ，结合题目条件求出1,OC AA 的长度,并建立空间坐标系,由向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，作1CO BB ⊥交1BB 于O , 则CO ⊥平面11ABB A ,AB ⊂平面11ABB A ,则AB CO ⊥, 又111,,,AB B C B C CO C B C CO ⊥⋂=⊂平面11BCC B ,故AB ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知AB ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，则1AB BB ⊥， 故四边形11ABB A 为矩形，作1OD AA ⊥于D ，则//OD AB , 连接CD ，由（1）易知1,,,CO AA CO OD O CO OD ⊥⋂=⊂平面COD ， 故1AA ⊥平面COD ，CD ⊂平面COD ，故1AA ⊥CD ，又1AA 与1CC ，则CD =，设1,AB a AA b ==，易知3ab =①，CO ==，2COD CO OD S ⋅==又三棱柱111ABC A B C -的体积为32，故132COD S AA b ⨯== ②， 由①②可得1,3a b ==，此时1CO =， 在平行四边形11AAC C 中，作11C F AA ⊥交1AA 的延长线于F , 因为1CD AA ⊥,所以1//,CD C F 故1CDFC 为矩形，11,CD C F CC DF ==,设AD m =，则13,AF m AC =+===，则2AD m ==，以O 为原点，,,OB OD OC 为 ,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,2,0,0,1,1,0C B A -，()()12,0,1,1,1,1CB CA =-=--，设(),,m x y z = 为平面1A BC 的法向量，则10m CB m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩，令1,x =则()1,3,2m =，易知平面11ABB A 的一个法向量为()0,0,1OC = ， 设平面1A BC 与平面11ABB A所成锐二面角为,cos cos ,m OC θθ===.20. 已知椭圆2222:1(10)x y C a b a b +=>>>，过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于点,A B ，且当l x ⊥轴时，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的左焦点为F ，若过,,F A B 三点的圆的圆心恰好在y 轴上，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）10x ±-= 【解析】【分析】（1）根据离心率和弦长列式求出,a b 即可得结果；（2）设过,,F A B 三点的圆的圆心为()0,Q n ，()()1122,,,A x y B x y ，根据22QA QF =可以得到：2113210y ny +-=，根据22QB QF =可以得到：2223210y ny +-=，构造方程得1213y y =-，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理列式计算即可. 【小问1详解】由题意得：2222221c b e a a ==-=，得2a b =， 又当1x =时，y =±，则2AB ===，所以2a =，即12b a =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】设过,,F A B 三点的圆的圆心为()0,Q n ，()()1122,,,A x y B x y，又()F ， 则22QA QF =，即()()(()222211000x y n n -+-=+-，又()11,A x y 在椭圆2214x y +=上，故221114x y +=，代入上式化简得到：2113210y ny +-=，①同理，根据22QB QF =可以得到：2223210y ny +-=，② 由①②可得：12,y y 是方程23210y ny +-=的两个根，则1213y y =-，设直线AB ：1x ty =+，联立方程：22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()224230t y ty ++-=，故1223143y y t -==-+，解得25t =，所以t =AB的方程为：10x -=.21 设函数()()2211ln ln 24f x x ax x a x ax ⎛⎫=+---⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程；.（2）证明：存在()00,x ∞∈+，使得当12a <<时，()()1052ln e 8a f x a -<-+. 【答案】（1）()23e 1e e 04x y +---= （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）利用导数求得()f x 的最小值()254f a a =-，从而把所证式子转化为证：212ln 20ea a a --->，12a <<，构造函数()()212ln 2,12ex x g x x x -=--<<，结合零点存在性定理并多次求导利用导数研究函数()g x 的单调性即可求解最值，即可证明. 【小问1详解】 当1a =时，()2211ln 24f x x x x x x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，所以()()1ln f x x x =+'，则()()21e e ,e e 14f f =='+， 则曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()21e e 1e 4y x -=+-，因此()23e 1e e 04x y +---=.【小问2详解】因为()()()ln ln f x x a x a '=+-，12a <<，由()0f x '>得到x a >，由()0f x '<得到0x a <<， 所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()254f a a =-， 要证：()()1052ln e 8a f x a -<-+，即证：()21552ln e 48a a a --<-+， 只需证：212ln 20ea a a --->，12a <<.设()()212ln 2,12e x x g x x x -=--<<，则()22311142142e e e x x x x x x x g x x x ------=-='， 设()()231421,12e x x x h x x --=-<<，则()()()32112142108e e x x x x x x x x h x -----=='+，当12x <<时，()0h x '<，所以()h x 在()1,2上单调递减，而()110h =>，()210h =-<，故必存在唯一()01,2x ∈，使得()00h x =，所以当()001,x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>；当()00,2x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<. 所以()g x 在()01,x 上单调递增，在()0,2x 上单调递减，而()10g =，()82ln 220eg =-->， 所以()0g x >在()1,2上恒成立，即212ln 20ea a a --->成立，原命题得证.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 2sin x y αααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，（1）求曲线1C 与y 轴的交点坐标；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1πsin 2,3C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与2C 交于,A B 两点，求AOB ∠的大小.【答案】（1）()()0,4,0,0（2）π3【解析】【分析】（1）利用完全平方公式与同角基本关系式，消掉参数α，令0x =即可得解； （2）将2C 极坐标方程化为直角坐标方程，结合几何关系即可求解.【小问1详解】由1C 的参数方程得：2222(2)(cos )(sin )134,x y αααα+-=++=+=即曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y +-=， 令0x =，得0y =或4，∴曲线1C 与y 轴的交点坐标为()()0,4,0,0.【小问2详解】将2C 的极坐标方程πsin 23ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin cos 22ρθθ=，cos sin 4θρθ+=40y +-=，2C ∴是过点()0,4且倾斜角为2π3的直线， 不妨设()0,4B ，则6π∠=OBA ， 因为BO 为直径，所以π2BAO ∠=， πππ263AOB ∠∴=-=. