黄冈实验学校人教A版高一数学(上)期末模拟4

2023-2024学年湖北省黄冈市高一上册元月期末数学试题一、单选题1．命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为（）A ．1,lg 0x x ∃≤<B ．1,lg 0x x ∀≤<C ．1,lg 0x x ∀≥<D ．1,lg 0x x ∃≥<【正确答案】D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为“1,lg 0x x ∃≥<”.故选:D.2．已知集合{}{2314150,A xx x B x y =-+≤==∣∣则A B = （）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】解不等式2314150x x -+≤得集合A，求函数y 的定义域得集合B ，再求A B ⋂即可.【详解】由2314150x x -+≤得533x ≤≤，5,33A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦函数y =0.5470log (47)0x x ->⎧⎨-≥⎩，即0471x <-≤，解得：724x <≤，7,24B ⎛⎤∴= ⎥⎝⎦所以A B = 7,24⎛⎤⎥⎝⎦，故选：D3．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（）A ．tan2y x =B ．πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．3cos 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】tan2y x =的最小正周期为π2,故A 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，故B 错误；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故C 正确；πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错误.故选:C.4．衡量病毒传播能力的一个指标叫做传播指数Rt ，它指的是在自然情况下（没有外力介人，同时所有人都没有免疫）一个感染者传染的平均人数.它的计算公式是：1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，某种传染病例的平均增长率为50%，两例连续病例间隔时间平均为4天.根据以上数据计算，若甲感染这种传染病，则经过4轮传播后由甲引起的得病总人数（不含甲）为（）A ．81人B ．120人C ．243人D ．36人【正确答案】B【分析】根据1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，先求得Rt ，然后求经过4轮传播后由甲引起的得病总人数.【详解】由题意得：1504=3Rt =+%⨯，所以经过4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：2343+3+3+3=3+9+27+81120=.故选：B.5．已知9π20π19πcos ,sin ,tan 573a b c ===，则有（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】将,a b 化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将,,a b c 与1比大小.【详解】99ππ3πcos πcos π2πcos cos sin 555510a ⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20π66πsinsin 2ππsin πsin 7777b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，所以π3πsin sin 710<，又19πππtantan 6π+tan 333c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭所以1b a c <<<，故选：C6．已知角α的终边过点()3,2cos P α，则cos α=（）A ．2B ．C ．2±D ．12【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：2cos sin tan 3cos αααα==，也即22sin cos 3αα=，由22sin cos 1αα+=可得：424cos 9cos 90αα+-=，解得：23cos 4α=或2cos 3α=-（舍去），因为角α的终边过点()3,2cos P α，所以cos 0α>，则cos α=故选.A7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()33f =，对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()229x f x ++<的解集为（）A ．(),1-∞B ．()5,1-C ．()(),51,∞∞--⋃-+D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】根据题干条件得到函数()f x 在R 上的单调递增，且()()333f f -=-=-，换元后得到()9tf t <，分三种情况，由单调性解不等式得到33t -<<，从而得到51x -<<.【详解】因为对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，所以[)0,x ∈+∞上，()f x 单调递增，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上的单调递增，又()33f =，所以()()333f f -=-=-，()()229x f x ++<，令2x t +=，则()9tf t <，当0=t 时，显然满足()09tf t =<，当0t >时，因为()339f =，()f x 在R 上的单调递增，所以当()0,3t ∈时，满足()9tf t <，当0t <时，因为()339f --=，()f x 在R 上的单调递增，所以当()3,0t ∈-时，满足()9tf t <，故33t -<<，即323x -<+<，解得51x -<<.故选：B8．已知函数()()1221,2log 2,2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．154,4⎛⎤--⎥⎝⎦B ．15,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．()4,0-D ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象，分析可知关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，令()()28g t t a t a =-+-，利用二次函数的零点分布可得出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：因为关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，设()()28g t t a t a =-+-，则函数()()28g t t a t a =-+-在(]1,3内有两个不等的零点，所以，()()()2Δ8408132127034150a a a g a g a ⎧=++>⎪+⎪<<⎪⎨⎪=-->⎪=--≥⎪⎩，解得1544a -<≤-.故选：A.二、多选题9．下列计算结果为有理数的是（）A ．πtan3B ．2lg2lg25+C ．1ln33e -D ．436log 3log 6log 8⋅⋅【正确答案】BCD【分析】根据特殊角的三角函数判断A ，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD.【详解】πtan33=，不是有理数，故A 错误；()2lg2lg25lg 4lg 25lg 425lg1002+=+=⨯==，是有理数，故B 正确；3ln 1log e ln3ln e 33e 3e 3e e e 0-=-=-=-=，是有理数，故C 正确；436ln 3ln 6ln 8ln 83ln 23log 3log 6log 8ln 4ln 3ln 6ln 42ln 22⋅⋅=⋅⋅===，是有理数，故D 正确.故选:BCD.10．若,x y ∈R ，则使“1x y +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．e 1x y +>B ．221x y +>C ．1x y +>D ．221x y +>【正确答案】ACD 【分析】若pq ，q p ⇒,则p 是q 的必要不充分条件，解指数不等式可判断A ；取22x y ==可判断B ；C 选项中利用,x x y y ≥≥可判断；D 选项中利用指数函数的值域进行判断.【详解】对于A ，由e 1x y +>可得0x y +>，则“0x y +>”是“1x y +>”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，当22x y ==时，21x y +=，此时221x y +=，得不到221x y +>，故B 错误；对于C ，1x y ==-时，21x y +=>，此时21x y +=-<,故“1x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.因为,x x y y ≥≥,所以x y x y +≥+.当1x y +>时，必有1x y +>.所以“1x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“1x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故C 正确；对于D ，当0x y ==时，2221x y =+>，此时01x y +=<,故“221x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.当1x y +>时，x 与y 中至少有一个正数，不妨设0x >,则21x >,又因为20y >，则必有221x y +>,所以“221x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“221x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故D 正确.故选;ACD.11．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为58【正确答案】BCD【分析】由函数周期公式可判断A ；由题意得122π2T x x -==，结合函数周期公式可判断B ；若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调，则5π2π2ω-≤-且2ππ52ω≤，结合N ω∈得1ω=，则()2sin 2f x x =，验证题设条件可判断C ；由题意得Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，求得ω最小值可判断D.【详解】()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+> ，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故A 错误；max min ()2,()2f x f x ==- ，又()()124f x f x -=，且12min π2x x -=，1222πT x x ∴-==，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故B 正确；当0ϕ=时，若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调，则2π2πππ5,522ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π22ω∴-≤-且2ππ52ω≤，504ω∴<≤，又N ω∈，1ω∴=，则()2sin 2f x x =，由ππ222x -≤≤，得ππ44x -≤≤，此时()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，故C 正确；当π12ϕ=时，π()2sin 212f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，当0k =时，ω取最小值58，故D 正确．故选：BCD.12．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x xf x a b -=+（其中,a b 为非零常数），则对于函数()y f x =以下结论正确的是（）A ．若a b =，则()y f x =为偶函数B ．若1,2a b ==，则函数()3y f x =-的零点为0和ln2C ．若1ab =，则函数()y f x =的最小值为2D ．若()y f x =为奇函数，且(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x xf x -++≤成立，则a 的最小值为【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性定义判断A 即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数()3y f x =-的零点，从而判断B 即可；根据1ab =得()1e e x xf x a a =+，讨论a 的符号从而确定函数值域，从而判断C 即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得a 的取值范围，从而判断D 即可.【详解】解：对于A ，当a b =时，()e e x x f x a a -=+，函数定义域为R ，所以()()e e x xf x a a f x --=+=，则()y f x =为偶函数，故A 正确；对于B ，若1,2a b ==，()e 2e x xf x -=+，则函数e 2e 30x x y -=+-=，整理得()2e 3e 20x x -+=，即()()e 1e 20x x--=，解得0x =，ln 2x =，所以函数()3y f x =-的零点为0和ln2，故B 正确；对于C ，若1ab =，则()1e e xx f x a a =+，当0a >时，1e 2e x x a a +≥=，当且仅当1e e xx a a =，即ln x a =-时等号成立；当a<0时，1e 2e x x a a +≤-=-，当且仅当1e exx a a -=-，即()ln x a =--时等号成立；所以()(][),22,f x ∞∞∈--⋃+，故C 错误；对于D ，若()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，所以()()e e e e e e 0x x x x x x a b a b a b a b ---+++=+++=，所以0a b +=，则()e e x xf x a a -=-，若(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x x f x -++≤成立，则22e e e e 0x x x x a a --++-≤，若(),0x ∈-∞，则x x <-，e e x x -<，所以e e 0x x --<即()()222e e 2e e 2e e e e e e e ex xxxx x x xx xx x a -------++≥-==-+---能成立，又()2eee exx x x---+≥=-当且仅当()2e e e e x x x x ---=-时，即e 2x=时，等号成立，所以a ≥a 的最小值为D 正确.故选：ABD .三、填空题13．函数()1lg 23y x -的定义域为__________.【正确答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由解析式可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，求解即可.【详解】由题意可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩,故22322x x x -≤≤⎧⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即322x <<.故函数()1lg 23y x =+-的定义域为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为:3,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．已知函数()()log 140,1a y x a a =-+>≠的图象过定点P ，且点P 在指数函数()f x 图象上，则()4log 6f =__________.【分析】由对数函数的图象可得()2,4P ，故可求()f x 的解析式，根据对数的运算即可求解.【详解】在()log 14(0,1)a y x a a =-+>≠中，令2x =,可得log 144a y =+=,故()2,4P .设()()0,1xf x b b b =>≠,由题意可得24=b ,解得2b =.所以()2xf x =，()4log 6log 4log 622f ==.故答案为15．已知,,21a b a b +∈+=R ，则2121a b +++的最小值为__________.【正确答案】85##1.6【分析】由21a b +=可得()()2225a b +++=，又212221222a b a b +=+++++，再用“乘1法”即可求最小值.【详解】因为21a b +=，所以()()2225a b +++=.所以()()2122221222212222225a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+=++++⨯ ⎣⎦++++++⎝⎭()()2222211844522255a b b a ⎛⎫⎛⎫++⎪=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,当且仅当11,24a b ==时等号成立.故2121a b +++的最小值为85.故答案为:85.16．已知()42229x x f x x-+=，()292g x x tx =-+，若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则实数t 的取值范围为__________.【正确答案】5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，()()12min min g x f x ≥，求出()f x 在[]2,3上的最小值为174，可知()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，利用参变量分离法可求得实数t 的取值范围.【详解】若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则()()12min min g x f x ≥，当[]2,3x ∈时，令[]24,9s x =∈，则()42222299922x x f x x s x x s -+==+-=+-，由对勾函数的单调性可知，函数()92h s s s=+-在[]4,9上单调递增，所以，当[]4,9s ∈时，()()min 1744h s h ==，故当[]1,2x ∈时，()min 174g x ≥，即()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，所以，14t x x<+对任意的[]1,2x ∈恒成立，由对勾函数的单调性可知，函数()14p x x x=+在[]1,2上单调递增，所以，当[]1,2x ∈时，()()min 514p x p ==，故54t <.