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知0a b >>，且33a b a b+=+，函数()f x x a x b =-+-的最小值为2. （1）求,a b 的值；（2. 【答案】（1）3,1a b ==（2）2 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解()f x 的最小值,并结合已知条件求出,a b 的值； （2）利用三角换元求解函数最大值. 【小问1详解】()f x x a x b a b =-+-≥-,当且仅当()()0x a x b --≤等号成立,故2a b -=,又0a b >>,故2a b -=,结合33a b a b+=+,解得3,1a b ==. 小问2详解】=+,πsin cos ,0,2θθθ⎛⎫⎡⎤==∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，πcos 2sin 6θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故[]π2sin 1,26θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，的最大值为2.【。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}2,1,0-- C. []2,0- D. []22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2. “22ac bc >”，是“a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3. 已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（ ）A. 3B. C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.详解】3x y xy +=-≥)23310--=+≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）A. 30万元 B. 32万元C. 36万元D. 40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，【故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）A. 2y x -= B. 1y x x=+C. sin y x x =-D. 1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x fx ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6. 已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（ ）A. 9 B. 3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，的故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ=或tan θ=（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：lg 20.301≈）A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ekP P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8. 已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]2e,0- D. ()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′(x )<0，则ℎ(x )在(0,1)上单调递减；当1x >时，ℎ′(x )>0，则ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x g x >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（ ）A. 342S = B. 2n nS a <C. {}n S 是等比数列 D. 存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10. 已知函数()22sin cos0)222xxxf x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（ ）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B. 令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C. 函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D. 函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincossin 2sin (0)2223xxxf x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ， [)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，x ∈(0,π)，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点， 故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 故D 正确；故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. ()0f 可以等于零 B. ()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C. 曲线f (x−1)为轴对称图形 D. 若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13. 已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14. 若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e222e xx f x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，f ′(x )<0，当2x >时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，f ′(x )≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为1001 4004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14； （2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，于1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，12cos )A A A +=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17. 已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++-()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18. 已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析 （3）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点(0,2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得a >，故a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a的取值范围⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19. 已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．在（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）a =2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n n n n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，.下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。