故答案为.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知π6α=，求()()27πcos tan πcos 2π25π3πcos sin 22ααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.（2）已知11222a a --=，求1222a a a a ---++的值.【正确答案】（1）3；（2）9.【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式1cos α=，代值求解即可；（2）将11222a a --=两边平方可求1a a -+，从而可求1122a a -+，利用平方差公式可得1a a --，故可求解.【详解】（1）原式=2(sin )tan cos tan 1sin (cos )sin cos 3αααααααα-===-（2）11222,a a --= 两边平方得1124,6,a a a a ---+=∴+=21112228a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭.1111111222222()()a a a a a a a a ----∴+=∴-=+-=∴1122122()a a a a a a a a ------==+++18．设函数()()232f x ax b x =+-+.(1)若不等式()0f x >的解集为()2,1-，求a b -的值；(2)若,a b +∈R ，且x ∀∈R 都有()()11f x f x +=-，求2248a b ab ++的最大值.【正确答案】(1)3a b -=-(2)272【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解；(2)根据题意可得函数关于直线1x =对称，利用二次函数的对称轴得出23a b +=，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知：2-和1是方程()0f x =的两根，则有()()()()()2221232,f x a x x a x x ax b x =+-=+-=+-+且0.a <∴1,31,2, 3.a b b a b =--=-=∴-=-（2）由(1)(1)f x f x +=-知()f x 关于直线1x =对称，即31,2 3.2b a b a--=∴+=()()22222274824949.22a b a b ab a b ab ab +++=++=+≤+=当且仅当322a b ==时等号成立.∴2248a b ab ++的最大值为27.219．已知函数()()π2cos 20π6f x x θθ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭为奇函数.(1)求函数()f x 的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x 的取值集合.(2)求函数()πππ,,662g x f x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【正确答案】(1)()ππ4x k k =+∈Z 时()f x 取最小值2-；()ππ4x k k =-∈Z 时()f x 取最大值2;(2)ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据奇函数的性质可得()00f =，结合0πθ<<可求2π.3θ=从而可得()2sin 2f x x =-，根据正弦函数的性质即可求解；（2）π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（1）依题意有()π2π02cos 0,0π,.63f θθθ⎛⎫=-=<<∴= ⎪⎝⎭ 即()π2cos 22sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，满足题意.当ππ22ππ()24x k x k k =+=+∈Z 即时()f x 取最小值2-；当ππ22ππ()24x k x k k =-=-∈Z 即时()f x 取最大值2.（2）依题意π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 单调递减，则ππ3π2π22π,.232k x k k +≤-≤+∈Z ∴5π11πππ,.1212k x k k +≤≤+∈Z又ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令1,0k k =-=得其减区间为ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量P 百万件与年广告费用()02x x ≤≤百万元满足341P x =-+，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的1(0)t t >与原销售价之和.(1)当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求t 的取值范围；(2)若4t =时，则当投入多少百万元浩费该玩具生产厂获得最大利润.【正确答案】(1)01t <≤；(2)当广告费2百万时最大利润为212万元.【分析】（1）年利润23201623W t ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，解12W ≥即可；（2）当4t =时，416314x W x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭,利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）当2x =时3P =，销售价为122202033t t+⋅=+，年利润2232016210123W t t ⎛⎫=+--=+≥ ⎪⎝⎭，解得01t <≤.（2）当4t =时，年利润312342016416163441414x x W P x P x x P x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-=--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，设()414x f x x =++()02x ≤≤，设1202x x ≤<≤，则()()121212441414x x f x f x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪++⎝⎭()()()()()()2112211212441114114x x x x x x x x x x ⎡⎤--=+=--⎢⎥++++⎣⎦，因为1202x x ≤<≤，所以12113,113x x ≤+<<+≤，所以()()121119x x <++<，所以()()12444911x x <<++，所以()()12410114x x ->++.因为210x x ->，所以()()12f x f x >，所以()414x f x x =++在[]0,2上单调递减，所以当02x ≤≤时min 4411114326x x ⎛⎫+=+= ⎪+⎝⎭,所以max 112116362W =-⨯=.综上：当广告费2百万时最大利润为212万元.21．已知函数()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.(1)若函数()()2211y g tx t x =--+在()1,+∞上单调递减，求实数t 的取值范围；(2)不等式()()2226g a x g x a <+-在[]4,9x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[]0,2(2)()3+∞，【分析】(1)依题意可得12()log g x x =，再根据复合函数的单调性可列出不等式，结合二次不等式恒成立求解即可；(2)把问题转化为22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，分离参数，转化为最值比较即可.【详解】（1）因为函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.所以12()log g x x =，2212((21)1)log ((21)1)y g tx t x tx t x =--+=--+在(1,)+∞上单调递减，令2()(21)1t x tx t x =--+，则()t x 在(1,)+∞上单调递增，且()0t x >对(1,)x ∈+∞恒成立.0t ∴≥，且(1)(21)10, 2.t t t t =--+≥∴≤当0=t 时，()1t x x =+在(1,)+∞上单调递增，符合题意；当02t <≤时，()t x 的对称轴为2111122t x t t-==-<，()t x 在(1,)+∞上单调递增，符合题意.故t 的取值范围为[]0,2.（2）依题意有20,a x >且4260, 1.a a +->∴>不等式()()21122log 2log 26a x x a <+-在[]4,9上恒成立，即22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，26,2)6x a a x ∴>+-∴->-在[]4,9上恒成立，当4x =时不等式成立，所以必须a >在(]4,9上恒成立.max a >(]24222,0,14,t t t t t t t +--=∈==-+而24t t -+在(]0,1上单调递增，2(4)3,3t a t∴-+=∴>综上：a 的取值范围为()3+∞，.22．已知()1f x +为R 上的偶函数，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+.(1)求()2f -并求()f x 的解析式；(2)若函数()212g x x tx =++在[]0,2的最大值为12，求t 值并求使不等式()()2f m t f m t +>-成立实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()()()lg 6,11lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩；(2)2t =-，24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由()1f x +为R 上的偶函数，得()(2)f x f x =-，可求()2f -的值；当1x <时21x ->，2x -代入()lg 6y x =+求得当1x <时的解析式；（2）讨论对称轴的位置，确定212y x tx =++的单调性，根据()g x 在[]0,2的最大值为12求得2t =-，根据()f x 的对称性与单调性解不等式()()2f m t f m t +>-得m 的范围.【详解】（1）∵(1)f x +为R 上的偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，∴()f x 关于x =1对称，∴(2)(4)lg101f f -===.又(1)(1)-+=+f x f x ，()(2)f x f x ∴=-，当1x <即21x ->时，()()()(2)lg (2)6lg 8f x f x x x=-=-+=-，故()()()lg 6,1lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.（2）当0t ≥时21()2g x x tx =++在[]0,2上单调递增，()g x 的最小值为12，与题意矛盾，0.t ∴<同理当对称轴22t -≥即4t ≤-时，则212y x tx =++在[]0,2上单调递减，191(2)(0),2,222g g t ∴≤=∴+≤522t ∴-≤≤-，矛盾.若40t -<<，02,2t <-<则()122122g t g ⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，29122211422t t ⎧+≤⎪⎪∴⎨⎪-+≤⎪⎩，52220t t ⎧-≤≤-⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，2t ∴=-，显然当2t =-时，()22112122y x x x =-+=--在[]0,2上值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21()22g x x x =-+在[]0,2上最大值为12，符合题目要求.故2t =-.不等式()(2)f m t f m t +>-成立即(2)(22)f m f m ->+成立，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+为增函数，所以()f x 在对称轴1x =右侧为增函数，左侧为减函数，距离对称轴越远其值越大，|21|221m m ∴-->+-，解得243m -<<故m 的取值范围为24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ωϕ+的奇偶性的处理方法：若()f x ωϕ+具有奇偶性，则()f x ωϕ+的对称轴为y 轴或对称中心为原点，可以得到()f x 也有对称轴或对称中心，方法是通过平移变换与伸缩变换将()f x ωϕ+的图象变换到()f x 的图象，在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如(21)f x +为R 上的偶函数，向右平移12个单位得到(2)f x 的图象，则(2)f x 的图象关于12x =对称，再将(2)f x 的图象横坐标变为原来的2倍，得到()f x 的图象，则()f x 的图象关于1x =对称.。

AB A PCB5•6黄冈实验学校数学期末检测试卷姓名 分数 满分： 150分 命题人：孟凡洲 注意:本试卷共分两部分：第I 卷和第II 卷.其中第I 卷为客观题，共16小题，满分76分；第II 卷为主观题，共6小题，满分74分.试卷总分为150分，答题时间为120分钟.第I 卷（客观题部分）注意：本部分共16小题，其中1—12题每题5分，13—16题每题4分，共76分一、选择题（每小题 5分，共50 分）1、在空间直角坐标系中，点P （１，2，3），过点Ｐ作平面xoy 的垂线ＰＱ，垂足为Ｑ，则Ｑ点的坐标为Ａ、（０，2，０） Ｂ、（０，2，3）Ｃ、（１，０，3） Ｄ、（１，2，０）2、下列函数关系中，可以看着是指数型函数xka y =（)10,≠>∈a a R k 且模型的是A 、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）.B 、我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系.C 、如果某人ts 内骑车行进了1km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系.D 、信件的邮资与其重量间的函数关系.3、设集合如下，则满足下述条件的集合A 的个数为 }2,1,0,2{}2,0,2{},1,0{}1,0,1{-=-⋃=-⋂A AA 、1B 、2C 、3D 、44、根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x的一个根所在的区间是A 、（1-，0）B 、（0，1）C 、），（21 D 、（2，3）5、圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距 离最小值为A 、1B 、4C 、5D 、6 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则 该几何体的表面积及体积为 A 、24πcm 2，12πcm 3B 、15πcm 2，12πcm 3C 、24πcm 2，36πcm3D 、以上都不正确7、原点在直线l 上的射影是P （－2，1），则直线l 的方程是A 、052=+-y xB 、042=-+y xC 、02=+y xD 、032=++y x8、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（1） 若βα//，则m l ⊥ （2） 若βα⊥，则m l //（3） 若m l //，则βα⊥ （4） 若 m l ⊥，则βα// . A 、（3）与（4） B 、（1）与（3） C 、（2）与（4） D 、（1）与（2）9、已知如图在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA=AC=BC=1，若三棱锥P-ABC 的四个顶点都在某一个球面上，则该球的表面积为A 、π3B 、π4C 、π）（2/3D 、12π10、若函数f （x ）是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则A 、f （3）+f （4）>0B 、 f （-3）-f （-2）<0C 、f （-2）+f （-5）<0D 、 f （4）-f （-1）>011、蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为1cm,2cm,3cm 的长方体木块的顶点A 处沿表面达到顶点B 处（如图所示），这只蚂蚁走的路程是 A 、cm 14 B 、cm 23C 、cm 26D 、1+cm 1312、已知二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f 和一次函数m kx x g +=)(，若)2/()2/(a b g a b f -<-，则这两函数图象的交点个数为A 、0B 、1C 、2D 、0或1二、填空题（每小题4分，共16分）13、()()20.752/30.2581/16--+--lg25-2lg2=________14、若指数函数f （x ）与幂函数g （x ）的图象相交于一点（2，4），则f （x ）= g(x)=15、圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面三角形是圆柱底面圆的内接三角形，并且三棱柱底面是正三角形，如果圆柱的体积是π16，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积为16、已知圆的方程为064322=+-++y x y x ，请写出它的一条切线方程DO•ABC1A 1B 1C 1D 答题卡13、 ； 14、 ；15、__ ； 16、 ；第II 卷（主观题部分）注意：本部分共6个小题，其中17—21小题每题12分，22题12+14分.共74分.17、（本小题满分12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如右图： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积 的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2008km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S 和时间t 的函数解析式．18、(本题满分12分）已知圆C 的圆心为），（12-且该圆被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点且面积最小的圆的方程．19（本小题满分12分）、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，AB=2，O 为对角线A 1C 的中点. （1）、求证：AA 1‖平面DOB（2）、求OD 与底面ABCD 所成的角的大小.20、（本小题满分12分）已知函数)1(log -=x a a y（1,0≠>a a 且） （1）求此函数的定义域（2）已知A 、B 为函数)1(log -=xa a y 图象上任意不同的两点.求证：直线AB 的斜率大于021、本大题有两小题，请你任选一题，两题都做只计一题分（本题满分12分+14）21、(本题满分12分)探究函数),0(,/4)(+∞∈+=x x x x f 的最小值，并确定取得最小值时x 的值．列表如下：请观察表中y 值随x 值变化的特点，完成以下的问题．函数)0(/4)(>+=x x x x f 在区间（0，2）上递减； （1）函数)0(/4)(>=x x x f 在区间 上递增．当=x 时，=最小y（2）证明：函数)0(/4)(>+=x x x x f 在区间（0，2）递减．（3）思考:函数)0(/4)(<+=x x x x f 时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x 为何值？（直接回答结果，不需证明）22、（本题满分14分）设)(x f 为定义在R 上的增函数，令)2008()()(x f x f x g --=（1）求证：)2008()(x g x g -+是定值. （2）判断)(x g 在R 上的单调性；并证明. （3）若,0)()(21>+x g x g 求证：200821>+x x。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. °sin 600的值为（ ）A.12 B. 12-3 D. 32. 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是（ ） A. AB CD = B. AB AD BD -=C. AD AB AC +=D. 0AD BC +=3．下列函数中，在区间(0,)2π上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A. sin2xy = B. sin y x = C. tan y x =- D. cos 2y x =- 4. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A. sin(2)12y x π=++ B. sin(2)12y x π=-+ C. sin(2)14y x π=++ D. sin(2)14y x π=-+ 5．如图， 非零向量,OA a OB b ==且,BC OA ⊥C 为垂足，若OC a λ=，则λ=（ ）A.2a b a⋅ B.a b a b⋅⋅C.2a b b⋅ D.a b a b⋅6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（ ）A ．（-2，4） B.（-30，25） C.（10，-5） D.（5，-10）BDC A7. 函数sin3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是（ ） A. 113x π= B. 53x π=C. 53x π=-D. 3x π=-8. 若2cos(),410x π-=3(,)24x ππ∈，则sin x 的值为（ ） A. 35- B.45 C. 35 D. 45- 9. sin()(y x x ωϕ=+∈R ,0,02)ωϕπ>≤<的部分图象如图，则（ ）A. 4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==10．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．化简°°°°sin13cos32sin32cos13+=____________________．12. 已知e 为单位向量，4,a =a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为_________． 13．已知1sin ,23,3απαπ=<<那么sin cos 22αα+= ． 14. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+=__________________．15. 定义运算a b *，a b * =,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩，例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题共12分）化简求值：（1）22212sin cos 12sin cos cos sin 12sin ααααααα-+⋅--. （2）已知3tan 2α=，求222sin 3sin cos 5cos αααα--的值.17．（本小题满分12分）已知向量,a b 满足2,3,a b ==a 与b 的夹角为°120.求(1) a b ⋅ ； (2) 3a b + ； (3) 3a b +与a 的夹角.18.（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=.（1）若a ∥b ，求tan θ的值； （2）,0,a b θπ=<<求θ的值.19.（本小题满分12分） 如图△OAB ，设,OA a OB b ==，若4,7OM a=58ON b =，设AN 与BM 交于P ，用,a b 来表示向量OP .NO20．（本题满分13分）已知向量).0,1(),cos ,cos (),sin ,(cos -=-==c x x b x x a（1）若c a x,,6求向量π=的夹角； （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f的最小值．21. （本小题满分14分）定义在R 上的函数()f x 满足①()()2()cos f x y f x y f x y ++-=②(0)0,()12f f π==.（1） 判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2） 求()f x ；（3） 求()cos ()cos f x x f x x ++⋅的最大值.高一期末数学参考答案一、选择题 DCDAA CCBCB 二、填空题11.2 12 .-2 13. 3- 14. 49- 15.1⎡-⎢⎣⎦三、解答题 16．解：（1）原式=cos sin cos sin 1cos sin cos sin αααααααα-+=+-（2）原式=2222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 520cos sin 1tan 13ααααααααα----==-++ 17.(1) 3a b ⋅=-(2) 2223963618927a b a a b b +=+⋅+=-+= 333a b ∴+= (3)2(3)39a b a a a b +⋅=+⋅=,设,a b 的夹角为θ[]θπ∈（0,）则(3)cos 333a b a a b aθ+⋅===⋅+⋅6πθ= 18. 解：（1）a ∥b ，2sin cos 2sin θθθ∴=- 12sin cos ,tan 4θθθ∴==（2）22sin (cos 2sin )5a b θθθ=∴+-=得212sin 24sin 5θθ-+=降次，sin 2cos21θθ∴+=-,sin(2)42πθ+=-由90,2,444πππθπθ<<<+<5244ππθ∴+=或74π， 2πθ∴=或34π.19．解：设,,NP xNA BP yBM ==则5()()8NP xNA x OA ON x a b ==-=- 4()()7BP yBM y OM OB y a b ==-=-NP BP NP PB NB -=+=38b =两式相减：5()8x a b -4()7y a b --38b =4075388x y x y -=-+=⎧⎨⎩ 17,312x y ∴== 5183OP ON NP b NA ∴=+=+51515()838312b a b a b =+-=+ 20. 解：（1）当6π=x 时，NO22220)1(sin cos cos ||||,cos +-⨯+-=⋅⋅>=<x x xc a c a c a.65cos6coscos ππ=-=-=x ,,0π>≤≤<c a.65,π>=∴<c a（2）1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x b a x f )1cos 2(cos sin 22--=x x x)42sin(22cos 2sin π-=-=x x x],89,2[ππ∈x]2,43[42πππ∈-∴x故],22.1[)42sin(-∈-πx∴当32,42x ππ-=即78x π=时，()f x =21. 解：（1）令0,x =得()()0f y f y +-=()f x ∴是奇函数.（2）令,2y π=得()()2()cos 0222f x f x f x πππ++-== 令,2x y x π==，得()()2()cos 2cos 222f x f x f x x πππ++-== 由（1），()f x 是奇函数，()()022f x f x ππ-+-=两式相加：2()2cos 2f x x π+=()cos()sin 2f x x x π∴=-=（3）即求sin cos sin cos y αααα=++⋅的最大值设sin cos )4t x παα+==+，则t ⎡∈⎣， 且22(sin cos )12sin cos t αααα=+=+⋅，即21sin cos 2t αα-⋅=22111,222t y t t t -∴=+=+-t ⎡∈⎣t ∴=max 12y =。

高一期末考试数学试题参考答案一、选择题二、填空题13． 3 14。

0 15．32166． 3三、解答题17.解:(Ⅰ)设x <0，则-x >0，又f (x ) 为奇函数，且当x >0时，f (x )= -x 2+x -1，∴ f (x )=- f (-x )= -[-(-x )2+(-x )-1]= x 2-+x +1， 又 f (x )在x=0有意义，∴ f (0) =0，从而f (x ) 在R 上的表达式为f (x ) = ⎩⎨⎧ -x 2+x -1 x >00 x =0 x 2+x +1 x <0；(Ⅱ)当x >0时，f (x )= -x 2+x -1=-(x- 12 )2-34;∴f (x ) 的值域为(-∞,-34]。

18、(Ⅰ)因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，2,1==PD PA所以222AD PA PD +=，所以AD PA ⊥ 又CD PA ⊥，D CD AD = 所以PA ⊥平面ABCD(Ⅱ)四棱锥P ABCD -的底面积为1=ABCD S ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ABCD -的高h 为1， 所以四棱锥P ABCD -的体积为13ABCD V S h =⋅=. (III)45019．(Ⅰ)解:AB 中点M 的坐标是(1,1)M ，中线CM 所在直线的方程是113121y x --=---，即2350x y +-=(Ⅱ)解法一: AB ==直线AB 的方程是320x y --=，点C 到直线AB 的距离是221031d ==+ 所以△ABC 的面积是1112S AB d =⋅= 解法二:设AC 与y 轴的交点为D ，则D 恰为AC 的中点，其坐标是7(0,)2D ，112BD =， 11ABC ABD BD S S S =+=△△△C 20结论:设两圆的交点为),(),(2211y x B y x A 、，则A 、B 两点满足方程组016222=+-++y x y x 且22y x +-01124=-+y x ，将两个方程相减得0643=+-y x ，即为两圆公共弦所在的方程.易知圆1C 的圆心(-1，3)，半径r=3.，下面我们可以用点到直线的距离公式可以求得点1C 到直线的距离为5/943/|63431|22=++⨯-⨯-=d .所以我们可以结合图形得到AB=222d r -=24/5，即两圆的公共弦长为24/5.21、22. 方法1:先求出圆C 的圆心关于直线对称的的坐标，因为对称圆的大小没有改变，只是位置发生了改变，所以有了对称圆的圆心，问题就解决了.具体步骤:把圆C 化成标准形式，得4/5)1()2/1(22=++-y x ，圆心C 的坐标是)1,2/1(-，设与点C 关于直线l 对称的点),(001y x C ，则有1)2/1/()1(00-=-+x y ，且012/)1(2/)2/1(00=+--+y x .解此方程组得2/3,200=-=y x ，所以圆心)2/3,2(1-C ，所以我们要求的对称圆的方程为4/5)2/3()2(22=-++y x .值得我们注意的是这种方法是我们解决圆的对称问题的特殊的方法，他只能运用于关于圆的对称问题中，而不适合所有的对称问题.下面我们介绍一下方法2，这种方法我们把它称作解决对称问题的万能法则.方法2:具体步骤:点),(y x 为圆C 上的点，设),(y x 关于直线的对称点为),(00y x D ，则我们很容易列出方程组1/()(00-=--）x x y y ，且 012/)(2/)(00=+---y y x x ，我们可以解出方程组，得到下面的数据:1,100-=+=y x x y ，因为),(y x 在圆C 上，所以我们可以把数据代入，得4/5)11()2/11(2020=+++--x y ，根据习惯，得到我们所求的对称圆的方程为4/5)2/3()2(22=-++y x。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知关于x 的不等式6a x x >+的解集为(,9)b ，则+a b 的值为（ ） A ． 4B ． 5C ．7D ．92．平面直角坐标系xOy 中，角的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O 点逆时针旋转后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ） A.B.C.D.3．已知向量(),2a x =r ，()1,b y =r 且,x y 为正实数，若满足2a b xy ⋅=r r，则34x y +的最小值为（ ）A.526+B.56C.6D.34．已知△ABC 的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC u u v u u u v u u u v v++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A.1:1:1B.3:23232:1325．已知当x θ=时函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值，则sin 22cos 2sin 22cos 2θθθθ+=-（ ）A ．-5B ．5C ．15 D ．15-6．已知向量a b r r ，满足3a =r ，4b =r ，14a b +=r r ，则a b r r -=（ ）A ．3B ．5C ．6D ．77．对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，①关于直线12x π=-对称；②关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③可看作是把sin2y x =的图象向左平移6π个单位而得到；④可看作是把sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到.以上叙述正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知函数lg(1),0()1lg ,01x x f x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ） A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定9．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A.18B.24C.60D.9010．函数lg(2sin 1)y x =-的定义域为（ ） A.5{|,}66ππx k πx k πk Z +<<+? B.2{|,}33ππx k πx k πk Z +<<+? C.5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈ D.2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+? 11．在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件12．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=二、填空题13．如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为100米，然后在A 处测得60DAB ∠=o ，在B 处测得75,30DBA DBC ∠=∠=o o ，则此建筑物CD 的高度为________米．14．V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 15．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长是底面圆半径的______倍 16．如图，已知ABC △ 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2AM MPMC PB== ，若02,3,120AB AC BAC ==∠=u u u v u u u v ，则AP BC ⋅u u u v u u u v的值为__________．三、解答题17．已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如下所示，其中2(,2)3A π，7(,0)3B π-. （1）求,ωϕ的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在[,3]ππ上的值域.18．()1若sin 2cos 0αα-=，求2sin cos cos sin cos ααααα++-的值．()2计算：()321lg5lg8lg1000(lg2lglg0.066++++ 19．已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 20．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．且c 2,C 60==︒．（1）求a bsinA sinB++的值；（2）若a b ab +=，求ΔABC 的面积．21．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 22．已知函数.（1）若，求函数()f x 的值；（2）求函数()f x 的值域. 【参考答案】*** 一、选择题13．14．34π. 15．3 16．-2 三、解答题17．（1）1,2ω=6π=ϕ（2）42[4,4],33k k k Z ππππ-++∈（3）[- 18．（1）165（2）1 19．（1）3-；（2）120．（1）3（221．（1）3，2，2（2）（i ）略（ii ）52122．（1）；（2）[]1,2.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy >；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A.1B.2C.3D.42．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =o ，那么角A 等于（ ）A.135oB.45oC.135o 或45oD.90o3．已知角满足，，且，，则的值为（ ）A.B.C.D.4．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点位于区间()1,,-∈m m m Z 上，则1327log +=m m （ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数cos tan y x x =⋅ ()22x ππ-<<的大致图象是（ ）A. B.C. D.6．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.080.033≈，lg20.301≈，lg30.477)≈A ．2020B ．2021C ．2022D ．20237．已知直线l ：()210x m y ++-=，圆C ：226x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系一定是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 8．在下列区间上，方程331x x =-无实数解的是( )A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,29．已知函数2()log 1f x x =-，若存在实数 k ，使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的根1x ，2x ，则12x x ⋅的值为（ ） A.1B.2C.4D.不确定10．设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>11．已知向量()1,2a =-r ， ()1,b λ=r ，若a b ⊥r r ，则+2a b r r 与a r 的夹角为（ ）A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等 二、填空题13．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______ 14．如图，⊙O 的半径为1，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，从A B C 、、、D E F 、、六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为3的概率是_____．15．已知函数，，若，则实数a 的取值范围______．16．安排,,,,,A B C D E F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________． 三、解答题17．已知函数()1333x x bf x +-+=+是奇函数．()1求实数b 的值；()2若对任意的[]1,2t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．18．已知函数()21cos sin cos .2f x x x x =+-（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；(3)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))．(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？ 20．已知集合，数列{}n a 的首项，且当2n ≥时，点，数列{}n b 满足.（1）试判断数列{}n b 是否是等差数列，并说明理由； （2）若，求的值.21．已知函数（1）若，求函数()f x 的零点；（2）若()0f x ≥在(1,)+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）设函数，解不等式.22．已知函数2()2x a f x x +=+. a 为实数，且*1()(2,)n n n x f x x n N +=≠-∈，记由所有n x 组成的数集为E .（1）已知131,3x x ==，求2x ； （2）对任意的1[,1]6x ∈，1()f x x<恒成立，求a 的取值范围； （3）若11x =，1a >，判断数集E 中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D D C C C B C B DD13．1814．2515．16．42 三、解答题17．（1）1b =；（2）(),1-∞． 18．（1）π；（2）5[,],88k k k Z ππππ++∈；（3）min 1()2f x =-19．（1）0.15. (2)2400. (3)25.20．（1）是；（2）. 21．(1)1；(2)(3)见解析22．（1）24x =；（2）(),1a ∈-∞；（3）略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋃ð= A.{2,6}B.{3,6}C.{}1,3,4,5D.{}1,2,4,62．已知数列{}n a 满足11a =，若1114()n n nn N a a *+-=∈，则数列{}n a 的通项n a = A ．341n- B ．431n- C ．413n -D ．314n -3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1212n S S S n+++L 取最大值时，n 的值为（ ） A ．8B ．9C ．17D ．8或94．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数23()21x x f x +=+，则函数[()]y f x =的值域为（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2}5．已知非零向量m r ，n r 满足2m n r r =，,m n r r夹角的余弦值是13，若()tm n n +⊥r r r ，则实数t 的值是（ ）A ．32-B ．23-C ．12-D ．126．如图所示，平面内有三个向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、，其中OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为120o，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为30o，且1,3OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则(λμ+= )A ．1B ．2C ．3D ．47．函数822log ()14x f x x =+-的大致图像为（ ）A. B.C. D.8．已知点(1,3)A ，(2,1)B --.若过点(2,1)P 的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．12k …B ．2k -„C ．12k …或2k -„D ．122k -剟9．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( ) A ．106 B ．53 C ．55 D ．108 10．已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．79-B ．79C ．79±D ．29-11．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 12．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、填空题13．已知sin 2cos 0αα+=，则tan α=_____；22sin 2cos αα-=_____．14．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则6a =_______15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，若(1)(3)f m f m ->-，求实数m 的取值范围__________． 16．设0>ω，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是___ 三、解答题17．如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的等边三角形， 90BAC ∠=o ，O 为BC 中点.(1)证明: AC SO ⊥; (2)求点C 到平面SAB 的距离.18．已知向量a r ，b r满足：a r =4，b r =3，()()+2=0a b a b -r r r r(Ⅰ)求a r ·b r的值；(Ⅱ)求2a b -r r的值.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC PCD 90o ∠∠==，BAC CAD 60∠∠==o ，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点．(Ⅰ)求证：CD AC ⊥； (Ⅱ)求证：PB //平面CEF ；20．已知在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB CD ，2AB =，22BC =4CD =，PD PC =，E 为PC 的中点.（1）求证：//BE 平面PAD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角（直线PB 与其在平面ABCD 上正投影相交形成不大于090的角）为045，求四棱锥P ABCD -的体积.21．已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22．在中，角的对边分别为，向量，向量，且.（1）求角的大小； （2）设的中点为，且，求的最大值.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D D A C D D B A BD13．-2 2514．32- 15．{}2m m 16．302ω<≤ 三、解答题17．（1）略；（2）2618．(Ⅰ) a b ⋅r r =2 (Ⅱ) 2211a b -=r r19．（Ⅰ）略； （Ⅱ）略. 20．（1）详略（2）4 21．(1)21n a n =+.n *∈N (2)269nn +. 22．（1）;（2）.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A.B.C.D.2．已知三棱锥，侧棱两两垂直，且，则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是（ ）A.B.C.D.3．空间直角坐标系O xyz -中，点(1,1,2)M -在,,xOy xOz yOz 平面上的射影分别为,,A B C ，则三棱锥M ABC -的外接球的表面积为( )A.4πB.5πC.6πD.7π4．在ABC ∆中，设AB a =u u u rr ，AC b =u u u r r，D 为线段AC 的中点，则BD =u u u r（ ）A.12a b +r rB.12a b +r rC.12a b -r rD.12b a -v v 5．已知函数()()4sin2sin 2f x x x ϕ=+（02πϕ＜＜）的图象关于直线6x π=对称，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．16．已知5sin α=，sin()1010αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 7．函数()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A.6B.3C.22-D.1-8．某工厂生产了60个零件，现将所有零件随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、16号、40号、52号零件在样本中，则样本中还有一个零件的编号是（ ） A ．26B ．28C ．30D ．329．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．1810．已知函数()ln f x x =+162x -(2)f x 的定义域为（ ）A.(0,1)B.(1,2]C.(0,4]D.(0,2]11．已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）是定义域为R 的奇函数，且当2x =时，()f x 取得最大值2，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=…（ ）A.222+B.222-C.222±D.012．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题 13．函数()()()12f x x x =--的定义域为______；单调递减区间为______．14．在平行四边形ABCD 中，已知AB=2，AD=1，060BAD ∠=，E 为CD 的中点， 则·________AE BD =u u u r u u u r15．若函数()y f x =的图像经过点(1,2)，则()1y f x =-+的图像必经过的点坐标是_______.16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.三、解答题17．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．在平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以坐标原点O 6. （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于点D ，E ，当22DE =l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19．函数3()21x f x x +=-+A ,()lg[(1)(2)(1)g x x a a x a =---<定义域为B . （1）求A ；（2）若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.20．已知函数2()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()f x 的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m . 21．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为160人、120人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求n 的值；（2）把到前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 或b 没有上台抽奖的概率.（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[]0,1之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，单位圆O 上存在两点,A B ，满足均与x轴垂直，设与的面积之和记为．()1若，求a 的值；()2若对任意的，存在，使得成立，且实数m 使得数列{}n a 为递增数列，其中求实数m 的取值范围．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D B C D B B D AC13．()(),12,-∞⋃+∞ ()2,+∞ 14．32-15．()1,3-. 166米 三、解答题17．（1）16281y m m =--+ ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大 18．（1）222x y +=；（2）20x y +-=；（3）略 19．（1）()[),11,-∞-⋃+∞；（2）1(,2)[,1)2-∞-U . 20．（1）65n a n =-；（2）10． 21．（1）160；（2）35；（3）3422．（1）或512π（2）。

考试范围：必修1和必修4的第一、二章一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 600sin︒的值为（ C ）A．12-B．12C．32-D．322. 下列各函数中，表示同一函数的是（ A ）A．y x=与xay log a=（0a>且1a≠）B．211xyx-=-与1y x=+ C．21y x=-与1y x=-D．y lg x=与212y lg x=3. 已知函数()f x定义在闭区间[]a,a-（0a>）上的奇函数，()()1F x f x=+，则()F x的最大值与最小值之和为（ B ）A．4B．2C．1D．04. 设向量a、b、c，下列叙述正确的个数是（ B ）（1）若k R∈，且0kb=，则0k=或0b=；（2）若0a b⋅=，则0a=或0b=；（3）若不平行的两个非零向量a，b满足a b=，则()()0a b a b+-=；（4）若a，b平行，则a b a b⋅=⋅；（5）若a b a c⋅=⋅，且0a≠，则b c=.A．1B．2C．3D．45. 已知扇形的周长是10cm，面积是42cm，则扇形的半径是（ C ）A．1cm B．1cm或4cm C．4cm D．2cm或4cm6. 三个实数23a sin=︒，203b log.=，032.c=之间的大小关系是（ D ）A．a c b<<B．a b c<<C．b c a<<D．b a c<<7. 已知x是函数()24xf x e x=+-的一个零点，若()101x,x∈-，()202x x,∈，则（ B ）A．()10f x<，()20f x<B．()10f x<，()20f x>C．()10f x>，()20f x<D．()10f x>，()20f x>8. 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走过的图形是（ C ）9. 已知函数()()()()2121aaa x,xf xlog x,x⎧--<⎪=⎨⎪⎩≥是R上的增函数，那么实数a的取值范围是（ C ）A．()12,B．413,⎛⎤⎥⎝⎦C．423,⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．()01,10. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在[]32,--上递增，若α、β是锐角三角形的两內角，则以下关系成立的是（ D ）A ．()()f sin f cos αβ>B ．()()f cos f cos αβ<C ．()()f sin f sin αβ>D ．()()f sin f cos αβ<二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= . 25.12. 已知2tan x =，则()()52322429cos x sin x sin x cos x ππππ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++ . 1-13. 已知集合2050x A x x ⎧⎫+⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-⎩⎪⎪⎩⎭≥≥，{}121B x p x p =+-≤≤，若A B B =，B ≠∅，则实数p 的取值范围是 . []23,14. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且()()12f ax f x +-≤对任意112x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围是 . (]5,-∞- 15. 对于函数()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，①关于直线12x π=-对称；②关于点5012,π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③可看作是把2y sin x =的图象向左平移6π个单位而得到；④可看作是把6y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到。